第二章状态管理和绘制几何物体绘图工具箱
清除窗口
在计算机中，保存图片的内存通常被计算机所绘制的前一幅图像所填满，因此在绘制新场景之前需要把它清除为某种背景颜色。至于应该使用那种背景颜色，则取决于应用程序本身。
我们还必须知道像素颜色是如何存储在称为位平面的图形硬件中的。存储的方式有两种：可以把像素颜色的红、绿、蓝和alpha值直接存储在位平面中；或者可以存储一个颜色索引值，用它来引用颜色查找表中的一个项目。RGBA颜色显示模式更常用一些。
例如，下面这两行代码把一个RGBA模式的窗口清除为黑色：
glClearColor（0.0，0.0，0.0，0.0）；
glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT）;
第一行代码把清除颜色设置为黑色，第二行代码把整个窗口清除为当前的清除颜色GL_COLOR_BUFFER_BIT清除颜色缓冲区
GL_DEPTH_BUFFER_BIT 清除深度缓冲区
GL_ACCUM_BUFFER_BIT清除累积缓冲区
GL_STENCIL_BUFFER_BIT清除模版缓冲区
制定颜色
一般而言，OpenGL程序员首先设置颜色或颜色方案，然后再绘制物体。
为了设置颜色，可以使用glColor3f（）函数。它接受三个参数，它们都是范围在0.0到1.0之间的浮点数，分别表示颜色的红、绿和蓝的成分。
glColor3f（0.0，0.0，0.0）黑色glColor3f（1.0，0.0，0.0）红色
glColor3f（0.0，1.0，0.0）绿色glColor3f（1.0，1.0，0.0）黄色
glColor3f（0.0，0.0，1.0）蓝色glColor3f（1.0，0.0，1.0）洋红色
glColor3f（0.0，1.0，1.0）青色glColor3f（1.0，1.0，1.0）白色
强制完成绘图操作
glFlush（）函数，完成强制绘图操作
坐标系统工具箱
无论是刚打开窗口的时候，还是在以后移动窗口或者改变窗口大小的时候，窗口系统都会发送一个事件来通知你。如果使用的是GLUT，它会自动产生通知，并且在glutReshapeFunc （）中注册的那个函数将会被调用。必须注册一个回调函数，完成下列这些任务：·重新建立一个矩形区域，把它作为新的渲染画布
·定义一个用于绘制物体的坐标系统
void reshape(int w,int h)
{
glViewport(0,0,(GLsizei)w,(GLsizei)h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(0.0,(GLdouble)w,0.0,(GLdouble)h);
}
在系统内部，GLUT向这个函数传递两个参数：width和height，它们表示这个新的（或经过移动的，或改变大小的）窗口的宽度和高度（以像素为单位）。glViewport（）函数调整用于绘图的像素矩形，使它占据整个新窗口。接下来的3行代码调整用于绘图的坐标系统，使左下角的坐标是（0，0），右上角的坐标是（w，h）
描述点、直线和多边形
点
点可以用一组称为顶点的浮点数来表示
直线
直线这个术语表示一段线段，而不是数学意义上在两边无限延伸的直线
多边形
多边形是由单闭合的线段循环包围的区域
矩形
OpenGL提供了填充矩形图元函数glRect*（）
指定顶点
在OpenGL中，所有的几何物体最终都被描述成一组有序的顶点。可以使用glV ertex*（）函数来指定顶点。
OpenGL几何绘图图元
把一组顶点放在一对glBegin（）和glEnd（）之间，传递给glBegin（）的参数决定了由这些顶点所构建的几何图元的类型
GL_POINTS 单个的点
GL_LINES 一对顶点被解释为一条直线段
GL_LINE_STRIP 一系列的连接直线段
GL_LINE_LOOP 和上面相同，但第一个顶点和最后一个顶点彼此相连
GL_TRIANGLES 三个顶点被解释为一个三角形
GL_TRIANGLE_STRIP 三角形的连接串
GL_TRIANGLE_FAN 连接成扇形的三角形系列
GL_QUADS 四个顶点被解释为一个四边形
GL_QUAD_STRIP 四边形的连接串
GL_POLYGON 一个简单的凸多边形的边界
使用glBegin（）和glEnd（）的限制
glV ertex*（）设置顶点坐标
glColor*（）设置RGBA颜色
glIndex*（）设置颜色索引
glSecondaryColor*（）设置纹理应用后的辅助颜色
glNormal*（）设置法线向量坐标
glMaterial*（）设置材料属性
glFogCoord*（）设置雾坐标
glTexCoord*（）设置纹理坐标
