谈对数学本质的认识
【摘要】：数学本质是一个认识论问题,它涉及到了经验知识与理论知识的关系。数学本质是数学观的重要表现,它影响并决定着数学研究方法。研究数学本质是数学教育工作者的一个重要课题,不是“没有必要”的;培养学生树立正确的数学观是数学教师的一项重要任务,不是“无关紧要的”.数学发展的动力是实践,而不是归纳法.
【关键词】:数学本质认识论数学观实践归纳法
对于数学的本质我们应该怎样认识呢？数学本质，简单的解释就是数学的根本性质。对数学本质的认识，是数学认识的根本性问题，也是数学教育论的根本性问题，历来被数学家，尤其为数学哲学家所重视。我认为对数学本质的认识我们不应该从传统数学哲学的角度退缩到方法论的一个狭隘的层面，而是应该从更广阔的、更为多样的角度对数学本质进行更为透彻的了解。
从人类社会发展史来看，对数学本质特征的认识在不断的加深。在19世纪以前，由于数学与现实联系的比较密切，所以认为数学只是一门自然科学、经验科学，但随着对数学研究的不断深入，人们逐渐认识到数学是一门演绎科学的学问，而且这样的观点在19世纪中叶以后开始占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学全部都建立在代数结构、序结构以及拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应的是从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在《数学与善》中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔通过不完全性定理的证明了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。而数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问等这些观点既反映了人们对数学理解的深化，也让人们从不同方面对数学进行认识的结果。波利亚认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成
一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的。”
数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理,以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”
另外，对数学还有一些更加广义的理解。如有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验。作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”
从上所述可以看出，人们是从数学内部如数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。
基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学具有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后
是它的应用的极端广泛、性，”另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
综上所述，对数学本质特征的认识是发展的，从历史的发展的观点来看数学的本质特征，恩格斯的“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”的论断并不过时，对初等数学来说就更是如此，当然，对“空间形式和数量关系”的内涵，我们应当作适当的拓展和深化。顺便指出，对数学本质特征的讨论中，采取现象与本质并重、过程与结果并重、形式与内容并重的观点，对数学教学具有重要的指导意义。自上个世纪的数学基础大论战之后，关于“数学的本质及其实在性”问题的讨论占据了当前数学哲学发展的主流。数学的本质是一个数学认识论问题。不同时代的哲学家和数学家都从认识论角度提出不同的理论和观点。但随着数学的发展又暴露出它们的片面性或局限性，特别是，当计算机引起数学研究方式的变革时，又提出有关数学本质更深层次的问题，从而推动着人们全面而辩证地认识数学的本质。
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对数学教学本质的基本认识 “数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”这里，强调了数学教学是一种活动，是教师和学生的共同活动。 一、数学教学过程是教师引导学生进行数学活动的过程。学生要在数学教师指导下，积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成积极、主动的学习态度，同时使身心获得健康发展。数学活动可以从以下两个方面加以理解。 1、数学活动是学生经历数学化过程的活动。数学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动。简单地说，在数学活动中要有数学思考的含量。数学活动不是一般的活动，而是让学生经历数学化过程的活动。当儿童通过模仿学会计数时，当他们把两组具体对象的集合放在一起而引出加法规律时，这实质上就是数学化的过程。 2、数学活动是学生自己建构数学知识的活动。数学学习是学生在学数学，学生应当成为主动探索知识的“建构者”，决不只是模仿者。无论教师的教还是学生的学都要在学生那里体现，不懂得学生能建构自己的数学知识结构，不考虑学生作为主体的教，不会有好的效果。实际上，教师的教总要在学生那里得到体现与落实，是学生在吸收、消化、理解、掌握、运用知识。离开了学生积极主动的学习，数学教师讲得再好也会经常出现“教师讲完了，学生仍不会”的现象，教学对于指导学生建构数学知识应当具有重要的引导和指导作用，教
