习题七解答
1. 设X 的分布律为，
求（1）EX ，（2）)1(+-X E )(X E DX
解 由随机变量X
所以
另外，也可根据数学期望的性质可得：
2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知()()[]232=--X X E ，求λ的值。 解
3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2
X 的数学期望()2X E 。
解 ()4.0,10~B X
所以 ()()4.26.04.010,44.010=??==?=X D X E 故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E
4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？
解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨
Y=
()a
X a X 33--
a
x a
x ≥< 则
要使得平均收益()Y E 最大，所以 得 3500=a （吨）
5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。
解 X 的可能取值为0，1，2，3，有 所以X 的分布律为
6. 设X 的密度函数为()x e x f -=2
1
，求（1）()X E ；（2）()2X E 。 解 （1）()?∞
+∞--=?=02
1dx e x X E x
（2）()??
∞+--∞
+∞
-==?=022
2
22122
1dx e x dx e x X
E x x
注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为?+∞
-02dx e x x 可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。 7. 某商店经销商品的利润率X 的密度函数为)(x f ??
?-=0
)1(2x 其他1
0,< 01 2(1)3 E X x x dx =?-=? （2）()1 220 12(1)6 E X x x dx =?-=? 故222111()()(())()63 18 D X E X E X =-=-= 8. 设随机变量X 的密度函数为 0 0≤x 求()X E 、()X E 2、()X e X E 2-+、()X D 。 解 9. 设随机变量()Y X ,的联合分布律为 求()X E 、()Y E 、()Y X E 2-、(XY E 3X D Y D ()Y X ,cov 、Y X ,ρ。 解 关于X 与Y 10. 设随机变量 求()Y X D +。 解 ()2~E X ，所以()412 12 == X D ， ()4~E Y ，所以()161 4 12==Y D ， X,Y 相互独立，所以 11. 设()Y X ,服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区 域，求（1）()X E ；（2）()Y X E 23+-；（3）()XY E 的值。 解 先画出 ()y x f , 2 ()A y x ∈, 0 其他 0 其他 0 其他 12. 设随机变量()Y X ,的联合密度函数为 0 其他 求()()()()()()Y D X D Y X E XY E Y E X E ,,,,,22+。 解 先画出区域10≤≤≤x y 的图 其他 其他 13. 设随机变量X,Y 相互独立，且 ()()()(,2,1===Y D X D Y E X E ，求()XY D 。 解 14. 设()()4.0,36,25,===Y X Y D X D ρ，求（1）()Y X D +；（2）()Y X D -。 解：（1）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ++=+ （2）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ-+=- 15. 设随机变量Y X ,相互独立，)1,1(~N X ，)1,2(~-N Y ，求)2(),2(Y X D Y X E ++。 解 ()1,()1;()2,()1E X D X E Y D Y ===-= 16. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式??+∞∞-+∞ ∞-=dydx y x xf EX ),(及按公式 ?+∞ ∞-=dx x xf EX )(算得的EX 值相等。这里，),(y x f 、)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度。 证明 (,)(,)EX xf x y dydx x f x y dydx +∞ +∞ +∞ +∞ -∞-∞-∞-∞==????()xf x dx +∞ -∞=? 17. 设X 的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{≥-EX X P 的值。 解 2(){7.5}7.5D X P X EX -≥≤ 22.51 7.522.5 == 18. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5， 根据切比雪夫不等式估计()6≥+Y X P 的值。 解 ()()()022=+-=+=+Y E X E Y X E 所以 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。 解 设死亡人数为()001.0,3000~,B X X ，保险公司亏本当且仅当3000102000?>X ，即15>X 。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为 习题九解答 0 1 x y 1 1. 设621,,,X X X Λ是来自服从参数为λ的泊松分布()λP 的样本，试写出样本的联合分布律。 解 ()! ! ! ,,,6216216 2 1 x e x e x e x x x f x x x λλλλ λ λ ---???=ΛΛ 2. 设621,,,X X X Λ是来自()θ,0上的均匀分布的样本，0>θ未知 （1）写出样本的联合密度函数； （2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ （3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 （1）()=621,,,x x x f Λ 6-θ θ<<621,,,0x x x Λ 0 其他 （2）1T 和4T 是，2T 和3T 不是。因为1T 和4T 中不含总体中的唯一未知参数θ，而2T 和3T 中含有未知参数θ。 （3）样本均值()8.0116.07.015.06 1611611 =+++++===∑∑==i i n i i X X n X 样本方差() ()2 6 1 2 1 2 611∑∑==-=-=i i n i i X X X X n S 样本标准差2082.00433.02===S S 。 3. 查表求)12(299.0χ，)12(201.0χ，)12(99.0t ，)12(01.0t 。 解 20.99 (12)26.217χ=，2 0.01(12) 3.571χ=，0.99(12) 2.6810t =，0.01(12) 2.6810t =-。 4. 设()10~t T ，求常数c ，使()95.0=>c T P 。 解 由t 分布关于纵轴对称，所以()95.0=>c T P 即为()05.0=->c T P 。 由附表5.6可查得81.1=-c ，所以81.1-=c 。 5. 设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体()2,0σN 的样本，试证： （1） ()n X n i i 21 22 ~1 χσ ∑=； （2）()1~12 2 12χσ?? ? ??∑=n i i X n 。 证明： （1）σi X 独立同分布于()1,0N ，由2 χ分布的定义，()n X n i i 2 2 1~χσ∑=?? ? ??