高中平面解析几何全一册
第二章圆锥曲线
第二单元圆
一、教法建议
【抛砖引玉】
本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。
在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。
由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。
【指点迷津】
这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。
由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。
圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：
过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2
过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2
圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k
12
=±+
对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式
A x2 +
B xy +
C y2 +
D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：
(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0
(2)不含xy项，即B = 0
(3)D 2 + E 2－4F > 0 才能表示一个圆。
也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a 、b 、r 三个未知数或含D 、E 、F 三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。
二、学海导航
【思维基础】
本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。
1.求圆的方程
和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：
根据下列条件求圆的方程
1.已知直径的两端点是A （－3，5）和B （1，－3）
2.圆心在A （3，－5）且与直线x －7y + 2 = 0相切
3.经过点A （2、2）和B （4，－2），圆心在y 轴上 显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。
1.圆心为AB 中点C （－1，1）半径r AB ==1
2
25||，圆的方程是(x + 1)2 + (y －1)2 = 20
2.半径r 是圆心A （3、－5）到直线x －7y + 2 = 0的距离42，圆的方程是(x －3)2 + (y + 5)2 = 32
3.圆心是线段AB 的垂直平分线与y 轴交点，AB 的垂直平分线是x －2y －3 = 0，圆心是C （0、－32），半径|AC| =
12
65，圆的方程是x y 223265
4++=
() 而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b ），圆的方程是x 2 + (y －b )2 = r 2因为经过点A （2、2）和B （4、－2），所以有
2242222
222
+-=+--=????
?()()b r
b r 解方程组得 b r =-=3265
4
2，
此题也可设圆的方程是x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0，它的圆心坐标为（-
-D 2E 2，）
，又由于圆心在y 轴上，故-D
2
= 0，即D = 0，圆的方程化为： x 2 + y 2 + E y + F = 0
因为经过点A （2，2）和B （4，－2），所以有
222E F 0
4(2)(2)E F 0
2222
+++=+-+-+=????? 解方程组得：E = 3，F =－14 圆的方程是x 2 + y 2 + 3y －14 = 0 配方得x y 2232
654
++=
() 2.求圆的切线的方程
圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。
例如：已知圆x 2 + y 2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程： 设切线方程是y =－x + b 即x + y －b = 0
根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x 2 + y 2 = 1的圆心（0，0）到切线x + y －b =0的距离等于1，即
||
0011
1
22
2
+-+==±b b
切线方程是x y x y ++=+-=2020与
3.圆与直线的问题 圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？
如判断圆x y x y 222410+-++=和直线3x －4y + 5 = 0的位置关系。除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d 与半径r 的关系来判定，若d < r ，则直线和圆相交；若d = r ，则直线和圆相切；若d > r ，则直线和圆相离。
x y x y 222410+-++=配方得 (x －1)2 + (y + 2)2 = 4
它的圆心是(1、－2) 半径r = 2
d =
+++-=
=>||()38534165315
222
所以直线和圆相离
4.两个圆的位置关系
我们知道两个圆有五种不同位置关系：即外离、外切、相交、内切、内含，用解方程组的方法讨论时，只能判定相离，相切或相交，但分不出内切还是外切，外离还是内含，若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系：如果圆心距用d 表示，两圆半径分别是R ，r （R > r ），若d < R + r ，且d > R －r ，则两圆相交；若d = R －r ，则两圆相内切；若d < R －r ，则两圆相内含。
如：已知两圆的方程分别是x 2 + y 2 = 4和x y x y 2268240+-+-=。试判断它们的位置关系。
圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2 圆x y x y 2268240+-+-=，配方化为
