题型一电场力做功的计算
例1 如图所示，在场强为E的水平匀强电场中，，一根长为L的绝缘杆，两端分别固定着带有电量+q和-q的小球（大小不计），现在让绝缘杆绕中心点O逆时针转动α角，则转动中带点小球克服电场力做功为
拓展1 在直角三角形ABC中，C＝30°，D为斜边AC的中点，在顶点A处有一点电荷＋Q，试探电荷q由B移至C 电场力做功W1，由B移至D电场力做功W2，由D移至C电场力做功W3.关于W1、W2、W3的关系正确的是() AW1＝W2＋W3 B.W1＝W2 C.W1＝W3 D.W2＝W1＋W3
题型二电场力做功与电势能的关系
例1 将带电量为6*10^-6C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服电场力做了3*10^-5C的功，再从B移到C，电场力做了1*10^-8C的功。
电荷从A移到B，再从B移到C的过程中电势能共改变了多少？
（2）如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
（3）如果规定B点的电势能为零，则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少?
拓展1 如图所示，在真空中有两个等量的正电荷q1、q2，分别固定于A、B两点，DC为A、B
连线的中垂线，现将一正电荷q3由C点沿CD移至无穷远的过程中，下列结论中正确的是（）
q的电势能逐渐减小B．q的电势能逐渐增大
C．q3受到的电场力逐渐减小 D.q受到的电场力先增大后减小
例2 如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度飞出a、b两个带电粒
子，a,b的运动轨迹如图中的虚线所示，a,b仅受电场力作用，则下列说法正确的是（）
A．a一定带正电，b一定带负电B．电场力对a做正功，对b做负功
C．a的电势能减小，b的电势能增加D．A的加速度将减小，b的加速度将增大拓展1 实线是
3 一簇未标明方向的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b
是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是
（）
带电粒子在a、b两点的电势何处较大
B．带电粒子在a、b两点的受力方向C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大
剖析与电场力做功和电势能变化相关的两类问题
例1 如图所示，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个负检验电荷在这个电场中的轨迹，若电荷是从a 处运动到b 处，以下判断正确的是：（ ）
电荷从a 到b ，运动的加速度变小 B.电荷从a 到b ，运动的加速度增大 C.电荷在b 处的电势能大 D.电荷在b 处的速度小
例2 一带电油滴在匀强电场E 中的运动轨迹如图中虚线表示，电场方向竖直向下，若不计空气阻
力，则此带电油滴从运动到的过程中，能量变化情况为（ ） A ．动能减少 B ．电势能增加
C ．动能和电势能之和减少
D ．重力势能和电势能之和增加
动向一 考查电场力做功和动能定理的综合应用
例1在竖直向下，场强为E 的匀强电场中，长为l 的绝缘轻杆可绕固定轴O 在竖直面内无摩擦转动，两个小球A 、B 固定于杆的两端，A 、B 的质量分别为m1和m2（m1＜m2），A 带负电，电量为q1，B 带正电，电量为q2．杆从静止开始由水平位置转到竖直位置，在此过程中电场力做功__________.在竖直位置处两球的总动能为_______________________
动向二 综合考查电场力做功与电势能的变化
例1带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M 和N 是轨迹上的两点，其中M 点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ ）
A ．粒子在M 点的速率最大
B ．粒子所受电场力沿电场方向
C ．粒子在电场中的加速度不变
D ．粒子在电场中的电势能始终在增加
例 2 在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块．由静止释放后，两个物块向相反方向运动，并最终停止．在物块的运动过程中，下列表述正确的是（ ） 两个物块的电势能逐渐减少 B. 物块受到的库仑力不做功
C.两个物块的机械能守恒
D. 物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力
例3 粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O 点处有一正点电荷，带负电的小物体以初速度V1从M 点沿斜面上滑，到达N 点时速度为零，然后下滑回到M 点，此时速度为V2（V2＜V1）．若小物体电荷量保持不变，OM=ON ，则（ ）
A 小物体上升的最大高度为2221V V /4g B.从N 到M 的过程中，小物体的电势能逐渐减小
C.从M 到N 的过程中，电场力对小物体先做负功后做正功
D.从N 到M 的过程中，小物体受到的摩擦力和电场力均是先增大后减小
题型一 对电势的理解
例1 某静电场的电场线分布如图所示，P 、Q 为电场中的两点。则下列说法正确的是（ ）
A.P 点电势一定高于Q 点电势 B ．P 点场强一定小于Q 点场强 C ．负电荷在P 点的电势能大于在Q 点的电势能
D．若将一试探电荷+q由P点释放，它将沿电场线运动到Q点
拓展1 下列说法正确的是（）
A.电荷放在电势高的地方，电势能就大
B.无论正电荷还是负电荷，克服电场力做功它的电势能都增大
C.正电荷在电场中某点的电势能，一定大于负电荷在该点具有电势能
D.电场强度为零的点，电势能一定为零
题型二
例1 如图中K、L、M为静电场中的三个相距很近的等势面（K、M之间无电荷）．一带电粒子射入此静电场中后，依a→b→c→d→e轨迹运动．已知电势UK＜UL＜UM．下列说法中正确的是（）
A.粒子带负电
B.粒子在bc段做减速运动
C.粒子在b点与d点的速率相等
D.粒子在c点时电势能最小
拓展1 在点电荷+Q形成的电场中有一个带正电的粒子通过，其运动轨迹如图中实线所示，虚线表示
电场的两个等势面，则（）
?AEkb B.等势面电势?A>?B，粒子动能Eka>Ekb
A.等势面电势
?A>?B，粒子动能Eka>Ekb D.等势面电势?A
C.等势面电势
剖析两个等量点电荷形成的电场的电势分布特点
例1 如图所示，在矩形ABCD的AD边和BC边的中点M和N各放一个点电荷，它们分别带等量的异种电荷．E、F 分别是AB边和CD边的中点，P、Q两点在MN的连线上，且MP=QN．在图中，电场强度相同、电势相等的两点是（）
A.E和F
B.P和Q
C. A和B
D.C和D
例2 有两个电量相等的正点电荷,它们连线的中点是O,C.D是中垂线上的两点，则C.D两点的场强和电势的大小关系为（）
?d一定大于?c B.Ed不一定大于Ec,?d一定大于?c
Ed一定大于Ec，
?d不一定大于?c D.Ed不一定大于Ec,?d不一定大于?
