北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A ．21y x =+
B ．y 2x 1=-+
C ．2y x 2=+
D ．1y x 22=- 2．抛物线2-2(3)5y x =++的顶点坐标是( )
A ．(3，5)
B ．(-3，-5)
C ．(-3，5)
D ．(3，-5) 3．二次函数2y x 的图象是（ ） A ．线段 B ．直线 C ．抛物线 D ．双曲线 4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，点P （a+b ，ac ）是坐标平面内的点，则点P 在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．二次函数y ＝2x 2﹣8x +m 满足以下条件：当﹣2＜x ＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x ＜7时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为（ ）
A ．8
B ．﹣10
C ．﹣42
D ．﹣24
6．将抛物线
221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A ．221216y x x =--+ B ．
221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．
221220y x x =-+- 7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a ﹣b ＝0；②c ＜0；③c ＞3a ；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣72，y 1），（﹣52，y 2），（312,y ）是该抛物线上的点，则y 2＜y 1＜y 3，其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,
c P a b ?? ???所在的象限是（ ）
A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
9．对于任意实数t ，抛物线y=x 2+(2-t)x+t 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A ．（1，0） B ．（-1，0） C ．（-1，3） D ．（1，3）
10．二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的图象大致可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．将抛物线2y 2(x 1)3=-+向右平移2个单位后，得到的新抛物线解析式是
________．
12．已知抛物线221y x bx c =-+++经过点()1,1，当该抛物线顶点的纵坐标的值最小时，b =________，c =________．
13．当0≤x ≤2时，二次函数y =x 2?2mx +m 2+2m 有最小值为3，则m 的值为________．
14．经过()0,2A -，()1,0B ，()2,0C 点的抛物线解析式是________．
15．二次函数y ＝a x 2的图象过（2，1），则二次函数的表达式为____________.
16．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12?? ???
，下列结论：①0abc >；②a b =；③44a c =-；④方程21ax bx c ++=有两个相等
的实数根，其中正确的结论是________．（只填序号即可）．
17．设函数()()2
145y x k x k =-+-+的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则k =________．
18．如图所示，有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积()2S cm 与
它的一边长()x cm 之间的函数关系式________．
19．如图，用长为20米的篱笆()20AB BC CD ++=，一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，围成的花圃面积为y 米2，则y 关于x 的函数关系式是________．
三、解答题
20．丁丁推铅球的出手高度为1.6m ，在如图所示的直角坐标系中，求铅球的落点与丁丁的距离．
21．对于二次函数23(2)y x =-+．
()1它的图象与二次函数23y x =-的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
()2当x 取哪些值时，y 的值随x 的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 的增大而减小？
22．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线()2
40y ax ax c a =++≠经过()0,4A ，()3,1B -，顶点为C ．
()1求该抛物线的表达方式及点C 的坐标；
()2将()1中求得的抛物线沿y 轴向上平移(0)m m >个单位，
所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ．当ACD 时等腰三角形时，求点D 的坐标；
()3若点P 在()1中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针转90得到线段'PO ，若点'O 恰好落在()1中求得的抛物线上，求点P 的坐标． 23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在线段BC 上，且PE PB =．
()1求证：①PE PD =；②PE PD ⊥；
()2设AP x =，PBE 的面积为y ．
①求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
②当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD x ⊥轴于点C ，交抛物线于点E ．
()1求抛物线的解析式．
()2求ABE 面积的最大值．
()3连接BE ，是否存在点D ，使得DBE 和DAC 相似？若存在，求出点D 坐标；若不存在，说明理由．
26．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．
（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式），请直接写出x 的取值范围；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．
参考答案
1．C
【解析】
根据二次函数的定义，形如2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是2
y x 2=+．故选C ．
2．C
【解析】
【分析】
由题意根据二次函数y=a （x-h ）2+k （a ≠0）的顶点坐标是（h ，k ），求出顶点坐标即可．
【详解】
解：∵2-2(3)5y x =++； ∴顶点坐标为：（-3，5）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质和二次函数的顶点式．熟悉二次函数的顶点式方程y=a （x-h ）2+k 中的h 、k 所表示的意义是解决问题的关键．
3．C
【分析】
根据二次函数的图像是抛物线进行解答即可.