glMultiTexCoord*（）为多重纹理设置纹理坐标
glEdgeFlag*（）控制边界的绘制
glArrayElement（）提取顶点数组数据
glEvalCoord*（），glEvalPoint*（）生成坐标
glCallList（），glCallLists（）执行显示列表
基本状态管理器
OpenGL维护许多状态和状态变量，物体在进行渲染时可能会使用光照、纹理、隐藏表面消除、勿以及其他影响物体外观的状态。
在默认情况下，这些状态的大部分一开始是处于不活动状态的。激动这些状态可能会有
较大的开销。但是，图像的指向可以得到明显程度的提高，看上去更有真实感，这归功于增强的图形功能。
为了打开或者关闭这些状态，可以使用下面这两个简单的函数：
V oid glEnable（GLenum cap）；
V oid glDisable（GLenum cap）；
还可以查询一个状态当前是处于打开还是关闭状态
GLboolean glIsEnabled（GLenum capability）
根据被查询的状态当前处于启动还是禁用状态，返回GL_TRUE或GL_FALSE
显示点、直线和多边形
点的细节
为了控制被渲染的点的大小，可以使用glPointSize（）函数，并在参数中提供一个值，表示所希望的点的大小（以像素作为参数）
直线的细节
直线的宽度
glLineWidth（）用于设置直线的宽度，width参数必须大于0.0，在默认情况下是1.0 点画线
为了窗机爱你点画线，可以使用glLineStipple（）函数定义点画线模式，然后用glEnable （）函数启用直线点画线功能：
glLineStipple（1，0x3F07）；
glEnable（GL_LINE_STIPPLE）；
此例中，模式为0x3F07（二进制形式为0011111100000111），它所画出来的直线是这样的：
先是连续绘制3个像素，然后连续5个像素留空，然后再连续绘制6个像素，最后2个像素留空（注意，首先开始的是低位）。如果前一个参数不是1而是2，那么这个模式便扩展为：
绘制6个像素，留空10个像素，绘制12个像素和留空4个像素
多边形的细节
多边形具有两个面：正面和背面。取决于哪一面将面对观察者，它们可能会被渲染成不同的样子。这使观察者能够获得实心物体正反两面截然不同的剖面视图。在默认情况下，多边形的正面和背面是按照相同的方式绘制的。为了更改这个行为，或者只绘制它的轮廓或顶点，可以使用glPolygonMode（）函数。
void glPolygonMode（GLenum face，GLenum mode）；
控制一个多边形的正面和背面的绘图模式，face参数可以是GL_FRONT_AND_BACK、GL_FRONT或GL_BACK。mode参数可以是GL_POINT、GL_LINE或GL_FILL，表示多
边形应该被画成点、轮廓还是填充形式。在默认情况下，多边形的正面和背面都被画成填充形式。
例如，可以通过下面这两个函数调用，把正面画成填充形式，把背面画成轮廓形式：glPolygonMode（GL_FRONT,GL_FILL）；
glPolygonMode（GL_BACK,GL_LINE）；
按照约定，顶点以逆时针顺序出现在屏幕上的多边形称为“正面”
可以使用glFrontFace（）函数，交换OpenGL的正面和背面的概念。
glCullFace（）函数的功能为剔除，其参数为GL_BACK、GL_FRONT或者GL_FRONT_AND_BACK。同时调用参数为GL_CULL_FACE的glEnable（）函数
点画多边形
在默认情况下，填充多边形是一种实心模式绘制的。此外，它们还可以使用一种32位*32位的窗口对齐的点画模式。
可以使用glPolygonStipple（）函数指定多边形点画模式。
除了定义当前多边形点画模式外，还必须启用多边形点画功能：
glEnable（GL_POLYGON_STIOOLE）；
标记多边形的边界边
OpenGL只能够渲染凸多边形，因此，为了绘制凹多边形，通常将它们分解成几个凸多边形。这其中，就涉及到了边界边绘制的问题。
此时，可以使用glEdgeFlag*（）函数手工控制边界标志。
接受两个参数，GL_TRUE则该点为边界边的起点，GL_FALSE则改点不是边界边的起点。
法线向量
glNormal*（）函数，把当前的法线设置为这个函数的参数所传递的值。
glV ertex*（）函数的调用就把当前法线向量分配给它所指定的顶点。每个顶点常常具有不同的法线，因此需要交替调用这两个函数。
由于法线向量只表示方向，因此它的长度是无关紧要的。可以把法线指定为任意长度，但在执行光照计算之前，它的长度会边转换为1.