C.Ed一定大于Ec,
动向一考查对电势和等势面的基本理解
1关于静电场，下列说法正确的是（）
A.电势等于零的物体一定不带电
B. 电场强度为零的点，电势一定为零
C. 同一电场线上的各点，电势一定相等
D. 负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
?a、?b，则例2 三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为
( )
?a＞?b B．Ea＜Eb，?a＜?b C．Ea＞Eb，?a＜?b D．Ea＜Eb，?a＞?b
A．Ea＞Eb，
例3 空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示．下列
说法正确的是
A.O点的电势最低B．x2点的电势最高
C．x1和-x1两点的电势相等D．x1和x3两点的电势相等
例4 两个等量异种点电荷位于x轴上，相对原点对称分布，正确描述电势随位置x变化规律的是图（）
A B
动向二考查电场中电势和功能关系的综合应用
例1 一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，
图中左侧前三个等势面平行，不计粒子的重力．下列说法正确的有（）
粒子带负电荷 B.粒子的加速度先不变后变小
C.粒子的速度不断增大
D.粒子的电势能先减小后增大
2某电场的电场线分布如图所示，以下说法正确的是（）
A.c点场强大于b点场强
B.a点电势小于b点电势
C.若将一试探电荷+q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
D.若在d点再固定一点电荷-Q，然后将一试探电荷+q由a移至b的过程中，电势能减小
题型一应用U=Ed进行定性分析
例1 如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB=BC，电场中的A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的是（）
φA＜φB＜φC B．EC＜EB＜EA
C．UAB＜UBC D．UAB=UBC
?a=50V,?c=20V.则a,c
拓展1 如图所示，实线为某一电场的电场线，虚线为该电场的等势面，
?为（）
连线的中点B的电势
A．等于35V B．高于35V C．低于35V D．等于15V
题型二带电粒子在电场中的偏转
例1一束电子流经U=5000V的加速电压后，在距两极板等距离外垂直进入平行板间的匀强电场，若两板间距d=1.0cm，板长l=5.0cm。那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最大能加多大电压？
拓展1 两块板长均为L的平行金属板正对放置,相距d,极板间电势差为U,为匀强电场,一个a粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两级板之间，到达负极板时恰好落在板极中心，已知质子电荷量为e，质子和中子的质量均视为m，忽视重力和空气阻力的影响；
求（1）两极板间的场强大小
（2）a粒子的初速度v0
求静电场中“电势”的技巧
?a=4V,?b=-1V，?c=2V 且电场方向与ABC所在平面例1 A，B，C为匀强电场中的三个点,已知这三点的电势分别为
平行，试在图中画出电势为2V的等势面及一条电场线。
例2 A、B两板相距30cm，电源电压为60V，若B板接地，A板的电势为多大？若C点离A板10cm，则C点电势多大？
揭秘新高考
动向一考查电场强度和电势差的关系
例1 在xOy平面内有一个以O为圆心，半径R=0.1m的圆，P为圆周上的一点，O，P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E=100V/m，则O、P两点的电势差可表示为（)
A．U op=-10sinθ（V） B．U op=10sinθ（V）
C．U op=-10cosθ（V） D．U op=10cosθ（V）
动向二考查电场强度、电势差、电场力做功和电势能的综合应用
例1 如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a与c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是（）
b点场强大于d点场强B．b点场强小于d点场强
C．a、b两点的电势差等于b、c两点间的电势差
D．试探电荷+q在a点的电势能小于在c点的电势能
动向三考查示波管的工作原理
动向四考查带电粒子在电场中的运动
例2 如图所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是( )
A、0 B、 C、 D、T 题型一对电容器和电容的理解 例1 一个电容器，当所带电荷量为Q时，两极板间的电势差为U如果所带电荷量增大为2Q，则( ) 电容器电容增大为原来的2倍，两极板间电势差保持不变 B.电容器电容减小为原来的1/2，两极板间的电势差保持不变 C.电容器电容保持不变，两极板间电势差增大为原来的2倍 D.电容器电容保持不变，两极板间电势差减小为原来的1/2 拓展1 关于电容器的电容，下列说法正确的是（） A.电容器所带的电荷越多，电容就越大B．电容器两极板间的电压越高，电容就越大 C．电容器所带电荷增加一倍，电容就增加一倍D．电容是描述电容器容纳电荷本领的物理量 题型二平行板电容器的动态变化问题分析 例1 如图所示，先接通S使电容器充电，然后断开S．当增大两极板间距离时，电容器所带电荷量Q、电容C、两板间电势差U，电容器两极板间场强E的变化情况是（） Q变小，C不变，U不变，E变小B．Q变小，C变小，U不变，E不变 C．Q不变，C变小，U变大，E不变D．Q不变，C变小，U变小，E变小 拓展1 一平行板电容器充电后与电源断开如图所示，负极板接地，在两极板间有一正电荷（电量很小）固定在P点，以U表示两级板间的电压、E表示极板间的场强、Ep表示电荷在P点的电势能，并令负极板保持不动，而将正极板移到图中虚线所示的位置，则（） U减小，E不变 B.E变大，Ep不变 C.U增大，Ep不变 D.U不变，Ep不变 例1 板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为E1。现将电容器所带电荷 量变为2Q，板间距离为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间场强为E2，下列说法正确的是（）U2=U1，E2=E1 B．U2=2U1，E2=4E1 C．U2=U1，E2=2E1 D．U2=2U1，E2=2E1 例2 一平行板电容器两极板间距为d、极板面积为S，电容为C，其中εo是常量．对此电容器充电后断开电源．当增加两板间距时，电容器极板间（） A.电场强度不变，电势差变大B．电场强度不变，电势差不变 C．电场强度减小，电势差不变D．电场强度较小，电势差减小 动向二考查平行板电容器与静电计 例1 用控制变量法，可以研究影响平行板电容器电容的因素，如图所示．设两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ．实验中，极板所带电荷量不变，下列判断中正确的是（） A.保持S不变，增大d，则θ变小B．保持S不变，增大d，则θ变大 C．保持d不变，减小S，则θ变大D．