蚂蚁爬行的最短路径
1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．
回答下列问题：
（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；
（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；
（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．
AB = 51222=+．
3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm
．
解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短
第6题
路线是（ ）
A ．A ?P ?
B B ．A ?Q ?B
C ．A ?R ?B
D ．A ?S ?B
解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．
5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）
解：如图，AB =
()101212
2=++．故选C ．
6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）
解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC =
2
1
BC =1， 在直角三角形中AM = = ．
7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。
解：将盒子展开，如图所示：
AB =CD =DF +FC =
21EF + 21GF =21×20+2
1
×20=20cm ． 故选C ．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .
解：将正方体展开，连接M 、D 1， 根据两点之间线段最短，
MD =MC +CD =1+2=3， MD 1=
1323222
12=+=+DD MD ．
9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB = = cm ； （2）展开底面右面由勾股定理得AB = =5cm ； 所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．
10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ， 根据两点之间线段最短，AB = =25．
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .
第7题
解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=
()534214222
22
12=+=++=+BC AB
12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到
B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
解：由题意得， 路径一：AB = = ； 路径二：AB = =5； 路径三：AB = = ； ∵ ＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求： （1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
解：（1）AB 的长就为最短路线．
然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 （cm ）； 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为 （cm ）， 或 （cm ）
所以蚂蚁经过的最短路程是 cm ．
（2） 5cm +4cm +5cm +4cm +3cm +4cm +5cm =30cm ， 最长路程是30cm ．
14．如图，在一个长为50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少？
解：图1中，cm．
图2中，cm．
图3中，cm．
∴采用图3的爬法路程最短，为cm
15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
则所走的最短线段是=6 cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，
所以走的最短线段是= cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，
所以走的最短线段是=2 cm；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B
是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。
解：将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
18．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂
解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5
∴PQ=13．
故答案为：13．
19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB，
则AB的长即为A处到B处的最短路程．
解：在Rt△ABD中，
因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8，
所以AB2=AD2+BD2=152+82=289=172．
所以AB=17cm．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm．
20．（2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B1到最短路径的距离．
解：（1）如图，
木柜的表面展开图是两个矩形ABC '1D 1和ACC 1A 1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A 1C '1和AC 1．（2分） （2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A 1B 1到C 1， 爬过的路径的长是 ．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面经线段BB 1到C 1，爬过的路径的长是 ．（4分）
l 1＞l 2，故最短路径的长是 ．（5分）
（3）作B 1E ⊥AC 1于E ， 则 ? ? 为所求．（8分）
21．有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点．
AF =2π?5=10π．AD =5π． AC =
22CD AD ≈16cm ．
故答案为：16cm ．
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到
第2题
对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 .
解：AB =1312522=+m
． 解：因为圆柱底面圆的周长为2π×
π
6
=12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13． 故蚂蚁爬行的最短距离为13．
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm ， 则AD =24×
2
1
=12cm ． 又因为CD =AB =9cm ， 所以AC = =15cm ．
故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是15cm ． 故答案为：15．
第3题
25．（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．（结果用带π和根号的式子表示）
解：QA=3，PB1=2，
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，
根据勾股定理得：
QP=
26．同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱GF上的中点M 点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．
解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的位置，连接AB，即是这条最短路线图．
如图，将正方体中面ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则A、M分别位于如图所示的位置，连接AM，即是这条最短路线图．
27．如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程
是 .
解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=
180
4
?πn ， ∴n =180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°， ∴在圆锥侧面展开图中AP =2，AB =4，∠BAP =90°， ∴在圆锥侧面展开图中BP =
5220=，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是52 cm ． 故答案是：52 cm ．
28．如图，圆锥的底面半径R =3dm ，母线l =5dm ，AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，∠COB =150°，D 为VB 上一点，VD = ．现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C 爬到D ．则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
解： = = ，
∴设弧BC 所对的圆心角的度数为n ， ∴ = 解得n =90， ∴∠CVD =90°， ∴CD = =4 ，
29．已知圆锥的母线长为5cm ，圆锥的侧面展开图如图所示，且∠AOA 1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．则蚂蚁爬行的最短路程
解：连接AA ′，作OC ⊥AA ′于C ，
∵圆锥的母线长为5cm ，∠AOA 1=120°， ∴AA ′=2AC =53．
30． 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 .
解：由题意知，底面圆的直径为2， 故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，180
42n
ππ=， 解得n =90°，
所以展开图中圆心角为90°，
根据勾股定理求得到点A 的最短的路线长是：24321616==+．
31．（2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是 。
解：由题意知底面圆的直径=2， 故底面周长等于2π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=180
4π
n ， 解得n =90°，
所以展开图中的圆心角为90°，
根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为24．
第4题
32．（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为 。
解：由题意知，底面圆的直径AB =4， 故底面周长等于4π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π= 360
6
2?πn ， 解得n =120°，
所以展开图中∠APD =120°÷2=60°， 根据勾股定理求得AD = 33， 所以蚂蚁爬行的最短距离为33．
33．如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径．
解：把圆锥沿过点A 的母线展成如图所示扇形， 则蚂蚁运动的最短路程为AA ′（线段）．
由此知：OA =OA ′=3r ， 的长为2πr ． ∴2πr =
180
3r
n ?π，n =120°， 即∠AOA ′=120°，∠OAC =30°．
∴OC =
21OA =r 2
3 ∴AC =r OC OA 32
3
2
2
=
- ∴AA ′=2AC =33r ，
即蚂蚁运动的最短路程是33r ．
34．如图①，一只蚂蚁从圆锥底面的A 点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA 的中点M ．蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究． （1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r =10cm ，母线SA 长为40cm ，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；
（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60°（如图②），请问：蚂蚁如何行走最合算？
（3）通过（1）、（2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，
①请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？ ②结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法．
解：（1）2π?10=nπ?40÷180°
n =90°， AM = =20 ．
（2）∵锥角为60°， ∴底面半径的长和母线的长相等，
但缺少母线的长．（3）①因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件．
②（1）展成平面图形． （2）知道母线的长，知道扇
形的圆心角度数，以及M 是SA 的中点，根据三角函
数或者构造直角三角形
来求解