()()x y -++=344922，圆心为（3，－4）
，半径为R = 7
圆心距d = 5，又R －r = 5 即d = R －r
所以两圆相内切
【学法指要】
例1.求圆心是C （2、－1），且截直线x －y －1 = 0所得弦长是22的圆的方程。
分析：此题的圆心是已知，列圆的方程只须求出半径长，怎样求半径长呢？如图，弦心距、弦的12
和半径构成直角三角形，若求出弦心距，可求出半径。 解：如图：圆心C （2，－1）到直线x －y －1 = 0的距离是
|CD||211|1(1)
2
|AB|22|AD|2
|AC||CD||AD|4 (2)(1)4
2
2
2222=
+-+-=====+=-++=∵∴∴半径所求圆的方程是r x y
例2.已知一个圆的圆心在直线l 1:x －y －1 = 0上，该圆和直线l 2:4x + 3y + 14 = 0相切，并且直线l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，试求此圆的方程。
分析：此题直接求圆心坐标和半径比较困难。一般应选择待定系数法求圆的方程，设标准方程还是一般程呢？因为已知条件与圆心有关，设标准方程比较好，我们知道三个独立条件确定一个圆的方程，以下的问题是如何将题目中已知的三个条件转化为三个含a 、b 、r 的方程。
解：如图：
设所求圆的圆心是（a 、b ），半径是r ，圆的方程是(x －a )2 + (y －b )2 = r 2 由于圆心（a 、b ）在直线x －y －1 = 0上，有a －b －1 = 0 (1) 由于圆与直线4x + 3y + 14 = 0相切，有
||431434
2
2
a b r +++= (2)
由l 3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆心到l 3的距离是r 223-
||341034322
2a b r +++=- (3)
解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得 a = 2，b = 1，r = 5 所求圆的方程是 ()()x y -+-=212522
例3.已知圆x 2 + y 2－2x －3 = 0，求过点A （5，0）的圆的切线方程
分析：首先应判定点A 在圆上还是在圆外。想一想，若点在圆上可以有几条切线？若点在圆外有几条切线？怎么求它们的切线方程呢？切线是直线，现已知过一个点，若能求出斜率或直线上另一点即可求出方程，也可用待定系数法求。
解法一：如图
圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是（1、0），半径是2 点（5、0）在圆外，设切线方程是 y = k (x －5)即kx －y －5k = 0
因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2
所以||
k k k -+=51
22
解得k =±
33
所求圆的切线是：
33533033533
0x y x y --=--+=和 化简得
x y x y --=+-=350350和
为所求切线方程 解法二：如图：
圆x 2 + y 2－2x －3 = 0的圆心是C （1、0）半径是2。 点A （5，0）在圆外。 设切点为P （x 1、y 1） 直线AP 的斜率为y x 115-。CP 的斜率为y
x 111
- ∵AP ⊥CP ∴
y x y
x 111151
1-?-=- 即x y x 1212
1650+-+= (1) ∵切点P （x 1、y 1）在圆上
∴x y x 12121230+--= (2)
解(1)、(2)组成的方程组，得两组解
x y x y 1111232
3==??
??==-????和 即有两个切点 P (2 ,3) P (2 ,3)12和-
则两条切线的斜率分别为-3
3
和33，
所求切线方程是
y x y x =-
-=-3353
3
5()()和 化简得x y x y +-=--=350350和 说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程
例4.圆x 2 + y 2 = 4，求经过点P （0，－4）且与圆相交的直线的斜率k 的取值范围。
分析：经过点P （0，－4）的直线有多少条？它们的斜率k 的取值范围是什么？它们与圆的位置关系有哪几种情况？k 取什么样的值时，直线才能和圆相交？下面我们用两种方法解此题。
解法一：
设过点P （0，－4）的直线是y = kx －4 解方程组
y kx x y =-+=???414
222
()()
把(1)代入(2) 得
()()()k x kx k k k 2222218120841121648
+-+==--+?=-? 因为直线和圆相交，所以△= 16k 2－48 > 0 解得k k <->33或 解法2：
设过点P （0，－4）的直线是y = kx －4即kx －y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心是（0，0），半径是2，圆心到直线的距离
d k k k =
?--+-=
+||()
004141
2
2
2
因为直线与圆相交，所以d < 2，即
41
22
k +< 解得
k k <->33或
【思维体操】
例1.求经过点A （－2，3），并与直线4x + 3y －26 = 0相切于点B （5，2）的圆的方程
解法一：
设所求圆的方程是(x －a )2 + (y －b )2 = r 2
直线4x + 3y = 26的斜率为－43
经过切点B （5，2）与已知切线垂直直线的斜率为34，直线方程是y －2 =34
(x －5) 即 3x －4y －7 = 0 根据题意：
34701522233222222a b a b r a b r
--=-+-=--+-=?????()()()()()()()
解得：a = 1，b =－1，r = 5
所求圆的方程是(x －1)2 + (y + 1)2 = 25
说明：方程(1)也可由如下方法得到，切线4x + 3y = 26的斜率为-43
， 过切点B （5，2）的半径的斜率为34
，即
b a --=253
4
整理得3470a b --= 解法二：
同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0 线段AB 的中点是（3252，），AB 的斜率是k 123521
7
=-+=-，AB 垂直平分线的斜率是k = 7，方程是y x -
=-5273
2()即7x －y －8 = 0，解方程组： 3470780
1
1
x y x y x y --=--=??
