γm
βα
l
l
α
β立体几何知识点整理（文科）
一．
直线和平面的三种位置关
系：
1. 线面平行
α
l
符号表示：
2. 线面相交
α
A
l
符号表示：
3. 线在面内
α
l
符号表示：
二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实
现。
m l m l l ////???
?
??=??βαβ
α
方法二：用面面平行实现。
m l m l ////???
?
??
=?=?βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 方法四：用向量方法：
若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则
m l //。
2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ???
?
??
?? 方
法二：用面面平行实现。
αββα////l l ??
??
?
方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面α的一个法向量，
l n ⊥且α?l ,则α//l 。
3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。
β
ααβ//',','
//'//?????
???
??且相交且相交m l m l m m l l
方法二：用线面平行实现。
βαβαα
//,////???
?
??
?且相交m l m l
m
l
α
n
α
l
m'l'l
α
βm m
β
α
l
l m
β
α
三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
αα⊥????
?
???
?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥???
?
??
?⊥=?⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥??
??
?⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥??
??
?⊥αα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥?
?
⊥?⊥????
方法三：用向量方法：
若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：
ab
c
b a 2cos 2
22-+=θ
(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)： AC
AB AC AB ??=
θcos
(二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
A
B
C αl
l
β
α
m
l
β
α
m α
l θ
c b
a
A
B
C
θn A
O
θ
P αl
A
O
P
α
A
O
θ
P
α
(2)范围：]90,0[??
当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
n m l
β
α
P
θ
(2)范围：]180,0[?? (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面
βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面
角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
θA
O
P α
β
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
θ
n 1n 2
步骤一：计算121212
cos n n n n n n ?=?
步骤二：判断θ与12n n 的关系，可能相等或者互补。
四．
距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
O
A
P
α
步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。
步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。
n
m
α
如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且
α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为
直线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。
d c
b
a
θm'
D
C
B A
m
n
如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，
'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为： θ
cos 2222ab b a c d ±--=
五． 空间向量
(一) 空间向量基本定理
若向量c b a ,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p ，都存在唯一的有序实数对
z y x 、、，使得c z b y a x p ++=。
(二) 三点共线，四点共面问题 1. A ，B ，C 三点共线?
OA xOB yOC =+，且1x y +=
当2
1
=
=y x 时，A 是线段BC 的 A ，B ，C 三点共线?AC AB λ= 2. A ，B ，C ，D 四点共面?
OA xOB yOC zOD =++，且1x y z ++=
当1
3
x y z ===
时，A 是△BCD 的 A ，B ，C ，D 四点共面?AD y AC x AB += (三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A 、B 两点的坐标分别为：
111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z 则：
AB = ;=B A d ,AB =
A
B
C D
1
A
1
C
1
B
2. 若空间中的向量111(,,)a x y z =，),,(222z y x b = 则a b += a b -=
a b ?= cos a b =
六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为αβγ、、，则2
2
2
cos cos cos αβγ=++
β
γ
αα
βγ
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为αβγ、、，则2
2
2
cos cos cos αβγ=++ 3.若长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)
(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方
比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积：=棱柱V =棱锥V (七) 球
1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R ，小圆的半径为r ，小圆圆心为O 1，球心O 到小圆的距离为d ，则它们三者之间的数量关系是 。
3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式： 体积公式：
高考题典例
考点1 点到平面的距离
例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．
解答过程（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．
ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，
AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分
别
为
1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．
在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作
1GF A D
⊥于
F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．
1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．
在1AA D △中，由等面积法可求得455
AF =，
又1122AG AB ==， 210sin 4
455AG AFG AF ∴===∠．
所以二面角1A A D B --的大小为10arcsin 4
．
（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．由1
1
A BCD C A BD V V --=，得11133
3BCD
A BD S S d =△△，
1322
BCD A BD S d S ∴==
△△．
∴点C 到平面1A BD 的距离为22
．
A
B
C D
1
A
1
C
1
B
O F
考点2 异面直线的距离
例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.
