§6+函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答

1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在

[],a b 上也一致连续。

3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。

4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2

)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。

6． 求证下列函数在指定区间上一致连续：

(1) ()1

f x x

=， ()0a x <≤<+∞； 2) ()3f x x =， ()0x ≥。

证 (1) 0ε?>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有

12122121211

x x x x x x x x a

ε---=≤<， ()12,x x a ?≥。 即得()1

f x x

=在[),a +∞上一致连续。

(2) 设210x x >≥， 则有 ()3

333

221

1211x x x x x x x =

-+≤-+。

即有

3

3

3

2121x x x x -≤-。

于是， 对0ε?>， 30δε?=>， 对12,0x x ?≥， 当21x x δ-<时， 有

3

33

2121x x x x ε-≤

-<

即得()f x 在0x ≥上一致连续。

7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。

(1) ()()1

sin

01f x x x

=<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

证 (1) 取

'12n

x n π

=

，

''122

n x n π

π=

+

， ()1,2,n = ，则有

()'''l i m 0n n n x x →∞

-=。而 ()()()

''

'l i m l i m 11n n n n f x f x →∞

→∞

-==。于是()f x 在()0,1上不一致连续。

(2) 取''n n x e -=， ()1'

n n x e -+=， ()1,2,n = ， 则有 ()'''lim 0n n n x x →∞-=， 而()()'''

lim lim11n n n n f x f x →∞→∞

??-==??。 由此推出()f x 在()0,+∞上不一致连续。 8． 设()f x 在(),a b 上一致连续，求证：

(1) 0δ?>， 使得对0x ?， 当()()00,,x a b x x δδ∈?-+时，

()()01f x f x ≤+。

(2) ()f x 在(),a b 上有界。

证(1) 由()f x 的一致连续性， 对 10ε=>，0δ?>， 当

()()00,,x a b x x δδ∈?-+时，

有 ()()()()0011f x f x f x f x -

01n a x x x b =<<<= ，

使得()11max k k k n

x x δ-≤≤-<， 令(){}11

max

1k

k n M f x ≤≤-=+， 对(),x a b ?∈， x 一定落在

某一个小区间， 即()11k k n ?≤≤-， 使得[]1,k k x x x -∈。

于是根据(1)， 有()()1k f x f x -<， ()11k n ≤≤-，或

()(

)1

1k f

x f x

--<， ()2k n ≤≤。并由此推出 ()f x M ≤。

9． (1) 证明函数1y x =

在(0,1)内不一致连续。(2) 0c ?>，证明 1

y x

=在(,1)c

内是一致连续的。 10．

证明 1

sin

x

在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续。 11．

设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为

有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =?上也一致连续。 12．

设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上一致连续。 证明函数)()(x g x f +在区间

I 上一致连续。 13．

设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。 则)(x f 在有限开区间),(b a 内

一致连续， )0( +?a f 和)0(-b f 存在( 有限 )。 14．

设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。 则)(x f 在),(b a 内一致连续，?

)(x f 在),(b a 内一致连续。 15．

若f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞

存在。证明：f 在[,)a +∞上有界。试

问f 在[,)a +∞上必有最大（小）值吗？ 16．

设函数)(x f 在R 内连续且 .)(lim +∞=∞

→x f x 则)(x f 在R 内有最小值。(

与)0(f 比较。)

17． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。

18． 求证：三次方程3210x x +-=只有唯一根，此根在()0,1内。

19． 证明方程240x x -=在区间10,2??

???

