空间向量及其运算
【高考导航】
本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分.
【学法点拨】
本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.
【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义
(1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
(2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段.
2.空间向量的加法、减法及数乘运算.
(1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0.
(2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意
-=的逆应用.
(3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义.
(1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2
1
时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP =
2
1
(OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
向量,叫作共面向量，空间任意两个向量，总是共面的.如果两个向量a、b不共线.则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y.使p=xa+yb.对于空间任一点O和不共线的三
点A、B、C，A、B、C、P共面的充要条件是=x+y+z（其中x+y+z=1）.
共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广，共线向量定理证三点共线，共面向量定理证四点共面.
4.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc.特别的，若a、b、c不共面，且xa+yb+zc=O，则x=y=z=0.常以此列方程、求值.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，隐含着三向量都不是0.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底.要注意，一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一向量.
5.两个向量的数量积.
a·b=|a|·|b|·cos（a,b），性质如下：
（1）a·e=|a|·cos
（3）|a|2=a·a；（4）|a|·|b|≥a·b.
二、重点难点突破
（一）重点
空间向量的加法、减法运算法则和运算律；空间直线、平面向量参数方程及线段中点的向量公式.空间向量基本定理及其推论，两个向量的数量积的计算方法及其应用.
（二）难点
空间作图，运用运算法则及运算律解决立体几何问题，两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.
对于重点知识的学习要挖掘其内涵，如从向量等式的学习中可以挖掘出：
（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量，仍得等式.即“移项法则”仍成立；（3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍是等式.这样知识掌握更加深刻.用空间向量解决立体几何问题.一般可以按以下过程进行思考：（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化为向量表示，则它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的向量有何关系？
(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到所需要的结论?
三、易错点和易忽略点导析
两个向量的夹角应注意的问题：①（a，b）=（b，a）；②（a,b）与表示点的符号（a,b）
不同;③如图9-5-1(a)中的∠AOB=
【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨
【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果=e 1+e 2，=2e 1+8e 2，=3e 1-3e 2.求证：A 、B 、C 、D 共面.
思维入门指导：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要能证明三向量、、共面，于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λ+μ+υ=0即可.
证明:设λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+υ(3e 1-3e 2)=0. 则(λ+2μ+3υ)e 1+(λ+8μ-3υ)e 2=0. ∵e 1、e 2不共线， ∴???=-+=++.
038,032υμλυμλ 上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ=1就是其中的一组,于是可知-5++=0.
故、、共面，所以A 、B 、C 、D 四点共面.
点拨：寻找到三个非零实数λ=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.
二、应用思维点拨
【例2】 某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向.
思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.
解:设a 表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a ,设实际风速为v ,那么此人感到的风速向量为v-a .如图9-5-2.设=-a ,=-2a .由于PO +OA =PA ,从而PA =v-a .这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于
PO +OB =PB ，从而v-2=PB .于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的
风就是PB .
由题意,得∠PB O =45°, PA ⊥B O ，BA=A O ，从而△PB O 为等腰直角三角形.故P O =PB=2α.即|v|=2α.
答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.
点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.
三、创新思维点拨
【例3】 如图9-5-3(1)，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.
（1）用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； （2）用向量法证明BD ∥平面EFGH.
思维入门指导:(1)要证E 、F 、G 、H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使=x +y 即可;(2)要证BD ∥平面EFGH,只需证向量与共线即可.
证明:(1)如图9-5-3(2),连结BG,则 EG =EB +BG =EB +
2
1
(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH . 由共面向量定理推论知，E 、F 、G 、H 四点共面. (2)∵EH =AH -AE =
21AD -21AB =21(AD -AB )=2
1
BD , ∴EH ∥BD.
又EH ?面EFGH ，BD ?面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH.
点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.
【例4】 如图9-5-4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1与DE 所成角.
思维入门指导：在正方体AC 1中，要求A 1C 1与DE 所成角,只需求11C A 与DE 所成角即可.要求11C A 与DE 所成角，则可利用向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和|DE |即可.