让OpenGL自动对法线向量进行规范化，可以调用glEnable（GL_NORMALIZE）
如果提供了单位长度的法线，并且只进行了均匀的缩放，可以使用glEnable （GL_RESCALE_NORMAL）用一个i额常量因子对法线进行缩放，使它在变换之后恢复到单位长度。
后者比前者开销小
顶点数组
使用顶点数组对几何图形进行渲染需要3个步骤：
1.激活（启用）最多可达8个的数组，每个用于存储不同类型的数据：顶点坐标、表面法线、RGBA颜色、辅助颜色、颜色索引、雾坐标、纹理坐标以及多边形的边界坐标。
2.把数据放入数组中。数组是通过指向它们的内存位置的指针进行访问的。在客户机-服务器模型中，数据存储在客户机的地址空间中。
3.用这些数据绘制几何图形。OpenGL通过对指针进行解引用，从所有被激活的数组中获取数据。在客户机-服务器模型中，数据被传输到服务器的地址空间中。有3种方式可以完成这个任务：
·访问单独的数组元素（随机存取）
·创建一个单独数组元素的列表（系统存取）
·线性地处理数组元素
步骤1：启用数组
第一个步骤是调用glEnableClientState（）函数，激活被选择的数组。
该函数可以接受如下八个参数：
GL_VERTEX_ARRAY、GL_COLOR_ARRAY、GL_SECONDARY_COLOR_ARRAY、GL_INDEX_ARRAY、GL_NORMAL_ARRAY、GL_FOG_COORDINA TE_ARRAY、GL_TEXTURE_COORD_ARRAY和GL_EDGE_FLAG_ARRAY
步骤2：指定数组的数据
我们可以通过一种简单的方法，用一条命令指定客户空间中的一个数组。共有8个不同的函数可以用来指定数组，每个函数用于指定一个不同类型的数组。另外，还有一个函数可以一次指定客户空间的几个数组，它们均来源于一个混合数组。
glV ertexPointer（）、gl*Pointer（）……
例子为varray.cpp
步骤3：解引用和渲染、
void glArrayElement（GLint ith）
获取当前所有已启用数组的一个顶点（第ith个）的数据。
void glDrawElements（GLenum mode，GLsizei count，GLenum type，void *indices）使用count个元素定义一个几何图元序列，这些元素的索引值保存在indices数组中。Type必须是GL_UNSIGNED_BYTE、GL_UNSIGNED_SHORT或GL_UNSIGNED_INT中的一个，表示indices数组的数据类型。mode参数指定了被构建的是那种类型的图元，它的值和glBegin（）函数所接受的参数值相同。
另外还有glMultiDrawElements（）和glDrawRangeElements（）等函数
利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。 平行投影 平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。 例1 P 是ABC ?内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F 。求证： 1=++CF PF BE PE AD PD . [2] C 图1 证明：如图1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影。P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得， DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC P P AD PD ' ''= ， 同理 BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF ' = ， 所以 1''''''=++=++BC BP BC C P BC P P CF PF BE PE AD PD . 例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）[3] 分析：如图2，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=??NB AN MA CM LC BL 。其逆命题亦成立 。 N B A L'(L) A'C B A M M N A' L C 图2 （1）证明梅涅劳斯定理成立 由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。
如图2(a)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、L 、L '点，则 1''-=??=??LB L A LA CL LC BL NB AN MA CM LC BL .即原命题成立。 （2）证明逆命题成立 证明当BC 、CA 、AB 上三点L 、M 、N 满足1-=??NB AN MA CM LC BL 时，则L 、M 、N 三点共线。 设直线MN 交BC 于L '，如图2(b) ,由已知条件知，1''-=??NB AN MA CM C L BL ， 所以L '与L 重合，故L 、M 、N 三点共线。 三角形仿射等价性 因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。 例3 在ABC ?的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于E ，延长CP 交AB 于F ，求证：EF ∥BC . [4] D 'C ' D B B' 图3 证明：如图3，作仿射变换T ，使得ABC ?对应正C B A '''?，由仿射性质可知，点D 、P 、 E 、 F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''?的中线。 在正C B A '''?中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''， 由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ?中EF ∥BC . 例4 证明G 为ABC ?重心的充要条件是：BGC AGC AGB S S S ???==.[4]