内有一根。

20．

证明方程01423=+-x x 在()1,0内至少有一个实根．

证 设()1423+-=x x x f ，()x f 在[]1,0上连续，又

()010>=f ， ()021<-=f

由推论１知：至少存在一点()1,0∈ξ，使得()0=ξf ．这表明所给方程在()1,0内

至少有一个实根ξ． 21． 证明，方程

内各有一个实根与在)3,2()2,1(03

162715=-+-+-x x x 。 22．

证明：若()x f 与()x g 在[]b a ,连续，且()()a g a f <，()()b g b f >，则

()()()c g c f b a c =∈?使,,。

证 设()()()()x F x g x f x F 显然,-=在

[]

b a ,连续，且

()()()()()()0,0>-=<-=b g b f b F a g a f a F 。

由零点定理，()b a c ,∈?，使()()()()()c g c f c g c f c F ==-=即,0。 23．

证明， 奇次多项式 1221120)(+++++=n n n a x a x a x P 至少存在一

个实根，其中n a a a ,,10都是常数，且00≠a 。 证 已知多项式()x P 在R 连续。将()x P 改写为

.

)(.0)(,),(,.0)(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,0)()(012121

012至少存在一个实根即奇次多项式使一点内至少存在在根据零点定理与使得于是有不妨设x P c P c P P x P x P a x

a x a a x x P x x n n n =->->>?-∞=+∞=>+++

=-∞

→+∞

→+++γγγγγ

24． 设函数)(x f 在区间)0( ]2 , 0[>a a 上连续， 且).2()0(a f f = 证明， 在

区间] , 0[a 上至少存在某个,c 使 ).()(a c f c f += 证 若)2()(a f a f =， 取0=c 或a c =即可；

若),2()(a f a f ≠ 不妨设).2()(a f a f > 设)()()(a x f x f x F +-=， 应用零点定理即得所证。 25．

设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，.21b x x x a n <<<<< 试证明：

],,[1n x x ∈?ξ 使 .)

()()()(21n

x f x f x f f n +++= ξ

26． 设.)( ,)( ],,[b b f a a f b a C f <>∈ 试证明：方程 x x f =)(在区间),(b a 内

有实根。 27． 证明： 方程 x x x cos sin 2=- 在0到

2

π

之间有实根。 28．

证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =。(唯一

性的证明用n x 在) , 0 (∞+内的严格递增性。)

29．

设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ?。证明：存在0[,]x a b ∈，使得

00()f x x =。 30．

证明：若()f x 在[,]a b 上连续，1...,n a x x b <<<<则在1[,]n x x 上必有一点

ξ，使

12()()...()

()n f x f x f x f n

ξ+++=

证 因为()f x 1[,]n x x 上连续，所以()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值

m ，使

1(),(),([,])i n m f x M m f x M x x x ≤≤≤≤∈。 于

是

12()()...()n nm f x f x f x nM

≤+++≤，即

12[()()...()]/n m f x f x f x n M ≤+++≤。

由闭区间上连续函数的介值定理，知存在1[,](,)n x x a b ξ∈?，使

12()()()...()]/,(,)n f f x f x f x n a b ξξ=+++∈。 31．

设()f x 在[,]a b 上连续，a c d b <<<，证明：对任意正数P 和q ，至少

有一[,]c d ξ∈，使

()()()()pf c qf a p q f ξ+=+。

证 因[,][,]c d a b ?，所以()f x 在[,]c d 连续，故在[,]c d 上取得最小值m 与最大值M ，使

(),()m f c M m f d M ≤≤≤≤，

因为0,0,p q >>所以(),(),pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤两式相加得

()()()()p q m pf c qf d p d M +≤+≤+。

即 ()()

p f c q f d m M p q

+≤

≤+。

依介值定理推论，在[,]c d 上至少有一ξ，使

()()

()pf c qf d f p q

ξ+=

+。

从而 ()()()(p f c

q f d p q f ξ+=+。

32． 设

()f x 是[,]a b 上的连续函数，且()0,()0f a f b <>，求证：

(,)c a b ?∈使()0f c =且(,], ()0x c b f x ?∈>。

证明：由介值性定理知，必存在(,)a b ξ∈使

()0f ξ=，令

{|(,)}A x x a b f x =∈且()=0 。

则A 非空，因此命题转化为证明A 有最大数c ，显然A 有界即[,]A a b ?，故由确界原理可知(,)c a b ?∈使得sup c A =，若A 为有限集，则max c A A =∈结论成立，若

