一、函数的极限与连续性
1.求函数定义域：
（1）分式中，分母不能为0 （2）偶次根式中被开方式为非负 （3）对数式中真数为正 （4）三角函数式
例1：函数()f x =
的定义域是 ，连续区间是 。 202
21101
x x x x x x +≥≥-????≥-≠?
?-≠≠??且
练1：函数()1
f x x =+的定义域是 ，连续区间是 。 2.函数的奇偶性：
（1）判断定义域是否关于原点对称
（2）计算()f x -：若()()f x f x -=-，则函数是奇函数
若()()f x f x -=，则函数是偶函数
例2：下列函数中是偶函数的为（ ）
A.3
y x = B.sin y x x = C.x
y e = D. cos y x x =
33.()()()
.()()sin()sin ()
.(),(),().()()cos()cos ()
x x x
A f x x x f x
B f x x x x x f x
C f x e f x e f x e
D f x x x x x f x --=-=-=--=--==-==-=--=--=-=-练2：下列函数中是奇函数的为（ ）
A. 2cos y x x =
B.2
sin y x x = C. sin y x x = D. sin y x =
3.复合函数：(),()y f u u x ?==复合而成[()]y f x ?=
分解：从外到里
例3：下列函数是是复合函数的是（ ）
A.12x
y ??
= ???
B.0)y x =<
C.1y x =+
D.sin y x x =+
.B y u x ==-
练3：下列函数是是复合函数的是（ ）
A.x y e =
B.lg 2y x =+
C.2sin y x =
D.23
(1)y x =- 4.极限四则运算法则：
设0
lim (),lim ()x x x x f x A g x B →→==，则
（1）0
lim[()()]x x f x g x A B →±=±
（2）0
lim[()()]x x f x g x AB →=0
lim ()x x kf x kA →=
（3）0
()lim
(0)()x x f x A
B g x B
→=≠ 例4：1
）x → 2） 0
lim(2cos 2)x
x x →+=
02
lim(2cos 2)2cos023x x x x →→==+=+=
练4：1）1
lim
2
x x
x →=+ 2）0lim(2sin 3cos )x x x →+
例5：下列极限存在的是（ ）
A.22lim 1x x x →∞-
B.01
lim 21
x x →- C.lim sin x x →∞ D.1
0lim x x e →
222
1.lim lim 11
11x x x A x x
→∞→∞==--，01
.lim 21x x B →=∞- 练5：下列极限存在的是（ ） A.2
lim(1)x x →∞
+ B.0
1limsin
x x
→ C.12lim 1x x →- D.0lim 3x x →
例6：1）当0x →时，下列变量中的无穷小量是（ ）
A.x
e B.ln x C.sin x D.cos x
01x e e →=，sin sin00x →=，cos cos01x →=
2）若变量21
()(1)
x f x x x -=-是无穷大量，则x 的变化趋向是（ ）
A.1x →
B. 0x →
C. x →+∞
D. x →-∞
222111111lim lim 2,lim 1,lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x
x x x x →→→+∞→-∞-+--====--- 练6：1）当1x →时，下列变量中是无穷小量的是 （ ）
A ．x
e B ．3log x C ．
1
1x
- D ．sin x 2）若变量21
()(1)
x f x x x -=+是无穷大量，则x 的变化趋向是 （ ）
A ．1x →
B ．0x →
C ．x →+∞
D ．1x →- 5.两类极限问题： （1）“
”型 例7：224
lim 2
x x x →-=-
22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=-- 练7：1）211lim 1x x x →-=- 2）23121lim
1
x x x x →-+- （2）“
∞
∞
”型 0
10100101,lim 0,(0,0),m m m n n x n
a m n
b a x a x a m n a b b x b x b m n
--→∞?=??+++?=<≠≠?++??∞>??
例8：221
lim x ax x b
→∞-=+
2
222
11lim lim 1x x a ax x a b
x b x
→∞→∞-
-==++
练8：221
lim 21
x x x x →∞-++
6.两个重要极限：
（1）0sin lim
1x x
x
→=
例9：1）0sin 2lim 3x x x → 2）0sin 5lim sin 3x x
x
→
000sin 2sin 222
sin 222lim
lim lim 13233233x x x x x x x x x
→→→??=?==?= ???
0000sin 5sin 5lim sin 5555
55lim lim sin 3sin 3sin 3333
lim
33x x x x x x x x x x x x x x →→→→??
??=?=?=??????
练9：1）0lim tan x x x →= 2）0tan 3lim
sin 2x x
x → （2）1lim(1)x
x e x
→∞+=
1
lim(1)x
x x e →+=
例10：1）20
lim(1)x
x x →+= 2） 3
1lim 1x x x +→∞??
+ ?
??
3）31lim 1x
x x →∞
??
- ???
2
2
211
200
0lim(1)lim (1)lim(1)x
x
x x x x x x x e →→→????+=+=+=????????
