数值分析第8章 数值积分与数值微分
8.1 填空题
（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b
a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】
（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】 （3）求积公式∫f(x)dx h
0≈h
2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。 解：令f(x)=1,x,x 2带入有，
{
h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h
h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12
(h 2)h
2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13
(h 3)
//注：x 的导数=1
解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。
∴ 积分公式为：∫f(x)dx
h
0≈h
2[f (0)+f (h )]+h 2
12[f ′(0)?f ′(h)]
令
f(x)= x 3带入求积公式有：h
2
[0
+h 3]+
h 212
[0?3h 2]=14
(h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1
4
(h 4)相等，
所以，此求积公式至少具有3次代数精度。
令f(x)= x 4带入求积公式有，h
2[0+h 4]+h 2
12[0?4h 3]=1
6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1
5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。 解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。 （1）∫f(x)dx 2h
0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h)
解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】
{A 0+A 1+A 2=2h
A 1h +A 22h =1
2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1
3(2h )3
求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1
3h ，
∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1
3
hf(2h)
∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1
∴该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3，代入求积公式有：4
3hh 3+1
3h (2h )3=4h 4
∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h
0=1
4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。
令f(x)= x 4，代入求积公式有：43
hh 4+13
h (2h )4=
203
h 5
∵函数f(x) = x 4的定积分结果为∫x 4dx 2h
0=15
[(2h )5?05]=325
h 5，与求积公式计算值不相等，
∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
（2）∫f(x)dx 1
?1≈A [f (?1)+2f (x 1)+3f(x 2)]
解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 、X1、X2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】
{A [1+2+3]=2A [?1+2x 1+3x 2]=0A [(?1)2+2x 12+3x 22]=1
3[13?(?1)3]=2
3
求解得 A =13，x 1=0.6899，x 2=?0.1260，或A =1
3
，x 1=?0.2899，x 2=0.5266
∴求积公式为：
求积公式1：∫f (x )dx 1
?1≈1
3[f (?1)+2f (0.6899)+3f (?0.1260)] 求积公式1：∫f(x)dx 1
?1≈1
3[f (?1)+2f (?0.2899)+3f (0.5266)]
∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3代入求积公式1有：1
3[(?1)3+2(0.6899)3+3(?0.1260)3]=?0.2245 令f(x)= x 3代入求积公式2有：13[(?1)3+2(?0.2899)3+3(0.5266)3]=?0.2928
∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1
?1=1
4[(1)4—(?1)4]=0 ，与求积公式计算值均不相等， ∴该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。
（3）∫f(x)dx 1
?1≈A 1f (?1)+A 2f (?1
3)+A 3f(1
3
)
解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 1、A 2、A 3共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {
A 1+A 2+A 3=[1?(?1)]=2A 1(?1)+A 2(?13)+A 3(13)=12
[12?(?1)2]=0A 1(?1)2+A 2(?13)2+A 3(13)2=13[13?(?1)3]=
23求解得A 1=12，A 2=0，A 3=32
， ∴求积公式为： ∫f(x)dx 1
?1≈1
2
f (?1)+3
2
f(1
3
)
∵ 该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴ 该求积公式至少具有2次代数精度。
令f(x)= x 3，代入求积公式有：1
2(?1)3+32(13)3
=?0.4444
∵ 函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 1
?1=1
4[(1)4—(?1)4]=0，与求积公式计算值不相等，
∴ 该求积公式的最高代数精度为2次代数精度。
（4）∫f(x)dx 1
?1≈A 1f (x 1)+A 2f (0)+A 3f(1)
解：令f(x)=1,x,x 2,x 3代入有,【注：本例中需求解A 1、A 2、A 3、X 1共4个未知量，故需4个相异求积节点f(x)】
{
A 1+A 2+A 3=2A 1x 1+0+A 3=0A 1x 12+0+A 3(1)2
=23A 1x 13+0+A 3(1)3
=0
求解得A 1=13，A 2=43，A 3=1
3
，x 1=?1 ∴求积公式为： ∫f(x)dx 1
?1≈1
3
f (?1)+4
3
f (0)+1
3
f(1)
∵该求积公式对4个相异节点1,x,x 2,x 3均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有3次代数精度。
令f(x)= x 4，代入求积公式有：1
3(?1)4+0+1
3(1)4=2
3
∵ 函数f(x) = x 4的定积分结果为：∫x 4dx 1
?1=1
5[(1)5—(?1)5]=2
5，与求积公式计算值不相等， ∴ 该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
（5）∫f(x)dx 2
0≈f (x 1)+f (x 2)
解：令f(x)=1,x,x 2代入有,
{1+1=2x 1+x 2=2x 12+x 22=8
3
求解得{x 1=1?√33x 2=1+
√3
3
或{x 1=1+√3
3
x 2=1?
