中西古代数学发展之异同
当前，世界已进入电脑和信息时代，作为一切科学技术基础的数学，更显示出它无穷的威力。数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。数学作为一门重要的工具性学科,是人类长期实践,思考的凝结。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。但是由于受不同社会政治、经济、思想、文化背景、地域的强烈影响，中国古代数学与西方数学存在着巨大的差别。
一、中国古代数学
黄河的沃土造就了华夏文化，使得中国成为世界四大文明古国之一，数学是其文明的重要组成部分；数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌，它以自己的算法化和实用性为特征，形成了完整的理论体系，走在世界古代数学发展的最前列。根据它本身发展的特点，可以分为五个时期：中国古代数学的萌芽，中国古代数学体系的形成，中国古代数学的发展，中国古代数学的繁荣，中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展。从出土的文物，可以证实早在新石器时代，古老的中国人民已有数的概念。例如在半坡村遗址出土的五、六千年前的陶器，上面的小孔个数按自然数的顺序排列，并有规则的几何图案。仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝,然而早在夏代之前很久，我国在几何学方面已展露端倪，对几何工具也有深刻认识。《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。商代中期，商代的甲骨文上出现了完整的十进制，据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，“后世圣人易之以书契”。其中有十进制的记数法，出现最大的数字为三万。这是位值制的最早使用。公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法；并举出勾股形的勾三、股四、弦五这个勾股定理。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成
为专门的课程。算筹是中国古代的计算工具，春秋时代严格的筹算已经成形并得到了广泛的应用。筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，《墨经》中包含大量的数学内容，并有一定的逻辑思想，《庄子》中则强调抽象的数学思想，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。许多有关数学的论述、散文见于诸子百家的著作中。但在公元前200年以前，数学尚未形成独立的、系统的学科。
秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，不断丰富的数学知识越来越系统化、理论化，数学方面的专书著作陆续出现。西汉初年，废除了秦的苛政，农村秩序恢复起来，生产力一天天提高。两汉的科学文化有明显的发展。农业生产需要掌握季节的变迁，必然推动数学和天文学的研究，流传至今的《周髀算经》就是这时期的著作，西汉末年编纂的《周髀算经》，尽管是谈论宇宙的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理和测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，是后来重差术（勾股测量法）的先驱。随着田亩测量和粮食输运的频繁，建筑工程和赋税征收的需要，又出现了以《九章算术》为代表的著作。成书于东汉初年的《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立和巩固时期数学发展的总结，它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成。比欧洲早了1400多年。《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。在代数方面，《方程》中所引入的负数概念及正负数加减法法则，都是世界数学史上最早的记载。南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。公元五世纪，祖冲之、祖暅父子在数学
上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位； (2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出“二立体等高处截面积均相等则二体体积相等”的定理。(3)发展了二次与三次方程的解法。