3
33
11111lim 1lim 11lim 1lim 11x x x x x x x e e x x x x x +→∞
→∞→∞
→∞????
????????
+=+?+=+?+=?=?? ? ? ? ? ???
????????????
33
33111lim 1lim 1lim 1x
x x
x x x e x x x -----→∞→∞→∞
????
??????-=+=+=???? ? ? ?--?????????????? 练10：1）1lim 13x
x x →∞?
?+ ???
2）()1
lim 12x x x →- 3）1lim(1)x x x
→∞
-=（ ）
A.e
B. 1
C.1
e - D.∞
7.左.右极限：0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==
例11：设函数232,0
()2,0
x x f x x x +≤?=?+>?，则0
lim ()x f x →=（ ）
A ．2
B ．2-
C ．0
D ．不存在
20
lim ()lim (2)2,lim ()lim (32)2,lim ()lim ()x x x x x x f x x f x x f x f x ++
--+-→→→→→→=+==+== 练11：设函数22,0(),0
x f x x x ≤?=?>?，则0
lim ()x f x →=（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．不存在 8.函数的间断点：分母为0的x 例12：函数221
32
x y x x +=
-+的间断点是（ ）
A.121,2x x ==-
B. 121,2x x =-=-
C. 121,2x x =-=
D. 121,2x x ==
23201,2x x x x -+=?==
练12：函数22
23
x y x x +=--的间断点为（ ）
A ．31x x ==-或
B ．31x x =≠-且
C ．31x x ≠-≠且
D ．无间断点
二、一元函数的微分
1.导数的几何意义
导数的几何意义是曲线在一点处切线的斜率，即函数()y f x =在点0x 的导数0()f x '是曲线
()y f x =在点00(,)M x y 处的切线MT 的斜率。
切线方程：000()()y y f x x x '-=- 法线方程：0001
()()
y y x x f x -=--' 例13：函数2
3
2y x x
=+
在点(1,1)P --处的切线斜率为 。 2
123324,|7x y x x y x x =-'??''=+=-=- ??
?
练13：曲线1
x y e
+=在点(1,1)-处的切线方程为 。
2.求导公式与求导法则：
（1）求导公式：
()0C '= 1
()
()x x R αααα-'=∈ ()l n x x a a a '= ()x x e e '= 1(log )ln a x x a '=
1(l n )x x
'= (sin )cos x x '= (c o s )s i n
x x '=- 2(t a n )s e c x x '=
(arcsin )x '=
(a r c c o s )x
'= 2
1
(a r c t a n
)1x x
'=+ 例14：下列等式正确的是 （ ）
A.
'
=
B.'1ln x x ??= ???
C.'
211x x ??
=- ???
D.()'cos sin x x = '
211x x ??
=- ?
??
,2312x x '
??=- ???
,()'cos sin x x =-
()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ ()cu cu ''= 2
()u u v uv v v ''
-'=
例15：求下列函数的导数
1）10
1010x
y x =+- 2）(1cos )(ln )y x x x =+- 3）2
12x
y x +=
- ()()()10109101010(10)1010ln10x x x y x x x '''''=+-=+-=+
[](1cos )(ln )(1cos )(ln )(1cos )(ln )1
sin (ln )(1cos )(1)
y x x x x x x x x x x x x x x
''''=+-=+?-++?-=--++?-
()()()()()
()()()()
222222
2
2
2
22121212221(2)2222x x x x x y x x x x x x x x x ''
'+--+-+??'==??-??---+-++==
--
练15：1）函数2sin 3cos y x x =+的导数是 （ ）
.'2cos sin A y x x =- .'2cos 3sin B y x x =+ .'2cos 3sin C y x x =- .'2c o s 3s i n
D y x x =-- 2）11x
y x
-=
+，求y ' 3）函数2
cos y x x =的导数是 （ ）
2.'2cos sin A y x x x x =- 2
.'2c o s s i n B y x x x x
=+ 2.'cos 2sin C y x x x x =- 2
.'c o s s i n D y x x
x x
=-
[()]:(),()y f x y f u u x ??=== 则
d y d y d u d x d u d x
=? 或x u x y y u '''=? 例16：1）设3x
y e
-=，则
dy
dx
= 。 33(3)3x x dy
e x e dx
--'=?-=- 2）函数3
ln(2)y x x =+的导数是 （ ）
2323.'2x A y x x +=+ 323.'2x B y x x +=+ 31.'2C y x x =+ 3
23
.'2x D y x x +=
+ ()23
333123ln(2)222x y x x x x x x x x +'''??=+=?+=??++
3）8
(32)y x =-，求y '
877
(32)8(32)(32)24(32)y x x x x '''??=-=-?-=-??