【详解】
解:∵2y x =是二次函数，
∴2y x =的图象是抛物线，
故选C.
【点睛】
本题考查函数图像，掌握二次函数的图像是抛物线是本题的解题关键.
4．D
【详解】
试题解析：∵抛物线的开口向上，
∴0a >；
又对称轴0.2b x a
=-< ∴a b 、同号，即0b >．
∴0a b +>．
该抛物线与y 轴交于负半轴，
∴0c <，
0ac ∴<，
∴点()P a b ac +，位于第四象限．
故选D ．
5．D
【分析】
根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x 2=，通过顶点坐标位置特征求出m 的范围，将A 选项剔除后，将B 、C 、D 选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理．
【详解】
抛物线22
y 2x 8x m 2(x 2)8m =-+=--+的对称轴为直线x 2=，
而抛物线在2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的上方， m 0∴<，
当m 10=-时，则2
y 2x 8x 10=--，
令y 0=，则22x 8x 100--=，
解得1x 1=-，2x 5=，
则有当2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的上方；
当m 42=-时，则2y 2x 8x 42=--，
令y 0=，则22x 8x 420--=，
解得1x 3=-，2x 7=，
则有当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的下方；
当m 24=-时，则2y 2x 8x 24=--，
令y 0=，则22x 8x 240--=，
解得1x 2=-，2x 6=，
则有当2x 1-<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当6x 7<<时，它的图象位于x 轴的上方；
故选D ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数2
y ax bx c(a,=++b ，c 是常数，a 0)≠与x 轴的交点坐标，令y 0=，即2ax bx c 0++=，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标2.b 4ac =-决定抛物线与x 轴的交点个数：2b 4ac 0=->时，抛物线与x 轴有2个交点；2b 4ac 0=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；2b 4ac 0=-<时，抛物线与x 轴没有交点．
6．D
【解析】略
7．C
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x 轴的交点及抛物线的对称性可判断②；由x ＝﹣1时y ＞0可判断③，由x ＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x ＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，
∴4a ﹣b ＝0，所以①正确；
∵与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，即c ＜0，故②正确；
∵由②知，x ＝﹣1时y ＞0，且b ＝4a ，
即a ﹣b +c ＝a ﹣4a +c ＝﹣3a +c ＞0，
所以③正确；
由函数图象知当x ＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a ﹣2b +c ≥at 2+bt +c ，
即4a ﹣2b ≥at 2+bt （t 为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x ＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y 2＞y 1＞y 3，故⑤错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
8．D
【解析】
【分析】
根据函数图象可得各系数的关系：0a >，0b <，0c >，则点,
c P a b ?? ???所在的象限即可判定．
【详解】
解：由函数图象可得各系数的关系：0a >，0b <，0c >，
则0a >，
0c b <， 因此,
c P a b ?? ??
?位于第四象限． 故选D ．
【点睛】
考查二次函数与系数的关系.二次项系数a 决定抛物线的开口方向，,a b 共同决定了对称轴的位置，常数项c 决定了抛物线与y 轴的交点位置.判断出0a >，0b <，0c >，即可求出点,
c P a b ?? ???
