高二下学期数学期末考
试试卷文科
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
高二下学期数学期末考试试卷(文科)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单选题(每小题5分，共60分)
1．把十进制的23化成二进制数是( ) A. 00 110(2)
B. 10 111(2)
C. 10 110(2)
D. 11 101(2)
2．从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于30的概率是( )
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
3．已知命题p ：“1a ?<-，有260a a +≥成立”，则命题p ?为( ) A. 1a ?<-，有260a a +<成立 B. 1a ?≥-，有260a a +<成立 C. 1a ?<-，有260a a +≤成立 D. 1a ?<-，有260a a +<成立
4．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，
则5x 1＋2，5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( )
A. x ，s 2
B. 5x ＋2，s 2
C. 5x ＋2，25s 2
D. x ，25s 2
5．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为( )
A. 15
B. 18
C. 21
D. 22
6．按右图所示的程序框图，若输入81a =，则输出的i =( )
A. 14
B. 17
C. 19
D. 21 7．若双曲线22221(,0)y x a b a b -=>的一条渐近线方程为3
4y x =，则该双曲
线的离心率为( )
A.
4
3
B. 53
C. 169
D.
259
8．已知()01,0,a a x >≠∈+∞且，命题P ：若11a x >>且，则
log 0a x >，在命题P 、P 的逆命题、P 的否命题、P 的逆否命题、P ?这5个命题中，真命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9．函数f(x)＝
ln 2x x
x
-在点(1，－2)处的切线方程为( ) A. 2x －y －4＝0 B. 2x ＋y ＝0 C. x －y －3＝0 D. x ＋y ＋1＝0
10．椭圆221x my +=
的离心率是2
，则它的长轴长是( ) A. 1
B. 1或2
C. 4
D. 2或4
11．已知点P 在抛物线24x y =上，则当点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )
A. ()2,1
B. ()2,1-
C. 11,4?
?- ??
?
D. 11,4??
???
12．已知函数()x x x f ln 1+=在区间()032,>??? ?
?
+a a a 上存在极值，则实数
的取值范围是( )
A. ??
? ??32,21 B. ???
??1,32 C. ??? ??21,31
D. ??
? ??1,31
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是__________．
14．已知某校随机抽取了100名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有3000名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于70分的学生人数约为__________．
15．设经过点()2,1M 的等轴双曲线的焦点
为12,F F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F ?的面积___________
16．已知函数()ln m
f x x x =+，若
()()2,1f b f a b a b a ->><-时恒成立，则实数m 的取值范围是____________。
三、解答题
17．(本小题10分)设p:实数x满足x2?4ax+3a2<0，其中a>0；q:
实数x满足{
x2?x?6≤0
x2+3x?10>0．
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．(本小题12分)据统计，目前微信用户已达10
亿，2016年，诸多传统企业大佬纷纷尝试进入微商渠
道，让这个行业不断地走向正规化、规范化.2017年3月
25日，第五届中国微商博览会在山东济南舜耕国际会展中心召开，力争为中国微商产业转型升级，某品牌饮料公司对微商销售情况进行中期调研，从某地区随机抽取6家微商一周的销售金额(单位：百元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)若销售金额(单位：万元)不低于平均值x的微商定义为优秀微商，其余为非优秀微商，根据茎叶图推断该地区110家微商中有几家优秀？
(2)从随机抽取的6家微商中再任取2家举行消费者回访调查活动，求恰有1家是优秀微商的概率.
19．(本小题12分)某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获利润y 万元之间有如表的统计
数据：参考公式：用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为：
?
??
y bx a
=+，
其中：1
22
1
?
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
-?
=
-
∑
∑，
?
?a y bx
=-，
参考数值：218327432535420
?+?+?+?=。
(Ⅰ)求出,x y；
(Ⅱ)根据上表提供的数据可知公司所获利润y万元与科研费用支出x万元线性相关，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程?
??
y bx a
=+；
(Ⅲ)试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润。
20．(本小题12分)椭圆1
3
4
2
2
=
+
y
x
的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为
4
π
，求弦长|AB|．
21．(本小题12分)已知抛物线2
:2
C y x
=和直线:1
l y kx
=+，O为坐标原点．
(1)求证：l与C必有两交点；
(2)设l与C交于,A B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．
22．(本小题12分)已知函数()()
()336x f x e ax x a R =-+∈(e 为自然对数的底数)
(Ⅰ)若函数()f x 的图像在1x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值；
(Ⅱ)对(]0,4x ∈总有()f x ≥0成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】23÷2=11...1 11÷2=5...1 5÷2=2...1 2÷2=1...0 1÷2=0 (1)
故23(10)=10111(2)． 故选：B ．
点睛：利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案． 2．C
【解析】从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成一个没有重复数字的两位
数共有A 52=20个，其中这个两位数小于30的个数为C 21C 41
=8个(十位1，2中任选1个，个位其余4个数选1个)，
故所求概率P=1﹣8
20=3
5 故选：C 3．A
【解析】根据特称命题的否定为全称命题所以命题p ：“1a ?<-，有260a a +≥成立”，则命题p ?为1a ?<-，有260a a +<成立 故选A 4．C
【解析】∵数据x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，方差为s 2， ∴5x 1+2，5x 2+2，…5x n +2的平均数为5x +2， 方差为25s 2． 故选：C ． 5．C
【解析】由已知得间隔数2446k =÷=，则抽取的最大编号为()364121+?-=；故选C.