4）ln cos 2y x =，求y '
()11
ln cos 2(cos 2)(sin 2)(2)2cot 2cos 2cos 2y x x x x x x x
''''==
?=?-?=-
5）3
sin 3sin y x x =+，求y '
()()()3322sin 3sin sin 3sin cos3(3)3sin (sin )3cos33sin cos y x x x x x x x x x x x
''''''=+=+=?+?=+ 练16：1）设sin 2y x =，则 dy =（ ）
.cos 2A xdx .2c o s 2B x d x .2c o s C x d x .2c o s 2D x d x - 2）已知()4
23y x =-，求2|x y =' 3）已知bx
y e
-=，求y '
4）已知4
sin 4-cos y x x =，求dy
例17：33
653x xy y ++=求x y '
22
22
366150
225x x x x y xy y y x y
y x y ''+++=+'=-
+
练17：1）已知2
2
31x y xy x +-+=，求dy dx
2）1
ln 2
y x y =+
，求x y ' （5）高阶导数
例18：1）设2
x
y e x =+，则y '= ，y ''= 。
()22,2x x x y e x e x y e ''''=+=+=+
2）设4
3
3
22y x x x e =-+-，则(4)
(0)y
= 。
322(4)(4)861,2412,4812,48,(0)48y x x y x x y x y y ''''''=-+=-=-==
3）已知arctan 2y x =，求y ''
()()()22
22222212
arctan 2(2)141422(14)16141414y x x x x x x y x x x '''==
?=
++''-+-?
?''=== ?+??++
3.导数应用
（1）单调性判定与极值
①在(,)a b 内有()0f x '>，则()f x 在(,)a b 内是单调增函数。 在(,)a b 内有()0f x '<，则()f x 在(,)a b 内是单调减函数。 ②0()0f x '=，函数在0x 左增右减，则()f x 在0x 处取得极大值
函数在0x 左减右增，则()f x 在0x 处取得极小值
一般步骤：①确定函数的定义域
②求导，求函数的驻点 ③列表讨论 ④结论
例19：求函数3
2
691y x x x =-++的单调区间和极值。
定义域：(),-∞+∞
231293(1)(3)y x x x x '=-+=--，
令0y '=得：1,3x x ==，列表：
()
()
()
,111,333,00(1)5
(3)1
x y y
y y -∞+∞'+-+==
单调增区间：()(),1,3,-∞+∞；单调减区间：()1,3 当1x =时函数有极大值5, 当3x =时函数有极小值1 练19：求函数2
3
3y x x =-的单调区间和极值。
（2）罗必达法则 设函数()f x ，()g x 满足
①0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==（或∞）
②()f x 与()g x 在点0x 近旁可导，且0()0g x ≠ ③极限0
00()
lim
()
x x f x g x →''存在
则0000
()()
lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='
例20：1）0ln(1)lim x x x →+ 2
）01lim x x → 3） 20sin lim x x x
x
→- 4）2ln lim x x x →+∞ [](
))
()()()()
()()()()0002
3000200000222ln(1)ln(1)1
lim lim lim 111
111lim lim lim 133
sin 1cos sin 1cos sin lim lim lim lim lim 0222ln ln lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x →→→-
→→→→→→→→→+∞→+∞'++===+''
==+='
''----====='
''=='2ln 2lim 0x x x x
→+∞→+∞==
练20：1）23132lim 1x x x x →-+- 2
）lim x ）01lim x x e x →-= ， 4）sin()
lim x a x a x a →-=- 。
三、一元函数的积分
1.不定积分
（1）原函数与不定积分的定义
原函数：()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则()F x 是()f x 的一个原函数。
不定积分：()F x 是()f x 的一个原函数（()()F x f x '=），()f x 的全体原函数()F x C +（C 为任意常数）称为()f x 的不定积分。
()()f x dx F x C =+?
[()]()f x dx f x '=?或[()]()d f x dx f x dx =?
()()F x dx F x C '=+?或()()dF x F x C =+?
例21：设()F x 是()f x 的一个原函数，则下列各式成立的是（ ） A. ()()f x dx F x =? B. ()()F x dx f x =? C.
()()f x dx F x C =+? D. ()()F x dx f x C =+?
练21：下列各式中是函数1
()f x x
=
的一个原函数的为（ ） A. 21()F x x = B.ln x C.21
()F x x
=- D.1
2()F x x =
（2）积分公式和积分法则
公式：①0dx C =? ②1(1)1x x dx C αα
αα+=+≠-+? ③1
ln dx x C x
=+?
④ln x
x
a a dx C a
=+? ⑤x x e dx e C =+?
⑥cos sin xdx x C =+? ⑦sin cos xdx x C =-+? ⑧2
sec tan xdx x C =+?
⑨
arcsin x C =+ ⑩21
arctan 1dx x C x =++?
法则： ①[()
()]()()f x g x d x f x d x
g x d x
±=±??
? ②()()kf x dx k f x dx =??
例22：1）2
2
(1)x dx -? 2） 382x dx x --? 3）3
sin x x x dx x
+?
53
2
2
4
2
4
2
2(1)(21)253x x x dx x x dx x dx x dx dx x C -=-+=-+=-++?????