解答过程： 如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，
EF ∴为BCD ?的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面
SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又
线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF
的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点，
2,2,62
1
,62=====∴SC DF CD EF CD 3
3222621312131=????=????=
∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ?中，3222=+=CE SC SE
在Rt SCF ?中，30224422=++=+=CF SC SF
又3,6=∴=
?SEF S EF 由于h S V V SEF CEF S SEF C ??==?--3
1
，即332331=
??h ，解得332=h 故CD 与SE 间的距离为
3
3
2. 考点3 直线到平面的距离
例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一BD ∥平面11D GB ，
BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求
点O 平面11D GB 的距离,
1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,
又?11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,
B
A
C
D
O
G
H 1
A 1
C 1D
1
B 1O
作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1?中，2222
1
2111=??=??=?AO O O S OG O . 又3
6
2,23212111=∴=??=??=
?OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于3
6
2. 解析二 BD ∥平面11D GB ，
BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.
设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则
，由于632221
,111111=??=
=?--D GB GBB D D GB B S V V 3
4
222213111=
????=-GBB D V ,
,3
6
26
4=
=
∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于
3
6
2. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.
考点4 异面直线所成的角
例4如图，在Rt AOB △中，π6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转
得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，
BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，
CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ，
又CO ?平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．
（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，
O
C
A
D
B
E
A
D
z
CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．
在Rt COE △中，2CO BO ==，112
OE BO ==，225CE CO OE ∴=+=．
又132DE AO ==．∴在Rt CDE △中，515tan 33
CE CDE DE ===．
∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan 3
．
小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：??
? ??2,
0π.
考点5 直线和平面所成的角
例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，
2AB =，22BC =，3SA SB ==．
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．
解答过程：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面
SBC ⊥
底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，
AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥， 故SA AD ⊥，由22AD BC ==，3SA =
，
2AO =，得 1SO =，11SD =． SAB △的面积2
2
11122
2S AB
SA AB ??
=-= ???
．
连结DB ，得DAB △的面积21
sin13522
S AB AD =
= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得12113
3
h S SO S =，解得2h =． 设SD 与平面SAB 所成角为α，则222sin 1111h SD α===．
所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为22arcsin 11
．
D
B
C
A
S
O
D
B
C
A
S
小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角
例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，
45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥
（II ）求二面角B AC P --的大小．
过程指引：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ α
β=，所以CO α⊥，
又因为CA CB =，所以OA OB =．
而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=， 从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，
所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ?平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ α
β=，
BO α?，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥．故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．
由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，
不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302
OH AO ==
． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==，于是在Rt BOH △中，
3
tan 232
BO
BHO OH
∠=
==．故二面角B AC P --的大小为arctan 2． 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱
A
B
C
Q
α
β P A
B C
Q
α
β P O H
二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7 利用空间向量求空间距离和角
例7． 如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；
（2）若点G 在BC 上，2
3
BG =，点M 在1BB 上，
GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；
（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ． 过程指引：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1DN =，连结EN ，
CN ，则1AE DN ==，12CF ND ==．
因为AE DN ∥，1ND CF ∥，所以四边形ADNE ，1CFD N 都为平行四
边形．从而EN AD ∥
，1FD CN ∥． 又因为AD BC ∥
，所以EN BC ∥，故四边形BCNE 是平行四边形，由此推知CN BE ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面． （2）如图，GM BF ⊥，又BM BC ⊥，所以BGM CFB =∠∠，
tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠23
132
BC BG
CF ==?=． 因为AE BM ∥
，所以ABME 为平行四边形，从而AB EM ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．
（3）如图，连结EH ．因为MH BF ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EMH ，得EH BF ⊥．于是
EHM ∠是所求的二面角的平面角，即EHM θ=∠．
因为MBH CFB =∠∠，所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==∠∠
22
22
33113
32BC BM
BC CF ==?
=
++， tan 13EM MH θ==．
C
B
A
G H
M
D
E
F
1
B
1
A
1
D
1
C
C
B
A
G H
M
D
E
F 1
B
1
A
1
D
1
C
N