保持d不变，减小S，则θ变小 动向三考查电容器的实际应用问题 某电容式话筒的原理示意图如图所示，E为电源，R为电阻，薄片P和Q为两金属基板．对着话 筒说话时，P振动而Q可视为不动．在P、Q间距增大过程中（） P、Q购车的电容器的电容增大B．P上电荷量保持不变 C．M点的电势比N点的低D．M点的电势比N点的高 例2 平行板电容器与电动势为E的直流电源（内阻不记）连接，下极板接地，一带电油滴位于电 容器的P点且恰好处于平衡状态（P在两极板中间），现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离，则 A.带电油滴将沿竖直方向向上运动 B.P点的电势能将降低 C.带电油滴的电势能将减少 D.若电容器的电容减小，则极板的带电量将增大 10.质量为m=1.0kg、带电量q=+2.5×10－4C的小滑块(可视为质点)放在质量为M=2.0kg的绝缘长木板的左端，木板放在光滑水平面上，滑块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.2，木板长L=1.5m，开始时两者都处于静止状态，所在空间加有一个方向竖直向下强度为E=4.0×104N/C的匀强电场，如图所示.取g=10m/s2，试求: (1)用水平力F0拉小滑块，要使小滑块与木板以相同的速度一起运动，力F0应满足什么条件？ (2)用水平恒力F拉小滑块向木板的右端运动，在1.0s末使滑块从木板右端滑出，力F应为多大？ (3)按第(2)问的力F作用，在小滑块刚刚从木板右端滑出时，系统的内能增加了多少？(设m与M之间最大静摩擦力与它们之间的滑动摩擦力大小相等，滑块在运动中带电量不变) F M m 11.如图所示，在绝缘水平面上，相距为L 的A 、B 两点处分别固定着两个等量正电荷.a 、b 是AB 连线上两点，其中Aa =Bb = 4 L ,O 为AB 连线的中点.一质量为m 带电量为+q 的小滑块(可视为质点)以初动能E 0从a 点出发，沿AB 直线向b 运动，其中小滑块第一次经过O 点时的动能为初动能的n 倍(n >1)，到达b 点时动能恰好为零，小滑块最终停在O 点，求： (1)小滑块与水平面间的动摩擦因数μ. (2)Ob 两点间的电势差U ob . (3)小滑块运动的总路程S . 12.如图所示，一矩形绝缘木板放在光滑水平面上，另一质量为m 、带电量为q 的小物块沿木板上表面以某一初速度从A 端沿水平方向滑入，木板周围空间存在足够大、方向竖直向下的匀强电场．已知物块与木板间有摩擦，物块沿木板运动到B 端恰好相对静止．若将匀强电场的方向改为竖直向上，大小不变，且物块仍以原初速度沿木板上表面从A 端滑入，结果物块运动到木板中点时相对静止．求： ⑴物块所带电荷的性质． ⑵匀强电场场强的大小． 13．下图是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形成匀强电场。分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a 、b 两种颗粒从漏斗出口下落时，a 种颗粒带上正电，b 种颗粒带上负电。经分选电场后，a 、b 两种颗粒分别落到水平传送带A 、B 上。 已知两板间距d =0.1m ，板的长度l =0.5m ，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为1×10 －5 C/kg 。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度g 取10m/s 2。 （1）左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？ （2）若两带电平行板的下端距传送带A 、B 的高度H =0.3m ，颗粒落至传送带时的速 度大小是多少？ （3）设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半。写出颗粒第n 次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒反 A O b a B E O 弹的高度小于0.01m。 14．如图所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。 （1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。 （2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。 （3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n （n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处 离开（D不随电场移动），求在电场I区域内 由静止释放电子的所有位置。 变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020 变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2 正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少 图3 答案：。 二、图象法 电场力做功常用计算方法 令狐文艳 电场力做功的计算是将电、力以及能量等相关知识点综合在一起来考查的，因此在高考中常常出现。同时由于涉及到的知识点比较多，常常令我们感觉有些难度，见了就害怕。其实对于这类题目虽然计算方法很多，但只要我们进行归纳总结，找出这些方法的基本思路和共同点，解题时就有了头绪。知道如何着手解题，做起来就容易多了。 解决电场力做功的问题我们必须认识到这是涉及“电场”、“力”、“功”三个方面的问题，因此这类题目我们就可以依据这三个方面的特点来解题。下面我们就根据这些特点总结出常用的几种计算电场力做功的方法。 方法及特点 根据功与力的关系和功与能的关系，可以将功 的计算转化为对力或能量的计算。在知道电场的主要参数后电场力和电势能都很容易计算出来，因此问题就能够解决。下面我们来看看具体的方法和它们的特点： 1、 利用功的定义计算：W FScos θ= 由于力F 是电场力，因此可以用F qE =计算，故有W qEScos θ=。在中学阶段由于数学限制，式中F 必须为恒力，即E 不变才可以计算，故该方法仅在匀强电场中适用。 2、 利用公式AB AB W qU =计算。电荷q 从A 点运动 到B 点，电势为变化AB U ，则电场力做功可 以用上式求解。对于匀强电场还可使用W qEd =。 3、 根据“功是能量改变的量度”使用公式 W ε=-?计算，其意义为电场力做功等于电势能的减小量，在一直电荷电势能时使用这种方法较为简便。 4、 利用动能定理进行计算。知道电荷动能的改 变量，减去除电场力之外的力所做的功即可 得到。这种方法在知道粒子在电场中的运动 状态时使用较好。 依据题目的特点选取适当的方法解题，问题就很容易解决，下面我们来看看解题的思路。 经典体验（1） 如图，地面上方有匀强电场， 取场中一点O为圆心在竖直面 内作半径为R=0.1m的圆，圆 平面与电场方向平行。在O点 固定电量Q=5×10-4C的负点电荷，将 质量为m=3g，电量为q=2×10-10C的 带电小球放在圆周上的a点时，它恰 好静止。若让带电小球从a点缓慢移 至圆周最高点b时，外力需作多少 功？ 体验思路：要求外力做功，由于在整个过程中 外力未知，故不能使用功的定义来 五种方法搞定变力做功 一.