3322
8(24)423x x dx x x dx x x C x -=++=+++-?? 332
sin sin cos 3x x x x dx xdx x dx x C x +=+=-++???
练22：1）3321x x dx
x +-? 2）2
1)1x
e dx x
-++? 3）cos (1tan )x x dx +?
（3）直接积分法 例23：
1x dx x +? 111ln 1111x x dx dx dx dx x x C x x x +-==-=-+++++????
练23：2
21
x dx x +?
（4）换元积分法
[()]()[()]()[()]f x x dx f x d x F x C ?????'?==+??
例24：3
sin cos x xdx ?
()33
41sin cos sin sin sin 4
x xdx xd x x C ==+??
练24：?
（5）分部积分法
uv dx uv u vdx ''=-??或udv uv vdu =-??
例25：ln x xdx ?
222222
ln ln ()ln (ln )ln ln 2222224x x x x x x x x xdx xd x d x x dx x C ==-=-=-+????
练25：x
xe dx ?
2.定积分
（1）定积分的几何意义 当()0f x ≥时，定积分
()b
a
f x dx ?
表示曲线()y f x =与直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲
边梯形的面积；当()0f x ≤时，定积分
()b
a
f x dx ?
表示曲边梯形面积的负值。
例26：由曲线(),,,0y f x x a x b y ====所围成的平面图形的面积的积分表达式为（ ） A.
()b
a
f x dx ?
B.
()b
a
f x dx ?
C.
()b
a
f x dx ?
D.以上都不正确
练26：1）由曲线x
y e -=与直线1,2,0x x y =-==所围成的平面图形面积用定积分可表示为 ，其值为 。
2）由曲线,1,3,0y x x x y ====所围成的平面图形的面积为（ ） A.
12 B.2 C.4 D.9
2
（2）定积分的性质 性质1：
[()()]()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=±?
??
例27：下列积分中，值为0的是（ ） A.
1
21
x dx -?
B.2cos xdx π
π
-? C.
1
1
sin x xdx -?
D.22
cos x xdx π
π-?
cos y x x =是奇函数
练27：下列定积分中，值为0的是（ ）
A.
22
cos xdx π
π-? B. 1
2
1
x dx -?
C.2
3
2
x dx -? D.22
sin x xdx π
π-
?
性质2：()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =?
?
性质3：
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??
例28：设
2
30
2
()3,()1f x dx f x dx ==-?
?，则3
()f x dx =? 。
3
23
2
()()()3(1)2f x dx f x dx f x dx =+=+-=?
??
练28：1）设
2
51
2
()2,()4f x dx f x dx =-=?
?，则5
1
()f x dx =?（ ）
A.1
B.2
C.4
D.不确定 2）设
2
30
2
()3,()1f x dx f x dx ==-?
?，则3
()f x dx =?（ ）
A.3
B.2
C.4
D.不能确定 （3）牛顿—莱布尼兹公式
()()x
a
x f t dt Φ=?，则()()()x
a d x f t dt f x dx
'Φ=
=? ()F x 是()f x 的一个原函数，则()()|()()b b a a
f x dx F x F b F a ==-?
例29：sin x a d t
dt dx t ?＝（ ）
A.sin t t
B.sin a a
C.sin x x
D.cos x
练29：如果
3
20
()3x k dx -=?
，则k 的值等于（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3 （4）定积分的计算 ①直接积分法： 例30：1）
1
32
1
()x x dx --?
2）21
6
3
x x dx x +++?
1
431
32
1
1
2()433x x x x dx --??-=-=- ???? 练30：1）
1
3
2
()x
x dx -=? 2）2
322
(41)x x dx --+?
②换元积分法：
()
()[()]()b
x t a
f x dx f t t dt β
?α
??='???→?
?（(),()a b ?α?β==）
例31：1）
2
20
x e dx =?
2
）1
?
3
）1
?
()2
22222400
1111
22222
x x x e dx e d x e e ===-?
?
5
3
21
1
1
252
(21)(21)33x x =-=-=
?
?
()13
1
222
00
111
(1)1
233
x x
=--=--=
??
练31：1）
2
1
3
01
x
dx
x
+
?2）5
2
cos sin
x xdx
π
?3）40cos2xdx
π
?4）22
2
1
x
dx
x
+
?
③分部积分法
()|
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx
''
=-
??或()|
b b
b
a
a a
udv uv vdu
=-
??
例32：
sin
2
x
x dx
π
?
000
00 sin(2cos)(2cos)(2cos)4sin4 22222
x x x x x x dx xd x dx
πππππ
=-=---==???
练32：1
）
xdx2）
1
ln
e
xdx
?
（5）广义积分
()lim()
b
a a
b
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=
??
例33：下列广义积分收敛的是（）
A.
1
1
dx
x
+∞
? B.
x
e dx
+∞
? C.0sin xdx
+∞
? D.0x e dx
+∞
-
?