?==-??
?得: 所以所求圆心为C （1，－1） 半径r = |AC| =
()()121352
2
++--=
所求圆的方程是(x －1)2 + (y + 1)2 = 25 解法三：
设圆的方程是x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
圆心是C （-
-D 2E 2
，） 同解法一，过切点B （5，2）与切线垂直的直线方程是3x －4y －7 = 0
根据题意：
3(D 2)4(E 2)70(2)32D 3E F 0525D 2E F 022
22----=-+-++=++++=??????
??? 解得：D =－2，E = 2，F =－23
所求圆的方程是：x 2+ y 2－2x + 2y + 23 = 0 即(x －1)2+ (y + 1)2 = 25 评析：此题的三种解法中的解法一和解法三用的都是待定系数法。区别是所设方程一个是标准式，一个是一般式，标准式中明确表示了圆心和半径，而一般式经配方后可知其圆心为(D 2E 2)1
2
D E 4F 22-
-=+-，，半径为r ，
记住了可以简化计算，解法二是利用几何性质直接求出圆心和半径。由于我们对圆的性质掌
握的比较多，用几何性质解决有关圆的问题也是常用的方法，不可忽视，还要注意的是，求圆的方程要有三个独立条件，此题的条件中与直线4x + 3y =26相切于点B （5，2）实际是两个条件，一为切线，二为切点，学生作此题时勿认为是一个条件。
例2.已知圆x 2
+ y 2
－2x －4y + 1 = 0，求经过点P （3，6）的圆的切线的方程。
解：经判断点P （3，6）是圆外一点。
设所求切线的方程是y －6 = k (x －3) 即 kx －y －3k + 6 = 0
圆x 2
+ y 2
－2x －4y + 1 = 0的圆心为（1，2）半径r =
12
()()-+--24422
=2
因为圆心到切线的距离等于半径
图
所以
解得||
||k k k k k k --++=-=+=
2361
2
2134
2
2
由于过圆外一点的圆的切线有两条，其中一条与x 轴垂直。
所以所求圆的切线是y x x y x -=--+==634
3341503()即和 评析：前面我们已经给出了求过圆外一点圆的切线的方法，一种是先求出切点。此题同学可以自己用这一方法求，但无论哪种方法都用到了切线的斜率，从图中可知一条切线与x 轴垂直，斜率不存在，通过计算方法是不可能得到的。计算结果只能得到一条切线，这显然不全面，就必须根据图形补上一条。
例3.求经过点P （6，1），且斜率K =12
的直线被圆x 2 + y 2 = 4所截得的弦长。 解法一：如图，根据题意直线为y x x y -=---=112
6240()即 解方程组
x y x y x y x y --=+=???
==-???==-
?
?
???
??24040
285
6522
1122得 即直线与圆的交点是A （0，－2），B （8565
，-）
所得弦长是
|AB| =()()85
065
245
5
22-+-+= 解法二：
同解法一，解方程组
x y x y --=+=???24014222
()()
由(1)x = 2y + 4 代入(2)得
516120165
125
41625
24246425
21212122122121212122122y y y y y y y y y y y y x y x x y y x x y y ++=+=-=
-=+-==+-=--=-=
则
由得()()()()()
因为直线与圆的交点是A ()()x y x y 1122??，B 所以弦长为|AB| =()()x x y y 12212245
5
-+-=
解法三：
同解法一，直线方程为x －2y －4 = 0 圆x 2 + y 2 = 4的圆心为（0、0），半径r = 2，圆心到直线的距离是
||||()||||||||(
)OC AB AC OA OC =
-?-+-===-=-=02041245
4
2222455
455
22
2222
评析：此题是一个比较简单的问题，在前一单元我们也介绍过求弦长的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法。在交点坐标比较简单时，可直接求出交点坐标，再求两点距离得到弦长。若交点坐标比较繁杂时，或采用解法二的方法。而解法三用了圆的性质，解法比较简单，这里又一次提醒大家，解圆的有关问题，一定要考虑是否可用圆的性质。
三、智能显示
【心中有数】
本单元应掌握知识的重点是圆的标准方程和圆的一般方程。要求已知圆的标准方程时，能准确地写出圆心坐标和半径长。要求能把圆的一般方程熟练准确地化为标准方程，还有二元二次方程的一般形式表示圆的充要条件。
另一重点是应掌握一些解题的基本方法，如用待定系数法求圆的方程；根据不同条件求圆的切线的方程及圆和直线的有关问题等。这些方法也为后面学习其他圆锥曲线打下良好的基础
【动脑动手】
解答下列各题： 1.选择题
(1)方程x 2 + y 2－x + y + m = 0，则m 的取值范围是：
A. m ＞12
B. m ＜12
C. m ＜12
D. m ≤1
2
(2)自点P （－1，4）向圆x 2 + y 2－4x －6y + 12 = 0引切线，则切线长是：
A. 3
B. 5
C. 10
D. 5
2.求和圆x 2 + y 2 + 2x = 0相外切，并且和直线x y -=30相切于点A （－3，－3）的圆的方程。
3.求与圆x 2 + y 2－4y + 3 = 0相外切，且与x 轴相切的圆的圆心P 的轨迹方程。
4.求圆上与直线4x + 3y －12 = 0的距离最小的点的坐标，圆的方程是x 2 + y 2
= 4
解
1.(1) C (2) A
2.解：设所求圆的圆心为B （a 、b ），半径为r ，方程为(x －a )2 + (y －b )2 = r 2（如图）
已知圆x 2 + y 2 + 2x = 0的圆心是C （－1，0），半径是1。
所求的圆的切线x y -=30的斜率为33
，过切点的半径AB 的斜率为－3，又A （－3、－3），B （a 、b ）
所以
b a ++=-3
3
3 得 b a =--343 (1) 因为A （－3、－3）是所求圆上的点，得 (－3－a )2 + (－3－b )2 = r 2 (2) 因为所求圆与已知圆相外切，得 |BC| = r + 1
