佳 木 斯 一 中 2020-2021 学 年 度 第 一 学 期 第 一 学 段 考 试
数 学 文 科 试 卷
考 试 时 间 120分 钟 满 分 150 分
一、选择题：（每个小题仅有一个选项符合题目要求，每小题5分，共计60分） 1．用符号表示“点A 在直线l 上，l 不在平面α内”，正确的是( )
A ．,A l l α∈?
B ．,A l l α??
C ．,A l l α?∈
D ．,A l l α∈?
2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且26AB =，则实数x 的值是（ ）
A ．6或2-
B ．6或2
C ．3或4-
D ．3-或
4
3．下列命题正确的是（ ）
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若a b >，c d >，则ac bd >
C ．若22ac bc >，则a b >
D ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
4．不等式组0
010
x y x y ≥
??≥??+-≤?，表示的平面区城为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧 面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．44π+
6．下列说法正确的是（ ）
A ．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C ．棱柱中各条棱长都相等
D ．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
7．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ）
A ．8
B ．2
C ．12-
D ．-2 8．已知//a α，b α?，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面 C ．异面 D ．平行或异面
9．已知直线1:(3)4530++-+=l a x y a 与2:2(5)80l x a y +++=平行，则a 等于（ ）. A ．-7或-1 B ．7或1 C ．-7 D ．-1
10．下列命题正确的是（ ）
A ．三点确定一个平面
B ．一条直线和一个点确定一个平面
C ．梯形可确定一个平面
D ．圆心和圆上两点确定一个平面
11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A ．直线1BD 与平面ABCD 所成的角等于π4
B ．点
C 到面11ABC
D 的距离为22
C ．两条异面直线1
D C 和1BC 所成的角为π4
D ．三棱柱1111AA D BB C -的体积是16
12．在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．43 B ．94 C ．92 D ．3
二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13．直线x-y =0的倾斜角是 。
14．设直线()31y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点 。
15．已知直线l 在x 轴上的截距是2-，在y 轴上的截距是3，则直线l 的方程是 。
16．已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为
33，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为 。
三、解答题：（写出必要的解题步骤和文字说明，共计70分）
17．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=?
，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置，使得平面APC ⊥平面ABC ．
（1）求证：PB AC ⊥；
（2）求三棱锥P ABC -的体积．
18．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M GH ，的中点为N .
（1）请将字母F G H ，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线//MN 平面BDH .
19．已知ABC ?的三个顶点()1,0A -，()5,4B -，()1,2C ．
（1）求BC 边上的中线所在直线方程以及中线的长度；
（2）求AB 边上的高线的长度．
20．若实数x ，y 满足约束条件02020x y x y x -≥??++≥??-≤?
（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；
（2）若2z x y =-，求z 的最大值.
21．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点
.
（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD
垂直，求11EB AB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面11AB C 成角的正弦值.
22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ， 11A B ，11A D 的中点，点P ，Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且(02)DP BQ λλ==<<.
（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；
（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.