解:设正方体棱长为m,AB =a,AD =b,1AA =c. 则|a |=|b |=|c |=m ，a ·b =b ·c =c ·a =0. 又∵11C A =11B A +11C B =AB +AD =a +b ,
=1DD +D 1=1DD +
2111C D =c +2
1
a ,
∴11C A ·=(a+b)(c+
21a)=a ·c +b ·c +21a 2+21a ·b =21a 2=2
1m 2. 又∵|11C A |=2m,|DE |=
2
5
m, ∴cos<11C A ,11m m m 2
52212?
=
10
10. ∴<11C A ,>=arccos
1010.即A 1C 1与DE 所成角为arccos 10
10. 点拨：A 1C 1与DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.
而应用向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及DE 用同一组基底表示出来,再去求有关的量是空间向量运算常用的手段.
四、高考思维点拨
【例5】 （2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠
BCD.
(1)求证：C 1C ⊥BD ； (2)当
1
CC CD
的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?请给出证明. 思维入门指导：根据两向量的数量积公式a ·b =|a |·|b |cos
(1)证明:设=a ,=b ,1CC =c .由题可知|a |=|b |.设、、1CC 中两两所成夹角为θ,于是BD =CD -CB =a -b ,
1CC ·BD =c ·(a -b )=c ·a -c ·b =|c |·|a |cos θ-|c |·|b |cos θ=0,
∴C 1C ⊥BD.
(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD,只须证A 1C ⊥BD,A 1C ⊥DC 1,由于:
1CA ·D C 1=(+1AA )·(-1CC )=(a +b +c )·(a -c )=|a |2
+a ·b -b ·c -|c |2
=|a |2
+|b
|·|a |·cos θ-|b |·|c |cos θ-|c |2
=0,得
当|a |=|c |时A 1C ⊥DC 1.同理可证当|a |=|c |时,A 1C ⊥BD.
∴
1
CC CD
=1时,A 1C ⊥平面C 1BD. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.
（a -b ）·（a +b ）=a 2-b 2；(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2
. 五、经典类型题思维点拨
【例6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心）
思维入门指导：如图9-5-6所示四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别为各棱中点.要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、GH 相交于一点O ，然后证明P 、O 、Q 三点共线，即、OQ 共线.从而说明PQ 直线也过O 点.
证明：∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点， ∴EG ∥
21BC.同理HF ∥2
1
BC.∴EG ∥HF. 从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点，
连接O P 、O Q.
∵OP =OG +GP ,=OH +,而O 为GH 的中点， ∴+=0,GP ∥21CD ，QH ∥2
1
CD. ∴=
21,=2
1
. ∴OP +=OG +OH +GP +=0+21CD -2
1
CD =0. ∴=-.
∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.
点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设EF 的中点为O .连接O P 、O Q,则FQ =EQ -,而EQ =
21=-,=-2,则FQ =-+2,∴=2
1
(FQ +)，从而看出O 、P 、Q 三点共线且O 为PQ 的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为GH 的中点，从而原
命题得证.
六、探究性学习点拨
【例7】 如图9-5-7所示，对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量a =OA ，b =OB ,c =OC ,d =OD .求证：A 、B 、C 、D 四点共面的充要条件是存在四个非零实数α、β、γ、δ，使αa +βb +γc +δd =0，且α+β+γ+δ=0.
思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.
证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共面，因为A 、B 、C 三点不共线，故AB ，AC 两向量不共线，因而存在实数x 、y ，使AD =x AB +y AC ,即d-a=x(b -a )+y(c -a ),∴(x+y -1)a -xb -yc +d =0.令α=x+y-1, β=-x,γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.
（充分性）如果条件成立，则δ=-(α+β+γ),代入得 αa +βb +γc +δd =αa+βb+γc-(α+β+γ)d=0. 即α(a-d)+ β(b-d)+γ(c-d)=0.
又∵a -d=OA -OD =DA ,b-d=DB ,c-d=DC , ∴αDA +βDB +γDC =0.
∵α、β、γ为非零实数,不妨设γ≠0.
则DC =-γα
DA -γβDB .
∴DC 与DA 、DB 共面，即A 、B 、C 、D 共面.
点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，
因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系.
