https://www.doczj.com/doc/272427638.html,/blog/static/6742112520081231911205/ R^n至少有两种重要的结构：拓扑结构和代数结构（线性空间结构）。 函数连续性只涉及第一种，而可微性则涉及两种（？拓扑—>微分拓扑，拓扑群—>李群）因为微分Df(x)=A的定义牵涉到线性运算和极限概念：f(x+h)-f(x)-Ah=o(||h||) 可微性的概念可以推广到有拓扑结构和线性代数结构这两种结构的其他空间。 现代微分概念源于非线性问题的局部线性化。 半球面是可以摊成平面区域的 要把地球表面画成地图，就非得把球面“撕破”不可 https://www.doczj.com/doc/272427638.html,/lunwen/2008/200810/266972_5.shtml https://www.doczj.com/doc/272427638.html,/f?kz=113722720 同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的 要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空 间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它 压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都 没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里“长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再 “长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还 是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体 没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。 研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓 扑空间各个维数的同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这
南 京 航 空 航 天 大 学 第1页 （共6页） 二○ ～ 二○ 学年 第二学期《 》考试试题 考试日期： 年 月 日 试卷类型： 试卷代号： 班号 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分得分 一、（1）证明：无向图中的奇度点的数目一定是偶数。 （2）分别判断下面数列是否可以图化？是否可以简单图化？如果可以，分别画出一个相应的图。写出求解过程。 ① (3,3,3,1) ②(4,3,3,3,3,3,3) 本题分数 10分 得 分
二、T 是简单无向图，请由定义直接证明：T 连通无回路 当 且仅当 T 中任意两点之间有唯一的初级通路（即基本通路）。 三、求K 7和K 2,3的点色数、边色数和面色数（请写出求解过程）。 本题分数 10分得 分 本题分数 10分 得 分
四、无向简单平面图G 中最小度δ>4，证明：G 中至少有30条边。 五、设i 是虚数单位，Z 是整数集，+是普通加法， G={a+bi | a,b ∈Z}，证明：
六、
八、f 是群G 到群H 的满同态，R 是G 上的一个二元关系， R={
第四章代数结构（作业） 作业：P86：4、7、9 4、 （1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有： (x*y)*z = (x+y+xy)*z = (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz x*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz = (x*y)*z 因此，*运算满足结合律。 （3）假设e为（Z,*）的幺元，则有： 任选整数集中的一个元素x，都有 0*x = 0+x+0×x=x且 x*0 = x+0+x×0=x 故0是(Z,*)的幺元。 7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元； （N+ ,*）无幺元； （N+ ,*）的零元为1。 9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d； （A,*）中的幺元：b； （A,*）中的零元：c； a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a， 作业：P87：12、13、18 12、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为： f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3; 或者： f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1; 13、同构映射f为： f(0)=?, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};