课程名称：初等几何解题研究 课程编码：0702032110 适用专业及层次：数学教育专科生 课程总学时：72 课程总学分： 一、课程的性质、目的与任务 1、本课程的性质：专业课。 2、课程目的与任务： 通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理 论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。并对初等几 何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得 到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。 二、教学内容、教学要求及教学重难点 总论 教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结 构。应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别 组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提 高的原则。 教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养， 重点难点：了解中学几何的逻辑结构 第一章几何题的证明 教学内容： 第一节．几何证明的概述 1.几何证明的一般方法 了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法； 几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法. 2.几何证明的特殊方法 了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、 面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等 第二节正度量关系 1.证两线段相等关系 掌握常用的证明线段相等的方法技巧
2.证两角的相等关系 证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径 3.证线段合角的和差倍分关系 和差倍分的证题方法及常用定理 4.证线段与角的不等关系 掌握证明不等量的常用定理 5.证成比例线段的关系 成比例线段证题方法及常用定理 6.证定值问题 了解两种处理定值问题的方法 第三节证位置关系 1.证两线段平行的关系 掌握证明平行线的方法及常用定理 2.证两直线的垂直关系 掌握垂直线的证法及常用技巧 3.证点的共线关系 共线点的证法，了解梅涅劳定理 4.证线的共点关系 共点线的证法，了解锡瓦定理 5.证点的共圆关系 掌握共圆点的证题方法 6.证圆的共点关系 掌握共点圆的证题方法 教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。 重点、难点：证题法与证题术 其它教学环节：习题课 第二章几何量的计算 教学内容： 第一节线段的度量 了解线段度量的概念 1.线段的长度 了解线段度量的性质 2.度量线段的基本理论 了解度量线段的基本理论 3.线段的公度与不可公度 4.三角形中重要线段的计算 掌握已知三边求中线、高和面积的方法及三角形中一些线段的计算；斯特瓦尔特定理及其应用 第二节角与弧的度量 1.角与弧的度量 了解角与弧的度量的性质 2.圆周长、圆周率
几何变换思想 变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。 1. 初等几何变换的概念。 初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。 (1)平移变换。 将平面上任一点P变换到P′，使得：(1) 射线PP′的方向一定； (2) 线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。 平移变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。 ③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。 在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。 (2)旋转变换。 在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围
收稿日期:2004-11-04 作者简介:秦进,男,贵州务川人,遵义师范学院数学系助教。 用高等几何方法变换初等几何命题 秦 进 (遵义师范学院数学系,贵州遵义 563002) 摘 要:以实例分析了利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题。 关键词:高等几何;方法;变换;初等几何;命题中图分类号:O185.1 文献标识码:C 文章编号:1009-3583(2005)01-0065-03 The variation of E lementary G eometry problem from Higher G eometry Q I N J i n (Department of Mathematices ,Zunyi Normal College ,Zunyi 563002,China ) Abstract :In this paper.We analyse the variation of the elementary geometry problems f rom the thinking ways and riews of the higher geometry and gain come relevant geometrical topics. K ey w ords :Higher G eometry ;variation ;Elementary G eometry. 高等几何作为一门几何课程,有着自身的特殊作用,高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义。利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义。1 利用仿射变换 例1.命题:“正方形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点,且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等” (见图1) .将此命题作一仿射对应,若经仿射对应后的记号 不变,使正方形ABCD 对应平行四边形ABCD ,E 对应E ,F 对应F 。在正方ABCD 中(见图1),显 然有△A ED ≌△CFD ,由于两个多边形面积之比 为仿射不变量,所以在平行四边形ABCD 中,ΔA ED 和ΔCFD 面积相等。于是可得另一命题“平行四边形ABCD 的一组邻边上有E ,F 两点, 且EF ∥AC ,则ΔA ED 和ΔCFD 面积相等” (见图2) . 例2.命题:“从圆上一点E 作EP 垂直于自己直径AB ,P 为垂足,圆在E 处的切线与在A 、B 处切线分别交于C 、D ,则AD 、BC 、EP 共点,且EP 被 交点平分”(见图3)。此命题显然为真,令AD 、BC 交于T ,因为ΔBD T ∽ΔACT ,于是D T/TA =CA/DB ,又CE =CA ,BD =DE ,所以D T/TA =DE/ 6 6第7卷第1期 遵义师范学院学报 Vol.7,No.12005年2月 Jo urnal of Zunyi Normal College Feb.2005