【同步达纲训练】
A 卷:教材跟踪练习题 （60分 45分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分）
1.点O 、A 、B 、C 为空间四个点，又、、为空间一个基底，则下列结论不正确的是（ ）
A.O 、A 、B 、C 四点不共线
B. O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线
C. O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线
D. O 、A 、B 、C 四点不共面 2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,下列各式中运算的结果为的共有( )
①（+）+1CC ②（1AA +11D A ）+11C D ③（AB +1BB ）+11C B ④（1AA +11B A ）+11C B
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量;命题q ：{a ,b ,c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
4.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0,则△BCD 是（ ）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不确定 5.下列命题中，正确的是（ ） A.若a 与b 共线，则a 与b 所在直线平行 B.若a ∥平面β，a 所在直线为a ，则a ∥β
C.若｛a,b,c ｝为空间的一个基底，则{a-b,b-c,c-a}构成空间的另一个基底
D.若OP =
21OA +2
1
OB ,则P 、A 、B 三点共线 6.若a =e 1+e 2+e 3，b =e 1-e 2-e 3，c =e 1+e 2，d =e 1+2e 2＋3e 3，且d =x a+y b+z c ，则x 、y 、z 分别为
（ ）
A.
25,-21,-1 B.25,21,1 C.-
25,21,1 D.25,-2
1,1 二、填空题（每小题4分，共16分）
7.设向量a 与b 互相垂直，向量c 与它们构成的角都是60°，且|a |=5，|b |=3，|c |=8，那
么（a +3c ）·（3b -2a ） ；（2a +b -3c ）2
= .
8.已知向量n A A 1=2a ，a 与b 的夹角为30°，且|a|=3，则21A A +32A A +…+n n A A 1-在向量b 的方向上的射影的模为 .
9.如图9-5-8，已知空间四边形O ABC ，其对角线为O B 、AC ，M 是边O A 的中点,G 是△ABC 的重心，则用基向量OA 、OB 、OC 表示向量MG 的表达式为 .
10.已知P 、A 、B 、C 四点共面且对于空间任一点O 都有=2+
3
4
+λ,则λ= .
三、解答题（每小题7分，共14分）
11.如图9-5-9，已知点O 是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1体对角线的交点，点P 是空间任意一点.
求证：++++1PA +1PB +1PC +1PD =8.
12.如图9-5-10，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB,且与α所成角是30°.如果AB=a,AC=BD=b,求C 、D 间的距离.
B 卷:综合应用创新练习题 （90分 90分钟） 一、学科内综合题(10分)
1.如图9-5-11所示，已知□ABCD ，O 是平面AC 外一点，1OA =2,1OB =2,1OC =2, 1OD =2OD .求证：A 1、B 1、C 1、D 1四点共面.
二、应用题（10分）
2.在△ABC 中，∠C=60°,CD 为∠C 的平分线,AC=4，BC=2，过B 作BN ⊥CD 于N 延长交CA 于E ，将△BDC 沿CD 折起，使∠BNE=120°，求折起后线段AB 的长度.
三、创新题（60分） （一）教材变型题(10分)
3.（P 35练习2变型）如图9-5-12已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，求
AB 与CD 的夹角.
（二）一题多解(15分)
4.已知矩形ABCD,P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分成定比2，N 分成定比1，求满足=x +y +z 的实数x 、y 、z 的值.
（三）一题多变(15分) 5.设a ⊥b,
3π,
π
，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，求|a +b +c |. （1）一变：设a ⊥b ，=3π，=6π
，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求|a+2b-c|. （2）二变：设a ⊥b ，=
3
π
，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，|a+b+c|=3617+，求
-b 与c 的夹角.
（四）新解法题（10分）
6.如图9-5-13，正方形ABCD 和正方形ABEF 交于AB ，M 、N 分别是BD 、AE 上的点，且AN=DM ，试用向量证明MN ∥平面EBC.