师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动。 二、数学教学过程是教师和学生之间互动的过程。教学过程是师生间进行平等对话的过程。在教学中，教师首先应考虑的是要充分调动学生的主动性与积极性，引导学生开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等多种形式的活动，使学生通过各种数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物和思考问題，产生学习数学的愿望和兴趣。教师在发挥组织、引导作用的同时，又是学生的合作者和好朋友，而非居高临下的管理者。教师的这些作用至少可以在下面的活动中体现出来。 1、教师引导学生投入到学习活动中去。教师要调动学生的学习积极性，激发学生的学习动机；当学生遇到困难时，教师应该成为一个鼓励者和启发者；当学生取得进展时，教师应充分肯定学生的成缋，树立其学习的自信心；当学习进行到一定阶段时，教师要鼓励学生进行回顾与反思。 2、教师要了解学生的想法，有针对性地进行指导，起到“解惑”的作用；教师要鼓励不同的观点，参与学生的讨论；教师要评估学生的学习情况，以便对自己的教学做出适当的调整。 3、教师要为学生的学习创造一个良好的课堂环境，引导学生开展数学活动。教师在数学教学中应经常启发学生思考：“你是怎么知道这个结果的？”而不只是要求学生模仿和记忆。教师应了解学生的真实想法，并以此作为教学的实际出发点，为学生的学习活动提供一个良好的环境，真正发挥引导者的作用。
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，数学思想”和“数学方法”之间，没有严格的界限，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一种程度时就会产生飞跃，从而上升为数学思想，比如，我们用代数知识去解决某一几何问题（或用几何知识去解某一代数问题）就是数形结合法，当其在整个几何，（或代数）体系中发挥重要作用时，就自然升华为数形结合思想，因此，人们通常将数学思想与数学方法看成一个整体概念——数学思想方法。 二、初中数学教材中的主要数学思想方法 纵观初中数学教材，涉及到的思想方法主要有： 1、符号与换元思想方法 使用符号化语言和在其中引进变元是数学高度抽象的要求，它能够使数学研究的对象更加准确、具体、形象简明，更易于揭示对象的本质，一套形式化的数学语言极大地简化加速思维过程，例如公式（a ＋b）（a－b）＝a2－b2就是采用符号化语方来表述，当a、b代的任意数、单项式、多项式等代数式都成立，这样的字母表示“换元”，初中教材中的公式、法则、运算律等绝大多数都是用含有变元及符号组合，来表示某一般规律和规则的，这种用符号表达的过程，反映了思维的概括性和简洁性。
2、化归思想方法 化归思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，它是通过观察、联想、类比等手段，把问题进行变换、转化、直到化为已经解决或容易解决的问题。教材中几乎处处都隐含着化归思想，如把有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算转化为乘法运算，最后转化为算术数的运算；把一元一次方程转化为最简方程；把异分母转化为同分母；将多元方程转化为一元方程；将高次方程化为低次方程；将分式方程化为整式方程；将无理方程化为有理方程；把求负数立方根问题转化为求正数立方根的问题；把不能直接查表的数转化为可以直接查表的数；把复杂图形转化为基本图形；把多边形转化为三角形或特殊四边形等等。 3、分类思想方法 分类思想方法是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。数学分类须满足两点要求：①相称性，即保证分类对象既不重复又不遗漏。②同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。（注意同一数学对象，也可有不同的分类标准）在教材中有许多处体现分类思想方法如在概念的形成中有：有理数的概念、绝对值的概念等；在定理的证明中有：圆周角定理的证明、弦切角定理的证明等；在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法、一元二次方程根的判别等，在图形（像）的性质中有：点、直线、圆之间的位置关系、函数图像的性质等，可见，分类
光明日报/2010年/7月/14日/第011版 理论综合 对思想政治教育本质的认识 西南大学邓艳葵 思想政治教育作为人类的一种普遍存在的实践活动在世界各国早已存在,但关于什么是思想政治教育本质问题,却至今仍然是学界追问的热点。我们认为,认识和把握思想政治教育本质主要基于如下尺度:一是事物本质的理论的规定。二是思想政治教育是一项特殊的实践活动的规定。首先,思想政治教育是构建在“人”基础之上的一项社会实践活动。其次,思想政治教育本质由其所处的社会关系地位和其内在规定性决定。作为一项特殊的实践活动,思想政治教育主要是为宣传和传播统治阶级的思想,维护统治阶级的根本利益,促进社会的有序和谐发展和稳定服务的,是思想的上层建筑的一个重要内容。从这个意义上说,思想政治教育本质内含了政治性,成为它自己的并区别其他实践活动的本质属性。另外,一定社会发展要求同人们实际的思想政治道德水平这一思想政治教育内在的特殊的矛盾运动也要求我们在认识和把握思想政治教育本质时必须充分加以考虑。 根据上述尺度,我们对思想政治教育本质进行了概括和抽象,认为“思想政治教育本质就是一种改造人的思想政治品德的精神生产实践活动”。