或者： f(0)=?, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b}; 18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b) 由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。 作业：P96：3，P97：7 3、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c = 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc) = 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc = (a*b)*c 故*运算满足结合律。 （3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。 所以（Z,*）是独异点。 7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为： ({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*) P105：3、4、13 3、??????1100b a ×??????220 0b a ＝??? ?? ?212100b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。 故（G,×）是封闭的。 而 (??????1100b a ×??????2200b a )×??????3300b a =??????212 100b b a a ×????? ?3300b a =??????3213 2100b b b a a a ??????1100b a ×(????? ?22 00b a ×??????3300b a )=??????1100b a ×??????323 200b b a a =??????3213210 0b b b a a a 故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）
授课时间十一周第 2 次课
更广泛的同态映射定义 定义设V1=
1. 给出代数系统中6大律 4大特殊元的定义。 2. 什么是群？什么是环？什么是整环？什么是域？什么是格？什么是布尔代数？ 3. 对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统， 并简要说明理由。 （1）}3,3/1,2,2/1,1{1 =S ，*为普通乘法。 （2）{}+=,1,02 S 为普通乘法。 （3）n n S },1,1,0{3 -= 为任意给定的正整数且,*2≥n 为模n 乘法， 为模n 加法。 （4）≤=},3,2,1,0{4 S 为小于等于关系。 （5）},6,3,2,1{5 =S ﹡和+分别表示最小公倍数和最大公约数。 4. 设A ={2，4，6，8}，A 上的二元运算*定义为：a *b =min {a ，b }，则在独异点中，单位元是 ， 零元是 。 5. 关于群的说法正确的是 （A ）群都有子群 (B)群的陪集也是群（C ）群的并是群 （D ）有限群只有2个生成元 6. 关于无零因子环，正确的是 （A ）没有零元 （B ）xy=0，则x 和y 中必有一个是0 （C ）没有零因子 (D)零元不唯一 7. 关于单位元，正确的说法是 （A ）单位元就是1 （B ）单位元就是0 （C ）有单位元，说明有左右单位元（D ）单位元不唯一 8. Z 8的全部生成元是 ，它有 个子群。 9. ???? ??=13424321σ， ???? ??=12344321τ σ-1= ，τσ= . 10. 证明实数域关于加法和乘法是域. 11. 设G 的运算表如下表所示，问G 是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群； 12. n=5时，所有不同构的格有哪些？请做出他们的哈斯图，并判断他们是不是分配格，有补格，以及布 尔代数？ 13. 除逻辑代数以外请举出2个布尔代数的实例。
计算机科学各主领域及其基本问题 本节综合CC2013和CC2001报告，给出计算机科学各领域的简介，以及计算机科学中各领域的基本问题。以下学科领域按字母先后顺序排列，不分轻重。 1.算法与复杂性（Algorithms and Complexity，AL） 算法是计算机科学和软件工程的基础。现实世界中任何软件系统的性能仅依赖于两个方面：一方面是所选择的算法；另一方面是在各不同层次实现的效率。 对所有软件系统的性能而言，好的算法设计都是至关重要的。此外，算法研究能够深刻理解问题的本质和可能的求解技术，而不依赖于具体的程序设计语言、程序设计模式、计算机硬件或其他任何与实现有关的内容。 计算的一个重要内容就是根据特定目的选择适当的算法并加以运用，同时认识到可能存在不合适的算法。这依赖于对那些具有良好定义的重要问题求解算法的理解，以及认识到这些算法的优缺点和它们在特定环境中的适宜性。效率是贯穿该领域的一个核心概念。 下面，给出算法与复杂性领域的基本问题。 （1）对于给定的问题类，最好的算法是什么？要求的存储空间和计算时间有多少？空间和时间如何折中？ （2）访问数据的最好方法是什么？ （3）算法最好和最坏的情况是什么？ （4）算法的平均性能如何？ （5）算法的通用性如何？ 2．体系结构（Architecture and Organization，AR） 计算机在计算技术中处于核心地位。如果没有计算机，计算学科将只是理论数学的一个分支。 作为计算专业的学生，都应该对计算机系统的功能部件、功能特点、性能和相互作用有一定的理解，而不应该只将计算机看作是一个执行程序的黑盒子。 了解计算机体系结构和组织还有一定的实际意义。