7.O 为空间任意一点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP =OA +λλ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心 四、高考题(10分)
8.（2002,上海,5分）若a 、b 、c 为任意向量，m∈R ，则下列等式不一定成立的是( ) A.(a +b )+c =a +(b +c ) B.(a +b )·c =a ·c +b ·c C.m(a +b )=ma+m b D.(a ·b )·c =a ·(b ·c ) 加试题：竞赛趣味题（10分）
证明：ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22(a ，b ，c 为正实数).
【课外阅读】
用向量表示三角形的四心
由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.
【例】 如图9-5-14，在△ABC 中，F 是AB 上的一点,E 是AC 上的一点,且FB AF =l m ,EC AE =l
n
(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数)，连结CF 、BE 交于点D.求D 点的坐标.
解：在平面上任取一点O ，连结O A 、O B 、O C 、O D 、O E 、O F ，由定比分点的向量表达式，得：
OF =(OA +
l m ·OB )÷(1+l
m ) =
m
l OB
m OA l +?+? ①
=
l
n OC
l n
OA +?+1=n l OC n OA l +?+? ②
又=
λλ+?+1OC OF =u OE u OB +?+1 ③(其中DC
FD
=λ,u DE BD =).
整理①、②、③式得λ=1
+m n
. 所以OD =
n m l l ++OA +n m l m ++OB +
n
m l n
++OC ④ 由④式出发，可得三角形四心的向量表达式：
（1）若BE 、CF 是△ABC 两边上的中线，交点G 为重心.由④式可得重心G 的向量表达式： =3
1
(++).
（2）若BE 、CF 是△ABC 两内角的平分线，交点I 是内心. 因为
FB AF =a b ,EC AE =a
c
, 由④式可得内心I 的向量表达式： OI =
c b a a ++OA +c b a b ++OB +
c
b a c
++OC . （3）若BE 、CF 是△ABC 两边上的高，交点H 是垂心. EC AE =C
a A c cos cos ??=A a C
c cos cos .
同理FB
AF =A
a B b
cos cos .
由④式可得垂心H 的向量表达式：
=C c B b A a C a cos cos cos cos +++C c B b A a C b cos cos cos cos +++C
c
B b A a
C c cos cos cos cos ++. （4）若BE 、CF 的交点O ′是△ABC 的外心，即三边中垂线交点，则 O ′A=O ′B=O ′C. 根据正弦定理：
EC
AE =CBE C BE EBA A BE ∠?∠?sin sin sin sin =)(2
1sin sin )
(21
sin sin C BO A B AO C '∠-?'∠-?ππ
=
A A C C cos sin cos sin ??=A
C
2sin 2sin .
同理
FB AF =A
B
2sin 2sin . 由④式可得外心O ′的向量表达式： OO =
C B A A 2sin 2sin 2sin 2sin ++OA +C
B A B
2sin 2sin 2sin 2sin ++OB
+
OC C
B A C
2sin 2sin 2sin 2sin ++.
这四个向量表达式，都由④式推出，都有着各自轮换对称的性质.好记，好用!新教材的优越性,由此可见.
参考答案
A 卷
一、1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的.
2.D 点拨:++1CC =+1CC =1AC ,同理根据空间向量的加法运算法则可知(2)、(3)、(4)的计算结果也为1AC .
3.B 点拨：当三个非零向量a 、b 、c 共面时，a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，但是｛a ，b,c ｝为空间的一个基底时，必有a 、b 、c 都是非零向量.因此由P 推不出q ，而由q 可推出P.
4.B 点拨：AC ·AB =0?AC ⊥AB.同理可得AC ⊥AD,AB ⊥AD. 设AB=a ，AC=b ，AD=c.则BC=22b a +,CD=22c b +,BD=22c a +. ∵cos∠BCD=CD
BC BD CD BC ?-+22
22＞0,故△BCD 为锐角.
同理∠CBD 、∠BDC 亦为锐角.则△BCD 为锐角三角形.
5.D 点拨:向量共线则其所在直线平行或重合,故A 错误;向量平行于平面,则向量在面内或所在直线与面平行,故B 错误;取λ1=λ2=λ3=1,则λ1(a-b)+λ2(b-c)+λ3(c-a)=0,即a-b,b-c,c-a 是共面向量,不能构成空间的基底,故C 错.
x+y+z=1 x=
25, 6.A 点拨: x-y+z=2 ? y=-
2
1, x-y=3 z=-1.