具体解读如下: 第一,从人类社会生产关系及其相互关系看,思想政治教育是一种精神生产。首先,在人类社会生产整体系统中思想政治教育是一种精神生产,它为物质生产和人类自身生产提供精神动力和智力、理论支持。马克思主义认为,人类社会生产包括物质生产、精神生产和人类自身生产三种基本形式。这三种生产形式相互作用、相互促进、相互影响。其中,精神生产是人们一定的物质生产方式的反映,它为物质生产和人类自身生产提供精神动力和智力、理论支持,既引导着物质生产的方向,又指导物质生产的组织和管理。思想政治教育作为社会科学中的一个学科,它的主要任务是塑造人的灵魂,提高人的品德,净化人的思想,建设人的精神家园,它在社会科学中起着核心和基础性的作用。同时,作为一种脑力劳动,思想政治教育劳动的对象是人的内心精神世界,劳动的产品是精神产品,即存在于受教育者头脑和心灵的内在的精神状态,所以思想政治教育是一种精神生产。其次,从物质生产力构成要素所起的作用看,思想政治教育是一种精神生产。众所周知物质生产力由劳动者、劳动对象和劳动资料三个要素构成,而其中劳动者是最具能动性的要素,是促进生产力发展的核心要素。思想政治教育通过规范、调整、转化、提升劳动者的思想品德,使劳动者的素质得到发展和提高,从而更有效地利用劳动工具改造劳动对象,在生产力中起着一种“精神动力”作用,或者说,它是生产力中的精神力量因素。因此,“精神生产”是思想政治教育现象中最一般、最普遍、最稳定的属性,是思想政治教育现象的类本质,这符合事物本质理论的第一个尺度。有学者把意识形态性作为思想政治教育现象的类本质,从而进一步认为意识形态性是思想政治教育本质。其实,思想政治教育具有意识形态性和非意识形态性两个方面的性质,若单把意识形态性作为思想政治教育现象的类本质是不够全面的。 第二,从思想政治教育作为一种精神生产所具有的现实性看,思想政治教育不仅是一种精神生产,而且是一种实践活动。首先,思想政治教育作为一种精神生产,不是单纯的头脑风暴,而是意识活动的高级阶段,是创造精神产品的过程,它为世界呈现出精神产品,从而使意识获得物质载体(人们的思想、理论表达在纸张或光磁等物质载体或通过主体物质身体的一些客观行为表现出来),具有了客体的性质,并成为一定群体或者整个人类的共同财富。其次,思想政治教育作为一种精神生产,其现实性不仅体现在形式上,而且体现在内容上。因为思想政治教育作为精神生产,所生产的精神产品在公开和传播的过程中,丰富、影响和改变了主体的精神世界,从而现实地改变了人的言语和行为,成为一种社会力量,正如马克思在《〈黑格尔法哲学批判〉导言》中所说:“批判的武器当然不
数学理解的本质 认知心理学家将知识在学习者头脑中的呈现和表达方式称为知识的表征．对知识的理解与知识的表征密切相关，事实上，对一个事物本质的理解，就是指该事物的性质以一定的方式在学习者头脑中呈现并能迅速提取．基于此，我们将理解解释为对知识的正确、完整、合理的表征． 根据对数学知识的分类，数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面． (1)对陈述性知识的理解． 陈述性知识以命题、表象、线性排序等3种形式作为基本表征单位．命题相当于头脑中的一个观念，一个命题被看作是陈述性知识的最小单元．一个命题不是孤立的，它与其它命题相互联系组成命题网络．表象表征是对事物的知觉特征的保留，是一种连续的，模拟的表征．线性排序是对一系列元素所作的线性次序的编码．在人的知识表征中往往组合了命题、表象及线性排序，从而形成对知识的综合表征—_一图式．Anderson[8]认为：“图式是对范畴的规律性做出编码的一种形式．这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性的．”显然，图式包容了命题网络，因为命题网络并不对可以知觉的规律性做出编码．Gagne 隅】对图式的特征作了更细致的刻画：①图式含有变量；②图式可按层级组织起来，也可以嵌入另一图式之中；③图式能促进推论． 对数学陈述性知识的理解是从知识的基本单元表征，到形成命题网络，再到获得图式的过程．许多学者认为，所谓对一个陈述性数学知识的理解就是在个体头脑中建立了该对象的一个命题网络．这种界定将知觉表征排除在外，有偏颇的一面，笔者认为，对一个陈述性数学知识的理解，是指学习者获得了该对象的图式． (2)对程序性知识的理解． 程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成分．与静态的陈述性知识不同，程序性知识以“产生式”这种动态形式来表征．所谓产生式指一条“条件——行动”规则，即一个产生式总是对某一或某些特定的条件满足时才发生的某种行为的一种程序．当一个产生式的行动成为另一个产生式的条件时，这2个产生式便建立了相互的联系，若一组产生式有这种相互联系，便形成一个产生式系统，产生式系统代表了人从事某一复杂行为的程序性知识．对数学知识而言，其二重性表现得尤为突出，这种二重性或称为概念性知识和方法性知识(Hiebert& Carpenter) ，或称为对象和过程(Thompson 等)，其本质就是陈述性知识和程序性知识．一个数学概念既包含结果也包含过程，如“加法”：a+b，既代表2个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并或添加后的结果．因而，对数学知识的理解就不仅包括对静态的、结果的陈述性知识的理解，而且还包括对动态的程序性知识的理解． 既然程序性数学知识的表征是产生式和产生式系统，因此，程序性数学知识的理解就应解释为学习者对产生式和产生式系统的获得．特别地，我们认为对程序性知识中的策略性知识，其表征是一种双向产生式．双向产生式是一种具有双重功能的指令，它既能指令在具备什么样的条件下会有什么动作，又能指令在不同的情形中选用不同的产生式．换言之，学习者不仅知道“如果?那么?”，而且还应知道在什么条件下去使用这个“如果?那么?”