微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w ?=来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大 小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解； 但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直 线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做 的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1 把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一 段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别 为 ， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 二、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值2 21F F F +=，再由αc o s L F W =计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运 动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则 小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．02 1x F m C ．04x F m π D ．204 x π 【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为 04m F x π．C 答案正确． 图2 三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体， 物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系 一定是： A ．E K B -E KA =E K C -E KB B ．E KB -E KA 、静电学 1.两种电荷、电荷守恒定律、元电荷：(e＝1.60×10-19C）；带电体电荷量等于元电荷的整数倍 2.库仑定律：F＝kQ1Q2/r2（在真空中）｛F:点电荷间的作用力(N)，k:静电力常量k＝9.0×109N?m2/C2，Q1、Q2:两点电荷的电量(C)，r:两点电荷间的距离(m)，方向在它们的连线上，作用力与反作用力，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引｝ 3.电场强度：E＝F/q（定义式、计算式)｛E:电场强度(N/C)，是矢量（电场的叠加原理），q：检验电荷的电量(C)｝ 4.真空点（源）电荷形成的电场E＝kQ/r2 ｛r：源电荷到该位置的距离（m），Q：源电荷的电量｝ 5.匀强电场的场强E＝UAB/d ｛UAB:AB两点间的电压(V)，d:AB两点在场强方向的距离(m)｝ 6.电场力：F＝qE ｛F:电场力(N)，q:受到电场力的电荷的电量(C)，E:电场强度(N/C)｝ 7.电势与电势差：UAB＝φA-φB，UAB＝WAB/q＝-ΔEAB/q 8.电场力做功：WAB＝qUAB＝Eqd｛WAB:带电体由A到B时电场力所做的功(J)，q:带电量(C)，UAB:电场中A、B两点间的电势差(V)(电场力做功与路径无关),E:匀强电场强度,d:两点沿场强方向的距离(m)｝ 9.电势能：EA＝qφA ｛EA:带电体在A点的电势能(J)，q:电量(C)，φA:A点的电势(V)｝ 10.电势能的变化ΔEAB＝EB-EA ｛带电体在电场中从A位置到B位置时电势能的差值｝ 11.电场力做功与电势能变化ΔEAB＝-WAB＝-qUAB (电势能的增量等于电场力做功的负值) 12.电容C＝Q/U(定义式,计算式) ｛C:电容(F)，Q:电量(C)，U:电压(两极板电势差)(V)｝ 13.平行板电容器的电容C＝εS/4πkd（S:两极板正对面积，d:两极板间的垂直距离，ω：介电常数） 常见电容器〔见第二册P111〕 14.带电粒子在电场中的加速(V o＝0)：W＝ΔEK或qU＝mVt2/2，Vt＝(2qU/m)1/2 15.带电粒子沿垂直电场方向以速度Vo进入匀强电场时的偏转(不考虑重力作用的情况下) 类似平抛运动平行电场方向:初速度为零的匀加速直线运动d＝at2/2，a＝F/m＝qE/m 垂直电场方向:匀速直线运动L＝Vot(在带等量异种电荷的平行极板中：E＝U/d) 二、恒定电流 1.电流强度：I＝q/t｛I:电流强度(A），q:在时间t内通过导体横载面的电量(C），t:时间(s）｝ 2.欧姆定律：I＝U/R ｛I:导体电流强度(A)，U:导体两端电压(V)，R:导体阻值(Ω)｝ 3.电阻、电阻定律：R＝ρL/S｛ρ:电阻率(Ω?m)，L:导体的长度(m)，S:导体横截面积(m2)｝ 4.闭合电路欧姆定律：I＝E/(r+R)或E＝Ir+IR也可以是E＝U内+U外 ｛I:电路中的总电流(A)，E:电源电动势(V)，R:外电路电阻(Ω)，r:电源内阻(Ω)｝ 5.电功与电功率：W＝UIt，P＝UI｛W:电功(J)，U:电压(V)，I:电流(A)，t:时间(s)，P:电功率(W)｝ 6.焦耳定律：Q＝I2Rt｛Q:电热(J)，I:通过导体的电流(A)，R:导体的电阻值(Ω)，t:通电时间(s)｝ 7.纯电阻电路中:由于I＝U/R,W＝Q，因此W＝Q＝UIt＝I2Rt＝U2t/R 8.电源总动率、电源输出功率、电源效率：P总＝IE，P出＝IU，η＝P出/P总｛I:电路总电流(A)，E:电源电动势(V)，U:路端电压(V)，η：电源效率｝ 9.电路的串/并联串联电路(P、U与R成正比) 并联电路(P、I与R成反比) 电阻关系R串＝R1+R2+R3+ 1/R并＝1/R1+1/R2+1/R3+ 电流关系I总＝I1＝I2＝I3 I并＝I1+I2+I3+ 电压关系U总＝U1+U2+U3+ U总＝U1＝U2＝U3 功率分配P总＝P1+P2+P3+ P总＝P1+P2+P3+ 三、磁场 1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T＝1N/A?m 2.安培力F＝BIL；(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)} 3.洛仑兹力f＝qVB(注V⊥B);质谱仪〔见第二册P155〕｛f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝ 科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W ＝Fl cos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等． 一、求解变力做功的几种方法 法1.用公式W ＝F － l cos α求变力做功 如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F －＝F 1＋F 2 2来计 算变力做功，其中F 1为物体初状态时受到的力，F 2为物体末状态时受到的力． 