层次分析法应用实例
问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。
目标：选购一款合适的手机
准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。
方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○1欧美（iphone）；○2亚洲（索爱）；○3国产（华为）.
解决步骤：
1.建立递阶层次结构模型
图1 选购手机层次结构图
2.设置标度
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。
为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9
分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：
aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
3.构造判断矩阵
A B1B2B3B4
B11351
B2 1/313 1/3
B3 1/5 1/31 1/5
B41351
表1 判断矩阵A—B
B1C1C2C3
C1 1 1/3 1/5
C2 3 1 1/3
C3 5 3 1
表2 判断矩阵B1—C
B2 C1
C2
C3
C1 1 3 3 C2 1/3 1 1 C3
1/3
1
1
表3 判断矩阵B2—C
B3 C1 C2 C3 C1 1 3 6 C2 1/3 1 4 C3
1/6
1/4
1
表4 判断矩阵B3—C
B4 C1 C2 C3 C1 1 1/4 1/6 C2 4 1 1/3 C3
6
3
1
表5 判断矩阵B4—C
4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值：
○1将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；
○3将ci 归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T ，wi=ci /Σci ， W 即为A 的特征向量的近似值； ○4求特征向量W 对应的最大特征值：
1).1
5
3
1
5
1131113111531
=
A ，按列归一化后为
38
15145229381538
314
122138
3385143223539
151452293815
2).按行求和并归一化后得()
T
389.0069
.0153
.0389
.0=W
3).计算特征根：()T
AW 389.0069.0153.0389.01
5
3
1
5
113113131311
531
=
582.1389.0*1069.0*5153.0*3389.0*11=+++=AW ，同理有
619.02=AW ，275.0AW 3=，582.1AW 4=
4).计算最大特征根：
()044.4389
.0*4582
.1069.0*4275.0153.0*4619.0389.0*4582.1AW 1
max ∑
==+++=
=n
i i
i
nW λ
5).进行一致性检验：
015
.01
44
044.41
n n
..max =--=
--=
λI C 查同阶平均随机一致性指针（表6所示）知R.I=0.89，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。
表6 平均随机一致性指针
016.089
.0015
.0R.I.C.I...===
R C <0.1,满足一致性要求。 同理可得剩余判断矩阵的特征根，特征向量，一致性检验。 判断矩阵B1—C ()T
633.0260
.0106
..0=W ，039.3max =λ，1.0033.0C.R.<=
判断矩阵B2---C ()T
2.02.06.0=W ，3max
=λ，0..=R C 判断矩阵B3---C ()T
087.0274.0639.0=W ，054.3max =λ，1.0047.0C.R.<= 判断矩阵B4---C ()T
639.0274
.0087
.0=W ，054.3max =λ，1.0047.0C.R.<=。
5.层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
∑=
j
ij j
i
v w
W
层次
B1B2B3B4总排序权重
0.3890.1530.0690.389
C10.1060.60.6390.0870.211
C20.260.20.2740.2740.257
C30.6330.20.0870.6390.531
表7 层次总排序表
6.结论
由表7可以看出，三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此，对于大部分人来说，选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。
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