()()
000
lim lim lim11
b
b
x x x b
b b b
e dx e dx e e
+∞
----
→+∞→+∞→+∞
==-=-=
??
四、经济分析中的应用
1.需求函数和供给函数：(),()d s q q p q q p ==
总成本函数与平均成本函数：01()
()(),()C q C q C C q C q q
=+=
总收入函数与平均收入函数：()
()(),()R q R q qp q R q q
==
总利润函数与平均利润函数：()
()()(),()L q L q R q C q L q q
=-=
当()()0R q C q -=时，需求量q 称为盈亏平衡点
例34：已知生产某商品q 件的总成本（单位：万元）为2
()1540.15C q q q =++。 （1）求生产10件该商品时的总成本和平均成本。
（2）如果该商品的单位售价为8万元，求销售该商品10件时总利润和平均利润。 （3）求该商品的盈亏平衡点。 (1)(10)
(10)70,710
C C C ==
= (2)(10)
(10)(10)(10)1087010,110
L L R C L =-=?-==
=
(3) 222()()()8(1540.15)0.15415
0.05(380300)0
804063
L q R q C q q q q q q q q q =-=-++=-+-=--+=±==
练34：某工厂生产一种产品，已知其固定成本0C 为300万元，每生产1个产品的成本增加7万元，需求函数1202q p =-，p 为该产品的价格，求： （1）总成本函数()C q 与平均成本； （2）总收入函数()R q 与平均收入； （3）总利润函数()L q 与平均利润； （4）该产品的盈亏平衡点。
2.边际与边际分析 边际成本：()MC C q '=
其经济意义是：当产量为q 个单位时，再多生产一个单位的产品所增加的总成本为()C q ' 边际收入：()MR R q '=
其经济意义是：当产量为q 个单位时，再多生产一个单位的产品所增加的总收入为()R q ' 利润成本：()ML L q '=
其经济意义是：当产量为q 个单位时，再多生产一个单位的产品所增加的总利润为()L q ' 例35：某种产品的总成本C （万元）是产量q （万件）的函数2
()0.014200C q q q =++。试问：当生产水平为20q =（万件）时，从降低单位成本角度看，提高产量是否得当？
220(20)0.0120420200284(20)
14.2
20
()0.024,| 4.4q C C C MC C q q MC MC C
==?+?+==
='==+=< 还应该提高产量。
练35：设生产某产品的变动成本为2
4q q +（元），固定成本为100元，每件售价为80元，试求：
（1）利润函数与边际利润；
（2）销售35件，38件和40件时的边际利润，并解释其经济意义。
22()80()80(4100)76100
()276
L q q C q q q q q q L q q =-=-++=-+-'=-+
(35)6,(38)0,(40)4L L L '''===-
当q=35时，销售量增加可以使总利润增加，即再多销售一件产品，总利润将增加6元； 当q=38时，(38)0L '=，说明总利润达到最大值，再增加销售量，总利润不会增加； 当q=40时，销售量增加使总利润减少，即再多销售一件产品，总利润将减少4元。
小学数学理论归纳（知识点整理） 第一章数和数的运算 (3) 一概念 (3) （一）整数 (3) （二）小数 (4) （三）分数 (5) 二方法 (6) （一）数的读法和写法 (6) （二）数的改写 (6) （三）数的互化 (7) （四）数的整除 (7) （五）约分和通分 (7) 三性质和规律 (8) （一）商不变的规律 (8) （二）小数的性质 (8) （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 (8) （四）分数的基本性质 (8) （五）分数与除法的关系 (8) 四运算的意义 (8) （一）整数四则运算 (8) （二）小数四则运算 (9) （三）分数四则运算 (9) （四）运算定律 (9) （五）运算法则 (10) （六）运算顺序 (10) 五应用 (10) （一）整数和小数的应用 (11) （二）分数和百分数的应用 (17) 第二章度量衡 (19) 一长度 (19) 二面积 (19)
三体积和容积 (19) 四质量 (19) 五时间 (19) 六货币 (20) 第三章代数初步知识 (20) 一、用字母表示数 (20) 二、简易方程 (21) 三、解方程 (21) 四、列方程解应用题 (21) 五比和比例 (22) 第四章几何的初步知识 (24) 一线和角 (24) 二平面图形 (24) 三立体图形 (26) -第五章简单的统计 (27) 一统计表 (27) 二统计图 (27)
第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 ★整数的意义：自然数和0都是整数。 ★自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 ★计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 ★数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 ★数的整除：整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a 。 ★如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。（因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数）★一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10 的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 ★一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ★个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 ★一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 ★一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 ★一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 ★一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 ★能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 ★一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案 《经济数学基础》形成性考核册（一) 一、填空题 １、、答案：1 2、设，在处连续,则、答案1 ３、曲线＋1在得切线方程就是、答案:y=1/2X＋３/２ 4、设函数,则、答案 5、设,则、答案： 二、单项选择题 １、当时，下列变量为无穷小量得就是（D ） Ａ. Ｂ． C. D. ２、下列极限计算正确得就是( B ） Ａ、B、C、D、 3、设，则( B ). A．B。C。D。 4、若函数f （x）在点x0处可导，则(B）就是错误得. A.函数f （ｘ）在点ｘ0处有定义Ｂ.，但 C.函数f （ｘ）在点x0处连续Ｄ.函数ｆ（ｘ）在点x0处可微 ５、若,则（B)、 A. B. C．Ｄ. 三、解答题 1．计算极限 本类题考核得知识点就是求简单极限得常用方法。它包括： ⑴利用极限得四则运算法则; ⑵利用两个重要极限; ⑶利用无穷小量得性质（有界变量乘以无穷小量还就是无穷小量) ⑷利用连续函数得定义。 (1) 分析:这道题考核得知识点就是极限得四则运算法则。 具体方法就是:对分子分母进行因式分解,然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算解:原式=== （2） 分析:这道题考核得知识点主要就是利用函数得连续性求极限. 具体方法就是:对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数得连续性进行计算解:原式== (3） 分析:这道题考核得知识点就是极限得四则运算法则. 具体方法就是:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解:原式==＝= （4) 分析：这道题考核得知识点主要就是函数得连线性. 解:原式= (5)