【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d ，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( ) A ．(3－1)d B ．(2－1)d C. 5－1d 2 D. 22 d 【解析】 根据题意可得W ＝F －1d ＝kd 2d ，W ＝F － 2d ′＝kd ＋k d ＋d ′2 d ′，联立解得d ′ ＝(2－1)d (d ′＝－(2＋1)d 不符合实际，舍去)，故选项B 正确． 【答案】 B 法2.用图象法求变力做功 在F - x 图象中，图线与x 轴所围的“面积”的代数和表示F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同． 【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索， 从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2 ) 【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： F －＝250＋2002 N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F － h ＝2 250 J. 方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋200 2×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J 法3.用微元法求变力做功 圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了． 【典例3】 如图所示，质量为m 的质点在力F 的作用下，沿水平面上半径为R 的光滑圆槽运动一周．若F 的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F 对质点做的功． 【解析】 质点在运动的过程中，F 的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl 1、Δl 2、Δl 3、…、Δl n ，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (Δl 1＋Δl 2＋…＋Δl n )＝2πRF . 【答案】 2πRF . 变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k ＝200 N/m 的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝0.2 m ，木块开始运动，继续拉弹簧，木块 变力做功的六种常见计算方法 s，但是学生在应用 在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα 时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。下面 介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。 方法一：用动能定理求 若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出， 而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。 例题1：如图所示。质量为m的物体，用细绳经过光滑的小 孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动 半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半 径为2R，求外力对物体所做的功的大小。 解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则 F=mv1 2/2R。此题中，当半径由R 2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv 2 变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定 2=0.25RF。理，求 2—0.5mv 2 得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1 方法二：用功率的定义式求 若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解 变力的功。 例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经 过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值 v=54km/h。假设机车受到的阻力为恒力。求机车在运动中受到的阻力 大小。 解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此 时有功率P=Fv=fv。在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。 方法三：平均力法 如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。 例题3：如图所示。 轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。用水平力缓慢的拉物体，在弹簧的弹性限度范围内，使物体前进距离x，求这一过程中拉力对物体所做的功。 解析：物体在缓慢运动过程中，拉力是从零开始均匀增大的，呈线性变化，所以整个过程中，拉力的平均值是F=0.5（0+kx）。因此，拉力对物体所做的功W=Fx=0.5（0+kx）×x=0.5kx2。 方法四：F——S图像法 利用图像中的“面积”求。在F——S图像中，在S内的图像跟S 轴所夹图形的“面积”，等于力F在位移S上所做的功。 例题4：在例题3中，可以利用此法求出结果。 解析： 做出拉力的F——S图像，如图所示。 电场力做功与电势能、电势差的关系 一知识归纳： 1.电场力做功与带电体的运动路径无关，只与其初末位置有关。（类比重力势能） 2.电势能：带电体由于处于电场中而具有的能量叫电势能 E p (1)标量 (2)具有相对性：其大小是相对于零势能面的 (3)某点电势能的大小：等于将带电体由该位置移动到零势能面电场力做的功。 3.电场力做功与电势能的关系： 4.电势：带电体在某点的电势能与其电荷量的比值。 φ Φ=E P /q （1）标量 （2）其大小只与电场自身有关，与其它无关。 （3）具有相对性：其大小是相对于零电势面的。 （往往认为无穷远处，大地电势为零） （4）电势沿电场线方向降低最快。 （5）若规定无穷远处为正电荷：正电荷产生的电场其电势均为正，负电荷产生的电场其电势均为负，且越靠近正电荷其电势越大，越靠近负电荷其电势越小。 5.电势差：电场中某两点间电势的差值。 注：E E E W PB PA P AB -=?-= =q q φφB A -=q U A B 又因为匀强电场中 Eqd W AB =（d ：沿着电场线的距离） 所以Ed U AB =（仅适用于匀强电场中，非匀强电场可定性分析） 6.