()a b r ++=+1122 (3) 解(1)，(2)，(3)组成的方程组得
a b r a b r 111
222
4020436=-==???
??==-=???
?? 所求圆的方程是：
()()x y x y ++=++=4443362222和 3.解：如图
已知圆x 2 + y 2－4y + 3 = 0的圆心是C （0，2）半径是1。
设点P 的坐标为（x 、y ）根据题意y > 0 根据题意：|CP| = |y | + 1
把坐标代入，得()()||x y y -+-=+02122 整理化简得x 2－6y + 3 = 0
4.解：
直线4x + 3y －12 = 0的斜率为－4
3。与其垂直直线的斜率是34
。 过圆x 2 + y 2 = 4的圆心（0，0）与已知直线垂直的直线方程是y = 3
4
x ，即3x －4y = 0
解方程组x y x y 2
2
4340+=-=??? 得 x y x y 11228565856
5==???????=-=-??
????? 得到直线与圆交于点A （85，65），B （－85，－6
5
）
点A 到直线4x +3y －12 = 0的距离是
d x y d 122
222
48536
51243254312048536
51243425=?
+?-+=+-==-+--+=||
|()()|
点到直线的距离是B
所以所求距离最小点的坐标是（85，6
5
）
【创新园地】
1.与圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 =0关于直线x －y + 2 =0对称的圆的方程。
2.求经过点A （3，2）和两圆x 2 + y 2 = 1，x 2 + y 2 + 2x = 0的交点的圆。
3.求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点，且圆心在直线x －y －4 = 0上的圆的方程。
创新园地解答
1.解：
圆x 2 + y 2－2x + 4y + 1 = 0的圆心是C （1，－2）半径r = 2
圆心C （1，－2）关于直线x －y + 2 = 0的对称点是C ′（－4，3）（过程略） 所求圆的方程是
(x + 4)2 + (y －3)2 = 4，即 x 2 + y 2 + 8x －6y + 21 = 0 2.解法一： 解方程组
x y x y x 2222
1
20
+=++=????? 得两圆交点为B （-1232，
），C （--1232
，） 设所求圆的方程为x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 因为圆经过点A （3，2），B （-1
2
32，），C （--123
2
，）用待定系数法求得D =-
==-247019
7
，，E F 所求圆的方程是
x y x x y x 222224719
707724190+-
-=+--=即
解法二：
可以证明，经过两圆x 2+ y 2－1 = 0和x 2+ y 2+ 2x = 0的交点的圆的方程可以写成
x 2 + y 2 + 2x + λ(x 2 + y 2－1) = 0 (λ≠－1) 这个方程不包括圆x 2 + y 2－1 = 0
因为圆经过点A （3，2）
所以9 + 4 + 6 + λ(9 + 4－1) = 0 λ=－1912
所求圆的方程为
x 2 + y 2 + 2x －
1912
(x 2
+ y 2－1) = 0整理得 7x 2 + 7y 2－24x －19 = 0
说明：这一解法比解法一要简单，有的题目交点坐标不易求出，用此法则简单的多，若作选择题或填空题，用此法解很易得出结果，下面第3题，交点不易求出，用此法求要简单的多。
3.解
设所求经过两圆x 2 + y 2 + 6x －5 = 0和x 2 + y 2 + 6y －7 = 0的交点的圆为 x 2 + y 2 + 6x －5 +λ(x 2 + y 2 + 6y －7) = 0(λ≠－1) 化为：
x 2 + y 2 + 616175
10+++-++=λλλλλx y
圆心是(-+31λ，-+31λ
λ
)
因为圆心在直线x －y －4 = 0上，
所以-+31λ +31λ
λ+－4 = 0解得
λ=－7 所求圆的方程是
x 2 + y 2 + 6x －5－7(x 2 + y 2 + 6x －7) = 0化简得 3x 2 + 3y 2－3x －21y －22 = 0
四、同步题库
一、选择题
1．以点(2,-1)和(2,3)为直径的两个端点的圆的方程是( )
(A) x 2+y 2-4x+2y+1=0 (B) x 2+y 2
-4x-2y+1=0
(C) x 2+y 2+4x-2y+1=0 (D) x 2+y 2
+4x+2y+1=0
2.直线4x-3y+11=0与圆(x+2)2+(y-1)2
=10的位置关系是( ) (A)相切 (B)相离 (C)过圆心 (D)相交但不过圆心
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r 2
(r>0)与x 轴相切的充要条件是( )
(A)a=r (B)b=r (C)|a|=r (D)|b|=r
4.若圆x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，则系数D 、E 、F 满足（ ） (A)F=0D=0，E=0 (B)F=0，D=0，E ≠0 (C)F=0，D ≠0，E=0 (D)F ≠0，D=0，E ≠0
5．若方程x 2+y 2+4mx-2y+8m 2
+m+1=0表示圆，则m 的取值范围是（ ）