分析：这道题考核得知识点主要就是重要极限得掌握. 具体方法就是:对分子分母同时除以x ，并乘相应系数使其前后相等,然后四则运算法则与重要极限进行计算 解:原式＝ （6) 分析：这道题考核得知识点就是极限得四则运算法则与重要极限得掌握。 具体方法就是:对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则与重要极限进行计算 解：原式= 2.设函数， 问:（1）当为何值时，在处极限存在? (2）当为何值时,在处连续、 分析：本题考核得知识点有两点,一就是函数极限、左右极限得概念。即函数在某点极限存在得充分必要条件就是该点左右极限均存在且相等。二就是函数在某点连续得概念。 解：(１)因为在处有极限存在，则有 又 即 所以当a 为实数、时,在处极限存在、 (2）因为在处连续，则有 又 ，结合(1)可知 所以当时，在处连续、 3。计算下列函数得导数或微分： 本题考核得知识点主要就是求导数或(全)微分得方法,具体有以下三种: ⑴利用导数(或微分)得基本公式 ⑵利用导数(或微分）得四则运算法则 ⑶利用复合函数微分法 （1),求 分析:直接利用导数得基本公式计算即可。 解： （2)，求 分析:利用导数得基本公式与复合函数得求导法则计算即可。 解:= ＝ （3）,求 分析：利用导数得基本公式与复合函数得求导法则计算即可。 解:23 121 2 1 )53(2 3 )53()53(21])53[(------='---='-='x x x x y （4）,求 分析:利用导数得基本公式计算即可。 解: 分析：利用导数得基本公式与复合函数得求导法则计算即可。 (5）,求
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：
①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα
小学数学必备知识点总归纳 常用单位换算 1、长度单位换算:1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米 2、面积单位换算:1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 3、体(容)积单位换算:1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 4、重量单位换算:1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤 5、人民币单位换算:1元=10角1角=10分1元=100分 6、时间单位换算:1世纪=100年1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有4\6\9\11月 平年2月28天,闰年2月29天 平年全年365天,闰年全年366天 1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒 常用数量关系等式 1、份数:每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数
2、倍数: 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数3、路程: 速度×时间=路程 路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4、价量: 单价×数量=总价 总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5、工作量:工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率 6、数据运算:加数+加数=和 和一一个加数=另一个加数 被减数一减数=差 被减数一差=减数 差+减数=被减数 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 常用图形计算公式1正方形…
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
小学数学知识点总结归纳 一、整数部分 (1) 二、小数部分 (2) 三、分数和百分数 (2) 四、数的整除 (4) 五、整数、小学、分数四则混合运算 (6) 六、简易方程 (7) 七、比和比例 (8) 八、量的计算 (10) 九、平面图形的认识和计算 (11) 一、整数部分： 十进制计数法；一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法 整数的读法：从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。 整数的写法：从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。 四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。 整数大小的比较：位数多的数较大，数位相同最高位上数大的就大，最高位相同比看第二位
较大就大，以此类推。 二、小数部分： 把整数1平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……这些分数可以用小数表示。如1/10记作0.1,7/100记作0.07。 小数点右边第一位叫十分位，计数单位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，计数单位是百分之一（0.01）……小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数位，就叫做几位小数。如0.36是两位小数，3.066是三位小数 小数的读法：整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。 小数的写法：小数点写在个位右下角。 小数的性质：小数末尾添0去0大小不变。化 小数点位置移动引起大小变化：右移扩大左缩小，1十2百3千倍。 小数大小比较：整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。 三、分数和百分数 ■分数和百分数的意义 1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。 2、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。 3、百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。 4、成数：几成就是十分之几。 ■分数的种类