二、7.-62，373 点拨：（a+3c ）·（3b-2a ）=3a ·b-2a 2+9c ·b-6a ·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2
+
9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.
8.3 点拨：∵21A A +32A A +…+n n A A 1-=n A A 1,
∴在b 方向投影为|n A A 1|·cos
点拨：如答图9-5-1所示，连AG 延长交BC 于E ，=+=
21+32AE =21+32·21(AB +)=21+31(-)+3
1
(-)=-
61OA +31OB +3
1
OC .
10.λ=-3
7
点拨：根据共面向量定理知，P 、A 、B 、C 四点共面，则OP =x OA +y OB +z OC ,且x+y+z=1.
三、11.证明:设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心,于是有
+++=(+)+(+)=2+2=4,
同理可证1PA +1PB +1PC +1PD =41PE .
又∵平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，∴+1PE =2,
++++1PA +1PB +1PC +1PD =4+41PE =4(+1PE )=8.
12.解:由AC ⊥α,可知AC ⊥AB.过D 作DD ′⊥α,D ′为垂足,则∠DBD ′=30°,
120°,|CD |2
=CD ·CD =(CA +AB +BD )2
=|CA |2
+|AB |2
+|BD |2
+2CA ·AB +2CA ·BD + 2AB ·=b 2
+a 2
+b 2
+2b 2
·cos120°=a 2
+b 2
.
∴CD=22b a +. B 卷
一、1.证明：∵11C A =1OC -1OA =2OC -2OA =2(OC -OA )=2AC =2(AB +AD ) =2[(-)+(-)]=2-2+2-2 =(1OB -1OA )+(1OD -1OA )=11B A +11D A ,
∴A 1、B 1、C 1、D 1四点共面. 二、2.解：如答图9-5-2.
解：过A 作AM ⊥CD 的延长线于M,则CM=4cos30°=23. CN=2co s30°=3,∴MN=CM -CN=3.
又AM=AC ·sin30°=2,BN=BC ·sing30°=1,且
∵AM ⊥MN ，则·=0.同理·=0. ∵=++,
∴2AB =2AM +2MN +2NB +2AM ·MN +2AM ·NB +2MN ·NB =4+3+1+2|AM |·|NB |·cos60°=10. 即|AM |=10,所以线段AB 长度为10.
三、(一)3.解：取AB 、CD 的中点分别记为M 、N ，连结AN 、BN. ∵空间四边形的每条边和对角线的长都等于a ， ∴BN ⊥CD ，NA ⊥CD.
∴AB ·CD =(AN +NB )·CD =AN ·CD +NB ·CD =0.
则AB 、CD 所成的角为
2
. (二)4.解法一：如答图9-5-3，取PC 的中点E ，连结NE ，
则MN =EN -EM . ∵=
21=21=-2
1
, EM =PM -PE =
32-21=6
1
.
连结AC,则=-=+- ∴=-21AB -61(AB +-AP )=-32AB -61+6
1
AP . ∴x=-32,y=-61,z=6
1. 解法二：在PD 上取点F ，使F 分PD 所成定比为2，连结MF ，则 MN =MF +FN =
32CD +DN -DF =-32AB +21DP -3
1DP =-32AB +61
DP
=-
32+61-6
1
. ∴x=-
32,y=-61,z=6
1
. (三)5.解：|a +b +c |2
=a 2
+b 2
+c 2
+2a ·b +2a ·c +2b ·c =1+4+9+0+2×3×
21+2×2×3×2
3
=17+63. ∴|a +b +c |=3617+. (1)|a +2b -c |=31223-. (2)
6
5π
. (四)6.证明：设BC =a ，BE =b ，AB =c .
∵AN ＝λ1(c +b )，DM =λ1(c -a )，AM =a +λ1(c -a )=(1-λ1)a +λ1c , ∴=-=(λ1-1)a +λ1b .
