五邑大学研究生矩阵理论论文
矩阵理论在信号系统中的应用 摘要：在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结果特性，可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统，有适用于多变量控制系统，既可以用于线性定常系统，又可以用于线性时变系统，还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析，如何利用数学模型，求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。 状态与状态变量：系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立（数目最少的）变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。 状态向量：如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示，并把这些状态变量看做是 向量X （t ）的分量，则向量X （t ）称为状态向量，记为()()()()12n x t x t X t x t ????? ?=???????? 或者()()()()12T n X t x t x t x t =???? 状态空间：以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。 状态方程：描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组 线性系统：满足叠加原理的系统具有线性特性 零输入响应：若输入的激励信号为零，仅有储能元件的初始储能所激发的响应，称为零输入响应。 一、线性系统状态方程： A ：表示系统内部状态关系的系数矩阵 B ：表示输入对状态作用的输入矩阵 从数学的角度上，就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u （t ），来求解状态方程的解，即系统响应。解的存在性和唯一条件：如果系统A 、B 的所有元在时间定义区间 []0t t α上均为 t 的实值连续函数，而输入u(t)的元在时间定义区间[]0t t α上是连续 实函数，则其状态方程的解X(t)存在且唯一。 ()()[] ()()0 )0(x t t :)(x t t :0 000≥=+=∈=+=t x Bu A t t t x t Bu A x x x x 时不变时变α
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
矩阵的逆的研究及应用 摘要 本文主要是对高等代数中的矩阵的逆进行研究，更深一步地了解矩阵的逆在数学领域中的重要地位和各方面的应用。首先总结阐述矩阵的逆的相关定义、定理和性质，并且对其给出相应的证明，然后归纳了矩阵的逆的几种常见求法，最后讲述了矩阵的逆在以下两个方面的应用：解线性方程组和保密通信，而且例举了具体的应用实例。 关键词：矩阵矩阵的逆线性方程组保密通信 Research and application of inverse matrix Summary:This paper mainly research on the inverse of the matrix in higher algebra, deeper understanding of the inverse of the matrix in all aspects of the important position in the field of mathematics and application. First summarized in this paper, the related definitions, theorems and properties of the inverse of the matrix, and the corresponding proofs are given, and then sums up several kinds of common method of inverse of the matrix, and finally tells the inverse of the matrix in the application of the following two aspects: solving system of linear equations and secure communications, and illustrates the concrete application examples. Key Words: matrix , inverse of a matrix ,linear system of equaton, secure
一、分4块的矩阵求逆 对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。 本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：
注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。 二、分9块的矩阵求逆 对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆
可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。
矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课 。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n 个节点，b 条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b 个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL 我们也可以列 出（b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我们还可以可以列出b 个方程；总共2b 个方程要解出b 个支 路电流变量和b 个支路电压变量。当b 的数值比较大时，传统 的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩 阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵 图 1 1. 关联矩阵 在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?? ???-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵
题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号
目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1 广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)
第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章广义逆矩阵
分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。 同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；； ；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用 姓名：刘欣 班级：14级数计1班 专业：数学与应用数学 学号：1408020129 一、矩阵的逆的概念 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得 ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为 Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作。 二、逆矩阵的性质和定理 ㈠逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 若都是ｎ阶可逆矩阵，则 也可逆，且＝ . 2、若A可逆，则也可逆，且=A； 3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且 =； 4、若A可逆，则也可逆，且=； 5、=；