计算电场力做功方法： （1）直接计算：根据公式先计算大小，后判断正负 任意电场：Uq W= 匀强电场：Eqd W AB=（d：沿着电场线的距离） （2）间接计算：动能定理、能量守恒间接推出电场力做的功 7.等势面：电场中无数个电势相等的点所围成的面。 （1）电场线总是有高等势面指向低等势面。 （2）当电势差相同时，两等势面间间距越大则两等势面间平均场强越小。 8.判断电势能变化： （1）电场力做正功电势能降低，反之负功增加。 （2）正电荷在电势越高的地方电势能越大； 负电荷在电势越小的地方电势能越大。 （3）电场线：（当只有电势能和动能间相互转化时） ①正电荷沿着电场线，电场力做正功，电势能降低，动能增加，速度增加 电势降低； ②正电荷逆着电场线，电场力做负功，电势能增加，动能降低，速度降低 电势增加； ③负电荷沿着电场线，电场力做负功，电势能增加，动能降低，速度降低 电势降低； ④负电荷逆着电场线，电场力做正功，电势能降低，动能增加，速度增加 电势降低； 二.习题演练 1.在电场中，A、B两点的电势差 > U AB,那么将一个负电荷从A移动到B的过 程中（） A.电场力做正功，电势能增加 B.电场力做负功，电势能增加 思想方法7.变力做功的计算方法方法一平均力法 如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，即F＝F1＋F2 2再利 用功的定义式W＝F l cos α来求功． 【典例1】用锤子击打钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同．已知第一次击打钉子时，钉子进入的深度为1 cm，则第二次击打时，钉子进入的深度是多少？ 即学即练1质量是2 g的子弹，以300 m/s的速度射入厚度是5 cm的木板(如图5－1－8所示)，射穿后 的速度是100 m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认 识？ 方法二用微元法求变力做功 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变 力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大 小不变、方向改变的变力做功问题． 【典例2】如图5－1－9所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂 直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F做的功为()．A．0B．2πrF C．2Fr D．－2πrF 即学即练2如图5－1－10所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够 大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小 球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功． 方法三用图象法求变力做功 在F－x图象中，图线与两坐标轴所围的“面积”的代数和表示力F做的功，“面积”有正 负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负． 【典例3】一物体所受的力F随位移x变化的图象如图5－1－11所示，求在这一过程中， 力F对物体做的功为多少？ 即学即练3如图5－1－12甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为()． A．0B．1 2F m x2 C．π 4F m x0D． π 4x 2 方法四利用W＝Pt求变力做功 这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件． 【典例4】如图5－1－13所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的 小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻 力大小恒为F f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间 为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求： (1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功WF f；(2)小船经过B点时的速度大小v1. 即学即练4汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由v1增至最大速度v2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s所用的时间． 电场力做功和电势能、电势和电势差 一、目标与策略 学习目标： ● 类比重力场理解电场力的功、电势能的变化、电势能的确定方法、电势的定义以及电势差的意义；理解电势对静电场能的性质的描写和电势的叠加原理。 ● 明确场强和电势的区别与联系以及对应的电场线和等势面之间的区别和联系。 学习重点： ● 用电势以及等势面描写认识静电场分布。 ● 熟练地进行电场力、电场力功的计算。 学习难点： ● 电势这一概念建立过程的逻辑关系以及正、负两种电荷所导致的具体问题的复杂性。 学习策略： ● 类比法是我们认识问题或事物的科学方法，我们在学习中可以将库仑力与万有引力类比，将电场力的功及电势能与重力的功、重力势能等等相类比来学习，能够帮助我们更好的理解新知识。 二、学习与应用 （一）什么是电场？描述电场的力的性质的物理量有哪些？ （二）电场线有哪些特点？ 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请学习网校资源ID ：#tbjx5#208883 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。 知识点一：电势与等势面 （一）电场力的功与电势能 （1）静电场中的功能关系 静电力对电荷做了功，电势能就发生变化，静电力对电荷做了多少功，就有多少电势能转化为其他形式的能，电荷克服静电力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电势能，也就是说，静电力做的功是电势能转化为其他形式的能的量度，静电力做的功等于电势能的减少量，即W AB= 。 静电力做正功，电荷电势能一定，静电力做负功，电荷电势能一定。 （2）电势能的特点和大小的确定 ①零电势点及选取 电势能的数值是相对于参考位置来说的。所谓参考位置，就是电势能为零的位置，参考位置的选取是人为的，通常取或为参考点。 ②电势能的计算 设电荷的电场中某点A的电势能为Ep A，移到参考点O电场力做功为W AO，即W AO=E pA－E pO，规定O为参考点时，就有W AO= ，也就是说电荷在电场中某点的电势能等于将这个电荷从电场中的该点移到0电势点的过程电场力所做的功。 ③电势能的特点 相对性：电荷在电场中的电势能是相对于而言，没有规定零势能点时，电荷在该点的电势能没有确定的值。电势能高于零势能时为值，低于零势能时为值。 系统性：电势能是电荷和电场这一相互作用系统所共有，并非电荷所独有！ 状态量：只要电荷在电场中有一个位置，它就对应一个电势能。 