积分常用公式
一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=?
2．111++=
?
αα
αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x
+=?ln 1
4．C a
a dx a x
x
+=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=?
cos sin 7．C x xdx +=?
sin cos
8．C x dx x xdx +==
??
tan cos 1sec 22
9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22
10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=??
csc cot csc 12．
C x dx x
+=-?
arcsin 112
（或12
arccos 11C x dx x
+-=-?
）
13．
C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11
C x arc dx x +-=+?）
14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=?
sinh cosh
二．常用不定积分公式和积分方法：
1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=?
sin ln cot
3．
C a
x
a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=?
cot csc ln csc 7．
C a
x
x a dx +=-?
arcsin
2
2 8．C a x x a x dx +±+=±?222
2ln
9．
C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222
22
2
10．
C a x x a a x x
dx a x +±+
±±=
±?
222
2
2
2
2
ln 2
2
11．第一类换元积分法（凑微分法）：
C x F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=???)]([)
(])([)]([)()]([)(??????但并未明显做变换
相当于令 12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：
C x F C t F dt t f dt t t g t x dx
x g +=+=='=-?
??)]([)()()()]([)
()(1????令 注：要求代换)(t ?单调且有连续的导数，且“换元须还原”
13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)
??-=v d u
uv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：
令2tan x u =，则212sin u u x +=，2211cos u u x +-=，
du u dx 2
12+= 15．有理真分式
)()
()
(m n x Q x p m n <分解定理：
(1). 分母)(x Q m 中如果有因式k
a x )(-（k 为正整数），则分解式中有下列k 个最简分式之和： k
k a x A a x A a x A )()(22
1-++-+- （k A A A ,,,21 都是常数）
(2) 分母)(x Q m 中如果有因式k
q px x )(2
++（k 为正整数），其中042
<-q p ，则分解式中有下列k 个
最简分式之和：
k
k k q px x N x M q px x N x M q px x N x M )()(2222
2211++++++++++++
（k M M M ,,,21 ，k N N N ,,,21 都是常数）
三．积分时常用的三角恒等变换公式：
1．1cos sin 2
2
=+x x 2．x x 2
2
sec tan 1=+ 3．x x 2
2
csc cot 1=+ 4．2
2cos 1sin 2
x
x -=
5． 22cos 1cos 2
x x +=
6．)]sin()[sin(2
1
cos sin βαβαβα++-= 7．)]cos()[cos(2
1
cos cos βαβαβα++-=
8．)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα+--=
四．定积分的性质 1．
??
?
±=
±b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([
2．
?
b
a
dx x kf )(?=b a
dx x f k )(
3．定积分对积分区间具有可加性：
??
?
+=
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(（a 、b 、c 大小任意）
4．保号性：若在],[b a 上，)()(x g x f ≥，则?
?
≥
b
a
b
a
dx x g dx x f )()(
推论1：若在],[b a 上，0)(≥x f ，则
0)(≥?
b
a
dx x f
推论2：若在],[b a 上)(x f 可积，则)(x f 在区间],[b a 上也可积，且??
≤b
a
b
a
dx x f dx x f )()(
5．估值定理：若在],[b a 上，M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤
-?
6．积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ
注：可以证明当上述a =ξ或b =ξ时，必另有),(b a ∈ξ，使得
))(()(a b f dx x f b
a
-=?
ξ
7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 不变号，则至少存在
一点],[b a ∈ξ，使得
??
=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ
五．微积分基本定理：
1． 变上限积分函数的导数：若)(x f 在],[b a 上连续，则函数?
=Φx
a
dt t f x )()(在],[b a 上可导，且
)()(x f x =Φ'
推论1：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x b 在],[b a 上可导，则)()]([)()
(x b x b f dt t f x b a '?='??
? ??? 推论2：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x a 、)(x b 在],[b a 上可导，则
)()]([)()]([)()
()(x a x a f x b x b f dt t f x b x a '?-'?='??
? ??? 提示：当被积表达式中有变量x 时，求变上限积分函数对x 的导数时，一定要先设法把x 从被积表达式中消掉（此时把x 看作常数，或从积分号中提出去或换元消除） 2． 牛顿——莱布尼兹公式：
设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 为)(x f 在],[b a 上的任意一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
即可，以此类推。
六．定积分的计算方法和常用定积分公式：
1． 定积分换元法：设)(x f 在],[b a 上连续，做代换)(t x ?=，若)(t ?'连续，当t 在],[βα(或],[αβ)
上变化时，)(t x ?=的值在],[b a 上变化，且a =)(α?，b =)(β?，则
??
'=
β
α??dt t t f dx x f b
a
)()]([)( “换元必换限”
2． 分部积分法：
??
-=b a
b
a b
a
vdu uv udv
3． 对称性：若)(x f 在],[a a -上连续，则
当)(x f 为偶函数时，??=-a
a
a dx x f dx x f 0
)(2)(
当)(x f 为奇函数时，
0)(=?
-a
a
dx x f
4． 设)(x f 是周期为T 的周期函数，则)(x f 在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即
=
?
+T
a a
dx x f )(?
T
dx x f 0
)(
5． ???
???
???--?-??--?-===??的正奇数
为大于为正偶数
1132
542312214323
1cos sin 20
20n n n n n n n n n n xdx xdx I n n n πππ
6．
??
=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf
七．定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性） 1． 平面图形的面积：
（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分） (1) 直角坐标系下的面积公式：
若平面图形由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥），直线a x =及b x =（b a <）围成，则
?-=
b
a
dx x g x f A )]()([
若平面图形由曲线)(y x ?=，)(y y ψ=（)()(y y ψ?≥），直线c y =及d y =（b a <）围成，则
?
-=
d
c
dy y y A )]()([ψ?