所在的象限． 9．D
【解析】
【分析】
先把二次函数的解析式变形得到关于t 的不定方程得（1-x ）t=y-x 2-2x ，由于t 有无数个值，所以1-x=0且y-x 2-2x=0，然后求出x 与y 即可得到固定的点的坐标．
【详解】
把y=x 2+（2-t ）x+t 变形得到（1-x ）t=y-x 2-2x ，
∵对于任何的实数t ，抛物线y=x 2+（2-t ）x+t 总经过一个固定的点，
∴1-x=0且y-x 2-2x=0，
∴x=1，y=3，
即这个固定的点的坐标为（1，3），
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
10．C
【分析】
根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点以及一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象，分别判断即可．
【详解】
解：A 、当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A 选项错误； B 、当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B 选项错误； C 、当a ＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图象交于y 轴上的同一点，故C 选项正确；
D 、∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故D 选项错误；
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
11．22(3)3y x =-+
【分析】
抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题．
【详解】
解：抛物线y=2（x-1）2+3的顶点坐标是（1，3），将其向右平移2个单位后的顶点坐标为（3，3），故平移后得到的新抛物线解析式是：y=2（x-3）2+3．
故答案是：y=2（x-3）2+3．
【点睛】
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
12．1 -1
【分析】
根据二次函数的增减性，求出b 、c 的值即可．
【详解】
解：∵a=-1，
∴抛物线开口向下，
∴（1，1）为最高点时，抛物线顶点的纵坐标最小，
设抛物线：y =-（x-1）2+1=-x 2+2x ，
可得：2b=2，c+1=0，
解得：b=1，c=-1．
故答案为1，-1．
【点睛】
此题主要考查了根据二次函数的顶点公式求值，熟练记忆二次函数顶点公式是解题关键． 13．32或?3
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线x=m ，然后分①m ＜0时，x=0函数有最小值，②0≤m≤2时，
x=m 函数有最小值，③m ＞2时，x=2函数有最小值分别列方程求解即可．
【详解】
解：∵y=x 2-2mx+m 2+2m=（x-m ）2+2m ，
∴二次函数的对称轴为直线x=m ，
①m ＜0时，x=0函数有最小值，
此时，m 2+2m=3，
解得m 1=-3，m 2=1（舍去），
②0≤m≤2时，x=m 函数有最小值，
此时，2m=3，
解得m=32，
③m ＞2时，x=2函数有最小值，
此时，4-4m+m 2+2m=3，
整理得，m 2-2m+1=0，
解得m=1（舍去），
综上所述，m 的值为32或-3．
故答案为32或-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数增减性，难点在于根据对称轴的情况分情况讨论．
14．232y x x =-+-
【分析】
已知了抛物线图象经过的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【详解】
解：设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，依题意，有：
42002a b c a b c c ++??++??-?＝＝＝，解得132a b c -????-?
＝＝＝；
∴此抛物线的解析式为y=-x 2+3x-2．
故答案为y=-x 2+3x-2．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识． 15．214
y x = 【分析】
由题意二次函数y=ax 2的图象过（2，1），把点（2，1）代入函数的解析式求出a 值，从而求出二次函数的解析式．
【详解】
解：∵二次函数y=ax 2的图象过（2，1），
∴a×
4=1， ∴a=14
， ∴二次函数的表达式为：y=
14x 2． 故答案为y=
14
x 2． 【点睛】 此题考查二次函数的基本性质及用待定系数法求函数的解析式．
16．③④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y 轴的交点坐标即可确定； ②根据抛物线的对称轴即可判定；
③根据抛物线的顶点坐标及b=-a 即可判定；
④根据抛物线的最大值为1及二次函数与一元二次方程的关系即可判定．
【详解】
①∵根据图示知，抛物线开口方向向下，
∴a ＜0．
由对称轴在y轴的右侧知b＞0，∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0．故①错误；
②∵抛物线的对称轴直线x=-
1 22
b
a
=，
∴a=-b．
故②错误；
③∵该抛物线的顶点坐标为（1
2
，1），
∴1=
2
4
4
ac b
a
-
，
∴b2-4ac=-4a．
∵b=-a，
∴a2-4ac=-4a，
∵a≠0，等式两边除以a，
得a-4c=-4，即a=4c-4．
故③正确；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的最大值为1，即ax2+bx+c≤1，
∴方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
17．11
【分析】
已知OA与OB的长的比为1：4，可据此设出A，B的坐标，如A(－a，0)，B(4a，0)(a＞0)，然后根据根与系数的关系求解即可.
【详解】
∵线段OA与OB的长的比为1：4，可设A、B的坐标为(－a，0)，(4a，0)，其中a＞0，根
据根与系数的关系得()41445a a k a a k -+=+??-?=-+?
，解得411a k =??=?，∴11k =，故本题正确答案为11k =.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，掌握数形结合思想是解决本题的关键.
18．230(030)S x x x =-+<<
【分析】
先表示出矩形的另一边的长，然后根据矩形的面积公式进行计算即可.