．综上所述，学习者对程序性数学知识的理解，是指他建立了双向产生式和产生式系统． (3)对过程性知识的理解． 过程性知识与程序知识的共通之处是2者都是动态型知识，但2者的内涵是不同的．其一，过程性知识是指个体对数学知识发生发展过程的体验性知识，当然包含对陈述性知识及程序性知识获得的体验，其动态性贯穿于知识学习的全过程．而程序性知识是进行某项操作活动的程序，它是陈述性知识经过内化而得，其动态性表现在学习过程中的知识应用阶段．其二，程序性知识通过一定量的练习后可以习得甚至形成自动化技能，但过程性知识难以通过练习去习得．其三，程序性知识往往是针对某个知识点而言的，而过程性知识则是关注知识点之间的关系． 我们将过程性知识的表征分为2个层面，一是关系表征，二是观念表征．关系表征指个体对知识发展过程中知识之间存在某些关系的体悟．具体地说，它相当于陈述性知识的命题网络中连结命题的连线，以
关于教学本质的讨论 教育科学学院 教育学专业 温馨 11033026
关于教学本质的讨论 一、教学本质的基本认识: 人们对于教学本质认识,一直以来就有着颇多的认识和争论.就我们国家而言,就有特殊认识说,实践说,发展说,多层次类型说,交往说等主要观点.以下我主要就其中的特殊发展认识说,交往说和实践说三种说法作简单的介绍: 认为教学过程就是学生的特殊认识过程，这种认识活动以人类已有的知识为主要对象，力求在较短的时期内传授大量的人类文化科学知识，使个人知识达到当代社会的知识水平。其主要特点是：是学生个体的认识活动，不同于人类历史总认识；有教师的指导；教学认识无论是方式还是内容都具有间接性；教学认识具有发展性和教育性。 该说以马克思主义认识论为指导，按照认识的普遍规律来把握教学的一般过程，确定了教学理论与实践的一个方法论前提。但批评者认为：(1)仅仅局限于惟一的特殊认识过程，不利于深入、全面地揭示多层次的教学过程的本质，违背了马列主义唯物辩证法的认识论。(2)认识过程是囊括不了教学过程的本质的，具有很大的片面性，这种片面性导致教学实践中片面强调传授知识，忽视了智力、能力、情意、思想品德、体质等，忽视了学生多种心理的参与。(3)把教学过程的本质归结为认识过程，不能够概括和指导一切教学活动和学科教学，也无法解释教学过程的某些规律，如教学的教育性规律。 (4)该说只描述了教学过程中学生的学习活动，忽视了教师的教授活动。(5)它在教学实践中极易形成师生间的主客体关系，造成教学上的片面和单一，不利于学生个性的整体性和谐发展。 要研究教学本质，首先须明确本质指的是什么，在讨论中人们有时对教学的“质”和“本质”之间的联系和区别并不进行明确分析，由此而带来的经常是以质代替本质，把多方面的质看作是多重的本质。事实上，质和本质既有联系又有区别，本质比质更深刻。质反映的只是事物的某一侧面的属性，而本质才反映了事物的内在的必然的联系，反映了事物存在的根据。本质通过关系而得到揭示。所以揭示事物的本质需要在揭示质的含义的基础上，将自身联系与他物联系统一起来，说明事物存在的原因，这样才能真正揭示事物的本质。 所谓教学本质，就是自在于教学这一事物本身使其既可成为其自身又可与其他事物相区别的内在规定性，它是教学过程的内部要素和特殊矛盾的整体的、集中的体现，是决定该类事物或现象是教学而非其他事物或现象的依据，是教学活动区别于其他社会实践活动的根本特征，是教学的各种特征和属性的抽象与概括。以往对教学本质的认识不少论者实质上是把质当成了本质来界定教学，对教学本质的概括要么把教学的任务、目的当作教学的本质，要么将教学的功能、价值当作教学的本质，都在向教学本质认识逼近，但还未达到教学的本质。对教学本质的认识必须在正确把握“本质”内涵的基础上，对已有关于教学的质的认识进行综合抽象，才能达到目的。 二、关于教学本质研究的着眼点问题： 对教学本质的探讨，有的是从教师教的角度，有的是从学生学的角度，有的是从教学的角度；有的从一个侧面概括，有的从两个侧面概括，有的从整体概括；有的着力于教学过程的归属的分析，有的着力于教学过程的性质的分析，有的着力于教学过程的功能的分析等等。比如，着眼于学生来考察教学过程，形成了“学习说”、“学生实践说”、“发展说”、“认识论”等诸观点；着眼于教师来研究教学过程的本质，就产生了“价值增值说”、“传递说”、“教师实践说”等认识；而“交往说”、“知情统一说”、“审美过程说”、“多本质说”等由于其涉及教与学的两个方面，明显带有教师与学生的共同属性，因此它们是从师生双方的角度来论证教学过程本质的。
把握数学本质，以不变应万变我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。 一、“牛吃草”问题 牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。 我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。200份草=原有的
草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。 至此，整道题就解完了。解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。