A 为无限集则由sup c A =可知存在数列{}n x A ?，使

()n x c n →→∞，由f

的连续性可知：()lim

()0n n f c f x →∞

==，所以c A ∈，

因此

f 在(,]c b 上连续且无零点，则(,],()x c b f x ?∈必与()f b 同号，即

()0f x >。

33． 考虑函数()2x f x e x =--， 证明： 在区间()0,2内至少存在一点0x ，使

得

002x e x -=。

证

明

()2x

f

x e x

=

--在[]

0,2上显然连续。且

()()

0210x x f e x ==--=-<，

()()

22

2240x x f e x e ==--=->。故由闭区间上连续函数的零值定理，至少存在

一点()00,2x ∈，使 ()00f x =。即得 002x e x -=。 34．

证明： 方程321x x -=在 ()1,2 内至少存在一个实根 。

证 设()321f x x x =--， 则()f x 在[]1,2上连续， 且

()()3

1

121

2x f x x ==--=-

()()32

221

3

x f x x ==--= 即()()120f f ?<。

故由零值定理至少存在一点()1,2ε∈， 使()0f ε=， 此ε即为方程

321x x -=在()1,2内的一个根。

35． 若()f x 在区间[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞

等于有限数，试证明()f x 在

[,)a +∞上一致连续。

证 设lim ()x f x A →+∞

=(有限数)，则0?∈>，()0N ?∈>，使当x N >时，有

|()|3

f x A ∈

-<

。 又()f x 在[,]a N 上连续，依Cantor 定理(在闭区间[,]a b 上连续的函数，必在

[,]a b 上一致连续)，()f x 在[,]a N 上一致连续，故对上述0∈>，()0δ?∈>，当

12,[,]x x a N ∈，且12|,|x x δ<时，有12|()()|3

f x f x ∈

-<。所以，我们对12,[.)x x a ∈+∞进行讨论。

(1) 当12,[,]x x a N ∈时， 12|()()|3

f x f x ∈-<； (2) 当12[.],[,)x a N x N ∈+∈+∞时，有

121|()()||()()||()|f x f x f x f N f N A -≤-+-+2|()|333

A f x ∈∈∈

-++=∈ ； (3) 当12,(,)x x N ∈+∞时，有

1212|()()||()||()|33

f x f x f x A f x A ∈∈

-≤-+-<

+<∈。

集合与函数概念单元测试题-有答案

高一数学集合与函数测试题 一、选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：?2008年北京奥运会上所有的比赛项目；②《高中数学》必修1中的所有难题；③所有质数；⑷平面上到点（1,1）的距离等于5的点的全体；⑤在数轴上与原点O非常近的点。其中能构成集合的有（） A . 2组B. 3组C. 4组 D . 5组 2、下列集合中与集合｛x x 2k 1, k N ｝不相等的是（ ） A. {x x 2k 3,k N} B. {x x 4k 1,k N } C. {x x 2k 1,k N} D. {x x 2k 3, k 3,k Z} 2 3、设f（x）学」，则半等于（）X 1f（1） A . 1 B . 1 C . 3 D 3 5 5 4、已知集合 A {xx24 0｝，集合B ｛x ax 1},若B A ,则实数a的值是（） A . 0 B . 1 C . 0 或—D.0或1 2 2 2 5、已知集合 A {( x, y) x y 2} , B {(x,y)x y 4}，则AI B() A . {x 3,y 1} B .(3, 1) C . {3, 1} D.{(3, 1)} 6、下列各组函数 f (x)与g（x）的图象相同的 是 ( ) (A) f (x) x,g(x) (.x)2(B) 2 2 f(x) x ,g(x) (x 1) (C)f(x) 1,g(x) x0 x (D) f(x) |x|,g(x) (x 0) x (x 0) 7；l是定义在'■上的增函数则不等式畑"厮一劭的解集