√33
∴求积公式为： ∫f(x)dx 2
0≈f (1?
√3
3
)+f (1+
√3
3
)
∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0，//注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。 令
f(x)= x 3，代入求积公式有：
(1?
√33
)3+(1+
√3
3
)3
=1
4
[24—04]=4
∵函数f(x) = x 4的积分结果为：∫x 3dx 2
0=14
[24—04]=4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。 令
f(x)= x 4，代入求积公式有：
(1?
√33
)4
+(1+
√3
3
)4
=6.2222
∵函数f(x) = x 4的积分结果为：∫x 4dx 2
0=1
5[25—05]=6.4 ，与求积公式的计算结果不相等， ∴该求积公式的最高代数精度为3次代数精度。
8.3 分别用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分：
解题要点：复化梯形公式【Tn ，Un 】-P154\P155，复化Simpson 公式【Sn 】-P155\P156，复化Cotes
公式【Cn】-P156。若在积分范围内划分的小区间数n=2k,则直接用对应的公式从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算，若n≠2k，在直接利用梯形求积公式8.7直接计算Tn和Un，再利用Tn、Un求解Sn、Cn。
（1）∫x
4+x2dx
1
， n=8
解：由题，设f(x)=x
4+x2
1）用复化梯形公式求解有//因为n=8=23，本题从T1、U1开始计算，然后按照T2n、T4n的公式利用前面计算的数据进行计算得到T10
∵T1=1
2
[f(0)+f(1)]=0.1，//见P154 公式8.7，n=1
U1=f(1
2
)=0.11764706//见P154 Un的计算公式，n=1
∴T2=1
2
[T1+U1]=0.10882353//见P155 公式8.8
∵U2=1
2[f(1
4
)+f(3
4
)]=0.11296096
∴T4=1
2
[T2+U2]=0.11089224
∵U4==1
4[f(1
8
)+f(3
8
)+f(5
8
)+f(7
8
)]=0.11191244
∴T8=1
2
[T4+U4]=0.11140235
2）用复化Simpson公式求解有：
∵S n=4T2n?T n
3
//见P155 公式8.12
∴S8=4T16?T8
3
//由此可知，要求出S8，必须先求出T16，进而得先求出U8
∵U8=1
8∑f(x i+1/2)
7
i=1
=1
8
[f(1
16
)+f(3
16
)+f(5
16
)+f(7
16
)+f(9
16
)+f(11
16
)+f(13
16
)+f(15
16
)]=0.11165540
∴T16=1
2
[T8+U8]=0.11152888
∴S8=4T16?T8
3
=0.11157106
3）用复化Cotes公式求解有：
∵C n=16S2n?S n
15
//见P156 公式8.14
∴C8=16S16?S8
15
//由此可知需先求出S16，由复化Simpson公式可知需先求出T32，进而得知需先求U16。
∵U16=1
16∑f(x i+1/2)
15
i=1
=1
16
[f(1
32
)+f(3
32
)+f(5
32
)+f(7
32
)+f(9
32
)+f(11
32
)+f(13
32
)+f(15
32
)+f(17
32
)+f(19
32
)+
f(21 32)+f(23
32
)+f(25
32
)+f(27
32
)+f(29
32
)+f(31
32
)]=0.11159294
∴T32=1
2
[T16+U16]=0.11156091
∴S16=4T32?T16
3
=0.11157159
∴ C 8=
16S 16?S 8
15
=0.11157163
（3）∫e ?x 2
dx 1
0， n =10
解：由题，设f(x)=e ?x 2
1）用复化梯形公式求解有 //因为n=10≠2n ，故本题直接用复化梯形公式直接计算得到T10 ∵ T n =h
2[f (a )+f (b )+2∑f(x i )n?1i=1] ， h =
b?a n
=
1
10