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含ｎ个元素得集合得所有子集有个 第二章 函数 1、求得反函数:解出,互换,写出得定义域; 2、对数:①:负数与零没有对数,②、1得对数等于0:,③、底得对数等于1:, ④、积得对数:, 商得对数:, 幂得对数:;, 第三章 数列 1、数列得前n 项与:; 数列前ｎ项与与通项得关系: ２、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数; (2)、通项公式: (其中首项就是,公差就是;) (3)、前ｎ项与:１、(整理后就是关于n 得没有常数项得二次函数) (4)、等差中项: 就是与得等差中项:或,三个数成等差常设:ａ-d ,a ,ａ+ｄ 3、等比数列:(１)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它得前一项得比等于同一个常数,()、 (２)、通项公式:(其中:首项就是,公比就是) (3)、前ｎ项与: (4)、等比中项: 就是与得等比中项:,即(或,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:(１)、弧度,1弧度;弧长公式: (就是角得弧度数) 2、三角函数 (１)、定义: y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc sec cot tan cos sin 4、同角三角函数基本关系式: 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号瞧象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: 6、两角与与差得正弦、余弦、正切 : : : : : : ７、辅助角公式:??? ? ?? ++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2 22222
小学数学必背知识点汇总 基本性质 ※小数的基本性质：在小数末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。 ※分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 ※比的基本性质：比的前项和后项都乘以或者除以相同的数（零除外），比值不变。 ※比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 ※比例尺=图上距离÷实际距离（单位要相同） ※商不变的性质：在除法里，被除数和除数都乘以或者除以相同的数（零除外），商的大小不变。 一．公式 路程=速度×时间 总路程=速度和×相遇时间 追及时间=路程差÷速度差 平均数=总数量÷总份数 工作量=工作时间×工作效率 总价=单价×数量 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 圆形的周长=直径×(半径×2×) 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 平行四边形的面积=底×高
三角形面积=底×高÷2 梯形面积=(上底+下底)×高÷2 圆形面积=半径×半径× 扇形面积= 圆柱体侧面积=底面周长×高 圆柱体表面积=侧面积+底面积×2 即： 正方体面积=棱长×棱长×6 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体有12条棱：4条长，4条宽，4条高，六个面； 正方本有12条棱：每条棱都相等，有六个面，每个面都相等。 长立方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长圆柱体体积=半径2××高 圆锥体体积=半径2××高× 当赚钱时 卖价=成本×(1+赚率) 求赚了多少=成本×赚率 成本=卖价÷(1+赚率) 赚率=［(卖价-成本)÷成本］×100% 当赔钱时 卖价=成本×(1-赔率) 求赔了多少=成本×赔率
专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。
小学数学总复习资料 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长S：面积a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（C：周长S：面积a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体（V:体积s:面积a:长b: 宽h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积a：底h：高）面积=底×高s=ah 7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8、圆形（S：面积C：周长лd=直径r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 13、和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或者和－小数＝大数) 14、差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数(或小数＋差＝大数) 15、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量17、利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 常用单位换算 长度单位换算 1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算 1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算 1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算
《经济数学基础--微积分》复习提纲 一、第一章：函数 1、函数概念，表达式，初等函数，定义域等。 例如：（1）函数21)(x x x f -+= 的定义域是x=[0，1]； （2） f(x)＝522-+x x ,得f(x －1)＝5)1(2)1(2--+-x x ＝…； （3）22)1(2+-=+x x x f ，即)(x f ＝2212)1(2+---+x x x ＝…＝542+-x x ； （4）设==))((,1)(x f f x x f 则)1(x f ＝…= 21x ； （5）在下列函数中与||)(x x f =表示相同函数的是（ B ） A ．2)(x B.2x C ．33 x D ．x x 2 (6) 设???>+≤+=0 5402)(2x x x x x f ，则9)1(=f ，2)0(=f ，17)3(=f ，3)1(=-f ； 二、第二章：极限与连续 1、概念理解，无穷大＋∞，无穷小－∞，极限运算等。 能代即代……只看最高次……因式分解、分子分母有理化、公式化简等；2个重要极限中的=→x x x sin lim 01。 例如：（1）4 43222lim ++∞→x x x ＝（只看最高次）＝1/2； （2）3923 lim --→x x x ＝（因式分解）＝…＝3； （3）102 7776664999888222lim 2323++-+-+∞→x x x x x x x ＝只看最高次＝ 1/4 （4）4 586224+-+-→x x x x im l x ＝（因式分解）＝…＝32 （5）x x im l x 110 -+→＝（分子有理化）＝…＝21 （6）但是=∞→x x x sin lim 0，=→x x x sin lim 01。 （7）已知122=+y x ，即y '＝y x - （课本61页例题2.13） （8）课本35－37页有关例题。
高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0
的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里