仿射变换在初等几何解题中的应用 …… …… 摘 要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用. 关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何 Abstract: Affine transformation, namely parallel projection, is an important transformation in geometry. It is the bridge from the motion converting to the projective transformation. This article will start with the concept of affine transform, to understand the geometry of affine geometry research by affine transformation invariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship, and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry. Key words ：affine transformation ；affine invariance ；elementary geometry 1 仿射变换的基本概念及相关性质 1.1 仿射变换的概念 定义1.1[1] 设同一平面内有n 条直线1a ，2a ，3a ，…n a ， 1T ，2T ，3T ，…1-n T 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1-n a 到n a 的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，称为1a 到n a 的仿射或仿射变换如图1-1. T =1-n T 122T T T n ????- ，T 称为1T ，2T ，3T ，… 1-n T 按这个顺序的乘积. )(A T = 1-n T 122T T T n ????- )(A = 1-n T )(22A T T n '???- =…=n A ，)(B T =n B 等
几何变换 法则1：若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形，则可尝试找出或作出对称轴，从对称轴上多想主意． 添辅助线的具体方法： （1）若问题中有一点及一直线，可尝试过点作直线的垂线； （2）若问题中有一点及一圆，可试将点与圆心用直线连接起来； （3）若问题中有相交的两直线，可试作它们交角的分角线； （4）若问题中有平行的两直线，可试作一条与它们垂直的直线，或者试作与它们等距的一条平行线； （5）若问题中有一圆及一直线，则可试过圆心作直线的垂线．特别，对于一圆及其一条切线，可试将圆心与切点相连；对于一圆及其中一条弦，可试将圆心与弦的中点连结； （6）若问题中有两个不同的圆，可试作它们的连心线． 1．以O 为圆心的两个同心圆，与一直线顺次交于A 、B 、C 、D 四点，求证： AOB COD ∠=∠． 证明：作OM AD ⊥，垂足为M ，则 AOM DOM ∠=∠，BOM COM ∠=∠ 两式相减，得 AOB COD ∠=∠ 法则2：若问题中的图形或其一部分是一轴对称图形，也可尝试添加一些对称的线条，使图形结构更加完整，从而显示出解题途径． 添辅助线的基本规律： （1）若问题中有一圆O 及其一条弦AB ，可试连半径OA 和OB （两条对称的线段），得到等腰三角形OAB ； （2）若问题中包含两个相交的圆，可试作公共弦（一条关于连心线对称的线段）； （3）若问题中包含两个相切的圆，可尝试过切点作它们的公切线（一条关于连心线对称的直线）．
2．已知正方形ABCD 的边AB 延长线上有一点E ，AD 的延长线上有一点F ，满足AE AF AC ==，若直线EF 交BC 于G ，交CD 于H ，求证：EG GC CH HF ===． 证明（1）：连AC ，则由对称性得GC HC =，EG FH =，再连AG ，并设EF 交AC 于K ，于是△AEK 和△ACB 都是等腰直角三角形，并且由AE AC =，知道 △AEK ≌△ACB 因而，EK CB =，AK AB = 由此推出Rt AKG ≌Rt ABG ，∴GK GB = 由等量相减得GE GC =，因而最后有 EG GC CH HF === 证明（2）：连AC ，由对称性得GC HC =，EG FH =，再连EC ，则由AE AC =，得 ACE AEC ∠=∠，又因45ACB AEF ∠=∠= ，相减得ECG CGE ∠=∠，所以EG GC =， 所以EG GC CH HF === 法则3：若问题中的图形的某一部分关于一直线l 对称，则可尝试对图形适当部分作关于l 的对称变换，将分散的已知条件聚拢起来． 3．证明过△ABC 的垂心H 及其任两个顶点所作的三个圆彼此相等． 证明：如图，作B 点关于直线AH 的对称点G ，连 HG 、AG ，则由对称性得△AHG ≌△A H B ，因而AGH ABH ∠=∠，又90ABH BAE ACH ∠=-∠=∠ ， ∴AGH ACH ∠=∠，因而四点A 、H 、G 、C 共 圆，过A 、H 、B 所作的圆等于过A 、H 、G 所作的圆，因而等于过A 、H 、C 所作的圆，同理它们也等于过H 、B 、C 所作的圆． 4．△ABC 中，AD 是角A 的角平分线，已知 AB AC CD =+，求证：2C B ∠=∠ 证明：在AB 上取AE AC =，则E 点和C 点关于AD 对 A B C D E F H K G A B C D E F H A B C D E