数学教学中数学本质的揭示 摘要：中学数学课堂教学一般比较重视数学技能的训练，“精讲多练”已成为数学课堂教学的主要形式。对学生而言，这种做法的必然结果是：强化了技能操作却忽视了对数学基本原理和数学思想方法的理解掌握。忽视了对数学本质的理解，对数学的认识只停留在一个较低的水平。中学数学教学应该呈现数学的本质，感悟数学的精神，应该跳出题海，回归本源。 关键词：数学教学；本质；揭示 现在的教学目标，除知识技能目标之外，还要注意知识的发生过程，提出了过程性目标，这是完全正确的。但是，比呈现数学过程更高的要求是体现数学本质：对基本数学概念的理解，对数学思想方法的把握，对数学特有思维方式的感悟以及对数学美的鉴赏等。一些粗浅、拖沓的“过程”往往不能反映出数学的真正价值，反而白白浪费了时间。 新加坡数学教育家李秉彝先生说过，数学教育必须做到八个字：“上通数学，下达课堂”。所谓上通数学，就是必须理解数学知识的内涵，揭示数学的本质。但是在如今的公开课的展示及其评价中，教师多半聚焦在教育理念的体现、教学方式的选择、课堂气氛的营造、学生举手发言的热烈等方面。至于数学内容的表达、数学本质的揭示、数学价值的呈现，则往往有所缺失。其实，内容决定形式，学生是否能够掌握数学内容，是评价课堂教学是否成功的主要标志。因此，教师在备课时，需要思考如何挖掘教材内容的数学本质。 一、透过现象看本质 数学本质往往隐藏在数学形式表达的后面，需要由教师的数学修养加以揭示。例如，在数学中平面直角坐标系的本质是什么？浅层的理解是用一对数确定点的位置，于是初中数学教学中的大量案例，都把坐标系的价值理解为“位置”的确定，许多教案的内容也都要求在教室里开展“第几排第几座”的游戏。事实上，这种低级的生活化活动，根本不能增加对坐标系的理解。用一对数确定位置，是地理课的任务，连语文课也都会处理几排几座这样的问题，所以这样的活动没有鲜明的学科特点，更没有触及数学概念的本质，我认为平面坐标系的本质则在于用“数”所满足的方程来表示点的运动轨迹，即“数形结合”的思想。引入坐标系的第一节课，拿位置确定作为铺垫可以，更重要的是要引导学生观察和思考：两个坐标一样的点是什么图形？两个坐标都是正数的点构成什么区域？横坐标是零的点是什么图形？这样就有数学味道了，也更深层次的触及了数学的本质。 二、数学操作活动要体现本质 新的数学课程标准中将基本数学活动经验纳入了数学教学的目标之中，这使得学生在数学学习中不仅获得了客观性的知识，还形成了属于学生自己的主观性知识，有助于学生对数学的真正理解，在许多教学设计中，也都注意到了数学活
学习教育学的意义？1.有助于树立正确的教育思想，提高贯彻执行教育方针、政策的自觉性；2.有助于树立牢固的专业思想，热爱教育事业；3.有助于认识和掌握教育规律，提高教育工作的能力和水平；4.有助于提高学校的教育质量，推动学校的教育改革。学习教育学的基本要求？1.坚持以马列主义，毛泽东思想和邓小平理论为指导；2. 坚持理论联系实际；3.要坚持批判地继承和借鉴。教育本质的认识？教育的本质存在于教育的内部，是教育各要素间的内资联系，是由教育过程的特殊矛盾决定的；在教育过程中，教育者和受教育者是两个最重要的能动的因素，教育者的教和受教育者的身心发展水平的差异是教育过程不同于其他社会过程和持殊矛盾。教育者的教育要求反映社会发展对人的素质的要求（即教育目的），它总是高于受教育者的身心发展的现有水平。通过教育者的培养和训练，使受教育者的身心发展水平得到一定的提高，这就是教育的本质。教育宗旨、教育方针、教育目标的区分？教育宗旨，方针是宏观的。它反映一个国家或政府的教育政策和对教育的总体要求。教育目的是中观的，它反映一定社会对教育所要培养的人才的质量和规格的设想，是教育宗旨，方针内容的一部分。狭义的教育目标是微观的，他是根据国家的教育方针和目的制定出的不同学校的具体培养目标，以指导学校进行各种具体的教育活动。新中国教育目的的基本内核？1.社会主义方向性2.培养劳动者3.全面发展与独立个性相统一。素质教育的基本特征？1.主体性2.全面性3.全体性4.基础性5.发展性。影响人的发展的因素？ 1.遗传对个人发展的意义； 2.环境对人的发展起着一定的制约作用；
3.主动能动性在人的发展中起决定性的作用； 4.能动的活动是人的发展的决定性因素。 简述教育与人的发展的关系？1.教育受人的身心发展顺序性的制约，必须循序渐进地促进青少年学生的身心发展；2.教育受的身心发展的阶段性的制约，必须针对青少年学生不同阶段的年龄特征，选择不同教育内容和方法；3.教育受人的身心发展的不平衡性的制约，必须抓住身心发展的关键词，促进青少年学生的发展；4.教育受人的身心发展的个别差异性的制约，因材施教，促进青少年学生的个性化发展； 5.教育受人的身心发展的整体性的制约，必须促进青少年学生的全面发展。教育与经济的关系？教育与生产力以及与生产力紧密相联的科学技术之间相互影响、相互作用的本质联系是教育与经济之间的相互影响、相互作用的本质联系的集中体现。教育与政治的关系？教育与政治之间也存在着相互影响、相互作用的联系，一方面，教育对政治有巨大的影响力，另一方面，教育的发展又必须受政治发展的制约。教育与文化的关系？文化与教育之间也存在着相互影响，相互作用的本质联系，即：一方面教育影响文化的发展，另一方面，教育的发展又要受文化的制约。 教师应该具备怎样的专业素质？教师的业务素质是搞好教育活动的前提，也是衡量教师能否胜任本质工作的基本条件。教师要满足社会发展与育人的需要须具备以下基本素质：1正确的教育理念 2多元的知识结构3完善的能力结构：言语表达能力、教育和教学能力。 教师扮演了那些角色，如何处理教师的角色冲突？1“教员”角色2
“把握数学本质”的几点看法和做法 石狮石光华侨联合中学陈润生 （4月9日） 一、问题的提出： 曾经问过几个数学比较优秀的学生这样几个简单的问题，题目和学生的回答如下： （1）什么叫做点在第二象限？ 学生甲：一脸茫然，不知所云？ 学生乙：画出第二象限的一个点，指给我看。 （2）什么叫做两圆外切？ 学生甲：画出两圆外切的图形，指给我看。 学生乙：有唯一公共点，且一个圆在另一个圆的外部的两个圆的位置关系。 我也茫然！我不能说他们是错的，但我觉得这样的数学仅能是“意犹未尽的数学”。思其原因：学生了解到的仅是对于数学知识的外在理解，而未能很好地把握数学的本质！ 我惊叹：“哑巴几何（说不出来的几何）”好可怕！ 我思考：我们要怎么引导学生抓住数学的本质，实现数学的教育目标？ 二、问题的思考 新课程明确提出：淡化形式，注重实质。数学的学习仅仅了解数学知识的外在形式是不够的，而更深层次的必需抓住它的