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐代主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。唐初李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656年），十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，当时被作为算学馆学生用的课本，而且是当时科举考试的必读书。明算科考试亦以这些算书为准。唐朝在数学教育方面有长足的发展。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，为宋元时期的高次内插法奠定了基础，丰富了中国古代数学的内容。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法。从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。而唐朝后期的计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算术书，对于乘除算法力求简捷。
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，社会得到相对的稳定，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞，是中国古代数学空前繁荣的全盛时期。这一时期涌现了许多划时代的数学家及数学著作，宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰，沈括是这个时代的先驱，他提出的阳历优于现今的公历。他发明的“隙积术”是后来“垛积术”（高阶等差数列问题）的先声。公元1050年左右，北宋贾宪在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，比英国人霍纳早了700多年。还有刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274-1275），朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等等。而这一时期民间数学教育也有一定的发展，中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，
其数量远比唐代多，改革的主要内容仍是乘除法。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具，而在公元十四世纪，我国人民已使用珠算盘。那时欧洲漫长的黑夜尤未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。从北宋到元代中叶，我国数学有了一套严整的系统和完备的算法，是我国古代数学的全盛时期。
宋、元是中国数学的极盛时期，西方却是望尘莫及。可是十四世纪中叶明王朝建立到明末的数学，除珠算外出现全国衰弱的局面。在朱世杰之后，数学突然出现中断的现象。原因是多方面的，就社会条件来说，元中叶以后，八股取士制，错误的知识分子政策，盲目排外和文化专制，封建主义的流毒等因素制约着数学的发展。元朝统治时期，社会经济遭受严重的摧残，言论、出版、学术都受到统治和禁止。明朝实行极端的君主专制，政治腐败到了极点，全无自由讨论学术的气氛，清朝文字狱迭起，学者无发表意见的自由。
反观西方，在中国停顿落后的同时，欧洲逐步迈入资本主义社会，近代数学受生产力的刺激发展起来。和中国相比，一进一退，差距越拉越大。
明代在西方数学输入之前，最大的成就就是珠算的完善和普及。算盘以其结构简单、价格低廉、计算迅速，受到广大群众的欢迎。
十六世纪末开始, 西方传教士开始到中国活动,由于明清王朝制定天文历法的需要, 传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国, 中国数学家在“西学中源”思想支配下, 数学研究出现了一个中西融会贯通的局面。西方传教士和中国学者合译了许多西方数学著作。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷﹝1607﹞，其严谨的逻辑体系和演绎方法深受徐光启推崇。入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他正确对待西方数学，对清代中期数学研究有着积极影响。清康熙帝爱好科学研究，他“御定”的《数理精蕴》，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》、梅文鼎《梅氏丛书辑要》、年希尧《视学》等。
二、西方数学的发展与形成
公元前6、7世纪，地中海一带成为文化昌盛的地区。生产、商业、航海以及社会政治生活发展的影响下，研究自然界的兴趣增加了。这时在数学方面已积累了大量的资料，一些希腊数学家开始尝试对命题加以证明。古代希腊是人类历史上的最宏伟的文明之一，对西方的文化有巨大的影响。古希腊文明可以追溯到公元前29 世纪，一直延续到公元6 世纪。证明命题是希腊几何学的基本精神。从此数学由具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段。古希腊的数学发展是由学派组成的。希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。数学最明显的特点是体系的严谨性，这实际是从希腊数学才开始具备的。历史上第一个公理化的演绎体系欧几里得《几何原本》就出现在希腊数学中。希腊数学留下了丰富的遗产，不仅仅是初等数学（几何、三角、算术、代数），许多近代数学的思想也可以从中找到线索。但是，到公元5—6 世纪, 由于东罗马的人侵, 基督教神学思想的统治，亚历山大图书馆被焚，希腊文化的发展即告终结。