是() (A)(0 ,+ OO)(B)(0,2)(C)(2 ， + OO )(D) (2，兰) 7 8已知全集U R，集合A {x x 1或x 2},集合B {x 1 x 0},则AU C U B() A. {x x 1或x 0} B. {x x 1或 x 1} C. {x x 2或x 1} D. {x x 2或 x 0} 9、设A 、B为两 个 -非空集 合， 定义A B { (a,b) a A,b B} ，若A {1,2,3}, B {2,3 ,4}，则 A B中的兀素个数为() A. 3 B.7 C.9 D.12 10、已知集合 A {yy x21},集合 B {xy22x 6}，则Al B ( ) A ? {(x,y) x 1,y 2} B. {x1 x 3} C. {x| 1 x 3} D. 11、若奇函数f x在1,3上为增函数，且有最小值0,则它在3, 1上 () A.是减函数，有最小值0 B.是增函数，有最小值0 C.是减函数，有最大值0 D.是增函数，有最大值0 12、若1,a,b 0,a2,a b，则a2005 b2005的值为( ) a (A)0 (C) 1 (B)1 (D)1 或1

3.1函数的概念及其表示基础练习题

3.1函数的概念及其表示基础练习题 一、单选题 1．设2,10, ()(6),10x x f x f x x -≥?=?+?==?-≤? D ．233(),()f x x g x x == 6．已知函数1 ()2 f x x =-，则函数(21)f x +的定义域为（ ） A ．1|2x x ??≠ ???? B ．{|2}x x ≠ C ．{|5}x x ≠ D ．1|2x x ??≠-????

7．已知函数21,0 ()(2),0 x x f x f x x ?-≤=?->? ，则(1)=f （ ） A ．1 B ．0 C ．-1 D ．2 8．函数123x y x -= ++ 的定义域为（ ） A ．3 12x x ??- <≤???? B ．3 12x x ??- ≤≤???? C ．3 {|12 x x -≤≤且0}x ≠ D ．3 {|12 x x - ≤<且0}x ≠ 9．已知函数()y f x =的定义域是[2,3]-，则(1)y f x =+的定义域是（ ） A ．[1,2] B ．[3,4] C ．[1,4]- D ．[3,2]- 10．下图中可以表示以x 为自变量的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知函数()2,0 1,0 x x f x x x >?=?+≤?，且()()10f a f +=，则a 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 12．函数f (x 23x + ） A ．[0，+∞) B ．[3，+∞) C ．3+∞) D ．[03 二、填空题 13．函数4 ()-= x f x 的定义域为________；

集合与函数概念单元测试题_有答案

高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集

必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)

第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） A.N 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。 10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。

1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{ 1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系 10.已知A=}3,4,1{},2,1{a B a =+，且B A ?，求a 的值

高中数学-函数的概念及表示练习

高中数学-函数的概念及表示练习 【考情分析】 高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度 【考纲研读】 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3．了解简单的分段函数，并能简单应用 一、选择题 1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝??? 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 3.(山东)设f (x )={√x ,0

集合与函数概念测试题

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题(1) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2 +bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2 +bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+ = 的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝

B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}， N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0｝ ，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150) 5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤) 5.65.3(),5.3(50150) 5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x , f [g (x )]=)0(122 ≠-x x x ,则 f (2 1)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y= x x ++ -1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 9．下列四个命题 （1）f(x)= x x -+-12有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射; （3）函数 y=2x(x N ∈)的图象是一直线；

集合与函数概念单元测试题(含答案)

新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ）

函数的概念及表示(习题)

函数的概念及表示（习题） 5. 设2()1 f x x =+（0a >）的值域为[-1，4]，则a ，b 的值为_________．

51)[)3 +∞，51][3]3 ， 4()x g x <，0](2)+∞， 0](1)+∞，

13.已知 10 () 10 x f x x ? =? -< ? ≥ （） （） ，则不等式(2)(2)5 x x f x +++≤的解集是 ________________． （2）定义域为R的函数) (x f满足()2()21 f x f x x +-=+， 则() f x=_________． 15.已知函数() f x，() g x满足：()()()()() g x y g x g y f x f y -=+，(1)1 f-=-， (0)0 f=，(1)1 f=，求g(0)，g(1)，g(2)的值． 16.设() f x是定义在R上的函数，满足(1)0 f=，且对于任意的x，y，等式()()(21) f x y f y x x y +-=++恒成立，求() f x的解析式．