∴ T 10=120[f (0)+f (1)+2∑f(x i )9i=1]，其中x i =a +ih =0.1i
∴ T 10=1
20{f (0)+f (1)+2[f (0.1)+f (0.2)+f (0.3)+f (0.4)+f (0.5)+f (0.6)+f (0.7)+f (0.8)+f (0.9)]}
=0.74621080
2）用复化Simpson 公式求解有： ∵ S n =
4T 2n ?T n
3
//见P155 公式8.12
∴ S 10=
4T 20?T 10
3
//由此可知，要求出S 10，必须先求出T 20，进而得先求出U 10
∵ U 10=1
10∑f(x i+1/2)7i=1=1
10[f (0.05)+f(0.15)+f(0.25)+f(0.35)+f(0.45)+f(0.55)+f(0.65)+f(0.75)+
f(0.85)+f(0.95)]=0.74713088
∴ T 20=1
2[T 10+U 10]=0.74667084 ∴ S 10=
4T 20?T 10
3
=0.74682419
3）用复化Cotes 公式求解有： ∵ C n =
16S 2n ?S n
15
//见P156 公式8.14
∴ C 10=
16S 20?S 10
15
//由此可知需先求出S 20，由复化Simpson 公式可知需先求出T 40，进而得知需先求U 20。
∵ U 20=1
20∑f(x i+1/2)19i=1=1
20[f (0.025)+f(0.075)+f(0.125)+f(0.175)+f(0.225)+f(0.275)+f(0.325)+
f(0.375)+f(0.425)+f(0.475)+f(0.525)+f(0.575)+f(0.625)+f(0.675)+f(0.725)+f(0.775)+f(0.825)+f(0.875)+f(0.925)+f(0.975)]=0.74690079
∴ T 40=1
2
[T 20+U 20]=0.74678581
∴ S 20=4T 40?T 20
3
=0.74682414 ∴ C 8=16S 20?S 10
15
=0.74682413
8.4 利用Romberg 公式计算以下积分：
解题要点：其主要内容仍为复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式3个公式，利用前一步骤的计算数据进行递推计算，具体参见P159 公式8.1。
注意：例如计算出T03后，就直接用Simpson 公式计算出T12，然后用复化Cotes 公式计算出T21、T30，若满足要求则停止计算，不用事先花时间去计算无用的T04。
（1）√
πe
10?x
2
dx ,精度要求ε=10?5
解：由题，设f(x)=
√
π
?x 2
按照Romberg积分法求解：在[a,b]上，由梯形公式计算有
∵T00=b?a
2[f(a)+f(b)]=1
2
[f(0)+f(1)]=0.77174333
U00=(b?a)f(a+b
2)=f(1
2
)=0.87878258
∴T01=1
2
[T00+U00]=0.82526296
T10=4T01?T00
4?1
=0.84310283
∵|T10?T00|=0.07135950>ε ，不满足停止条件，需继续计算；
按公式U
0，i?1=b?a
2i?1
∑f(a+(2j?1)b?a
2i
)
2i?1
j=1、T0i
=1
2
[T
0，i?1
+U0,i?1] 和
T mk=4m T m?1,k+1?T m?1,k
4m?1,m=1,2,…,i,k=i?m 进行计算，当|T i0?T
i?1，0
|<ε时停止计算，则有：
U01=1
2[f(1
4
)+f(3
4
)]=0.85147260
T02=1
2
[T01+U01]=0.83836778
T11=4T02?T01
4?1
=0.84273605
T20=42T11?T10
4?1
=0.84271160
|T20?T10|=0.00039123>ε ，不满足停止条件，继续计算：
U02=1
4[f(1
8
)+f(3
8
)+f(5
8
)+f(7
8
)]=0.84487067
T03=1
2
[T02+U02]=0.84161922
T12=4T03?T02
4?1
=0.84270304
T21=42T12?T11
42?1
=0.84270997
T30=43T21?T20
43?1
=0.84270995
|T30?T20|=0.00000165<ε ，满足停止条件；∴T30=0.84270995