5世纪西罗马帝国灭亡，欧洲进入黑暗的中世纪。但在别的地方，如亚洲的印度、伊斯兰国家，美洲的玛雅等地区，却有相当可观的进展。印度也是一个文明古国，5-6世纪出现了一批优秀的数学家，印度数学的主要贡献主要在三角学、算术、代数等领域。现今盛行的印度-阿拉伯数码源于印度，他们第一次承认零是一个数。三角学方面最先引入正弦函数，并造出函数表。代数方面，对于二次方程特别是不定方程做出重要贡献。伊斯兰国家兴起于7世纪，他们最先使三角学成为一门独立的学科，建立平面三角和球面三角较完整的理论体系，他们擅长于计算，在算术和代数方面都有丰富的成果。由于十字军东征，欧洲人从阿拉伯获得大批希腊著作以及阿拉伯文译本， 12 世纪便进入大翻译时期，从而了解到希腊及阿拉伯在数学上的贡献。12-13世纪欧洲数学界的代表人物是裴波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码以及各种算法在商业上的应用。
14 世纪初期，由一些教会学校转变为一些大学，这大学成为后世数学发展的基地。文艺复兴以后，人类摆脱了中世纪束缚思想的精神枷锁，数学首先发展了起来。16世纪数学最卓越的成就是意大利在代数方程论方面的发现和改进了三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虚数，这是自希腊丟番图以来代数上最大的突破。到17世纪中叶，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们
的觉醒，封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速向前发展。古希腊以来的初等数学已渐渐不能满足当时的需要，从而17世纪欧洲数学由定量数学发展成为变量数学，并且达到了一定的高峰, 这一时期称为古典高等数学时代。变量数学以解析几何的建立为起点，接着是微积分的兴起。
18 世纪, 在数学里逐渐形成几何学、代数学、分析学三大分支，其中分析学一枝独秀，获得蓬勃发展，尤其是欧拉把以曲线为主要研究对象的微积分学拓广成以函数为主要对象, 相形之下，坐标几何和代数发展缓慢，没有重大的推进。到19 世纪, 由于非欧几何的诞生, 射影几何的复兴、分析学的严格化、数学的公理化成为当时的主要研究对象。
三、中西方数学的发展与形成的比较
中国是四大文明古国之一，也是数学的发源地之一，由于地域、文化等特点，中国古代数学与欧洲数学存在着巨大的差别.这不仅表现在对理论与计算的偏重上，还表现在数学与社会关系的处理上.尤其是在古希腊数学衰落之后，中国数学取得了许多举世瞩目的成就. 我国古代数学文化,不仅同西方古代数学文化一样具有伟大的成就,而且直到15世纪以前,特别是在古希腊文明衰落后,还在很多方面领先西方1000多年。例如,使用测量作图工具、商高定理,发现分数、负数和零,圆周率计算,隙积术、垛积术、大衍求一术以及解高次方程等.当西欧进入黑暗时代时，中国数学却在腾飞，许多成就比后来欧洲在文艺复兴和文艺复兴之后取得的同样成就早得多。这些成就的取得固然令我们感到骄傲，但到了十四世纪以后中国数学却开始走向了衰落。几百年来，中国人在数学这片领域上几乎找不到任何重大的发现与创新. 而15 - 17世纪之间,西方冲破中世纪神学统治,通过复兴古希腊数学文化的理性精神,使人们的思想经过洗礼,掀起了一场深刻的数学革命,实现了古代数学向近代数学的转型和发展。这其中的原因不能不令我们深思，对历史进行研究能让我们看到中国古代数学由兴到衰的过程。
从对外来文化方面，中西存在着某些相似之处，亦有些不同之处。秦汉以来至唐宋时代一千多年的强盛，是与中国那个时代开放包容的对外交往政策与民族精神文化意识分不开的。中国的数学文化在历史的长河之中不断与各种数
学文化融合。自秦以来，与周边的战争就没有停止过，匈奴、蒙古等民族数学文化也就与汉文化融会贯通。到15世纪，受到了西方来华教士传教，西方文化在中国的影响日益甚大，尤其在工业革命之后更加的接受西方数学文化。中国古代的数学文化在世界是熠熠发光的，光彩夺目的。正是那种“天容万物，海纳百川”的博大民族胸怀，使中华民族由于不断吸收外来民族优秀的文化营养与新鲜血液，而不断保持旺盛的文明生命力与充满青春活力的民族文化，并正是以此作为中华民族不断保持领先的、最为重要的人文精神物质基础。转看西方，古希腊是西方文明的发源地, 但是古希腊文明不是独立创造的，它是吸收爱琴海的米诺斯文明, 埃及文明和膝尼基文明形成的继承与创造相结合的文明, 古希腊的文明发祥地不是在希腊半岛, 而是在地中海沿岸的米利都城。这里西与埃及、膝尼基相通，东与巴比伦相联, 当古希腊人还在蒙昧中奋斗时, 埃及、美索布达米亚已经创造了相当成就的文明, 并且逐渐走向衰落, 而古希腊人却吸收、利用并加以创造了远高于古希腊的埃及和两河流域的文明, 在这样的历史条件下, 古希腊原始思维中的数学神秘主义一下与埃及、膝尼基创造的数学形式结合起来了, 古希腊人大约在荷马时代末期开始放弃他的迈锡尼的象形文字并且改换成排尼基的字母文字, 并且将原始思维中的记忆与这种字母表示数字的记数符号相结合, 迅速吸收了希伯莱人的测字术巫术, 这种巫术在文的应用上同样开始了广泛的流行。
在思想方面，自从春秋战国时期产生儒家学说以来,我国社会虽有诸子百家,但由于历代封建帝王的推崇,儒家思想逐渐统治整个社会。我国古代社会封建色彩很浓厚,学术之争往往带有浓厚的政治色彩,与政治的关系很密切。一派在政治斗争中失败,就确定其学术思想的衰败。我国古代数学的构造性思维早有萌芽。因而许多思想在基于社会需要而进行的思想文化选择中失去了机会。儒家思想的世界观以及“礼仪”,迎合了封建统治者稳定统治地位的意愿。到了汉代,董仲舒提出“罢黜百家,独尊儒术”,至此儒家思想盛极一时,几乎完全主宰了当时的思想界,对后世产生了深远影响。儒家的世界观是以伦理为中心,多重人事,少重自然。儒家世界观不但约束了我国古代数学的发展,也使数学教育受到扼杀性的限制。而在西方的中世纪, 基督教神学统治一切。大多数人倾向认为, 基督教的兴起带来了数学将近十个世纪的沉沦。而王幼军在《基督教在近