(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）
若平面图形由曲线??
?==)
()
(t y t x ψ?，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形，则
??'==2
1
)()(t t b
a
dt t t ydx A ?ψ，其中)(11a t -=?，)(12b t -=?
(3) 极坐标系下的面积公式：
若平面图形由曲线)(θρρ=，射线αθ=及βθ=（βα<）围成的曲边扇形，则?=βαθθρd A )(2
12
2． 立体的体积
(1) 已知平行截面的面积，求立体的体积：
已知立体垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，b x a ≤≤，则 ?
=b
a
dx x A V )(
(2) 旋转体的体积
(a) 由曲线)(x f y =，直线a x =、b x =（b a <）及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转形成的旋转体的
体积 ?
=b
a
x dx x f V )(2π
（薄片法）
(b) 由曲线)(x f y =，)(x g y =（0)()(≥≥x g x f ）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕x 轴
旋转形成的旋转体的体积?
-=b
a
x dx x g x f V )]()([22π
（薄片法）
由曲线)(y x ?=，)(y x ψ=（)()(y y ψ?≥）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积?-=d
c x dy y y y V )]()([2ψ?π （柱壳法）
(c) 由曲线)(y x ?=，直线c y =、d y =（d c <）及y 轴围成的曲边梯形绕y 轴旋转形成的旋转体的
体积 ?
=d
c
y dy y V )(2?π
（薄片法）
(d) 由曲线)(y x ?=，)(y x ψ=（0)()(≥≥y y ψ?）直线c y =及d y =（d c <）围成的图形绕y 轴
旋转形成的旋转体的体积?-=d
c
y dy y y V )]()([22ψ?π
（薄片法）
由曲线)(x f y =，)(x g y =（)()(x g x f ≥）直线a x =及b x =（b a <）围成的图形绕y 轴旋转形成的旋转体的体积?
-=b
a
y dx x g x f x V )]()([2π （柱壳法）
3． 平面曲线的弧长
(a) 直角坐标系下的弧长公式 ?
'+=b
a
dx y s 2)(1或?
'+=
d
c
dy x s 2)(1
(b) 参数方程下的弧长公式 ?'+'=β
α
ψ?dt t t s )()(22 (c) 极坐标系下的弧长公式 ?'+=β
α
θθρθρd s )()(22
八．定积分的物理应用（微元法分析）
1．变力做功 （用到的中学物理公式S F W ?=（功=常力?距离）） 2．液体的侧压力
（用到的中学物理公式A P F ?=（压力=压强?面积），h
g P ??=ρ（压强=密度?重力加速度?深度）） 3．引力 （用到的中学物理公式2r
Mm
k
F =，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各坐标轴上再用定积分）
九. 广义积分：
1．无穷区间上的广义积分：设)(x f 在下列给定的区间上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则 (1) )()()(a F F dx x f a -+∞=?
+∞
, 其中)(lim )(x F F x +∞
→=+∞，
(2) )()()(-∞-=?
∞
-F b F dx x f b
， 其中)(lim )(x F F x -∞
→=-∞
(3)
)()()(-∞-+∞=?
+∞
∞
-F F dx x f ，其中)(lim )(x F F x +∞
→=+∞，)(lim )(x F F x -∞
→=-∞
若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。
2．无界函数的广义积分（瑕积分）： 若∞=-→)(lim x f x ξ
或∞=+
→)(lim x f x ξ
，则称ξ=x 为)(x f 的瑕点。 (1) 设)(x f 在),[b a 上连续，b 为瑕点，则?
?-→=s
a
b
s b
a dx x f dx x f )(lim )( (2) 设)(x f 在],(
b a 上连续，a 为瑕点，则
?
?
+→=b
t
a
t b
a
dx x f dx x f )(lim )( (3) 设)(x f 在],[b a 上除点c x =（b c a <<）外处处连续，c 为瑕点， 则
?
??
+-→→+=b
t
c
t s a
c
s b
a
dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )( 若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9．2d ()x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ? ＝C 11 ．x ? ＝22(3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13 ．x ? ＝22(23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝22232(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0)(0)C b C b ?+>+< 16 ．? ＝2a bx b -- 17 ．x ? ＝b
18 ．x ? ＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有 2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝221ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+
()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别， 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别， 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?
⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I （递推公式） 跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??
常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：
积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv
附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?
（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?
常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +?＝2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x ? C 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a -+
12 ．x x ? ＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13 ． x ＝2 2(23ax b C a - 14 ． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ．? 2a bx b -- 17 ． x ＝b 18 ． x ＝ 2a + （三）含有22 x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有 2 (0)ax b a +>的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) x C b C b ?+>+<
常用积分公式 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别， 2 11 d x c x x =-+? , 32 23x x c =+ , x c = ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别，arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >++
2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1，x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注．(1)不是在m=-1的特例． (2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x． 事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．
6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义． 定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导，则复合函数z=f[?(x)]在x0可导，且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0)． 证．对应于自变量x0处的改变量?x，有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z，（注意?y可能为0）．现 ?z=f'(y0)??y+v，?y='?(x0)?x+u， 且令，则v=?αy，（注意，当?y=0时，v=?αy仍成立）．y在x 0可导又蕴含y在x0连续，即?y=0．于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明： (1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式 ， 其右端似乎约去d y后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程． (2) 计算复合函数的过程：x→?y →?z 复合函数求导的过程：z→?y →?x ：各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数．
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?
常用积分公式 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-=++? 特别， 2 11 d x c x x =-+? , 32 23 x x c =+ , x c = ⑶ 1d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a = +?, 特别，e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>, 特别， arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别，2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 22 11d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 22 11d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?==??? ++ ????? ?? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2 (0)===arcsin 2a a x x c a >
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C
5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)cos(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x
常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.
0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<
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