，即()n X n i i 2122~1χσ∑=。 （2）易见，() 21 ,0~σn X n i i N ∑=，即()1,0~2 1N ∑=σn X n i i ，由2χ分布的定义，()1~22 21χσ????? ? ??∑=n X n i i ，即 ()1~122 12χσ?? ? ??∑=n i i X n 。 6. 设521,,,X X X Λ是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个()5,,2,1Λ=i X i 都服从()1,0N 。 （1）试给出常数c ，使得()2221X X c +服从2χ分布，并指出它的自由度； （2）试给出常数d ，使得25 24 23 2 1X X X X X d + + +服从t 分布，并指出它的自由度。 解 （1）易见，2221X X +即为二个独立的服从()1,0N 的随机变量平方和，服从()22χ分布，即1=c ； 自由度为2。 （2）由于()2,0~21N +X X ，则()1,0~2 2 1N +X X 。 又()3~2252423χX X X ++，221X X +与252423X X X ++相互独立，则 即 ()3~2 625 24 23 2 1t X X X X X + + + 即2 6 = d ，自由度为3。 7. 设()n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，在下列三种情况下，分别求()()() 2,,S E X D X E ：（1）()p B X ,1~；（2）()λE X ~；（3）()θ2,0~R X ，其中0>θ。 解 （1）()p B X ,1~ （2）()λE X ~ （3）()θ2,0~R X ，其中0>θ 8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求： （1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解 （1）引入新变量： =i X 1，第i 个样本居民年收入超过1万 0，第i 个样本居民年收入没超过1万 其中1600,,,2,1==n n i Λ 易见：()1.01===i X P p 又因1000001600=<<=N n ，故可以近似看成有放回抽样，n X X X ,,21Λ相互独立。 样本中年收入超过1万的比例即为X ，由于1600=n 较大，可以使用渐近分布求解，即 ??? ? ??N n X 2,~σμ，所求概率即为 （2）同（1）解法 引入新变量： =i X 1，第i 个样本居民受过高等教育 0，第i 个样本居民未受过高等教育 其中1600,,,2,1==n n i Λ 答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。 习题十解答 1. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计： （1）()p n B X ,~，其中p 未知，10< λ。 解 （1）()p X E =，故p 的矩估计量有X p =?。 另，X 的分布律为()()1,0,11=-==-x p p x X P x x ， 故似然函数为 对数似然函数为： 令 ()01ln 1 1 =--- =∑∑==p X n p X dp p L d n i i n i i 解得p 的最大似然估计量X X n p n i i ==∑=1 1?。 可以看出p 的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 （2）()λ1=X E ，令X =λ1，故λ的矩估计量X 1?=λ。 另，X 的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为 解得λ的最大似然估计量X X n n i i 1 ?1 = =∑=λ 。 可以看出λ的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，其中X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ未知，0>λ，求λ 求λ 解 ()λ=X E ，故λ的矩估计量X =λ ?。 由样本观测值可算得 另，X 的分布律为 故似然函数为 对数似然函数为 解得λ的最大似然估计量X n X n i i ==∑=1?λ ， 故λ的最大似然估计值1?=λ 。 3. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，其中X 服从区间()θ,0的均匀分布，其中0 >θ未知，求θ的矩估计。 解 ()2θ=X E ，令X =2 θ ，故θ的矩估计量X 2?=θ。 4. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为 其中0>θ未知，求θ的矩估计。 解 ()θθθ 32202 =? =?dx x x X E ，令X =θ32，故θ的矩估计量为X 23?=θ。 5. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为 其中0>θ未知，求θ的矩估计和最大似然估计。 解 ()()2111 0++= +?=?θθθθdx x x X E ，令X =++21θθ，故θ的矩估计量为1 21?--=X X θ ，另，似然函数 对数似然函数为 解得θ的最大似然估计量为X X n n i i 111?1 - -=- -=∑=θ。 6. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的一个样本，总体X 服从参数为p 的几何分布，即 ()()()Λ,3,2,1,11 =-==-x p p x X P x ，其中p 未知，10< n i i p p p L -∑=-=1 1 对数似然函数 解得p 的最大似然估计量为X p 1 ?=。 7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布()λE ，其中0>λ未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s ）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。 解 根据习题1的结果，λ的矩估计和最大似然估计量都为X 1 ，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为λ ?1，即为X 。 由样本观测值可算得()45.25.4842.38.16 1 =+++++=X 。 8. 设总体X 的密度函数为()()+∞<<∞-=-x e x f x ,21;σ σ σ，其中0>σ未知，设n X X X ,,,21Λ是 取自这个总体的一个样本，试求σ的最大似然估计。 解 似然函数 ()() σ σσ∑ =- =n i i X n e L 1 21 ， 对数似然函数为 得σ的最大似然估计量为∑==n i i X n 1 1?σ 。 9. 在第3题中θ的矩估计是否是θ的无偏估计？ 解 () ()()()θθθ===??? ??===∑∑∑===n i n i i n i i n X E n X n E X E X E E 11 12221222? 故θ的矩估计量X 2是θ的无偏估计。 10. 试证第8题中σ的最大似然估计是σ的无偏估计。 证明：()()∑∑===??? ??=n i i n i i X E n X n E E 1 111?σ 故σ的最大似然估计∑==n i i X n 1 1?σ 是σ的无偏估计。 11. 设321,,X X X 为总体() 2,~σμN X 的样本，证明 都是总体均值μ的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。 证明 ()?? ? ??++=32112 1316 1 ?X X X E E μ 所以21?,?μμ 都是总体均值μ的无偏估计。 又 ()?? ? ??++=236?3211X X X D D μ 可见()()12??μμD D <，所以二个估计量中2?μ更有效。 12. 