为了构造程序，需要理解计算机体系结构，从而使该程序在一台真正的机器上能更有效地运行。在选择用于应用的系统时，应该理解各种部件之间的折中，如CPU、时钟频率与内存大小的折中。 下面，给出体系结构领域的基本问题。 （1）实现处理器、内存和机内通信的方法是什么？ （2）如何设计和控制大型计算系统，而且使其令人相信，尽管存在错误和失败，但它仍然是按照我们的意图工作的？ （3）哪种类型的体系结构能有效地包含许多在一个计算中能并行工作的处理元素？ （4）如何度量性能？ 3．计算科学（Computational Science，CN） 从该学科诞生之日起，科学计算的数值方法和技术就构成了计算机科学研究的一个主要领域。随着计算机问题求解能力的增强，该领域（正如该学科一样）已经在广度和深度两方面得到了发展。现在，科学计算本身就代表了一个学科，一个与计算机科学密切相关的学科。为此，CC2001任务组只是将它划为计算机科学的一个主领域，但不确定任何核心知识单元，也就是说，尽管它是计算机科学的一个组成部分，但不要求每个教学大纲都必须包含这些内容。
2013-2014二学期图论与抽象代数复习 第一部分 1.第三篇总复习题1，2，3题 2.第四篇总复习题1，4，6题 3.习题9 9.1题 4. *运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为单元半群？（） 5. Q 是有理集，（Q，*）（其中*为普通乘法）不能构成（）。 A．群B．单元半群C．半群D．交换半群 6.设Z 是整数集，＋，·分别是普通加法和乘法，则（Z，＋，·）是（）。 A．域B．整环和域C．整环D．含零因子环 7. 在代数系统中，整环和域的关系为（）。 A．整环一定是域B．域不一定是整环 C．域一定是整环D．域一定不是整环 8. 设D =< V,E >为有向图，V = {a, b, c, d, e, f }，E = {( a,b),(b,c),(a, d), ( d, e),(f, e)}是（）。A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图 9. 在有n 个结点的连通图中，其边数（）。 A．最多有n?1 条B．至少有n?1 条 C．最多有n 条D．至少有n 条 10设G = (n,m)为无向简单图，可构成邻接矩阵的数目为（）。 A．n! B．m! C．D． 11. 欧拉回路是（）。 A．通路B．简单回路 C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路 12. 哈密尔顿回路是（）。 A．通路B．简单回路 C．既是基本回路也是简单回路D．既非基本回路也非简单回路 13. 下面哪一种图不一定是树?（） A．无回路的连通图B．有n 个结点n ?1条边的连通图 C．每对结点间都有通路的图D．连通但删去一条边则不连通的图 下述偏序集（见下图）中能构成格的是（） 下述偏序集中哪一个不构成格？（）
问答题： 1：
《集合论与图论》课程示范性教学设计 1 本课程教学方法 （一）教学方法 在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。以下仅是一些指导思想： （1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。 （2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。 （3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。 （4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。 （5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。 （5 ）适当地提出一些未解决的问题。尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。 （6 ）注意每个学科（内部）的美。如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。 （二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考 素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。以下只扼要地总结一下。 1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
图论与代数实验报告 旅行售货员问题（TSP） 某售货员要到若干城市去推销商品，一直各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。 我用分支限界法解决问题。 1、分支限界法基本思想 分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 2、常见的两种分支限界法 （1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。