(A)0 (B)0m 4 1 <<- (C)4 1m 0< < (D)-4 6.两圆x 2+y 2-6x=0和x 2+y 2 -6x-4y-12=0的位置关系是（ ） (A)相交 (B)外离 (C)内切 (D)外切 7.圆x 2 +y 2 +2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0 的距离等于2的点共有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.当圆x 2+y 2+2x+ky+k 2 =0的面积最大时,圆心的坐标是( ) (A)(0,-1) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)(-1,1) 9.若直线x+2y-1=0与圆x 2+y 2 -4x+6y+3=0相交于A 、B 两点,则|AB|等于( ) 10)D (5)C (5 2)B (5 )A ( 10.动圆x 2 +y 2 -2mx+(4m+6)y+5m 2 +12m=0的圆心的轨迹方程是( ) (A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0 (C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0 二、填空题 1.在x 轴上的截距是-1和7,且半径是5的圆的方程是 . 2.直线x=3被圆(x-a)2 +y 2 =4截得的弦长为32,则a 的值等于 . 3.圆心是(1,-2)且与直线3x-4y=1=0相切的圆的方程是 . 4.过点P(-3,2)且与圆x 2+y 2 =13相切的直线方程是 . 5.过点A(-2,2)的直线与圆x 2+y 2 =2有公共点,则直线l 的倾斜角a 的取值范围是 . 6.两圆x 2+y 2-6x+2y+1=0和x 2+y 2 +2x-4y-11=0的位置关系是 . 三、解答题 1.求过0(0,0),A(3,1),B(-1,3)三点的圆关于点M(2,4)对称的圆的方程. 2.已知圆x 2+y 2 -2x+4y+2=0内一点P(2,-1),求过P 点的弦中最短的弦所在的直线的方程, 并求这个弦长. 3.如果圆C 经过点P(2,-1),圆心在直线y=-2x 上,又与直线x-y-1=0相切,求圆C 的方程. 4.求圆x 2 +y 2 -2ax+2ay+3a 2 -2a-1=0当半径最大时，截直线x 2 1 y -=所得的弦长。 【参考答案】 动脑动手 1.(1)C; (2)(A) 2.解:设所求圆的圆心为 B(a,b),半径为r,方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2 (如图) 已知圆x 2+y 2 +2x=0的圆心是 C(-1,0)半径是1. 所求的圆的切线0y 3x =-斜率为3 3, 过切点的半径AB 的斜率为-3 又A(-3,- 3),B(a,b) 所以 33 a 3 b -=++ 34a 3b --=得 ① 因为A(-3,3)是所求圆上的点, 得(-3-a)2 +(3-b)2 =r 2 ② 因为所求圆与已知圆相外切,得|BC|=r+1 1r b )1a (22+=++ ③ 解①、②、③,组成的方程得 ??? ??=-==??? ??==-=6r 34b 0a 2r 0b 4a 2 221 11 所求圆的方程是: (x+4)2 +y 2 =4和x 2 +(y+34)2 =36 3.解:如图 已知圆x 2+y 2 -4y+3=0的圆心是C(0,2),半径是1。 设点P 的坐标为(x,y)根据题意,y>0 根据题意,|CP|=|y|+1 把坐标代入,得1|y |)2y ()0x (2 2+=-+- 整理化简得x 2 -6y+3=0. 4.解:直线4x+3y-12=0的斜率为3 4 -.与其垂直直线的 斜率是 3 4. 过圆x 2 +y 2 =4的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是y= 3 4 x,即3x=4y=0解方程组 ??? ??? ? -=-=?????? ?==?? ?=-=+56y 5 8x 56y 58x 0 y 4x 34y x 221122得 ). 5 6 ,58(5 2 4 3412 )5 6 (3)58(4012345 2 34125 6358401234) 5 6 ,58(),56,58(2 222 21坐标是所以所求距离最小点的的距离是 到直线点的距离是 到直线点得到直线与圆交于点=+--+-= =-+= +-?+?= =-+--d y x B d y x A B A 创新园地 1.解:圆x 2+y 2 -2x+4y+1=0的圆心是C(1,-2)半径r=2 圆心C(1,-2)关于直线x-y+2=0,的对称点是C(-4,3)(过程略) 所求圆的方程得 (x+4)2+(y-3)2 =4,即 x 2+y 2 +8x-6y+21=0 2.解法一: 解方程组 ) 23,21(C ),23,21(B )2,3(A 0F Ey Dx y x )23,21(C ),23,21(B 0x 2y x 1y x 222222---=++++---?? ???=++=+因为圆经过点设所求圆的方程为得两圆交点为 用特定系数法求得7 19F ,0E ,724D -==-= 所求圆的方程是 .019x 24y 7x 707 19 x 724y x 2222=--+=-- +即 解法二: 可以证明,经过两圆x 2+y 2-1=0和x 2+y 2 +2x=0的交点的圆的方程可以写成 )1(0)1y x (x 2y x 2222-≠λ=-+λ+++ 这个方程不包括圆x 2 +y 2 -1=0 因为圆经过点A(3,2) 所以9+4+6+λ(9+4-1)=0 12 19- =λ 所求圆的方程为 整理得0)1y x (12 19x 2y x 22 2 2=-+- ++ 7x 2 +7y 2 -24x-19=0 【说明】 这一解法比解法一要简单,有的题目交点坐标不易求出,用此法则简单的多,若作选择题或填空题,用此法解很易得出结果,下面第3题,交点不易求出,用此求要简单的多. 3.解:设所求经过两圆x 2+y 2+6x-5=0和x 2+y 2 +6y-7=0的交点的圆为 70413,13, 04y x ) 13,13(0157y 1616y x : )1(0)7y 6y x (5x y x 222222-=λ=-λ+λ -λ+-=--λ +λ -λ+-=λ++λ+λ+λ+λ++ +-≠λ=-++λ+-++上 所以上因为圆心在直线圆心是化为 所求圆的方程是 x 2+y 2+6x-5-7(x 2+y 2 +6y-7)=0 3x 2+3y 2 -3x-21y-22=0 同步题库 一、选择题 1.(B)提示:圆心是已知直径的中点(2,1),半径为2的圆的方程(x-2)2+(y-1)2 =4化简后得. 2.(C)提示:已知圆的圆心是(-2,1),它满足直线方程4x-3y+11=0,所以直线经过圆心. 3.(D)提示:若圆与x 轴相切,则圆心(a,b)到x 轴(y=0)的距离等于r,即|b|=r,反之,若 |b|=r,说明圆心到x 轴的距离等于半径r,则圆与x 轴相切。 4.