设n X X X ,,,21Λ是取自总体() 2 ,0~σ N X 的一个样本，其中02 >σ未知，令∑==n i i X n 1 2 2 1?σ ，试证2?σ 是2σ的相合估计。 证明 易见() () 21 2122 11?σσ ==??? ??=∑∑==n i i n i i X E n X n E E 又 ()n X n i i 21 22 ~1 χσ ∑=， 由第九章公式（9），n X D n i i 21122=?? ? ??∑=σ， 故 () n n X D D n i i 424 1222 21?σσσσ=???? ??=∑=。 由切比雪夫不等式，当∞→n ，对任给0>ε， 即2?σ 是2σ的相合估计。 习题十一解答 1. 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 服从正态分布()2 2.0,μN ，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm ）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求μ的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。 解 由于222.0=σ已知，所以选用μ的α-1置信区间?? ? ?? ?+---n u X n u X σσ α α 2 2 11,。 当9.01=-α，查表得64.195.012 ==-u u α，当99.01=-α，查表得576.2995.012 ==-u u α。,6,95.14==n x 代入数据得μ的双侧0.9置信区间观测值为?? ? ??? ? +? -62.064.195.14,6 2.064.195.14，即为[]08.15,82.14。 μ的双侧0.99置信区间观测值为?? ? ??? ? +? -62.0576.295.14,6 2.0576.295.14，即为[]16.15,74.14。 2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布()2,σμN ，σ未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对μ和σ作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求μ的双侧0.95置信区间和方差2σ的双侧0.9置信区间。 解 由于μ和σ都未知，故μ的α-1双侧置信区间为 2σ的α-1双侧置信区间为 代入数据得 μ的0.95双侧置信区间观测值为?? ? ?? ?? +? -725.1145.214.65,725 .1145.214.65，即为[]54.75,74.54。 2σ的0.9双侧置信区间观测值为??? ?????635.141.1087,592 .1241.1087，即为[]14.464,3.60。 3. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的11*=s ，设子弹速度服从正态分布()2,σμN ，求这种子弹速度的标准差σ和方差2σ的双侧0.95置信区间。 解 由于μ未知，故2 σ的双侧置信区间为()()()()? ?? ?????-----11,112 2*212*22n S n n S n ααχχ，代入数据得()()18.28,535.178,121,92 025.02975.02*====χχS n ， 2σ的0.95双侧置信区间观测值为? ? ? ? ????18.21218,535.171218，即为[]037.444,204.55。故σ的0.95双侧 置信区间观测值为[]037.444,204.55，即为[]07.21,43.7。 4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布()2,σμN ，且标准差 108.0=σ。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%） ，试求未知参数μ的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。 解 由于108.0=σ已知，故μ的α-1单侧置信下限为n u X σ α?--1，μ的α-1单侧置信上 限为n u X σ α? +-1，代入数据得5,645.1(%),364.495.0===n u x ，故μ的0.95单侧置信下限观测值 为285.45 108.0645.1364.4=? -，μ的0.95单侧置信上限观测值为443.45 108.0645.1364.4=? +。 5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布()2,σμN ，现抽查了25天，得170=x 元，30*=s 元，求职工每天医疗费均值μ的双侧0.95置信区间。 解 由于2 σ未知，故μ的α-1双侧置信区间为??? ?? ?+---n S t X n S t X *1*12 2,αα，代入数据得()0639.224,25,30,170975.0*====t n s x ，故μ的0.95双侧置信区间观测值为 ????? ?+-24300639.2170,24300639.2170，即为[]6.182,4.157。 6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设 甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量g x 501=，已知其总体标准差g 51=σ；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量g y 498=，已知其总体标准差g 42=σ，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差21μμ-的双侧0.99置信区间。 解 由于g g 4,521==σσ已知，故21μμ-的α-1的双侧置信区间为 代入数据得576.2,16,25,20,10,498,501995.02 221=======u n m y x σσ，故21μμ-的0.99双侧置信区间观测值为??? ? ???? ++-+--20161025576.2498501,20161025576 .2498501，即为[]68.7,68.1-。 7. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X 和Y ，随机的抽取甲、乙两种显像管各10 只，得数据101,,x x Λ和101,,y y Λ（单位：h 410），且由此算得75.0,33.2==y x ， ()()2.19,5.2710 1 2 10 1 2=-=-∑∑==i i i i y y x x ，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差21μμ-的双侧0.95置信区间。 解 由于22 2 21σσσ==未知，故21μμ-的α-1双侧置信区间为 其中()()?? ????----+=∑∑==n i i m i i w Y Y X X n m S 12122 21， 代入数据得()1009.218,611.1,10,75.0,33.2975.0======t s n m y x w ，故21μμ-的0.95双侧置信 区间观测值为 即为[]094.3,066.0。 8. 在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE 。 解 由于样本大小100=n 相对于总体容量6672=N 来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。 样本成数4666723091100≈? =x ，估计505446?≈?=σ，标准差SE 的估计为5100 50?==E S 。 9. 抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE ；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。 解 8.497.453.54?