电势能是量：有正、负号没有方向。 求变力做功的几种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时 细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的 功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A 0焦耳 B 20π焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故 B正确。 电场力做功常用计算方法 电场力做功的计算是将电、力以及能量等相关知识点综合在一起来考查的，因此在高考中常常出现。同时由于涉及到的知识点比较多，常常令我们感觉有些难度，见了就害怕。其实对于这类题目虽然计算方法很多，但只要我们进行归纳总结，找出这些方法的基本思路和共同点，解题时就有了头绪。知道如何着手解题，做起来就容易多了。 解决电场力做功的问题我们必须认识到这是涉及“电场”、“力”、“功”三个方面的问题，因此这类题目我们就可以依据这三个方面的特点来解题。下面我们就根据这些特点总结出常用的几种计算电场力做功的方法。 方法及特点 根据功与力的关系和功与能的关系，可以将功的计算转化为对力或能量的计算。在知道电场的主要参数后电场力和电势能都很容易计算出来，因此问题就能够解决。下面我们来看看具体的方法和它们的特点： 1、利用功的定义计算：W FScosθ =由于力F是电场力，因此可以用F qE=计 算，故有W qEScosθ =。在中学阶段由于数学限制，式中F必须为恒力，即E 不变才可以计算，故该方法仅在匀 强电场中适用。 2、利用公式AB AB =计算。电荷q从A W qU 点运动到B点，电势为变化 U，则 AB 电场力做功可以用上式求解。对于 匀强电场还可使用W qEd =。 3、根据“功是能量改变的量度”使 用公式Wε =-?计算，其意义为电场力 做功等于电势能的减小量，在一直电荷电势能时使用这种方法较为简便。 4、利用动能定理进行计算。知道电荷动能的改变量，减去除电场力之外的力所做的功即可得到。这种方法在知道粒子在电场中的运动状态时使用较好。 依据题目的特点选取适当的方法解题，问题就很容易解决，下面我们来看看解题的思路。 经典体验（1） 如图，地面上方有 匀强电场，取场中 一点O为圆心在竖 直面内作半径为 R=0.1m的圆，圆平面与电场方 向平行。在O点固定电量Q=5 求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细 绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点 运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是 变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这 个力F做的总功应为： A0焦耳B20π焦耳 C 10焦耳D20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π J，故B正确。 三、平均力法 考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》 一、知识讲解 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位， 中学阶段所学的功的计算公式 W=FScosa 只能用于恒力做功情况， 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， 当 F 为变力时， 用 动能定理 W= E k 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是： 做功的过程就是能量转化的过程， 功是能的转化的量度。 如果知道某一过程中能量转化的数 值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。 下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力 做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。 而恒力做功又可以用 W=FScosa 计算，从而 使问题变得简单。 例 1、如图，定滑轮至滑块的高度为 h ，已知细绳的拉力为 F （恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角 分别为α和β。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对 绳的拉力 F 等于 T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该 问题是变力做功的问题。 但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下， 人对绳做 的功就等于绳的拉力对物体做的功。 而拉力 F 的大小和方向都不变， 所以 F 做的功可以用公 式 W=FScosa 直接计算。 由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 , 拉力 F 的作 用点的位移大小为： S S 1 h h S 2 sin sin W T W F F . S Fh ( 1 1 ) sin sin 2、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时， 若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角 不变， 且力与位移的方向同步变化， 可用微元法将曲线分成无限个小元段， 每一小元段可认 为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例 2 、如图所示，某力 F=10N 作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一 致，则转动一周这个力 F 做的总功应为： A 、 0J B 、 20π J C 、10J D 、20J. 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为 与力在同一直线上，故 W=F S ，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F × 2π R=10× 2 π J=20 π J ，故 B 正确。 3、平均力法 电场力做功的几种计算方法 马栋梁 由于电场力做功具有与路径无关，而仅与始末位置的电势差有关的特点，所以计算电场力做功可用多种方法。 1. 根据功的定义，用θ?=cos s F W 计算。此法仅适用于匀强电场中电场力做功的计算。 例1. 两带电小球，电荷量分别为q +和q -，固定在一长度为l 的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E 的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图1所示。若此杆绕过O 点，垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中电场力做的功为多少？ 