6．A
【解析】执行程序，可得程序框图的功能是计算S=1+2+3+ i +的值，当S
＞81时，输出i+1的值．
由于S=1+2+3+…+i=()
12
i i +，
当i=12时，S=1213
2
?=78＜81，
当i=13时，S=
1314
2
?=91＞81，满足退出循环的条件，故输出i 的值为13+1=14． 故选：A ．
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．B
【解析】∵双曲线22
221(,0)y x a b a b
-=>(焦点在y 轴)的一条渐近线方程为
34y x =,故可将双曲线方程写为： 22916y x λ-
=，即得离心率5
3
e =， 故选：B
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 8．B
【解析】由对数的单调性可知：当11a x >>且时， log 0a x >，故命题p 是真命题；由命题与逆否命题的等价性可知命题p 的逆否命题也是真命题。其它三个命题中，逆命题不真，否命题也是错误的，命题p ?也是不正确的，应选答案B 。 9．C
【解析】f ′(x )＝2
1lnx
x
-，则f ′(1)＝1， 故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选：C 10．D
【解析】椭圆方程为22
11y x m
+=。
当1m >时， 1
01m
<<
，由题意得2=4m =
，此时长轴长为4=；
当01m <<时，
11m >由题意得3112m =-，解得1
4
m =，此时长轴长为2。
综上椭圆的长轴长为2或4。选D 。 11．D
【解析】根据抛物线的定义P 到焦点的距离等于P 到准线的距离，所以点P 到点()1,2Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和最小，只需点P 到点
()1,2Q 的距离与点P 到准线的距离之和最小，过点()1,2Q 作准线的垂线，
交抛物线于点P ，此时距离之和最小，点P 的坐标为11,4??
???
.
12．D
【解析】
，令
，得x=1，当
，
，当
，
，所以2x =是函数的极大值点，又因为
函数在区间
上存在极值，所以
，解得
，故选
D ．
考点：导数的应用，极值.
13．8
π
【解析】设正方形的边长为()20a a >，则黑色部分的面积为：
21
2
S a π=??阴，
结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为： 2
2248
a p a π
π
==.
14．2100
【解析】依题意，所求人数为()30000.0300.0250.015102100?++?=，故答
案为2100. 15．3
【解析】设双曲线的方程为22x y λ-= ，代入点21M （，）
，可得3λ= ， ∴双曲线的方程为2
2
3x y -= ，即22
133
x y -=，
设12,NF m NF n ==，则2
2
23
{ 24
m n m n -+＝＝ 6mn ∴= ，
12NF F ∴的面积为1
32
mn =．
即答案为3 16．2m ≥-
【解析】对任意b ＞a ＞2，
()()
f b f a b a
--＜1恒成立，
等价于f(b)﹣b ＜f(a)﹣a 恒成立；
设h(x)=f(x)﹣x=lnx+m
x
﹣x(x ＞2)，
则h(b)＜h(a)．
∴h(x)在(2，+∞)上单调递减；
∵h′(x)=2110m
x x
--≤在(2，+∞)上恒成立，
∴m≥﹣x 2+x(x ＞2)， ∴m≥2-；
∴m 的取值范围是[-2，+∞)． 故答案为： 2m ≥-。
点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。 17．(1)2 【解析】【解析】试题分析：(1)先分别求命题为真时实数x 的取值集合(设A,B )，再根据 “p ∧q 为真”得 “p 真且q 真”，利用集合交集A ∩B 求实数x 的取值范围，(2)由q 是p 的充分不必要条件，得两集合关系为包含关系A?B,A ≠B ,利用数轴可得实数a 的取值范围． 试题解析：(1)由x 2?4ax +3a 2<0，得(x ?3a)(x ?a)<0， 又a >0，∴a 当a =1时，1 由{x 2?x ?6≤0x 2+3x ?10>0，得2 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， ∴实数x 的取值范围是2 3．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 (2)∵q 是p 的充分不必要条件，则{3a >3 a ≤2