【详解】
由题意得,矩形的一边长为x,则矩形的另一边长为
12(60?x)， 故矩形面积S=x×12
(60?x)=?x 2+30x.
故答案为S=?x 2+30x.
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意列出方程进行求解. 19．2220y x x =-+
【解析】
【分析】
由题意可知花圃的长为20-2x ，再利用矩形面积公式即可求解.
【详解】
解：由题意可知花圃的长为20-2x ，则y=x(20-2x)=-2x 2+20x ，
故答案为：2220y x x =-+. 【点睛】
本题考查了二次函数的应用.
20．8m
【解析】
解：由题意知，点(01.6)
，在抛物线20.1() 2.5y x k =--+上，
所以2
1.60.1(0)
2.5k =--+．解这个方程，得3k =或3k =-（舍去）．
所以，该抛物线的解析式为20.1(3) 2.5y x =--+．·
········ 3分 当0y =时，有20.1(3) 2.50x --+=，解得18x =，22x =-（舍去）． 5分 所以，铅球的落点与丁丁的距离为8m ． 6分
运用二次函数解决的实际问题
21．(1)见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x 2的二次项系数相同，所以将y=-3x 2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴； （2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．
【详解】
()1将23y x =-的图象向左平移2个单位可以得到23(2)y x =-+的图象，
∵30-<，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为2x =-，顶点坐标是()2,0-；
()2∵30-<，抛物线开口向下，
∴当2x <-时，y 的值随x 的增大而增大；当2x >-时，y 的值随x 的增大而减小．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
22．（1）244y x x =++；顶点C 坐标为()2,0-；（2）D 坐标为()
0,4；（3）P 的坐标为()2,2-，()2,1--．
【分析】
（1）将A 与B 坐标代入抛物线解析式中求出a 与c 的值，即可确定出抛物线解析式，配方后即可求出顶点C 的坐标；
（2）由平移规律即C 的坐标表示出D 的坐标，在直角三角形AOC 中，由OA 与OC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，由图形得到∠DAC 为钝角，三角形ACD 为等腰三角形，只有
DA=AC ，求出DA 的长，即为m 的值，即可确定出D 的坐标；
（3）由P 在抛物线的对称轴上，设出P 坐标为（-2，n ），如图所示，过O′作O′M ⊥x 轴，交x 轴于点M ，过P 作PN ⊥O′M ，垂足为N ，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS 得到△PCO ≌△PNO′，由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN 为矩形得到MN=PC=|n|，分n 大于0与小于0两种情况表示出O′坐标，将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n 的值，即可确定出P 的坐标．
【详解】
() 1将A ，B 坐标分别代入抛物线解析式得：49121c a a c =??-+=?
， 解得：41
c a =??=?， ∴抛物线解析式为2244(2)y x x x =++=+，
∴顶点C 坐标为()2,0-；
()2由题意得：()0,4D m +，
在Rt AOC 中，4OA =，2OC =，
根据勾股定理得：AC ==，
由图形得到DAC ∠为钝角，要使ACD 为等腰三角形，只有DA AC ==
∴DA m ==
则D 坐标为()
0,4；
()3设()2,P n -，如图所示，过'O 作'O M x ⊥轴，交x 轴于点M ，过P 作'PN O M ⊥，垂足为N ，
易得'PO PO =，'90PCO PNO ∠=∠=，'CPO NPO ∠=∠，
∴()'PCO PNO AAS ?，
∴'2O N OC ==，PN PC n ==，
∵四边形PCMN 为矩形， ∴MN PC n ==，
①当0n >时，()'2,2O n n -+，代入抛物线解析式得：220n n --=， 解得：2n =或1n =-（舍去）；
②当0n <时，()'2,2O n n -+，代入抛物线解析式得：220n n --=， 解得：2n =（舍去）或1n =-，
综上①②得到2n =或1-，
则P 的坐标为()2,2-，()2,1--．
【点睛】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，平移及旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及方程的思想，是一道中档题．
23．当80x =时，4500y =最大值．
【解析】
试题分析：根据总利润=单件利润×数量，单价利润=x －50，数量=50+5（100－x ），然后根据二次函数的最值求法进行求解.