第17卷 第4期乐山师范学院学报 Vol 117N o.42002年8月 Journal of Leshan T eachers College A ug 12002 收稿日期:20020523 作者简介:马志敏(1962),女,四川夹江人,乐山市第一中学中教一级教师. 初等几何中的现代数学思想)))几何变换 马志敏1 陈天柱 2 (11乐山市第一中学数学教研组;21乐山师范学院政法系,四川乐山614000) 摘 要:现代数学思想的贯彻,是现代数学教育的趋势,从几何变换思想在教学中的运用,探讨对中学几何教学的影响. 关键词:中学教学;现代数学;几何变换 中图分类号:G62315 文献标识码:A 文章编号:10098666(2002)04011902 数学教育的现代化,是中学数学教学发展的一个必然趋势,是反映中学数学教学水平的一个重要标志./数学教育现代化首先的意思是数学的思想接近与现代数学,即把中学数学建立在现代数学的思想基础上并且使用现代数学的方法和语言0.从高处着眼,从低处着手,在加深对现代数学思想的理解基础上,运用到数学解题活动中去,这是现代数学教育的一大趋势. 初等几何中的现代数学思想,在教学中渗透最深、应用最多的,首推/几何变换0,它是一种重要的现代几何思想和方法.本文就中学教学中的几何变换思想作几点探讨. 1 几何学的群论原则 111 变换、逆变换和变换群 几何M 自身的一一映射叫变换.若D I M,R I M,由f 将D 一一映射成R,则称在M 上将集合变换成集R.一一映射f 的逆映射f 把集R 变换成集D. 若集M 的变换f:D y R;g:R y Q,则D y Q 的变换5叫f 与g 的乘积(合成). 变换群:设E 是集M 的一变换所组成的结合,如果E 中每两个变换的乘积仍在E 中,又每个变换的逆变换也在E 中,E 就称M 的一个变换 群.M 上的两个变换群M 1和M 2,若M 2中所有变换都在M 1中,则称M 2为M <1的变换子群.112 集合学的群论原则 历史上,集合变换群的思想对几何学的研究又过重影响.1872年,克莱因(F #Klein)在题为5近代几何研究的比较评述6的演讲中,提出了用变换观点来看待几何学可,后来一/Erlanger rro -g ramm 0(爱尔兰根纲领)之称闻名于世./克莱因的基本观点是,每中几何都由变换群所刻画,并且每中几何所要做的实际上就是在这个变换群下考虑其不变量,再者一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一族不变量.在此定义下相应给定变换群的几何的所有定理仍然是子群几何中的定理.0 [2] 这就是常称的/几何学的群论原则0. 113 群论原则评述 这种对所研究的几何图形的性质本身的新的处理方法,把几何看成是变换群下的变换量的学问,就可以容易地得出:对应于各种变换群可能存在的各种几何,以及各种几何在群下统一.这一深刻的思想不仅在几何学而且在整个数学中都有深远的指导意义.中学的解题活动,实质上都是保持一定不变关系下的变,是闻名发挥主观能动性,进行创造性活动的广阔天地.在不变中有变,有变中又有不变性,是闻名常需要在变换中寻找不变量, 119
初等几何变换在中学数学中的应用 1 引言 几何起源于我们的生活，变换是解决几何问题很好的方法．“变换”包括平面几何图形的几种变换：平移、旋转、对称、位似、相似、全等、仿射、射影变换等．几何变换是将几何图形按照某种法则或规律变成另一种几何图形的过程．它对于几何学的研究有重要作用．如果某种几何变换的全体组成一个“群”，就有相应的几何学，而讨论在某种几何变换群下图形保持不变的性质与不变量，就是相应几何学的主要内容．例如，研究图形在全等变换群下的不变性与不变量，就是欧几里得几何学的主要内容．几何变换为用近代数学方法讨论初等几何提供了广阔的前景．几何变换还在绘图、力学、机械结构的设计、航空摄影测量、电路网络等方面有广泛的应用．通过对初等几何变换的学习和应用，可以培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，从而提高了学生的逻辑思维能力．在中学数学的学习中只应用到了初等几何变换．初等几何变换主要包括全等变换，相似变换，反演变换． 2 全等变换及应用 定义2.1 [2](80)P 平面到其自身的变换，如果对于该平面上的任意两点A 、B 和它们的像'A ，'B 总有''A B =AB ．则这个变换叫做全等变换，或叫做合同变换．在全等变换下两点之间的距离是不变量．由全等变换得到的图形与原图形相等． 在平面内存在两种全等变换，第一种叫做正常全等变换，它把一个图形变成与它正常全等的图形，所谓正常全等图形是指两个全等图形上每两个对应三角形有同一方向，并且每两个对应的有向角有同一方向．第二种叫做反常全等变换，它把一个图形变成与它反常全等的图形，即对于两个全等的图形上每两个对应三角形有相反的方向，并且每两个对应的有向角有相反的方向．类似地，空间也有正常全等变换和反常全等变换． 全等变换存在逆变换、恒等变换．接连施行两次全等变换的积仍是全等变换，所以全等变换的全体组成“群”，叫做全等变换群，也叫做刚体变换群或运动群．平移、旋转、反射都是特殊的全等变换． 2.1 平移变换及应用 定义2.2[2](96)P 如果在平面内任意一点P 按给定方向变到'P 时，并且线段' PP 有给定的长度，这种平面到其自身的映射叫做平移变换．显然，平移变换下连接各对应点的线段互相平行且相等，
江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导：初等几何变换（一） 基础知识： 平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定： 初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几 何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。 一、 平移变换 1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得'=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。记为X ??→?) PQ (T X'，图形F ??→?) PQ (T F' 。 2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换 1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为 X ?→?)l (S X'，图形F ?→?) l (S F' 。 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于 对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 例题： 【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。 求证：∠PBA=∠PDA 。 【例2】如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。