代数学兴起中的作用初探》中却认为, 数学一直被作为秩序和理性的典范, 在这样一种价值取向下, 数学在宗教环境中受到推崇是很自然的。探求自然界的数学法则就成为一种很虔诚的宗教活动, 其目的是揭示上帝的伟大和辉煌。这一信念经过中世纪几百年的基督教文化氛围的积累和酝酿, 终于在16世纪左右爆发出来前所未有的活力, 对于推进近代数学和近代科学的产生起到极大的促进作用。
从后期统治者对待教育的层面看，皇朝更迭的漫长的封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性和腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举制度中的《明算科》完全废除，唯以八股取士，数学家的社会地位低下，研究数学者没有出路，自由探讨受到束缚甚至遭到禁锢。应该深入的认识到，明朝历史的276年时间，是一个对中国历史发展具有承上启下、关键意义的转折时期。正是在这一时期，欧洲完成了文艺复兴的历史性跨越发展，走入了对外探索发现新大陆的大航海时代，开始了其对外侵略扩张，形成了后来资本主义的发展与工业革命积累财富的殖民历史。而在欧洲人励精图治、在世界各地开疆扩土的时候，同时期明王朝的皇帝们，却为了巩固自身的统治，而在国内推行了一系列阻碍社会发展与思想进步的政策。扼杀了中华文明思想的发展与进步，使人们缺乏一个起码的思想学术交流的历史空间。使中华民族发展的历史性转折时期，没有能够出现中国自己的“文艺复兴”。而取代明王朝的满清王朝，由于其本身就是一个少数民族政权，所以也就有着其先天的致命缺陷。而为了能收取士人的人心巩固统治，满清几乎是全盘的接受了明朝的政策制度，并且为了更加巩固权力、稳定统治，而进一步加剧了政权专制独裁的力度，这也就让束缚人民的思想的枷锁愈加沉重，也就使中国失去了最后追上世界发展潮流的机会，终于难以挽回的成为了19世纪下半叶、20世纪上半叶的“东亚病夫”！
从中西数学思想的特点看，首先中国古代数学以算法为中心，属于应用数学。中国数学的发展一直联系社会生活与生产的实际，以解决实际问题为目标，数学研究也是围绕建立算法与提高计算技术而展开的。中国数学注重算法的研究和知识的现实可用性。这些特点使得中国数学在很长一段时间里成就位居世界之首.其次中国数学具有较强的社会性。中国传统数学往往与术数交织在一
起，总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印。同时，数学教育与研究往往被封建政府所控制，处于从属地位，不具有独立性。最后中国古代数学具有寓理于算，理论高度概括的特点。中国传统数学注重解决实际问题，不是很注重数学理论的形式化，但这并不意味中国传统仅停留在经验层次。其实这些算法的理论基础都蕴藏在中国数学的算法中，中国数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、形象直观的数学原理之上。而与之相对，欧洲数学注重理论的逻辑推演和系统的建立。
就思维方式看，中西方数学受不同的思维方式的影响。儒家自然观的核心是“天人合一”,这也是决定我国传统数学文化具有不重视理性、只重实用特征的重要原因。儒家自然观几千年来束缚着人们的思想,支撑着封建社会,拒绝同化外来的先进数学文化，因此,我国数学文化难以摆脱被动地位,不能形成理论体系,更难以取得社会对其教育价值的认同.儒家的“天命观”也导致了传统文化的不可知论。中国数学发展的主要贡献者是知识分子，然而与其它国家以及欧洲的情况不同，作为一个早熟的发达富裕的农业国家，中国发展了一个成熟的科举制度来缓解社会矛盾，同时也吸引了绝大部分知识分子的注意力，而科举中更关注知识分子对于典籍礼仪的熟悉程度，试图通过统一知识分子的道德思维来将大一统最低成本地实现于广大的领土之上，即使是唐代的明算科也只是考验处理实际问题的数学能力，这种观念使我国历代绝大多数知识分子不探求真理和知识,一生只是沿袭翻译和注释。儒家另一显著特点就是崇古，历代儒家不是批判地继承前人好的东西,而是盲目崇拜,似乎理论越古越好,排斥新思想、新学说。儒学为历代封建统治阶级所推崇,对我国古代思想界形成一种禁锢,长期得不到思想解放,根本不可能形成活跃的学术氛围。而西方数学文化始终在整个文化系统中处于主动地位,影响着西方文化的发展方向,它的理性思维作为文化基因影响着西方文化的特征,甚至影响到其社会发展的方向。西方古代数学文化产生于古希腊,古希腊数学乃至今天的西方数学都一直备受哲学的关注。在西方文化看来,数学本来就是哲学思考宇宙的一个部分,因此,从古希腊开始的整个西方数学文化,从概念、命题、理论到方法体系都受到哲学的反复审查,其理性精神得到哲学力量的支撑。
四、总结
由此我们可以看出，数学的思想强调演绎，同时也应注重实用。单纯地强调演绎或实用是永远不可能完善数学这块沃土的。另一方面我们应该认识到，只有具有理性思维的民族,只有极富对自然界真实面貌探究和对自然改造、建构的热情和能力,才可能具备对自身文化的批判和对外来优秀文化包容的胸怀,这样整个文化才会生机勃勃,健康发展。我们应该瞻前顾后，取其精华去其糟粕，以理性的思维和宽广的胸怀对待数学！