(%),3.541001000 543 ≈?==?= σ x ， 故087.3575.1?,575.11000 498?975.012 =?=?≈=-u E S u E S α， 所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为()387.57,213.51。 希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。 2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 3、世界会向那些有目标和远见的人让路。 考试题及参考解答(参考) 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而12 15(,,)X X X 是来自X 的样本，则22 110 22 11152() X X U X X ++=++服从的分布是_______ . 解：(10,5)F ． 2，?n θ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：??lim (), lim Var()0n n n n E θθθ→∞ →∞ ==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2 χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计?β的协方差矩阵?βCov()=_______ . 解：1?σ-'2Cov(β) =()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设总体~(1,9)X N ，129(,, ,)X X X 是X 的样本，则___B___ . （A ） 1~(0,1)3X N -； （B ）1 ~(0,1)1X N -； （C ） 1 ~(0,1) 9X N -； （D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的 置信区间____B___ . （A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的； （B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的； （C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的； （D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ . （A ）T e A S S S =+； （B ） 22 (1)A S r χσ -； 河北科技大学成人高等教育2016年第1学期 《工程数学》考试试卷 教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 ？ C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤? ??-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤???=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ！ 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A – 2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概 率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>? ??=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 二、填空题（每空3分，共15分） 高等工程数学试题 ( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 ) 注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604 .2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === , , ,, . 一 填空题(每空3分,共30分) 1. )(P 2t 中的多项式132)(2 +-=t t t p 在基)}2)(1(11 {---t t t , ,下的坐标向量为 . 2. 设0α是欧氏空间n V 中固定的非零向量,记0{ |0}n W V ξαξξ? =<>=∈,, ，则 )dim(=W . 3. 设111121i A i +?? =? ?-?? ，则|||| A ∞=. 4．设? ?? ? ????=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件 时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设??? ?????=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X ,是来自)0(~2 ,σN X 的样本，则当常数 =k 时有 10.0)()()(2 212212 21=? ?????>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值 )s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正 态分布) (2 σN , μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体 X 的概率密度函数为 )0( . 0,0,0,)(>?????≤>=-λλλx x e x f x ,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ?=λ. 9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下： 11 10137811 6 54321 数频出现点数 则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2 χ______________ . 学院（部） 学号（编号） 姓名 修读类别（学位/进修） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） …………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………… 经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2-e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ）25 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 2 0cos 1lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)4 1(lim ---→=-e x x x 3. 201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')] ([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h )3()2(lim 000--+→用A 的 代数式表示为 A 5 ； 32)(x e x f =，则x f x f x )1()21(lim 0--→= 4e - 。 20(12)(1)'()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+-存在 （D ） 00()()lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ） （A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[ )1(-+--x x x x x 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 3．