(B)提示:因为圆x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点,所以圆必过原点,且圆心与y 轴上(除去原点),因此F=0,D=0, E ≠0. 5.(B)提示:因为圆x 2+y 2+4mx-2y+8m 2 +m+1=0 经过配方后得 (x+2m)2 +(y-1)2 =-4m 2 -m,因为方程表示圆，所以-42-m>0解4 1 - 得 +y 2 =9和(x-3)2 +(y-2)2 =1，圆心分别是O 1(0,3)和O 2(3,2)半径分别是r 1=3,r 2=1,圆心距|O 1O 2|=2,r 1-r 2=2,而圆相内切. 7.(C)提示:圆的方程配方后得(x+1)2 +(y+2)2 =8,因此圆心是C(-1,-2),半径为R=22, 圆心到直线x+y+1=0的距离d=2是半径长的2 1 ,因此与直线x+y+1=0垂直的半径的外端点及与直线平行的直径的两个端点到这直线的距离都是2,除此三点外圆上没有其 他点满足条件. 8.(B)提示:圆x 2+y 2 +2x+ky+k 2 =0经配方后得,k 4 3 1)k 21y ()1x (222 -=+ ++因为方程表示圆,所以半径02k ,k 4 31r 2 ≥+=由于,所以k=0时r 有最大值,当k=0时,圆心为(-1,0). 9.(B)提示:把圆的方程配方后得到圆心为C(2,-3),半径10r =,圆心C(2,-3)到直线x+2y-1=0的距离是 52 1|162|2 =+--，在弦心距半径和弦长的一半组成的直角三角形中， 根据勾股定理，弦长等于.52)5()10(22 2 =- 10.(C)提示:根据动圆的方程可知动圆的圆心为(m,-2m,-3),即动圆圆心的横纵坐标满 足. . 03y x 22 3y x 23y m x m 3m 2y m x =+++- =?? ???+-==?? ?--==整理得 所以即 二、填空题 1．x 2+y 2-6x-6y-7=0,提示：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2 =25,因为圆经过点(-1,0)和(7,0),所以 ?????=+-=+--25 b )a 7(25b )a 1(2 22 2 解方程组得 a=3,b=3,也可以画出图由圆的几何性质得出圆心坐标为(3,3) 2.2或 4.提示：把x=3代入圆的方程得(3-a)2+y 2=4,y 2=4-(3-a)2 ,解得 ,)a 3(4y 2--±=由于直线x=3垂直到x 轴,所以 32)a 3(422=--解得a 1=2,a 2=4 3.x2+y2-2x+4y+1=0.提示：圆的半径是点(1,-2)到直线3x-4y-1=0的距离， ,25 | 183|r =-+= 圆的方程是(x-1)++(y+2)2=4即x 2+y 2-2x+4y+1=0. 4.3x-2y+13=0,提示:因为点(-3,2)在圆x 2 +y 2 =13上, 所以过点(-3,2)与圆x 2 +y 2 =13相切的直线方程是-3x+2y=13,即3x-2y+13=0. 5. 12 5a 12π≤≤π.提示:如图:圆x 2+y 2 =2的圆心在(0,0),半径为22|AO |,2=,若AB,AC 是圆的两条切线,切点分别是B 、C,则|OB|=|OC|=,AC OC ,AB OB ,2⊥⊥且 Rt ?ABO ≌Rt ?ACO, ∠AOB=∠AOC=60?,又OA 是第三象限角平分线，所以∠BOD=75?，∠BDO=15?，切 线AB 的倾斜角a=15?= 切线,12πAC 的倾斜角∠CEO=75?=因,12 5π 此过点A(-2,2)与圆x 2+y 2=2有公共点的直线l 的倾斜角的范围.12 5a 12π≤≤π是 6.相交,提示:两圆标准方程为(x-3)2+(y+1)2=32和(x+1)2+(y-2)2=42 ,d=5, r 1+r 2=3+4=7,d 1.解:设过已知三点的圆的方程是x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 5 )2y ()1x (0y 4x 2y x 0F 4E 2D 0 F E 3D 910F E D 1390F )3,1(B ),1,3(A ),0,0(2222=-+-=--+?? ? ??=-=-=? ?? ??=++-+=+++=∴--配方后得所以过已知三点的圆是解得 圆过点 ,5r )2,1(C =半径圆心为 设点C(1,2)关于点M(2,4)的对称点是C '(x 0,y 0),则 . 5)6y ()3x ()6,3(C C ,6y ,3x ,42 y 2,24x 122000 0=-+-∴''==∴=+=+所求圆的方程是点的坐标是即 2.解:已知圆x 2 +y 2 -2x+4y+2=0,配方后得(x-1)2 +(y+2)2 =3,它的圆心在C(1,-2),半径 R=3. 过点P(2,-1)的弦中以P(2,-1)为中点的弦AB 最短,此时CP ⊥ AB . 2)|CP ||CA (|2|AB |3 |AC |2)21()12(|CP |01y x )2x (1y AB 1 k 1 22 1k 2222AB CP =-=∴==+-+-==-+--=+-=∴-+-= 即所在直线的方程是 3.解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r,圆的方程为(x-a)2 +(y-b)2 =r 2 根据题意 2 )2y ()1x (213r 18b 9a 2r 2b 1a r 2|1b a |a 2b r )b 1()a 2(22222=++-?????=-==?????=-==????? ???? =---==-+-所求圆的方程是或解得 或(x-9)2+(y+18)2 =338 4.解:圆x 2+y 2-2ax+2ay+3a 2-2a-1=0配方后得(x-a)2+(y+a)2=-a 2 +2 a+1 其半径为.1a 2a r 2++-= ∵当a=1时,-a 2 +2a+1有最大值是2 ∴半径r 的最大值是2,此时圆的方程为 (x-1)2+(y+1)2 =2,即 x 2+y 2 -2x+2y=0 解方程组 ?? ???-==--+x 21y 0y 2x 2y x 22 .5 56)56()512( )5 6,512(),0,0(56 y 5 12x 0y 0x 222211=-+=∴-??? ????-==???