【参考答案】1.[10] -， 2.（1）()[3) f x∈+∞ ，；（2） 3 ()[) 2 f x∈+∞ ，； （3） 11 ()(1] 3 f x∈， 3.[01) ，4.[01] ，

5. a =4，b =3 6. B 7. 7 8. (2]-∞， 9. D 10. A 11. 1 [1)(01]2--，， 12. (2][010]-∞-，， 13. 3 (]2-∞， 14. （1）2()1f x x =- （2）1 ()23f x x =-+ （3）222845 ()333 f x x x x x =+--+ 15. (0)1(1)0(2)1 g g g ===-，，； 16. 2()2f x x x =+-

集合与函数概念测试题

修文县华驿私立中学2012-2013学年度第一学期单元测试卷（四） （内容：集合与函数概念 满分：150 时间：120 制卷人：朱文艺） 班级： 学号： 姓名： 得分： 一、选择题：（以下每小题均有A,B,C,D 四个选项，其中只有一个选项正确，请把你的正确答案填入相应的括号中，每小题5分，共60分） 1. 下列命题正确的是 （ ） A ．很小的实数可以构成集合 B ．集合{} 1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．空集是任何集合的子集 2. 已知{}32|≤≤-=x x M ，{}41|>-<=x x x N 或， 则N M 等于 （ ） A. {}43|>≤=x x x N 或 B. {}31|≤<-=x x M C. {}43|<≤=x x M D.{}12|-<≤-=x x M 3. 函数2() = f x （ ） A. 1 [,1]3- B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 4. 下列给出函数()f x 与()g x 的各组中，是同一个关于x 的函数的是 （ ） A ．2 ()1,()1x f x x g x x =-=- B ．()21,()21f x x g x x =-=+ C ．2(),()f x x g x == D ．0()1,()f x g x x == 5. 方程组? ??-=-=+122 y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,1==y x B ．{}1 C.{})1,1(|),(y x D ． {})1,1( 6．设{} 是锐角x x A |=，)1,0(=B ，从A 到B 的映射是“求正切”，与A 中元素0 60相对应的B 中元素是 （ ） A ．3 B ． 33 C ．21 D ．2 2

高一数学必修一函数概念表示及函数性质练习题(含答案)(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1．已知R 是实数集，21x x ?? M =.则满足(21)f x -＜1 ()3 f 的x 取值范围是( ) 6．已知 上恒成立，则实数a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 7．函数2 5 ---= a x x y 在（－1，＋∞）上单调递增，则a 的取值范围是 A ．3-=a B ．3f （2x ）的x 的取值 范围是________.

第一章 集合与函数概念测试题

集合与函数概念测试题 一、选择题（每小题5分，满分60分） 1．已知(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=，则A B = （ ）. A ．{}2,1 B ．(){}2,1 C ．{}2,1x y == D ．()2,1 2．如图，U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）. A ．()M P S B ．()M P S C ．()()U M P C S D ．()()U M P C S 3．下列各组函数表示同一函数的是（ ）． (A) 2 (),()f x g x = = (B) 0 ()1,()f x g x x == (C) 2 1()1,()1 x f x x g x x -=+=- （D ）2 (),()f x g x = = 4．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是（ ）． (A) 0,2,3 (B) 30≤≤y (C) }3,2,0{ （D ）]3,0[ 5．已知函数2 2 1()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-= ≠，则(0)f 等于（ ） ． (A) 3- (B) 32 - (C) 32 （D ） 3 6．函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．3a ≥- (B) 3a ≤- (C) 5a ≤ （D ）3a ≥ 7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0

1.2.1函数的概念练习题及答案解析

1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选D.由? ???? 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________． 解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对 于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)． 答案：(2)(3) 1．函数y ＝1x 的定义域是( ) A ．R B ．{0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．{x |x ≠1} 解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．