本质所在。正如，我们认识一个人，并不应仅仅认识其穿一件衣服下的“他”，而应认识的实实在在的“他”（包括化完妆后的“他”）。数学的外在形式很多，正如人可以穿好几套衣服一样，但它的实质却永远不会变（你就是你），教会学生“透过现象看本质”、“外显和内含相呼应”、“用内含来解释外显”是我们应该引导学生完成的一件很重要的任务。 三、问题的探索： 如何实现抓住数学的本质呢？下面几方面可以进行探索： 1.要让学生明确数学的表现形式是多样的，有外部的表现形式（往往还是有很多种），也有内在本质的东西，仅仅了解数学的外部表现是远远不够的，数学的学习和研究实质上就是要抓住数学本质、应用数学的本质。 2.要让学生具有“翻译”能力——“等价翻译”的能力，这是数学知识实现有“外在形式”转化为“内在形式（本质）”的手段和途径。也就是要让学生“听懂话中之意”！ 3.要创设情境，让学生体会到“抓住数学本质，才是抓住数学”的道理。要体现出抓住数学本质的重要性。 4.要让数学的“外在形式”与“内在本质”达到统一。让学生透过外表看本质，由本质问题解释外显现象。 如关于《三角形稳定性》的教学，可以按以下环节，层层递进，抓住和应用数学本质，达到数学的本质与各种外显的统一： ①三角形的三边确定，则三角形就能稳定不变；
浅谈从数学文化中理解数学的价值 张瑶03级3班1030500723 数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。 R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。也许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。 一、数学文化的概念 由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物，所以，数学本身就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们所研究的量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而，在亚里士多德看来，数学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。 1．数学传统的内涵： 数学对象是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的，他们的行为方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以下这个笑话被用来表明在解决问题时，数学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方法： 有人提出这样一个问题：“架设在你面前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水，点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解决问题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。 2．数学在历史发展中存在三个辩证关系： 1）抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽 象程度是数学发展的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形 式。事实上，例如：“计算数学，运筹学，统计数学等与实践密切相关的学科的建 立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是，数学向着更高抽象程度的发展又并 非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的 2）一般化与特殊化 对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为特殊化可 以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊 的化归解决原来的问题。与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造 性功能，忽视这一方法在解题中的作用。例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的 广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的功能，而由原来所求作的对象到 相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一般化或特 殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。 3）多样化与一体化