==弦长是即直线与圆的交点坐标 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 高三数学《平面解析几何》 单元练习七 （考试时间120分 分值160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________． 9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________． 高中平面解析几何全一册 第二章圆锥曲线 第二单元圆 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。 【指点迷津】 这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如： 过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2 过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2 圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k 12 =±+ 对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式 A x2 + B xy + C y2 + D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件： (1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0 (2)不含xy项，即B = 0 平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有 且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一 个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）． 直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的 区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+. 平面解析几何精粹 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1 2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则 ????? x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1 ，解之得? ???? x ＝2 y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1 kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 21 2x x y y K AB --=。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2 2 00| |B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中??? ??-- 22 E D ，为圆心 F E D 42122-+为半径， ，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是?? ?==θθsin , cos r y r x （其中θ为参数）． 以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为???+=+=θ θsin , cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以 垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示． 三种形式的方程可以相互转化，其流程图为： 2．二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件． 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ” ，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义． 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来， 3.圆锥曲线 (1).椭圆的标准方程及其性质 专题05 平面解析几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与 C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? =，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为 22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=? ， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去 2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得 2 n = ．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2 =2px (p >0)的焦点是椭圆 2231x y p p + =的一个焦 点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 【答案】D 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2 p 是椭圆 2231x y p p +=的一个焦点，所以2 3()2 p p p -=，解得8p =，故选D ． 