（2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。 最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先。 最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先。 该问题是一个NP完全问题，有(n-1)!条可选路线。 路线是一个带权图。图中各边的费用（权）为正数。图的一条周游路线是包括V中的每个顶点在内的一条回路。周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和。 旅行售货员问题的解空间可以组织成一棵树，从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图的一条周游路线。旅行售货员问题要在图G 中找出费用最小的周游路线。 即： 设G(V,E)是一带权有向图,V={1,2,…n },其耗费矩阵C=(ci,j)，当时, 记ci,j=无穷大且ci,j=无穷大.问如何选择周游路线使耗费最小？ 算法思路:设周游路线从结点1开始,解为等长数组X=(1,x2,...xn) 则解空间树为排列树，在树中做广度优先搜索。
第三篇代数结构 Algebraic Structures
引言： 1）代数结构也称为代数系统，是抽象代数的主要研究对象。 2）抽象代数是数学的一个分支，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。 3）抽象代数学的研究对象是抽象的，它不是以某一具体对象为研究对象，而是以一大类具有某种共同性质的对象为研究对象，因此其研究成果适用于这一类对象中的每个对象，从而达到了事半功倍的效果。
抽象代数学的主要内容： 1）研究各种各样的代数系统，它是在较高的观点上，把一些形式上很不相同的代数系统，撇开其个性，抽出其共性，用统一的方法描述、研 究和推理，从而得到一些反映事物本质的结论，再把它们应用到那些 系统中去，高度的抽象产生了广泛的应用。
构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算⊕也构成了代数系统
考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统
为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
信息科学技术学院2003-2004学年第二学期 本科生期末考试试卷 一、（每小题3分,共18分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打 √，否则打?. 1．A ={x |x ∈N 且(x ,5)=1}，则构成代数系统，+为普通加法 （ ） 2．?x , y ∈R ，x o y =|x -y |，则0为
习题一 1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。 3. 4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3. 以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a ’2, a ’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。这样可得一个有向图。 本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： 5. 可以。 6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。 1） 若可以找到点v ，d(v)>5，则与v 相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个 相互不认识（作K 6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色(设为红)，这三边的另一顶点设为v 2, v 3, v 4。若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△）。若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识，这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识 ∑ ∑∑∑∑ ∑∑==+====-=++=-==---=--=n i i n i i n i n i n i n i i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 1211 2 212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。 ， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－ ( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 ) ( 4, 1, 3 )
集合论与代数结构 课程名称：集合论与代数结构 课号：00830690 任课老师：于江生（副教授） 开课时间：每学年的下学期 学时：4学时/周 学分：4 授课对象：北大本科生（公共辅修课） 课程概要： 1.介绍Cantor的朴素集合论（包括基数理论和序数理论）和集合论ZF公理体系、GB公 理体系。回顾20世纪初数学基础之争和为解决Russell悖论所作的努力，科普G?del 不完全性定理、连续统假设及其意义。 2.介绍格论（Lattice Theory）及其应用，介绍抽象代数（Abstract Algebra）的基本概念（群、 环、域）。着重讲授群论及其应用（详细内容见《群论的应用_学生作业》）。课程的最后部分介绍域的扩张和Galois理论，并证明三等分角和倍立方体的尺规作图问题不可能。 课程目标：培养学生的数学美感，锻炼其逻辑思维能力和想象力，并使之了解近代集合论和代数学的发展。