集合与函数概念检测试题

数学必修一第一章检测试题（含答案） （集合与函数概念） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合}8,5,2{=M ，}10,9,8,5{=N ，则=N M （A ） A ．}10,9,8,5,2{ B ．}8,5{ C ．}10,9{ D ．}2{ 2．若集合{},,a b c 当中的元素是△ABC 的三边长，则该三角形是(C) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．等腰直角三角形 3．集合{1，2，3}的真子集共有(C) A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 4．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ?B ，则下列式子成立的是(C) A ．C U A ?C U B B ． C U A ?C U B=U C ．A ?C U B=φ D ．C U A ?B=φ 5．已知}19,2,1{2-=a A ，B={1,3}，A =B }3,1{，则=a (C) A ． 3 2 B ． 2 3 C ．3 2± D ．2 3± 6．函数x x x y +=的图象是 (D) 7．如果集合A={x|ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，那么a 的值是(B) A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 8．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<

函数的概念练习题(含答案)

1.2.1 函数的概念及练习题 一、选择题 1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝2 3x D ．f (x )→y ＝x 2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t ＝0表示12：00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( ) A ．8℃ B ．112℃ C ．58℃ D ．18℃ 3、函数()214,y x x x x Z =--≤≤∈的值域为（ ） A ．[]0,12 B ．1124??-?? ?? ， C ．{}0,2,6,12 D ．{}2,6,12 4．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1，3] B ．[0，3] C ．[－3，3] D ．[－4,4] 5．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 7．函数f (x )＝1 ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34} C ．{a |a ＞3 4 } D ．{a |0≤a ＜3 4 } 8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市 场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么?? ? ??2 1f 等于 ( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 10．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3，5} D ．R 二、填空题 11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y

集合与函数概念单元测试题经典含答案

第一章集合与函数概念测试题 一：选择题 1、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 2、图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3、已知集合2{1}A y y x ==+，集合2{26}B x y x ==-+，则A B =（ ） A ．{(,)1,2}x y x y == B ．{13}x x ≤≤ C ．{13}x x -≤≤ D ．? 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{1,2,3,}A a =，2{3,}B a =，则使得Φ=B A C U )(成立的a 的值的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6、设A 、B 为两个非空集合， 定义{(,),}A B a b a A b B ⊕=∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B ⊕中的元素个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 7、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50 C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 8、已知g (x )=1-2x, f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30

集合与函数概念试题1

集合与函数概念试题卷 一、选择题 1．用列举法表示集合|{R x M ∈=}0442=+-x x 为（ ） A ．}2,2{ B ．}2{ C ．}2{=x D ．}044{2=+-x x 2．已知集合A=}24|{<<-x x ，B=}12|{<<-x x ，则（ ） A ．A> B B ．A ?B C ．A B D ．A ?B 3．{|2}M x R x =∈≥，a π=，则下列四个式子○1M a ∈；○ 2}{ a M ； ○3a ?M ；○4{}a M π= ，其中正确的是（ ） A ．○ 1○2 B ．○ 1 ○4 C ．○ 2○3 D ．○ 1○2○4 4．已知集合M 和P 如图所示，其中阴影部分表示为（ ） A ．P M B ．P M C ．P)(M C P D ．P)(M C M 5．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,5,8}，B={1,3,5,7}，那么(C U A)∩B =（ ） A ．{5} B ．{1, 3,4,5,6,7,8} C ．{2,8} D ．{1,3,7} 6．如图，以下4个对应不是从A 到B 的映射的是（ ） 7．若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[2，3] C ．[－2，－1] D ．无法确定 8．已知函数32)1(+=+x x f 则)(x f 等于（ ） A ．32+x B ．22+x C ．12+x D ．12-x 9．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(f m == 0.5[]1)m + （元）决定，其中0>m , ] [m 是大于或等于m 的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（ ） A ．3.71元 B ．3.97元 C ．4.24元 D ．4.77元 10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A →B →C →M 运动，则△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） 9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1 300 450 600 900 1 -1 2 -2 3 3 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 2 12 22 31 A ． B ． C ． D ． 开平方 求正弦 求平方 乘以2 M P M P