【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为 坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222 x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 A B C ．2 D 【最新】数学复习题《平面解析几何》专题解析 一、选择题 1．已知曲线()22 22:100x y C a b a b -=＞，＞的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，MO OP =u u u u v u u u v ，直线2PF 交双曲线C 于另一点N ，若 122PF PF =，且2120MF N ∠=?则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 23 B ．7 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合双曲线的定义可得124,2PF a PF a == ，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224208c a a =+，据此计算双曲线的离心率即可. 【详解】 由题意，122PF PF =，由双曲线的定义可得，122PF PF a -= ，可得 124,2PF a PF a == ， 由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=?，可得12120F PF ∠=?， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-???? ， 即有2224208c a a =+，即227c a =，可得7c a =，即7c e a = =. 【点睛】 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a = ； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 平面解析几何专题 1．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是 A B ．1 C D ．2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离 心率c e a = =故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40° B ．2cos40° C ． 1 sin50? D ． 1 cos50? 【答案】D 【解析】由已知可得tan130,tan 50b b a a - =?∴=?， 1cos50c e a ∴======?， 故选D ． 【名师点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a == 对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，有c e a == 3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212 x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??． 在12AF F △中，由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ，解得2 n =． 2 2 2 24,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=． 在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得 223611n n += ，解得n = ．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=，故选B ． 【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地 2013年全国各地高考文科数学试题分类 平面解析几何及详解答案 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P是圆22 -++=上的动点,Q是直线 x y (3)(1)4 x=-上的动点,则PQ的最小值为（）3 A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的 圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cosx,则y与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P(2,2) 的直线与圆225 -相 += x y (1) 切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ） A ．12 - B ．1 C ．2 D ．12 【答案】C 4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1与圆O 的位置关系是 （ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一 象限的直线方程是 （ ） A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆 O : 225 x y +=,直线 l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<<).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则 k =________. 【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2)A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1相切,则圆C 的方程是_________. 【答案】22325 (2)()2 4 x y -++=高中数学平面解析几何知识点总结
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