鼓励学生运用数学知识解决各自学科的实际问题，培养他们的独立科研的能力和理论联系实践的能力。 参考书及课外读物： [1]H. B. Enderton (1977), Elements of Set Theory, Academic Press, Inc. [2]L. C. Grove (1983), Algebra, Academic Press, Inc. [3]T. W. Hungerford (1980), Algebra, GTM series, Springer-Verlag [4]Jacobson, Lectures in Abstract Algebra (Vol 1, 2, 3), GTM series (No. 30, 31, 32), Springer-Verlag [5]Takeuti and Zaring, Introduction to Axiomatic Set Theory, GTM series (No. 1), Springer-Verlag [6]Takeuti and Zaring, Axiomatic Set Theory, GTM series (No. 8), Springer-Verlag [7] B. L. van der Waerden (1955), Algebra, Springer-Verlag [8]耿素云、屈婉玲、王捍贫（2002），《离散数学教程》，北京大学出版社 [9]耿素云（1998），《集合论与图论》，北京大学出版社 [10]屈婉玲（1998），《代数结构与组合数学》，北京大学出版社
第八章几个典型的代数结构 本章我们将介绍具有一个二元运算的代数结构半群与群，以及具有两个运算的代数结构环和域。半群与群在形式语言、快速加法器设计、纠错码制定和自动机理论中都有卓有成效的应用。 §8.1 半群与独异点 半群是最简单的一类代数结构，其运算个数少，且运算的性质也少。半群在时序机理论、形式语言、语法分析等方面有着广泛的应用。 一. 半群、独异点和它们的子代数 定义1 给定代数，其中*是二元运算，若*满足结合律，则称代数为半群。 定义2 给定代数，如果二元运算*满足结合律且有么元，则称为独异点。 可以看出，独异点是含有么元的半群。因此有些人将独异点称为含么半群。 例1（1）代数和都是半群，因为运算＋和×都满足结合律；而且还是独异点，因为0是＋的么元，1是×的么元。 （2）代数和不是半群，因为减法和除法不满足结合律。 定义3 如果是半群，且关于运算*封闭，则是的子代数，称为的子半群。 显然子半群是半群。 定义4 如果是独异点，且关于运算*封闭，，则是的子代数，称为的子独异点。 显然子独异点是独异点。 例2（1）代数和分别是独异点和的子独异点。 （2）如果∑是非空有限字母表，那么<∑＋,连结>是半群，<∑*,连结,Λ>是独异点。如果，则连结>是<∑＋,连结>的子半群，连结,Λ>是<∑*,连结,Λ>的子独异点。 定义5 在半群（独异点）中，若运算是可交换的。则称此半群（独异点）为可交换半群（可交换独异点）。 定理8.1.1 在任何可交换独异点中，S的幂等元组成的集合T可构成其子独异点。 证明：，是幂等元，所以。对任意的， 。所以，故是子独异点。 本定理对可交换半群也成立。 下面我们定义独异点中任意元素的幂。用归纳定义： （1）（基础）。 （2）（归纳）。 由于独异点中，运算*是可结合的，容易证明如此定义的的幂满足以下指数定律： （a） （b） 定义6 设是独异点，若存在元素，，都，使得。则称元素为的生成元，也称元素生成独异点，并称此独异点为循环独异点。 定理8.1.2 每个循环独异点是可交换的。 证明：设是循环独异点，且其生成元为。则，存在，使得，，。于是 故：是可交换的。 类似地，可定义半群的任意元素的幂、循环半群、生成元等概念，也可得出循环半群是可交
2013年秋季《集合论与代数系统》复习大纲 一、集合论 1. 掌握元素与集合、集合与集合之间的关系（∈，?） 2. 掌握集合的基本运算?、?、~，⊕，-、P(A)、笛卡尔积及其性质 二、二元关系 1. 掌握二元关系的5种性质，并能准确判断：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。 2. 熟练掌握等价关系的定义，并能判定；给定等价关系，熟练求出A/R；掌握自然映射的含义；划分和等价关系的一一对应，即给定集合划分能求出等价关系，给出等价关系能求出对应的映射。模n同余关系。 3. 偏序关系的定义、哈斯图、求给定子集的最大元、最小元、极大元、极小元、上界，上确界，下界，下确界。 4. 给定集合上二元关系的计数、等价关系的计数。 5.给定关系R和T，熟练求出domR,ranR, R?{b,c}, R[{a}],R°T, r(R), s(R), t(R) 三、函数和集合基数 1. 掌握函数的三种性质，并能证明和判定：单射函数、满射函数和双射函数 2. 给定集合A和B，从A到B上函数的计数问题 3. 理解并牢记典型集合的基数：N,R,P(N),2N,Q,N?N等。 4. 可数集和不可数集的判定，集合基数从小到大排序，最小无穷集合基数； 5.康托定理及其含义（cardP(A)>cardA，不存在最大集合） 重点复习ppt上的若干重要结论 四、代数结构 1. 代数结构的构成成分，掌握交换律、结合律、幂等律、吸收律、分配律和消去律 2. 能求出代数结构中的零元、单位元和可逆元素的逆元。熟练求出两个代数的积代数及其单位元和积代数中元素之间的运算 3. 掌握同态映射的定义，同态映射的种类：单同态、满同态和同构；能求解同态像，同态核 4. 群的定义，并能做出判断和证明 5. 循环群的定义，求出循环群中全部生成元和生成子群;可交换群的判定 6.子群的判定方法，熟练求出给定子群的所有陪集 熟练掌握ppt中的例题和重要结论