知识目标 第 6 讲
夹半角模型
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夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。
这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹
半角的常见分类：
（1）90 度夹 45 度
（2）120 度夹 60 度
（3）2α夹α
题型一
90 度夹
45 度
【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：（1）BE ＋DF ＝EF
（2）∠AEB ＝∠AEF 【练习】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明：
（1）DF －BE ＝EF
（2）∠AEB ＋∠AEF ＝180°
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：
（1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2
（2）如图，正方形ABCD 中，F 为CD 中点，点E 在BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点E 为线段BC 靠近B 的三等分点．
题型二120 度夹60 度
【例2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．
【练习】如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．
真题演练
在等边△ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N ．D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及 △AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系．
（1）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且 DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是
； Q
此时 ＝ ；（不必证明）
L （2）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且当 DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN ＝2，则 Q ＝ （用含有 L 的式子表示）
题型三2α夹α
【例3】如图，在四边形ABDC 中，M、N 分别为AB、AC 上的点，若∠BAC＋∠BDC＝180°，BD＝DC，1
∠MDN＝
∠BDC，求证：BM＋CN＝MN．
2
【练习】如图，在例3 的条件下，若M、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC＋∠BDC
1
＝180°，BD＝DC，∠MDN＝
∠BDC，探究：线段BM、CN、MN 的数量关系．
2
模块二夹半角模型的应用
【例4】如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B 点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足
=
a -b+a2 -144
0，若D（0，4），EB⊥OB 于B，且满足∠EAD＝45°，试求线段EB 的长度．
a +12
a +1 【例 5】点 A （ a ，0）、B （0，
b ）分别在 x 轴、 y 轴上，且 a - b + a 2
- 6a + 9 = 0． （1）求 a ， b 的值
（2）如图 1，若线段 AB 的长为3 2 ，点 C 为 y 轴负半轴上的一点，且射线 CA 平分△AOB 的外角∠BA x ， 求点 C 的坐标．
（3）如图 2，取点 D （0,2）并连接 AD ，将△AOD 沿直线 AD 折叠得到△ADE ，过点 B 作 y 轴的垂线 BF 交射线 DE 的延长线于 F 点，连接 AF ，求 BF 的长．
【例 6】如图，在平面直角坐标系中，点 A （0， b ），点 B （ a ，0），点 D （ d ，0），且 a 、b 、 d 满
足 + b - 3 + (2 - d )2 = 0 ，DE ⊥ x 轴且∠BED ＝∠ABD ，BE 交 y 轴于点 C ，AE 交 x 轴于点 F ．
（1）求点 A 、点 B 、点 D 的坐标；
（2）求点 E 、点 F 的坐标；
（3）如图，过 P （0，－1）作 x 轴的平行线，在该平行线上有一点 Q （点 Q 在点 P 的右侧）使∠QEM ＝ 45°，QE 交 x 轴于点 N ，ME 交 y 轴的正半轴于点 M ，确定 AM - MQ
的值．
PQ
第 6 讲
【课后作业】 夹半角
1． 如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上的任意一点，以点 A 为中心，把△ADE 顺时针旋转 90°得△AB E 1 ，
∠EA E 1 的平分线交 BC 边于点 F ，求证：△CFE 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半．
2．如图△ABC 是边长为 3 的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60°的角，角的两边分别交 AB 、AC 于 M 、N ，连接 MN ，则△AMN 的周长为 ． 3．已知如图，五边形
ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE ＝2∠CAD ．
4．如图，平面直角坐标系中，已知 A （ a ，4）、B （ b ，0），且满足
（1
）求 A 、B 两点的坐标
（2）若点 C 在第一象限内，且△ABC 为等腰直角三角形，求点 C 的坐标．
+ b 2 - 6b + 9 = 0
（3）如图，点 N （1，0）、R （4，3），点 P 为线段 AN 上的一动点，连接 PR ，以 PR 为一边作∠PRM ＝ 45°，交 x 轴于点 M ，连 PM ，请问点 P 在运动的过程中，线段 PM 、AM 、BM 直线有怎样的数量关系，证明你的结论． a -1
倍半角模型知识精讲 一、二倍角模型处理方法 1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形. 2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形. 例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形. 例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90o. 【解答】见解析 【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D. 则∠ACE＝∠A，AE＝CE， ∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC， 又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90o； 【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90o， ∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D， ∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD， 又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90o. 【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE. ∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD， ∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E， 又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90o. 二、倍半角综合 1.由“倍”造“半” 已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可. 如图，若（） 2.由“半”造“倍” 已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可. 如图，在Rt△ABC（∠A＜45o）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，
初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
半角模型 已知如图：①∠2=1 2 ∠AOB；②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB， ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′. （1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 模型实例 例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N．（1）求证：BM+DN=MN． （2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．
证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ． 在△ADE 和△ABM 中， ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM ． ∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN 和△AEN 中， ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN ． ∴MN=EN ． ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ． （2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ． ∴S △AMN =S △AEN ． 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ， ∴AH=AD ． 即AH=AB ．