初等几何变换（一） 主讲：刘汉斌 基础知识： 平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。 一、 平移变换 1． 定义 设是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上 任一点X 变到X'，使得=，则T 叫做沿有向线段的平移变换。记为X ??→?)PQ (T X'， 图形F ??→?)PQ (T F' 。 2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换 1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为 X ?→?)l (S X'，图形F ?→?)l (S F' 。 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于 对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 例题： 【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。 求证：∠PBA=∠PDA 。 【例2】如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。 求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<3
文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持. - 1 -格式已调整，word 版本可编辑. 江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 初等几何变换（一） 基础知识： 平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。1989年中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M 到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。 一、 平移变换 1． 定义 设PQ 是一条给定的有向线段，T 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得'XX =PQ ，则T 叫做沿有向线段PQ 的平移变换。记为X ??→?) PQ (T X'，图形F ??→?) PQ (T F' 。 2．主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换 1． 定义 设l 是一条给定的直线，S 是平面上的一个变换，它把平面图形F 上任一点X 变到X'，使得X 与X'关于直线l 对称，则S 叫做以l 为对称轴的轴对称变换。记为X ?→?)l (S X'，图形F ?→?) l (S F' 。 2． 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 例题： 【例1】 P 是平行四边形ABCD 内一点，且∠PAB=∠PCB 。 求证：∠PBA=∠PDA 。 【例2】如图左：线段AA ′,BB ′,CC ′交于点O ，AA'=BB'=CC'=2，∠AOB'=∠BOC'=60°。 求证：Ｓ△AOB'+Ｓ△BOC'+Ｓ△COA'<3 【例3】 在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 【例4】 P 是⊙O 的弦AB 的中点，过P 点引⊙O 的两弦CD 、EF ，连结DE 交AB 于M ，连结CF 交AB 于N 。求证：MP=NP 。（蝴蝶定理） 【例5】⊙O 是给定锐角∠ACB 内一个定圆，试在⊙O 及射线CA 、CB 上各求一点P 、Q 、R ，使得△PQR 的周长为最小 【例6】△ABC 中，∠A ≥90°，AD ⊥BC 于D ，△PQR 是它的任一内接三角形。求证：PQ+QR+RP>2AD 。 B'B O A' C A C'B'B O P A' C A Q R C'图2 O A C B D F E C' A'O A C B D O A C B D F E C' A'G 图3 O B A P D F C E N M H G F'O B A P D F C E N M 图4 图6 A B C D P Q R P' A B C D P Q R
仿射变换的性质及其在解初等几何问题中的应用 摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过度到射影变换的重要桥梁，本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用。 关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何 Abstract : Affine transformation , namely parallcl projection , is an important transformation in geometry . It is the bridge from the motion converting to the projective transformation . This article will start with the concept of affine transform , to understand the geometry of affine geometry rescarch by affine transformation incariant properties and constant relationship between the number after the deformed shape and positional relationship , and discussed some applications of affine transformation in elementary geometry. Key words : affine transformation ; affine invariance ; elementary geometry 1 仿射变换的基本概念及相关性质 1.1 仿射变换的概念 几何对象在绘制以前，需要经过一系列的变换。在计算机图形学里一般使用的一类几何变换，称作仿射变换(affine transform)。仿射变换是空间直角坐标变换的一种，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，仿射变换保留线的平行性质。