D 4．A 5．A 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ???? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f < 《高等工程数学》试题 注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u === 一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ?的基： 1001000000001001??????????=??????????? ?????????，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22 011 0P x R ???=∈???? ，.则T 在基B 下的矩阵为 A =. 2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3 V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示） ． 3．设211113 01021i 0A x ???? ????==????+???? ，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞?=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116 k k k c k c ∞ =?? ??-?? ∑收敛. 5．对称阵321220103A ?? ??=????的Cholesky 分解为 A =. 6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，， ，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4 21 10 2 5()() i i i i i i X Y c X Y ==-? -∑∑服从F 分布． 7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次 记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为? N =. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不 超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥. 学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） ……………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………… 《工程数学》期末综合练习题 工程数学（本）课程考核说明 （修改稿） I. 相关说明与实施要求 本课程的考核对象是国家开放大学（中央广播电视大学）理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学（中央广播电视大学）人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。 工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学（中央广播电视大学）专升本“工程数学（本）”课程教学大纲》制定的，参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学（本）课程期末考试命题的依据。 工程数学（本）是国家开放大学（中央广播电视大学）专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力。 期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。 考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5。 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和证明题，求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15%，解答题70%（其中证明题6%）。 期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 II. 考核内容和考核要求 考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分，包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。 南京理工大学 工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3） （一）矩阵分析 一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。 二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ， 求矩阵.A 。 三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ； （2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。 四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。 五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘 构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间； 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统 正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>?? ?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明： 二、填空题（每空3分，共15分） 三、计算题（每小题10分，共50分） 2018年1月 得分 评卷人 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , 一、单项选择题（每小题3分，共15分）在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f < 《高等工程数学》训练题 I 、矩阵论部分 1、 在线性空间V=R 2 ×2 中，??? ? ??=???? ??=???? ??=???? ? ?=1111,0111,0011,00 014321ββββ是V 的一个基，则a b c d V α?? ?=∈ ??? ，α在{}4321,,,ββββ下的坐标为???? ?? ? ??---d d c c b b a 。 2、设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1, α2, α3)，V 2=L(β1, β2)， (1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim (V 21I 。 解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换 ?? ? ?? ? ? ??-→??????? ??--→??????? ??--→???? ?? ? ??--→??????? ? ?