∵a 、b 是平面EBC 上两个不共线的向量，∴(λ1-1)a +λ1b 必为平面EBC 上的一个向量ZY .由MN =ZY ，且MN ?面EBC ，必有MN ∥ZY ，所以MN ∥平面EBC.
点拨：本题老解法是过M 、N 作AB 的垂线通过证面面平行得到线面平行的，新解法用向量证明.
(五)7.B 点拨：本题是由2003年高考新课程卷改编而来，点P 的轨迹通过△ABC 内一定点，与O 点位置和△ABC 的形状无关，故取O 与A 重合.由平行四边形法则，易知P 在∠BAC 的平分线上.
四、8.D 点拨：（a ·b ）·c =|a |·|b | cos θ·c ，
a ·（
b ·
c ）=|b |·|c |cos α·a ，a 与c 的模不一定相等且不一定同向. 加试题:证明:如答图9-5-4，构造三棱锥A —BCD ，
且每个顶角均为60°，且|AB|=a ,||=b ,||=c ,则 ab b a -+22=b a b a ?-+222=|AB -|=||,
ac c a -+22=c a c a ?-+222=|AB -AD |=|BD |, bc c b -+22=c b c b ?-+222=|AC -AD |=|CD |.
在三角形BCD 中,|BC |+|BD |＞|CD |, ∴ab b a -+22+ac c a -+22＞bc c b -+22.
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
第一部分：平面向量的概念及线性运算 欧阳光明（2021.03.07） 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向； 当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线
段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________． 变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
§2.4平面向量的数量积 教学目的： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生 推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识 点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积 的运算律. 教学过程： 一、复习引入： 1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ， 使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面 向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=
高中数学平面向量公式１、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤ ２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积 定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。 向量的向量积运算律 a×b=－b×a； （λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)； （a+b)×c=a×ｃ+b×c。 注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣； 专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 （一）平面向量知识结构图 （二）重点难点分析 本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用． 课标要求： 平面向量（约12课时） （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积 ①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 （5）向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 （一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系 本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。 比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。 概念辨析： 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量；向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa； 数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa； ＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说， 即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题) 高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 空间向量 考纲导读 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式； 掌 握 空 间 两 点 间 的距离公式． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广． 本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ． (3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ．(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ．4．共面向量 (1) 共面向量：平行于 的向量． (2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ． 共面向量定理的推论： ．5．空间向量基本定理 (1) 空间向量的基底： 的三个向量． 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． 一、 知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222， 速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？ 解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲：极化恒等式与矩形大法 解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB 高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（） A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4， 课 时 教 案 第 二 单元 第 1 案 总第 18 案 课题 2.1.1向量的概念 2011年 5月17日 教学目标 理解向量、零向量、单位向量、模的意义和向量的几何表示,会用字母表示向量 培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力 了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,会判断向量间共线、相等的关系 教学重点 理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义 了解平行向量、共线向量和相等向量的意义 使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识 教学难点 理解向量的几何表示,会用字母表示向量 了解平行向量、共线向量和相等向量的意义 高考考点 理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义 理解向量的几何表示,会用字母表示向量 课 型 新授课 教 具 多媒体、三角板、投影仪 教 法 讲练结合 教 学 过 程 教师活动预设 学生活动预设 复习引入 在物理中,我们会遇到很多量,其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来,如长度、质量等.还有一些量,如我们所学习的力、位移,是一个既有大小又有方向的量,这种量就是我们本章所要研究的向量 师：（边画图边讲解）美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹（精度10米左右，射程超过2000公里），试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？ 不能，因为没有给定发射的方向 现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 力、速度、加速度等有大小也有方向, 温度和长度只有大小没有方向． 讲解新课 向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 说明：1.有向线段是向量最好的模型 2.向量不能比较大小 有向线段的三要素：起点、方向、长度 以A 为起点、B 为终点的有向线段记作 向量的表示方法：几何方法 代数符号 ①用有向线段表示； ②用字母,a b r r 等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB u u u r ； ④向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB u u u r |. 高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 (2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F 人教版高中数学《平面向量》全部教案 第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体 系，用以研究空间性质。 2．向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 A B A(起点) B （终 a 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3．模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4．两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= a b c 平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：高中数学平面向量doc
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