6、矩阵的逆是唯一的； 证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都 是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝Ｂ Ｅ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ 矛盾），所以是唯一的。 ㈡逆矩阵的定理 １、初等变换不改变矩阵的可逆性。 ２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵等价。 ３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。 ４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。 ５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。 三、逆矩阵的计算方法 ㈠定义法 定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为。 例１、求矩阵Ａ＝的逆矩阵。 解：∵｜Ａ｜≠０ ∴存在
设＝，由定义知，∴ 由矩阵乘法得 由矩阵相乘可解得；； 故 ㈡、伴随矩阵法 ｎ阶矩阵Ａ＝（）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当 ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵， 注释：①对于阶数较低（一般不超过３阶）或元素的代数余 子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵，注意 元素的位置及符号。特别对于２阶方阵Ａ＝，其伴随矩阵 ，即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律。
矩阵论论文 论文题目：矩阵微分在BP神经网络中的应用 姓名: 崔义新 学号: 20140830 院（系、部）: 数学与信息技术学院 专业: 数学 班级: 2014级数学研究生 导师: 花强 完成时间: 2015 年 6 月
摘要 矩阵微分是矩阵论中的一部分，是实数微分的扩展和推广.因此，矩阵微分具有与实数微分的相类似定义与性质.矩阵微分作为矩阵论中的基础部分，在许多领域都有应用，如矩阵函数求解，神经网络等等. BP网络，即反向传播网络(Back-Propagation Network）是一种多层前向反馈神经网络，它是将W-H学习规则一般化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层网络. 它使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.在其向前传播的过程中利用了矩阵的乘法原理，反传的过程中则是利用最速下降法，即沿着误差性能函数的负梯度方向进行，因此利用了矩阵微分. 关键词:矩阵微分;BP神经网络;
前 言 矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative)，在机器学习、图像处理、 最优化等领域的公式推导过程中经常用到.本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导. BP （Back Propagation ）神经网络是1986年由Rumelhart 和McCelland 为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一.BP 网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程.它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.BP 神经网络模型拓扑结构包括输入层（input ）、隐层(hiddenlayer)和输出层(outputlayer). BP (Back Propagation)神经网络，即误差反传误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成.输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果.当实际输出与期望输出不符时，进入 误差的反向传播阶段. 误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐层、输入层逐层反传.周而复始的信息正向传播和 误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止. 1 矩阵的微分 1.1 相对于向量的微分的定义 定义1 对于n 维向量函数，设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的 数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数. 我们将列向量 1n f x f x ???????? ???????????? 叫做数量函数f 对列向量X 的导数， 记作 1n f x df f f d f x ??? ?????= = =????? ???????? grad X 12T n df f f f d x x x ?? ???=? ?????? X （1.1）
中科院矩阵分析与应用大作业 实现LU分解 QR分解 Householder reduction、Givens reduction Matlab 代码： function [] =juzhendazuoye A=input('请输入一个矩阵A='); x=input('请输入序号 1 LU分解 2 Gram-Schmidt分解 3 Householder reduction 4 Givens reduction:' ); if(x==1) %%*************LU分解*****************%% disp('PA=LU') m=size(A,1); % m等于矩阵A的行数 n=size(A,2); % n等于矩阵A的列数 if(m==n) % 判断矩阵A是不是方阵 % 如果矩阵A不是方阵那么就输出“error” U=A; % 把矩阵A赋值给矩阵U L=zeros(n); % 先将L设为单位阵 P=eye(n); % 首先将交换矩阵P设为单位矩阵 for j=1:n-1 for i=j+1:n if (U(j,j)~=0) %判断主元元素是否不为0 L(i,j)=U(i,j)/U(j,j); U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j); % U(j,j)为主元元素 else a=j+1; % 令a等于j+1 while((U(a,j)==0)&&(a 实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组 一、 问题 化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。 二、 实验目的 学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握 用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。 三、 预备知识 1． 线性代数知识： （1） 向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式： 设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2． 本实验所用Matlab 命令提示： （1）输入语句：input('输入提示')； （2）循环语句：for 循环变量=初始值 ：步长 ：终值 循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)； （5）求矩阵A 的秩：rank （A ）； （6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。 题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx 学生姓名：xxx 所属院系：电气工程学院 专业：电气工程 学号：xxx 完成日期：20xx年x月x日 矩阵论在电气工程中的应用 摘要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。 关键词：电路分析矩阵法网络拓扑 ABSTRACT： Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS：circuit analysis；matrix method；network topology 0 前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介 矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法 矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两 矩阵论在通信领域中的应用 基于多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析 1 背景分析 频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。 多输入多输出(MIMO)技术能极大增加系统容量与改善无线链路质量的优点。