试题解析：y=（x －50）[50＋5（100－x ）]=（x －50）（－5x ＋550）=－52x ＋800x －27500 ∴y=－52x ＋800x －27500=－52(80)x -＋4500
∵a=－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x ＝80，
∴当x ＝80时，最大利润为4500元．
考点：二次函数的应用.
24．（1）证明见解析；（2）①212y x x =-
+．(0x <<．②当x =时，14y =最大值． 【分析】 （1）可通过构建全等三角形来求解．过点P 作GF ∥AB ，分别交AD 、BC 于G 、F ，那么可通过证三角形GPD 和EFP 全等来求PD=PE 以及PE ⊥PD ．在直角三角形AGP 中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP 是等腰直角三角形，那么AG=PG ，而PB=PE ，PF ⊥BE ，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG ，同理可得出两三角形的另一组对应边DG ，PF 相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE ，∠GDP=∠EPF ，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD ⊥PE ．
（2）求三角形PBE 的面积，就要知道底边BE 和高PF 的长，（1）中已得出BF=FE=AG ，那么可用AP 在等腰直角三角形AGP 中求出AG ，GP 即BF ，FE 的长，那么就知道了底边BE 的长，而高PF=CD-GP ，也就可求出PF 的长，可根据三角形的面积公式得出x ，y 的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y 的最大值以及对应的x 的取值．
【详解】
()1证明：①过点P 作//GF AB ，分别交AD 、BC 于G 、F ．如图所示．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形， AGP 和PFC 都是等腰直角三角形．
∴GD FC FP ==，GP AG BF ==，90PGD PFE ∠=∠=度．
又∵PB PE =，
∴BF FE =，
∴GP FE =，
∴()EFP PGD SAS ?．
∴PE PD =．
②∴12∠=∠．
∴132390∠+∠=∠+∠=度．
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
新北师大九年级数学下 册知识点总结 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
新北师大版九年级数学下册知识点总结 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1.正切： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ， 即的邻边 的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．． ： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边A A ∠=sin ; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边的邻边 A A ∠=cos ;
图1 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．． 。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．． 。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： 30 o 45 o 60 o sin α cos α tan α 1 图2 h i=h:l l B
九年级二次函数单元测试卷附答案 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A，C，连接CD．（1）求抛物线和直线AC的解析式： （2）若抛物线上存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1好落在抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 y x2x3 =-++；3 y x =-+；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3） 【解析】 【分析】 （1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，求出b，c得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A，C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； （2）利用抛物线的对称性得出BD＝AD，进而判断出△ABC的面积和△ACP的面积相等，即可得出结论； （3）分点Q在x轴上方和在x轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】 解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bc+c中，得 930 10 b c b c -++= ? ? --+= ? ， ∴ 2 3 b c = ? ? = ? ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴点C的坐标是（0，3）， 把A（3，0）和C（0，3）代入y＝kx+b1中，得1 1 30 3 k b b += ? ? = ? ， ∴ 1 1 3 k b =- ? ? = ? ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3；
初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=
12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1-
九年级数学下册教学计划 李艳娟 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又
远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间：120分钟，满分：150分) 姓名: 成绩： 一、选择题(每题5分，共50分) 1. sin30°值为( ) A.1／3 B.1／2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1 22．1二次函数的图像和性质（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念； （2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式； （3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 三、教学过程 （一）创设情境、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ （三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。求这个二次函数的解析式．(待定系数法) （四）巩固提高： 1．下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=3x －1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2－2x+1; (5)y=x 2－x(1+x); (6)y=x － 2+x ． 2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛，每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－ 5， 求这个二次函数的解析式． （五）小结： 1．二次函数的一般形式是 。2．会用 法求二次函数解析式。 （六）作业设计 22．1二次函数 y=ax 2的图像和性质（二） 一．学习目标： m m 2 21)x (m y --= 2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、 如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、 讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边 A B C 二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 九年级数学下册教学计划 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算， 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元． 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 图 1 图 3 图4 九年级数学下册知识点归纳 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 1.正切： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边 的对边A A A ∠∠=tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 2.正弦．． ： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ; 3.余弦： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。 