维持任意两点距离不变的仿射变换，也称为等距变换(isometry)，欧几里得运动(Euclidean motion)或刚体运动(rigid motion)。其可以通过一系列的原子变换的复合来实现，常见的仿射变换包括：平移、旋转、反射、缩放、错切。 此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：[x'] [m00 m01 m02] [x] [m00*x+m01*y+m02] [y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12] [1 ] [ 0 0 1 ] [1] [ 1 ] 用代数式表示如下： x’ = m00*x+m01*y+m02； y’ = m10*x+m11*y+m12； 如果将它写成按旋转、缩放、平移三个分量的复合形式，则其代数式如下： 几种典型的仿射变换： 1.平移变换是一种“刚体变换”，中学学过的物理，都知道什么叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。
小学数学思想方法的梳理（几何变换思想） 课程教材研究所王永春 六、几何变换思想 变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式的恒等变换、几何中有图形的变换。在初等几何中，图形变换是一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中能够收到意想不到的效果。 1. 初等几何变换的概念。 初等几何变换是关于平面图形在同一个平面内的变换，在中小学教材中出现的相似变换、合同变换等都属于初等几何变换。合同变换实际上就是相似比为1的相似变换，是特殊的相似变换。合同变换也叫保距变换，分为平移、旋转和反射(轴对称)变换等。 (1)平移变换。 将平面上任一点P变换到P′，使得：(1) 射线PP′的方向一定；(2) 线段PP′的长度一定，则称这种变换为平移变换。也就是说一个图形与经过平移变换后的图形上的任意一对对应点的连线相互平行且相等。 平移变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在平移变换下两点之间的方向保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ∥Ａ′Ｂ′。 ③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。 在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。 (2)旋转变换。 在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。在旋转变换下，图形的方位可能有变化。 旋转变换有以下一些性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角等于θ。 ③在旋转变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。 在解决几何问题时，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但通过改变其位置，组合成新的图形，便于计算和证明。 (3)反射变换。 在同一平面内，若存在一条定直线Ｌ，使对于平面上的任一点P及其对应点P′，其连线P P′的中垂线都是Ｌ，则称这种变换为反射变换，也就是常说的轴对称，定直线Ｌ称为对称轴，也叫反射轴。 轴对称有如下性质： ①把图形变为与之全等的图形，因而面积和周长不变。 ②在反射变换下，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有直线ＡＢ和直线Ａ′Ｂ′所成的角的平分线为Ｌ。 ③两点之间的距离保持不变，任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。
初等几何变换.度量与计算 数学是研究空间形式和数量关系的学科，在初等几何课程里，着两方面的内容特别明显。 1 关于数学证明 直观和推理实物是最好的教具，其次是模型，在其次是图形，但实物很难要有就有，因此，图形在教学上起重要作用。几何图形的直观能化抽象为具体，往往是启发抽象思维的有力工具，但图形无论画的如何准确，也无法替代逻辑思维。所以，尽管直观和实验对我们获得感性认识起重要作用，证明命题还主要靠逻辑推理。 2关于命题证明定义，公理，定理，都是命题。命题由两部分组成，第一部分称前提或假设，第二部分称结论。 前提不能互相矛盾，否则命题毫无意义。 命题不一定是真的，即不一定成立。真命题称为定理。 所谓数学证明，实际上是由假设经过推理以得出结论。为了解决证明源头正确与否的困境，古希腊的哲学家把原始的依据称为公设或公理，约定承认其正确，称之为自明之理，欧几里得的第五公设就不是自明的。 证命题时，一定要确切理解题意，给了我们什么条件，要我们得出什么结论，并在初学时就要求学会简洁，明白的写出。命题的四种变化 （1）原命题：若P则Q,
（2）逆命题：若Q则P, （3）否命题：若P则Q， （4）逆否命题：若Q则P，其中P，Q为P,Q的反面。 例（1）原命题：平行四边形的两条对角线互相平分。 （2）逆命题：若四边形的两条对角线互相平分，那么它是平行四边形。 （3）否命题：若四边形不是平行四边形，那么它的两条对角线不互相平分。 （4）逆否命题：若四边形的两条对角线不互相平分，那么它不是平行四边形。 四种命题的关系，图示如下 互逆 互否互否 四种命题的真假关系：互为逆否的两命题，真则同真，假则同假。 3 充分条件，必要条件，充要条件 一般而言，在定理 P Q 中，条件P称为性质Q的充分条件，有了P便保证有Q；Q称为P的必要条件，没有Q,P就不成立。 如果原命题和逆命题同时成立：
初中数学解题技巧：几何变换法初中数学解题技巧：几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。 10、客观性题的解题方法 选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下
面通过实例介绍常用方法。 （1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 （2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。 （3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 （4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注