图1 解析：因在电场中任意两点移动电荷时，电场力对电荷做的功，与移动电荷的路径无关，可设想两电荷均沿绝缘杆移动到相应位置，则l l l l l Eq 2Eq Eq F F W =+=+=。 2. 用qU W =计算。此法适用于任何电场。运算时q 、U 可只取绝对值，对于功W 的正负，可依据提供的物理模型，或根据题设条件构想物理模型，利用相关知识判定。 例2. 在电场中有A 、B 两点，它们的电势分别是为V 200V 100B A =?-=?，。把电荷量C 100.2q 7-?-=的电荷从A 点移动到B 点，是电场力做功，还是克服电场力做功？做了多少功？ 解析：根据A 点电势低于B 点电势，可知始、终两点间的电场线的方向是由B 至A ，画出表示电场线方向的矢量线E ；根据负电荷所受的电场力方向与电场线方向相反，再画出表示电场力方向的矢量线F ；最后画出表示电荷移动方向（A →B ）的矢量线s 。由图2可以看出F 与s 方向相同，所以是电场力做功，电场力所做功的大小为： A B F s E 图2 |U ||q |W AB ?= J 100.6J |)200()100(||100.2|57--?=--??-= 3. 利用结论“电场力做的功等于电荷电势能增量的负值”（或等于电势能的变化）计算。这个方法在已知电荷电势能的值时比较方便，此法利用了功能关系，适用于任何电场。 例3. 如图3所示，在同一条电场线上，有A 、B 、C 三点，三点的电势分别是V 5A =?，V 0V 2C B =?-=?，，将电荷量C 106q 6-?-=的点电荷从A 移到B 电场力做功多少？电势能变化了多少？若将该电荷从B 移到C ，电场力做功多少？电势能变化了多少？ A C B 图3 解析：电荷在A 、B 、C 三点的电势能分别为 变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 、微元法 对于变力做功，不能直接用呼■处皿&进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用八爲二皿求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法 的变力的做功问题。 例1.用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知 物块的质量为m,物块与轨道间的动摩擦因数为’。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小' 不变，方向 时刻变化，是变力，不能直接用|瞬■ ^SCOS^求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变， 求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反 图1 正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段硏?巧'肉*…*亦，摩擦力在每一段上 可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别 吧工-中粥为斷?严跖| ,，…，即=%+,，摩擦力+小 在一周内所做的功 +% - + &2 + 殆 4 +务）二一2贰测gR 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s = 0,得到W 0,这 是错误的。必须注意本题中的F是变力。 . 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力 的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用 计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F= 10N作用于半径R= 1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？ 图3 答案：31.4J。 二、图象法 在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上 的位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F—s图象如图4所示。经过一段时间物体 发生的位移为s o,则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的 功W= Fs, s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4 （b）所示）。 高中物理求电场力做功的四种方法 徐高本 一、利用功的定义式W ＝FS 来求。 例1. 两带电小球，电荷量分别为+q 和q -，固定在一长度为l 的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E 的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图1所示。若此杆绕过O 点垂直于杆的轴线顺时针转过90°，则在此转动过程中，电场力做的功为（ ） A. 零 B. qE l C. 2qE l D. πqE l +q -q O 图1 解析：+q 受到的电场力水平向右，q -受到的电场力水平向左。设+q 离O 点距离为x ，则q -离O 点的距离为x l -。在杆顺时针转过90°的过程中，电场力对两球做的功分别为 )(21x l qE W qEx W -== 所以总功为qEl x l qE qEx W W W =-+=+=)(21 故选项B 正确。 二、利用电场力做功等于电荷电势能增量的负值即ε?-=W 来求。 例2. 一平行板电容器的电容为C ，两板间的距离为d ，上板带正电，电荷量为Q ，下板带负电，电荷量也为Q ，它们产生的电场在无穷远处的电势为零。两个带异号电荷的小球用一绝缘刚性杆相连，小球的电荷量分别为+q 和q -，杆长为)(d l l <。现将它们从无穷远处移到电容器的两板之间，处于图2所示的静止状态（杆与板面垂直）。在此过程中，电场力对两个小球所做总功的大小等于多少？（设两球移动过程中极板上电荷分布情况不变）。 图2 +Q -Q -q +q 解析：当小球从无穷远处移至图示位置时，设+q 处的电势为q -，1?处的电势为2?，则具有的电势能分别为 00211<-=>=?ε?εq q 对+q ：电势能增加了1?q ，所以电场力做负功11?q W -=；对q -：电势能减少了2?q ，所以电场力做正功22?q W =。电场力做的总功 )(2121??--=+=q W W W 因两板间的场强 ) (Cd Q d U E == 变力做功的求解方法 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 [关键词] 变力功图像法等效代换法 1 前言 功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。 2 用图像法求变力做功 功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。变力做功的计算
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