一、特殊认识说 特殊认识说是一种影响很大，认同者最多的教学本质观。该观点最初起源于前苏联凯洛 夫主编的《教育学》，是我国在解放初期学习苏联教育学的基础上，逐步形成和完善起来的。它抓住教学过程中“学生领会知识”的过程与人类一般认识过程既基本一致又有其特殊性的 特点，对整个教学过程进行了概括。这一观点最典型的代表是王策三教授的《教学论稿》中的论述。他认为人类认识过程与教学过程的一致性表现为：认识主体的一致性；认识的检验标准的一致性；认识过程的顺序一致性；认识结果的一致性等等。但是，教学过程作为一种认识过程又具有自己的特殊性。这种特殊性表现在教学过程具有“间接性、有领导、有教育性”三个特点。还有的同志从教学过程的内容、任务、条件等方面揭示教学过程的特殊性， 认为“教学过程的本质，就是以一定教材所规定的为主体的知识为对象，以有一定教师为主体的学校为条件的学生的认识过程。” 特殊认识说成功之处在于： 第一，以马克思主义认识为指导，把教学过程看作本质上是一种认识过程，按照认识的普通规律来把握教学的一般过程，找到了一个有价值的组织具体教学活动的制高点，确定了教学理论与实践的一个方法论前提。 第二，指出了教学过程中学生认识的特殊性，为后继有关教学理论的适应性和有效性， 确定了一个基本的维度和初步的基础，在这一方面特殊认识说的理论功绩与意义是必须肯定 的。 但是，同样应该看到特殊认识说及其指导下的教学实践尚存在许多问题。这突出表现在：第一，重手段轻目的。表现为重视知识技能的获得，轻视获得认识后的结果及发展。 第二，见特殊忘普遍。表现为在教学目的上重视条件性、直接性目标，如知识技能获得、分数增加、升学率提高等，而忽视其结果性、间接性目标，如整体素质增强，实际水平提高、综合质量改善等；在教学内容上，重视学科体系忽视社会生产生活的普遍需要和活动课程； 在教学形式上，重视课堂教学忽视其与其它可行教学形式的有机联系；在教学方法上，过分强调传递与接受，而忽视其与探究、体验的联系，进而导致教师满堂灌输、学生机械接受的现象。 第三，以局部代整体，以认识代实践。把活生生的教学实践与学习生活简单地归结为“认识”，而不顾“生活、实践的观点，应该是认识论的首先的和基本的观点”。教学过程不只 是认识过程，从整体上看更是实践过程，是师生统一活动的过程，实践的观点应成为研究教学论的首要观点。 二、认识发展说 这种看法的基本观点是： 教学过程不仅是教师领导下学生自觉地认识世界的一种特殊认识过程，而且也是以此为基础的促进学生身心全面发展的过程。 这种观点的理由是对教学过程本质的探讨不能局限于认识论的角度，因为在教学过程 中，教师和学生都是以个性的全部内容参加活动的。 认识发展说可谓源远流长，如“教学本质内在论”者认为儿童具有发展的潜在力，教学 的本质就是要发展儿童的潜能。在内在论的行列中，从古希腊的德谟克利特、苏格拉底，到 近代的夸美纽斯、斐斯泰洛齐、第斯多惠，以及现代的杜威、皮亚杰、布鲁纳、赞科夫等， 都把儿童的发展看作教学的本质任务。在当代教学过程论中，有的从一般教学过程的角度进
对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理
把握数学本质实现有效教学 摘要：在讲解二项式定理中的一个例题时，从给出的解法中发现，学生还不会运用已学过的知识，或者想不到运用二项式展开式通项公式解决问题，这一现象非常普遍。本文通过分析三个普遍存在的教学设计，结合中职生的现状，认为立足数学基础，把握数学本质，可以达到数学课有效教学的目的。 关键词：职校数学立足基础有效教学 一、问题的提出 1.解题讲解 （中职数学教材拓展模块3.2二项式定理）例3求的二项展开式的常数项。 教材解答过程： 解：由于， 故，解得m=5。 所以二项式展开式中的第5项是常数项， 为 2.讲解例题时学生的情况 在讲解例题时，一部分学生无从下手，一部分学生对看上去十分复杂的题目（10次方，以前从来没见过！）吓得不敢尝试。小部分学生想到按照二项式展开式将其展开，可
是就是没有学生想到用二项式的通项公式这种最“简单的方法”来解题。 3.评析 如此多的学生想不到应用刚刚讲过的二项式通项公式（），原因何在？教师是如何讲授公式的？学生是如何记忆公式的？所采用的方法是否有效？笔者认为有必要弄清楚以上的问题，有利于在以后的教学中采取有针对性的措施和方法，切实提高公式的学习效率。 二、普遍使用的教学设计 1.设计1 教师引导学生阅读教科书，并提出两个问题：一是观察（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展开式系数有什么规律？二是尝试写出（a+b）n的展开式，写出展开式的第m+1项，即通项公式讲解例1、例2、例3。 2.设计2 教师板演分别将（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4展开，利用初中接触过的“杨辉三角”观察展开式系数的规律，给出（a+b）n的展开式和第m+1项。 评析：这两种设计都是定位于公式的学习与应用，教师引导学生努力分析和总结公式的规律，寻找好的记忆技巧，追求灵活运用等解题能力的提高。但记忆技巧的形成要建立在学生对公式本质深刻认识的基础上，不然，随着时间
随着数学课程改革的不断深入和发展，数学教育中的许多深层次问题也越来越引起广大教育工作者的重视。“数学是什么?”“数学来自于哪里?”这些涉及数学本质的问题就是诸多深层次问题中的重要问题。正确理解数学的本质对于树立正确的数学教育观念、对于数学课程改革的继续发展均有着巨大的现实指导意义。一、数学是什么?作为一个现代人，不知道“数学”的人恐怕不多，但能将数学是什么解释得很清楚的人恐怕也不是很多。其实，即使作为专业的数学工作者，由于各自的认识与经历不同，对数学是什么的回答也有相当大的差异。1．“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”众所周知，关于数学的这个定义是恩格斯提出来的。事实上，恩格斯的这个定义，很多年以来，就是国内和国际数学界与哲学界公认的最权威的定义，最新版(2005年版)的《现代汉语词典》仍然是这样来定义数学的——“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科”。20世纪以来，新的数学分支不断产生，纯数学越来越抽象，它与现实世界之间的距离似乎越来越远；同时，应用数学在现实世界中的涉及面空前广泛且越来越广泛，数学的研究对象似乎不仅仅是空间形式与数量关系；而且，有不少研究者从自己的认识出发，提出了关于数学的多种定义。于是乎，近些年有人就认为恩格斯给数学所下的定义过时了或“远远不够了”。这样的认识是片面的，因为事实并非如此。