函数的概念练习题(含答案)

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 1.2.1 函数的概念及练习题答案 一、选择题 1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( ) A ．f (x )→y ＝12x B ．f (x )→y ＝13x C ．f (x )→y ＝2 3x D ．f (x )→y ＝ x 2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t ＝0表示12：00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( ) A ．8℃ B ．112℃ C ．58℃ D ．18℃ 3．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－ 1，1} 4．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1，3] B ．[0，3] C ．[－3，3] D ．[－4,4] 5．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上

7．函数f (x )＝1 ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34} C ．{a |a ＞3 4 } D ．{a |0≤a ＜3 4 } 8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ???? 12等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 10．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3，5} D ．R 二、填空题 11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________． 12．函数y ＝x ＋1＋1 2－x 的定义域是(用区间表示)________． 三、解答题 13．求一次函数f (x )，使f [f (x )]＝9x ＋1. 14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？ 15．求下列函数的定义域． (1)y ＝x ＋ 1x 2 －4； (2)y ＝1|x |－2 ；(3)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.

集合与函数概念单元测试题(答案)

第一章 《集合与函数概念》单元测试题 （纯属个人做法，如有不正确的请纠正） 姓名： 饭团 班别： 学号： 一、选择题：每小题4分，共40分 1、在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是( A ) （A ）② （B ）③ （C ）②③ （D ）①②③ 2、若{ {}|0,|12A x x B x x =<< =≤<，则A B ?= ( D ) （A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥ （C ）{ 0x ≤≤ （D ）{}|02x x << 3、若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则A B ?= ( C ) （A ）{}1,2 （B ）{}0,1 （C ）{}0,3 （D ）{}3 4、在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ A ） （A ）)1,3(- （B ）)3,1( （C ）)3,1(-- （D ）)1,3( 5、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ D ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）2 2 )1()(,)(+==x x g x x f （C ）0 )(,1)(x x g x f == （D ）?? ?-==x x x g x x f )(|,|)( ) 0()0(<≥x x 6、 是定义在上的增函数,则不等式 的解集是（ D ） (A)(0 ,+∞) (B)(0 , 2) (C) (2 ,+∞) (D) (2 ,7 16) 7、若奇函数()x f 在[]3,1上为增函数，且有最小值0，则它在[]1,3--上（ C ） A .是减函数，有最小值0 B .是增函数，有最小值0 C .是减函数，有最大值0 D .是增函数，有最大值0 8、如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数()H h ≤≤0。 H Ｓ

集合与函数概念复习题

集合与函数概念复习题（一） 一、选择题 1. 方程260x px -+=的解集为M ，方程260x x q +-=的解集为N ，且{2}M N =， 那么p q +=（ ） A. 21 B. 8 C. 6 D. 7 2. 下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A. (),()f x x g x == B. 2()()f x g x == C. 21(),()11 x f x g x x x -==+- D. ()()f x g x ==3. 下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C. 1()1f x x =-+ D. ()f x x =- 4. ()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式一定成立的（ ） A. (0)(6)f f < B. (3)(2)f f > C. (1)(3)f f -< D. (2)(0)f f > 5. 已知函数()f x 是R 上的增函数，(0,1),(3,1)A B -是其图象上的两点，那么(1)1f x +<的解集的补集是（ ） A. (1,2)- B. (1,4) C. (,1)[4,)-∞-+∞ D. (,1)[2,)-∞-+∞ 二、填空题 6. 函数12y x =-的定义域为 . 7. 已知()f x 是偶函数，当0x <时，()(1)f x x x =+，则当0x >时，()f x = . 8. 21, 0,()2, 0, x x f x x x ?+≤=?->?若()10f x =，则x = . 三、解答题 9. 求函数21,[3,5]1 x y x x -=∈+的最小值和最大值.