二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算 1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．． )。用字母i 表示，即A l h i tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。 6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。 7.同角的三角函数间的关系： ①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A ) ②平方关系：③商数关系： 图2 h 二次函数单元测评 (试时间：60分钟，满分：100分) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限 () A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图 象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的 图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1．知识与技能目标: （1）．使学生理解并掌握二次函数的概念 （2）．能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式 （3）．能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，体会函数的模型思想 2．过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”，采用探究、讨论等方法进行。 3．情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解，向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 （1）．什么是变量，常量？ （2）．函数的定义是什么，有什么表现形式？ （3） 函数的图象怎么构成，如何作函数的图象？ 2、合作学习，探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果 每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项;b 为一次项系数，bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例：y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当，是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: （1）正方形边长为x （cm ），它的面积y （cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x 厘米，宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时，函数为二次函数。当解得，22 =∴=m m 第一章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 2 30°，45°，60°角的三角函数值 3 三角函数的计算 4 解直角三角形 5 三角函数的应用 6 利用三角函数测高 ※一. 正切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ; ①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”； ④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切； ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。 ※二. 正弦．． ： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即 斜边 的对边 A A ∠= sin ; ※三. 余弦： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即 斜边 的邻边 A A ∠= cos ; ※余切： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即 的对边 的邻边 A A A ∠∠= cot ; ※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin α 0 2 1 2 2 2 3 1 cos α 1 23 2 2 2 1 0 tan α 0 3 3 1 3 — cot α — 3 1 3 3 0 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-?=； )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=； )90tan(cot A A ∠-?= ※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。 ※同角的三角函数间的关系： 倒数关系：tg α·ctg α=1。 二次函数单元测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 已知点 )8,a （在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（ ）。 A. 2 B. -2 C. ±2 D. 2± 2.已知二次函数的解析式为()122+-=x y ,则该二次函数图象的顶点坐标是 ( ) A. (-2,1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (1,2) 3. 把抛物线23x y =先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式是( ) A.2)3(32-+=x y B.2)3(32++=x y C.2)3-(32-=x y D.2)3-(32+=x y 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 3-)2(2-=x y D. 3-)2(2+=x y 5. 函数342--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）。 A. 1)2(2+-=x y B. 1)2(2++=x y C. 7-)2(2-=x y D. 7)2(2++=x y 6. 抛物线322--=x x y ，则图象与x 轴交点个数为( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 抛物线c bx x y ++-=22的顶点坐标是()21， ,则b 、c 的值分别是( ) A. 4,0 B. 4,1 C. -4,1 D. -4,0 8. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.32.02+-=x y 的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ ）。 A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 9.已知二次函数的图象)30(≤≤x ，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）。 A. 有最小值0，有最大值3 B. 最小值-1，有最大值0 C. 有最小值-1，有最大值3 D. 有最小值-1，无最大值 10.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列结论： ①042>-ac b ；②abc<0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0。其中，正确结论的个数是（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 二次函数3)2(2+-=x y 的一般形式为 . 12. 写出一个开口向上，顶点坐标是（-2，1）的函数解析式 . 13. 已知一个二次函数图象的形状与抛物线24x y =相同,它的顶点坐标是（2,4）,求该二次函数的表达式为 . 14. 若抛物线)3(2+++=k kx x y 经过原点,则k= . 15. 已知 ),4(),,2(),1321y y y ---，（是抛物线m x x y +--=822上的点，那么321,,y y y 的大小关系是 . 16. 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是4)6(9 1 2+--=x y ，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是_________. 17. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）关于水平距离x （m ）的函数表达式为3)4(12 1 2+--=x y (如图所示)，由此可知铅球推出的距离是_____ m. 18. 二次函数23 2x y =的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2017A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2017B 在二次函数2 3 2x y = 位于第一象限的图象上，若110A B A △，221A B A △，332A B A △，…，201720172016A B A △都 为等边三角形，则110A B A △的边长=________，201720172016A B A △的边长=_______．(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)
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