匡继昌先生深刻分析了“数学是什么”，认为“数学的定义应该反映数学研究的对象及其本质属性”，“只有从唯物辩证法的哲学高度，才能认清现实世界的数量关系和空间形式不是固定不变的，而是其内涵不断加深，外延不断拓广的”，所以，“恩格斯关于‘数学是什么’的论断并未过时”。2．数学是系统化了的常识这是国际著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的观点。他认为数学的根源是普通常识，作为常识的数学，随着语言从说话到阅读和写作的不断进步与发展，也不断地进步与发展着。如数概念的获得，主要是由口头语言中相应的数词来支持的(如从一个人、一支笔、……，得到“1”)，在这个过程中，首先是数学思想的语言表达。普通常识是有等级的，普通常识由经验上升成规律后，这些规律再次成为普通常识，即较高层次的常识。弗赖登塔尔曾经说过：“为了真正的数学及其进步，普通的常识必须要系统化和组织化。如同以前一样，普通常识的经验被结合成为规律(比如加法的交换律)，并且这些规律再次成为普通的常识，即较高层次的常识。作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系，是由于非凡的相互影响的力量来建立的。”3．数学是人为规定的一套语言、符号系统这是部分数学史家们的看法。持这种观点的人虽然不多，但很有代表性，它给了我们认识“数学是什么”的一个新角度。翻开一部数学史，除了早期的数学与生活有着非常高的关联度，还需借助现实的生活事实去解释外，后来的数学就越来越关注自己的“语言、符号”了。这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》，到了现代，数学的这种特性表现得更加充分。当然，数学作为人为规定的一套语言、符号系统，必须要有一定的条件。通俗点讲，就是这套语言、符号系统必须能自圆其说，高雅点讲，这套系统必须是完备的。举例来说，如果你规定1+1=3，在此基础上去构造一套语言、符号系统，并且能自圆其说，也许一个新的数学分支就诞生了。数学史上不乏这样的先例。如伽罗瓦的群论，康托尔的集合论等等，当初他们出现在数学家们的眼前时，并不为大家所认可。但事实证明，这些是数学，而且是非常重要的数学。由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题，从而导致了历史上的一次严重的数学危机。随着这一危机的解决，集合论变得更加完备，数学的基础变得更加稳固。集合论的创立是数学史上的一个巨大成就，以至于今天的小学数学教学中，都必须渗透集合论的思想，从而提高学生的数学认知能力。
对教育本质的新认识 作者：顾明远《光明日报》（2016年01月05日14版） 前不久，联合国教科文组织发布一份新的研究报告《反思教育：向“全球共同利益”的理念转变？》。这是联合国教科文组织成立70年以来，继1972年发布的《学为生存：教育世界的今天和明天》（简称富尔报告）和1996年发布的《教育，内在的财富》（简称德洛尔报告）以后第三份重要的报告。这份报告必定像前两份报告那样对世界教育的发展产生重大的影响。 1. 教育要以人文主义为基础，尊重生命和人类尊严 《反思教育》（下面简称报告）面对世界新的挑战，提出教育应负的责任和教育的变革，提出要重新定义知识、学习和教育。总的精神如报告导言中说的：教育应该以人文主义为基础，以尊重生命和人类尊严、权利平等、社会正义、文化多样性、国际团结和为可持续的未来承担共同责任。在教育和学习方面，要超越狭隘的功利主义和经济主义，将人类生存的多个方面融合起来，采取开放的灵活的全方位的学习方法，为所有人提供发挥自身潜能的机会，以实现可持续的未来，过上有尊严的生活。 报告提出未来教育要以人文主义为基础。报告强调经济发展必须遵从环境管理的指导，必须服从人们对于和平、包容与社会正义的关注。报告认为，人文主义方法可以让教育辩论超越经济发展中的功利主义作用，应对全球学习格局的变化。 教育和学习要超越功利主义和经济主义，将人类生存的多个方面融合起来。要将通常受到歧视的那些人包容进来，包括妇女和女童、土著人、残疾人、移民、老年人以及受冲突影响国家的民众。这将要求采用开发和灵活的全方位的终身学习方法。由此，报告提出，教育是全球共同利益的理念。 2. 教育是全球共同利益 关于教育是全球共同利益的理解，报告在最后一章作了详细的解释。我认为有这么几层意思： 一是教育的人文主义精神。报告强调教育是人的生存和发展的权利，教育要尊重生命、尊重公正、平等，使人们过上有尊严和幸福的生活。报告提出：“根据当前形势重新审视教育权”。指出：“国际发展讨论常常会将教育作为一项人权和一项公益事业。教育是一项基本人权，并且有助于实现其他各项人权”。这意味着国家要确保尊重、落实和保护受教育权，除了提供教育之外，还必须成为受教育权的担保人。报告批判了功利主义和经济主义。报告认为，要重新审视教育的目的。报告说：“教育的经济功能无疑是重要的，但我们必须超越单纯的功利主义观点以及众多国际发展讨论体现出的人力资本理念。教育不仅关系到学习技能，还涉及尊重生命和人格尊严的价值观，而这在多样化世界中是实现社会和谐的必要条件。”“维护和增强个人在其他人和自然面前的尊严、能力和福祉，应是二十一世纪教育的根本宗旨。” 二是强调教育的共同利益。报告认为，“共同利益”可以定义为：“人类在本质上共享并且互相交流的各种善意，例如价值观、公民美德和正义感。”报告认为，共同利益的概念超越了个人主义的社会经济理论。共同利益不是个人受益，而是一项社会集体努力的事业。在界定什么是共同利益时，强调参与过程，知识必然成为人类共同遗产的一部分。指出，“要在相互依存日益加深的世界实现可持续发展，就应将教育和知识视为全球共同利益。”这意味着知识的创造、控制、获取、习得和运用向所有人开放，是一项社会集体努力。报告批评了教育私有化，并为知识的私有化趋势担忧。报告说：“教育是社会平等链条上的第一环，不应将教育出让给市场。”教育作为一项公益事业，国家要确保教育权的落实。