---==00000 010******* 11321 010000200010110113215155052550101 1011321'202 2 0525 505155 011 32 1311413011126027111321)(21321T T T T T A ββααα ∴r(A)=3 ∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3 可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基 (2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2 ∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1 。 3、设V 是数域F 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，证明 （1）dimT(V)+dimker(T)=n 。（2）若T 在{}12,,,n αααL 下对应矩阵为A ，则 rankT=dimT(V)=r(A)。 证：令t=dimker(T) 取12,,,t αααL 是ker(T)的一个基，扩充得121,,,,,t t n ααααα+L L 是V 的一个基。 下证1t n T T αα+L 是T(V)的一个基 （略） （一） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ，则=+++41312111A A A A （ ）. A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解，则 （ ） (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ?； C.事件A 与B 互相独立； D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）. A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为（ ） A ．)54sin 54(cos 5ππi +- B ．)54sin 54(cos 5π πi - C ．)54sin 54(cos 5ππi + D ．)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于（ ） A ．1； B ．2πi ； C ．0； D ．i π21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2|| ==B A ，则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=，则2 3(2)E X ??-=??______. │ │ │系(院)_ 轻产院│ │专业│ │___09___级________班│ 装姓名_________________│ │学号_________________│ │ │ │ │ │ 订 │ │ │ │ │ │ │ │ 线 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 辽宁大学2010－2011学年第一学期期末考试 工程数学（下）科试卷B 试卷说明： 一．填空（满分２０分,每空２分） １．6 i e π =． ２．() Ln i-=． ３．已知()(,)(2) f z u x y i xy y =++解析,则'(1) f=． ４． 2 11 21 z dz z z += = ++ ??．（方向取正向） ５． 2 2 1 z dz z = = + ??． ６．方程2 z i+=所表示地曲线：. ７． 1 3 (1)i+=． ８．级数 (1)(1) n n n i z ∞ = +- ∑地收敛圆为． ９．设函数 sin () z f z z =,则Re[(),0] s f z=． １０． 3 1 (2) z dz z z = = + ??． 二．判断题（２０分,每空2分,用“V”和“X”表示对和错填在每小题前地括号中） （）１． 12121212 ; z z z z z z z z +=+?=?. （）２．函数()2 f z x yi =+在复平面内处处连续却处处不可导. （）３．正弦函数和余弦函数在复平面内也具有周期性,周期是2k iπ． （）４．如果' () f z存在,那末() f z在 z解析. （）５．1 121212 2 (); z Ln z z Lnz Lnz Ln Lnz Lnz z =+=-． （）６．解析函数地虚部为实部地共轭调和函数,实部为虚部地共轭调和函数. （）７． 24 2 z z z z dz dz i z z π == == ?? 蜒. （）８．每一个幂级数地和函数在它地收敛圆内处处解析. （）９．函数 Re() () z f z z =当0 z→时地极限不存在. （）１０．时间函数延迟τ地Laplace变换等于它地象函数乘以指数因子s eτ-. 三．选择题（20分,每小题2分） （）１．函数() f z z =在复平面上 (A) 处处可导；（B）处处不可导；（B）仅在0 z=处可导；（D）仅在0 z=处解析． （）２．1 z=为函数 1 ()sin 1 f z z = - 地 （A）可去奇点；（B）极点；（C）本性奇点；(D) 非孤立奇点． ( ) 3．复数z x iy =+地辐角主值地范围是 （A） 02 θπ ≤≤; (B) πθπ -≤≤; (C) πθπ -<≤; (D) πθπ -≤<. ( ) 4．在复平面上处处解析地函数是 （A）() f z Lnz =; (B)()(cos sin) x f z e y i y =+; (C)()Re() f z z z =; (D)() f z= 1 / 3 第6章 常微分方程数值解法 讨论一阶常微分方程初值问题 (,),, ()dy f x y a x b dx y a η ?=≤≤????=?? (6.1.1) 的数值解法. 数值解法可区分为两大类： (1) 单步法：此类方法在计算1n x + 上的近似值1y n + 时只用到了前一点n x 上的信息.如 Euler 法， Runge-Kutta 法，Taylor 级数法就是这类方法的典型代表. (2) 多步法：此类方法在计算 1y n +时，除了需要n x 点的信息外，还需要12,,n n x x -- ，等前面若干 个点上的信息.线性多步法是这类方法的典型代表. 离散化方法 1. Taylor(台劳)展开方法 2. 化导数为差商的方法 3. 数值积分方法 一、线性多步法 基本思想：是利用前面若干个节点上()y x 及其一阶导数的近似值的线性组合来逼近下一个节点上()y x 的值. 1．一般公式的形式 10 1 ',,1,, p p n i n i i n i i i y a y h b y n p p +--==-= +=+∑∑ 其中 i a ,i b 为待定常数，p 为非负整数. 说明： (1)在某些特殊情形中允许任何i a 或i b 为零，但恒假设p a 和p b 不能同时全为零，此时称为1p +步法，它 需要 1p +个初始值01,,,.p y y y 当0p =时，定义了一类1步法，即称单步法. (2) 若1 0b -=，此时公式的右端都是已知的，能够直接计算出1n y +，故此时称为显式方法；若10b -≠， 则公式的右端含有未知项111'(,),n n n y f x y +++=此时称其为隐式方法. 2．逼近准则 准确成立： 10 1 ()()'(),,1,. p p n i n i i n i i i y x a y x h b y x n p p +--==-= +=+∑∑ 仲恺农业工程学院 试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷 一、单项选择题(3* 8分) 二.填空题(３*7分) 1. 5 . 2.1 11 . 3. 0、7 . 4. 0、7 . 5. 1 . 6. 0、1915 . 7. 3 μ. 三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分) 1.设方阵A= 211 210 111 - ?? ? ? ? - ?? , 113 432 B - ?? = ? ?? ,解矩阵方程XA B =、 解: 1 101 1 232 3 330 A- ?? ? =-- ? ? - ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1 221 82 5 33 X BA- - ?? ? == ? -- ? ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分 2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2 3 ,求 (1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。 解:(1) 5124213243??-= ??? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分 (2) 323 5 218033243C ????= ? ?????、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 5分 四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分) 1.计算2 51237 1459 2746 12D ---=--. 解:25 12152237 14021659 270113461 20120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分 152 21522011 3011390216003001 200033--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分 2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。 解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得, ∑=++==3 1332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P 1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是(A ) AB A B = 2．向量组的 秩 是 （B ）．B . 3 3．n 元线性 方程组AX b =有解的充分必要条件是 （A ）．A . )()(b A r A r = 4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ）．D . 9/25 5．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2 的样本，则（C ）是μ无偏估计． C . 3215 3 5151x x x ++ 6．若A 是对称矩阵，则等式（B ）成立． B . A A =' 7．=?? ?? ??-1 5473 （ D ）．D . 7 54 3-?? ? ?-?? 8．若（A ）成立，则n 元线性方程组AX O =有唯一解．A . r A n ()= 9. 若条件（C ）成立，则随机事件A ，B 互为对立事件． C . ?=AB 且 A B U += 10．对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,，记∑==3 131i i X X ， 则下列各式中（C ）不是统计量． C . ∑=-31 2 )(31i i X μ 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（B ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．B . 42? 12. 向量组[][][][]αααα1 234000*********====,,,,,,,,,,, 的极大线性无关组是 （ A ）．A ．ααα2 34,, 13. 若线性方程组的增广矩阵为?? ????=41221λA ，则当λ＝（D ）时线性方程组有无穷多 解． D ．1/2 14. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C ）. C .1/12 15. 在对单正态总体N (,)μσ2 的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（B ）．B . 未 知方差，检验均值 ??? ? ??????-????????????????????-??????????732,320,011,001 《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 令EX X =，得5 ?6 θ=. （2）最大似然估计： 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂 生产是否正常（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σχs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=-- n =或χ2≥2 025.022 )1(χχα=-n =， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-=t Θ< ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显着水平0.05α=下对因素A 是否显着做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显着的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显着性检验（0.05α=）. 解：（1）125.5218?84.39750.3024 xy xx l l β=== 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 拒绝原假设，故回归效果显着. 工程数学（本）模拟试题2011.11 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1. B A ,都是n 阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) ． (A) B A AB = (B) 2222)(B AB A B A +-=- (C) BA AB = (D) 若0AB =，则0A =或0B = 2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 设0AX =是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解． (A) n r <)(A (B) A 的行向量线性相关 (C) 0=A (D) A 是行满秩矩阵 4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）． (A) 256 (B) 10 3 (C) 203 (D) 25 9 5. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． (A) 3215 15151x x x ++ (B) 321x x x ++ (C) 321535151x x x ++ (D) 321525252x x x ++ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设B ,A 均为3阶矩阵，且3,6=-=B A ，='--3)(1B A ． 2. 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得x x A λ=，则称λ为A 的 ． 3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P ． 4. 设随机变量?? ????a X 5.02.0210~，则=a ．高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)
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