通信信道容量是信道进行无失真传输速率的上界，因此研究MIMO的信道容量具有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用矩阵的知识进行分析能很好的解决这个问题，本文把矩阵理论知识与MIMO技术信道容量中的应用紧密结合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息论理论和矩阵理论建立系统模型详细推导出MIMO信道容量,通过程序仿真反应实际情况，可以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。 2 问题的提出 基于MIMO的无线通信理论和传输技术显示了巨大的潜力和发展前景。MIMO 技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来无线通信性能上几个数量级的提高。目前对MIMO技术的应用主要集中在以空时编码(STC,Space-Time Codes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方面。MIMO作为未来一代宽带无线通信系统的框架技术，是实现充分利用空间资源以提高频谱利用率的一个必然途径。 可问题是，MIMO系统大容量的实现和系统其它性能的提高以及MIMO系统中 鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。 对于电路与系统专业的研究生，矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例，讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中，对于一个有n个节点，b条支路的电路图， 每条支路的电压和电流均为未知，共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出（b-1）个独立的方程，根据KVL我们也可以列出 （b-n+1）个独立的方程，根据每条支路所满足的欧姆定律，我 们还可以可以列出b个方程；总共2b个方程要解出b个支路电 流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时，传统的解数学方程组的方法已经不再适用了，因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵 在电路图中，节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后，矩阵A 的元素为： ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联，且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联，且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵 在电路图中，基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树，额外再增加一个连枝的时候，就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致，矩阵f B 的元素为： ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联，且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵 在电路图中，基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选 摘要 本文归纳了矩阵可逆的等价条件与可逆矩阵的相关性质，总结了几种可逆矩阵的判定及逆矩阵求解的方法，分类讨论了可逆矩阵在求方阵的幂、解矩阵方程和加密保密通信中的若干应用。 关键字：可逆矩阵；初等变换；分块矩阵；方阵的幂 Abstract In this paper, the definition of the inverse of the matrix, theorems and properties, classification discussed several ways of solving inverse matrix and the inverse matrix in o power and encryption of the application of secret communication. The keyword： invertible matrix；elementary transformation；block matrix； powers of a matrix ；Encrypted secure communications 目录 1 引言 (1) 2 可逆矩阵的定义和性质 (1) 2.1矩阵可逆的定义及等价条件 (1) 2.2可逆矩阵的相关性质 (2) 3 可逆矩阵的判定及逆矩阵的求解 (4) 3.1定义法求矩阵的逆 (4) 3.2用矩阵的秩判定其可逆性 (5) 3.3特征值法判定矩阵的逆 (6) 3.4 伴随矩阵法求矩阵的逆 (6) 3.5初等变换法求矩阵的逆 (7) 3.6可逆分块矩阵的逆矩阵求解 (10) 4 可逆矩阵的若干应用 (13) 4.1求方阵的幂 (13) 4.1.1方阵的幂及其运算律 (13) 4.1.2求方阵的幂 (13) 4.2 解矩阵方程 (15) 4.3构造通信模型 (16) 参考文献 (19) 矩阵应用简介 The introduction of Matrix application 作者：刁士琦 2015/12/27 摘要 本课题以线性代数的应用为研究对象，通过网络、书籍查询相关知识与技术发展。 全文分为四部分，第一部分是绪论，介绍本课题的重要意义。第二部分是线性代数的发展。第三部分是经典矩阵应用。第四部分是矩阵应用示例。第五部分为结论。 关键词：莱斯利矩阵模型、希尔密码 目录 摘要 (2) 1 引言 (4) 2 矩阵的发展 ............................................................................................ 错误！未定义书签。 3 经典矩阵应用 (4) 3.1矩阵在经济学中的应用 (4) 3.2矩阵在密码学中的应用 (7) 3.3莱斯利矩阵模型 (5) 4 矩阵应用示例 (6) 4.1经济学应用示例 (6) 4.2希尔密码应用示例 (7) 4.3植物基因分布 (7) 6 结论 (8) 参考文献 (9) 1引言 线性代数是以向量和矩阵为对象，以实向量空间为背景的一种抽象数学工具，它的应用遍及科学技术的国民经济各个领域。 2矩阵的发展 1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程时，由于无法使用行列式，所以引入了Matrix-矩阵这一词语。现代的矩阵理论给出矩阵的定义就是：由mn 个数排成的m行n列的数表。在此之后，西尔维斯特还分别引入了初等因子、不变因子的概念[5]。虽然后来一些著名的数学家都对矩阵中的不同概念给出了的定义，也在矩阵领域的研究中做了很多重要的工作。但是直到凯莱在研究线性变化的不变量时，才把矩阵作为一个独立的数学概念出来，矩阵才作为一个独立的理论加以研究。 矩阵概念的引入，首先是由凯莱发表的一系列和矩阵相关的文章，将零散的矩阵的知识发展为系统完善的理论体系。矩阵论的创立应归功与凯莱。凯莱在矩阵的创立过程中做了极大的贡献。其中矩阵的转置矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵的定义都是由凯莱给出的。“从逻辑上来说，矩阵的概念应限于行列式的概念，但在历史上却正好相反。”凯莱如是说。1858年，《A memoir on the theory of matrices》系统阐述了矩阵的理论体系，并在文中给出了矩阵乘积的定义。 对矩阵的研究并没有因为矩阵论的产生而停止。1884年，西尔维斯特给出了矩阵中的对角矩阵和数量矩阵的定义。1861年，史密斯给出齐次方程组的解的存在性和个数时引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语。同时，德国数学家弗罗伯纽斯的贡献也是不可磨灭的，他的贡献主要是在矩阵的特征方程、特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面。并给出了正交矩阵、相似矩阵和合同矩阵的概念，指明了不同类型矩阵之间的关系和矩阵之间的重要性质。 3经典矩阵应用 3.1矩阵在经济学中的应用 投入产出综合平衡模型是一种宏观的经济模型,这是用来全面分析某个经济系统内矩阵的分块求逆及解线性方程组
矩阵论在电气工程中的应用
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
矩阵及逆矩阵的求法
矩阵分析在通信中应用
矩阵变换及应用开题报告
矩阵论在电路中的应用
矩阵的逆及其应用
矩阵应用简介
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