小学数学知识点汇总 一．整数和小数 1．最小的一位数是1，最小的自然数是0 2．小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数来表示。 3．小数点左边依次是整数部分，小数点右边是小数部分，依次是十分位、百分位、千分位…… 4．小数的分类：小数有限小数 无限循环小数 无限小数{ 无限不循环小数 5．整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。 6．小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 7．小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍…… 小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍…… 二．数的整除 1．整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2．约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 3．一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。 4．按能否被2整除，非0的自然数分成偶数和奇数两类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。5．按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。 质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。质数都有2个约数。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。合数至少有3个约数。 最小的质数是2，最小的合数是4 1~20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 1~20以内的合数有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18 6．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。 能被3整除的数的特征：一个数的各位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 7．质因数：如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的质因数。 8．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 9．公约数、公倍数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10．一般关系的两个数的最大公约数、最小公倍数用短除法来求；互质关系的两个数最大公约数是1，最小公倍数是两数之积；倍数关系的两个数的最大公约数是小数，最小公倍数是大数。 11．互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。 12．两数之积等于最小公倍数和最大公约数的积。 三．四则运算 1．一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差 一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商 2．在四则运算中，加、减法叫做第一级运算，乘、除法叫做第二级运算。
经济数学基础问题解答和综合练习讲解 网上单向视频活动 中央电大顾静相 大家好！这学期的经济数学基础课程由我主持。从这学期开始，我们对财经类经济数学基础课程教学大纲及教学内容、文字教材和考核说明进行调整和修改，具体的调整情况我们在今年6月9日的“经济数学基础双向视频教学工作会议上作了详细的介绍，相信参加会议的代表已经把会议的精神传达下去，大家也在按照调整后的教学内容进行教学。但是，我们也经常接到关于课程调整的咨询电话和邮件，所以，这次活动我首先简要地介绍本课程的调整情况，然后解答大家在前一段时间里提出的问题，最后讲解微分部分的综合练习题。当然在活动过程中大家若有问题，请随时提出，我一定会解答的。 一、本课程教学内容等调整的说明 从2005年秋季开始经济数学基础课程的教学计划、教学内容作如下调整： 1．电大开放教育财经类专科教学计划中经济数学基础课程的教学内容调整为微积分学（含多元微分学）和线性代数两部分，其中 微积分学的主要内容为： 函数、极限、导数与微分、导数应用、多元函数微分学； 不定积分、定积分、积分应用、微分方程。 线性代数的主要内容为： 行列式、矩阵、线性方程组。 2．教材采用由李林曙、黎诣远主编的，高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材： ?经济数学基础网络课程学习指南 ?经济数学基础——微积分 ?经济数学基础——线性代数 3．教学媒体 （1）配合文字教材的教学，有26讲的电视录像课，相对系统地讲授了该课程的主要内容。同时还有2合录音带，对学生的学习进行指导性的提示和总结性的复习。 （2）计算机辅助教学课件(CAI课件)有助于提高学生做作业的兴趣，帮助学生复习、掌握基本概念和基本方法。 （3）《经济数学基础网络课程》已经放在“电大在线学习网”上，在学习网的主页的中下部”的教学资源展厅的网络课程栏目中可以找到经济数学基础网络课程，点击后就可以进入学习。 网络课程的模块包括课程序言、课程说明、预备知识、本章引子、学习方法、教学要求、课堂教学、课间休息、跟我练习、课后作业、本章小结、典型例题、综合练习、阶段复习、专题讲座、课程总结、总复习等。 （4）速查卡主要是根据学生学习的流动性特点,考虑到本课程学时少、知识点多、相对抽象、不易记忆和理解等特点而设计。重点将一些定义、经济含义、性质、定理、公式、方法等内容，通过研究他们之间的逻辑关系(如互为逆运算等)，呈现在一张卡中，达到简化记忆、一举多得的便捷效果。 4．为使本课程教学计划、教学内容顺利调整，确保本课程的各项教学工作正常、有序地进行，我们已经调整了教学大纲和课程教学设计方案，重新编制本课程的形成性考核册和考核说明，并将相
主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高中必考数学知识点归纳整理 1高中数学重难点知识点 高中数学（文）包含5本必修、2本选修，（理）包含5本必修、3本选修，每学期学习两本书。 必修一：1、集合与函数的概念（这部分知识抽象，较难理解）2、基本的初等函数（指数函数、对数函数）3、函数的性质及应用（比较抽象，较难理解） 必修二：1、立体几何（1）、证明：垂直（多考查面面垂直）、平行（2）、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程：
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分（选择或填空）2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：（图像、性质、高中重难点，）必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：（正、余弦定理、三角恒等变换）高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：（线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分）不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 文科：选修1—1、1—2 选修1--1：重点：高考占30分 1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线： 3、导数、导数的应用（高考必考） 选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：（新课标比老课本难的多，高考必考内容）