立体几何空间向量练习
1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA1D1D；
（3）证明：EF⊥平面A1CD．
2．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A 1B与C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的
角）的余弦值．
3．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设P A＝1，AD＝2．
（1）求平面BPC的法向量；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知
BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5．
（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；
（2）求点A到平面A1MC的距离．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，
求直线P A与平面EAC所成角的正弦值．
6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点．
（1）证明：AB1∥平面BC1D；
（2）证明：BD⊥平面AA1C1C；
（3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝，
求PB与平面QCD所成角的正弦值．
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
（Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E；
（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
立体几何空间向量练习参考答案与试题解析
1．【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，代入长度公式求解；
（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD1，再利用线面平行的判定定理证明；
（3）利用＝0，＝0，可证直线EF垂直于CD、A1D，再利用线面垂直的判定定
理证明．
【解答】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），A（2，0，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），
∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），＝（﹣1，0，1），
∴||＝＝．
（2）∵＝（﹣2，0，2）＝2，∴EF∥AD1，
又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，
∴EF∥平面AA1D1D．
（3）＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，﹣2），
∵＝0，＝0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D＝D，∴EF⊥平面A1CD．
【点评】本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．2．【分析】（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，
求出＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），利用数量积求解即可．
（2）是平面ABA1的一个法向量，求出平面ADC1的法向量，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】解：（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），
A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），
∴＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．
（2）是平面ABA1的一个法向量，
设平面ADC1的法向量为，
∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，
∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，
∴cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝，∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．
【点评】利用空间向量的数量积求解异面直线所成角以及二面角，考查空间想象能力以及计算能力．3．【分析】（1）由P A⊥平面ABCD，可得P A⊥BD．利用线面垂直的性质定理与判定定理可得PC ⊥BD，BD⊥平面P AC，即可证明BD⊥AC．又底面ABCD为矩形，可得ABCD为正方形．建
立如图所示的空间直角坐标系．设平面BPC的法向量为＝（x，y，z），可得，即可得出平面BPC的一个法向量为．
（2）平面P AC的法向量为：＝（﹣2，2，0）．设二面角B﹣PC﹣A＝θ，由图可知：θ为锐角．则cos＝，tanθ＝，即可得出．
【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴P A⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD．
又P A∩PC＝P，∴BD⊥平面P AC，AC?平面P AC，
∴BD⊥AC．
又底面ABCD为矩形，∴ABCD为正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，1），
D（0，2，0）．
＝（0，2，0），＝（﹣2，0，1），
设平面BPC的法向量为＝（x，y，z），∴，∴，取＝（1，0，2．）．
∴平面BPC的一个法向量为＝（1，0，2．）．
（2）平面P AC的法向量为：＝（﹣2，2，0）．
设二面角B﹣PC﹣A＝θ，由图可知：θ为锐角．
则cos＝＝＝﹣．
∴cosθ＝．∴sinθ＝．∴tanθ＝＝3．即二面角B﹣PC﹣A的正切值为3．
【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的夹角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断
△A1CA为等腰三角形，即可求出，
（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离
d＝，求出法向量即可求出．
【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，
则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，
∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，
∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，
（2）（空间向量），如图建立坐标系，
则A（0，0，0），C（3，4，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），
∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），
设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），
由，可得＝（2，1，2），
∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．
【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．
5．【分析】（1）证明AC⊥BC，结合AC⊥PC即可得出AC⊥平面PBC，
从而可得平面EAC⊥平面PBC；
（2）建立空间坐标系，设PC＝a，求出平面P AC和平面ACE的法向
量，根据二面角大小计算a，再计算直线P A与平面EAC所成角的正
弦值．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
在直角梯形ABCD中，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（2）解：以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），
＝（1，1，0），＝（0，0，a），＝（，﹣，），＝（1，﹣1，0）．
∵CB⊥AC，CB⊥CP，AC∩CP＝C，∴CB⊥平面P AC，故＝（1，﹣1，0）为平面P AC的法向量．设＝（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，＝0，
∴，取x＝a可得＝（a，﹣a，﹣2），
∴cos＜，＞＝＝＝，
∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，∴＝，解得a＝1．
故，又，
设直线P A与平面EAC所成角为θ，则，
即直线P A与平面EAC所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，平面向量在立体几何中的应用，属于中档题．
6．【分析】（1）连结B1C，交BC1于O，连结OD，推导出OD∥AB1，由此能证明AB1∥平面BC1D．（2）推导出BD⊥AC，BD⊥AA1，由此能证明BD⊥平面AA1C1C．
（3）设AA1＝AB＝2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连结B1C，交BC1于O，连结OD，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点，∴O是B1C的中点，∴OD∥AB1，
∵AB1?平面BC1D，OD?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．
（2）证明：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，又D是AC中点，∴BD⊥AC，
又AA1⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA1，∵AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1C1C．
（3）设AA1＝AB＝2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂
线为x轴，
BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C1（0，2，2），A（，1，0），C（0，2，0），
＝（0，﹣2，﹣2），＝（，﹣1，0），＝（0，0，2），
设平面AA1C1C的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，，0），
设直线BC1与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝＝＝．
∴直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7．【分析】（1）过P在平面P AD内作直线l∥AD，推得l为平面P AD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2）以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出Q（0，1，1），运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：过P在平面P AD内作直线l∥AD，
由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面P AD和平面PBC的交线，
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩PD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵l∥BC，∴l⊥平面PCD；
（2）解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，
y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵PD＝AD＝1，Q为l上的点，
QB＝，∴PB＝，QP＝1，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），作PQ∥AD，则PQ为平面P AD与平面PBC的交线为l，取Q（1，0，1），则＝（1，0，1），＝（1，1，﹣1），＝
（0，1，0），设平面QCD的法向量为＝（a，b，c），则，∴，取c＝1，可得＝（﹣1，0，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴PB与平面QCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查空间线面垂直的判定，以及线面角的求法，考查转化思想和向量法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
8．【分析】（Ⅰ）根据正方体的性质可证得BC1∥AD1，再利用线面平行的判定定理即可得证；
（Ⅱ）解法一：以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，先求出平面AD1E的法向量，再利用sinθ＝|cos＜，＞|＝
以及空间向量数量积的坐标运算即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，AB∥C1D1中，且AB＝C1D1，
∴四边形ABC 1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，
又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E．
（Ⅱ）解法一：以A为原点，AD、AB、AA1分别为x、y和z轴建立如图
所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a，
则A（0，0，0），A1（0，0，a），D1（a，0，a），E（0，a，a），
∴，，，
设平面AD1E的法向量为，则，即，
令z＝2，则x＝﹣2，y＝﹣1，∴＝（﹣2，﹣1，2），
设直线AA1与平面AD1E所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，
故直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为．
【点评】本题考查空间中线面的位置关系和线面夹角问题，熟练掌握线面平行的判定定理和利用空间向量求线面夹角是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．