八年级上册数学几何部分——三角形全章复习 知识点一：1.三角形的定义：由不在同一条_____上的三条线段___________组成的图形叫做三角形． 2.三角形的分类（1）按边分类： ????????不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形__________ ______________（2）按角分类： 3.三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和________第三边．任意两边之差_____第三边。 即已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a 、b ，则第三边的长c 的取值范围是_______________________． 基础知识训练练习1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．3cm ，12cm ，8cm B ．6cm ，8cm ，15cm C ．2.5cm ，3cm ，5cm D ．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm 【变式1】四条线段的长分别是2cm 、4cm 、6cm 、7cm 以其中三条线段为边可构成__个三角形. 【变式2】已知三角形的两边长分别4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 练习2．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c 的取值范围是___________． 【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L 的取值范围是（ ） A ．6 几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等（易得等腰，且等腰均相似） 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角，旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型（90°含45°） 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF； ②△CEF的周长是正方形周长的一半； ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E，F分别是边BC，CD上的点，连接EF、AE、AF，过A作AH⊥EF 于点H．若EF=BF+DF．那么下列结论：①AE平分∠BEF；②FH=FD； ③∠EAF=45°；④S△E A F=S△A B E+S△A D F；⑤△CEF的周长为2．其中正确结论的 是． 2.在Rt△ABC中，AB=AC，D?E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论①△AEF≌△AED；②∠AED=45°； ③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的是（） A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 4.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE=25．若∠EOF=45°，则F点的坐标是． 5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 2013八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并证明。 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），以OA为边在第四象限做 等边△AOB，点C为x轴正半轴一动点（OC > 2），连接BC，以BC为边在第 四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E的坐标；若有变化，请说明理由． 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？ 图一图二 5.M为△ABC中BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知AB=10， BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC周长 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DA=DB，CD为直角边作等腰直角 三角形CDE，∠DCE=90° （1）求证：△ACD≌△BCE （2）若AC=3cm，则BE = ________ cm . 7.已知：△ABC为等边三角形，ED=EC，探究AE与DB的大小关系 知识目标 第 6 讲 夹半角模型 知识导航 夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。 这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。夹 半角的常见分类： （1）90 度夹 45 度 （2）120 度夹 60 度 （3）2α夹α 题型一 90 度夹 45 度 【例 1】 如图，正方形 ABCD 中， E 在 BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：（1）BE ＋DF ＝EF （2）∠AEB ＝∠AEF 【练习】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其余条件不变，证明： （1）DF －BE ＝EF （2）∠AEB ＋∠AEF ＝180° 夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如： （1）已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N 是AB 上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2 （2）如图，正方形ABCD 中，F 为CD 中点，点E 在BC 上，且∠EAF＝45°，求证：点E 为线段BC 靠近B 的三等分点． 题型二120 度夹60 度 【例2】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N 分别是AB、AC 上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN． 【练习】如图，四边形ABCD 中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F 分别在AD、DC 延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF． 真题演练 在等边△ABC 的两边 AB 、AC 所在直线上分别有两点 M 、N ．D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系以及 △AMN 的周长 Q 与等边△ABC 的周长 L 的关系． （1）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且 DM ＝DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； Q 此时 ＝ ；（不必证明） L （2）当点 M 、N 在边 AB 、AC 上，且当 DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）当 M 、N 分别在边 AB 、CA 的延长线上时，若 AN ＝2，则 Q ＝ （用含有 L 的式子表示） 18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形 的底角的度为 . 19.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= . 20.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，连接CD ，在CD 上取一 点E,∠BEC=120°，连接BE,若CD= 314,BE=2,△ACD 的面积为33 14 ， 则△BCE 的面积为 . 24.已知:如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D ， 过D 作DE∥AC，交AB 于E ， （1） 求证：AE=ED （2） 若AB=5，求线段DE 的长． E D C B A （第19题图） （第20题图） P N M O 25．已知:如图, △ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,AE 平分∠BAD 交BC 于点E, (1) 求证:AB=CE (2) 点M 在AB 上，BM=2DE ，连接MC 交AD 于点N ，若DN=1，求AB 的长 27．已知：在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点, △ABC 的顶点A(-2,0),点B 、C 分别在 x 轴正半轴上和y 轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°， （1）求点B 的坐标 （2）动点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动，设点E 的运动时间为t 秒，△ABE 的面积为S ，求S 与t 的关系式 （3）在（2）的条件下，点E 出发的同时，动点F 从点C 出发以每秒1个单位的速度，沿 CO 向终点O 运动，点F 停止时，点E 也随之停止。连接EF ，以EF 为边在EF 的上方作等边△EFH ，连接CH ，当点C （0，23），CH=3时，求t 的值 E D C B A N M E D C B A y x O B A C y x O B A C 初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的 半角模型教案有答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD 重合，得折痕DG，使2 AD=，求AG． 【解析】：作GM⊥BD，垂足为M． 由题意可知∠ADG=GDM， 则△ADG≌△MDG． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM． 而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）． 例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，10 ==，并且P点到CD边的距离也 PA PB 等于10，求正方形ABCD的面积？ 【解析】：过P作EF AB ⊥于F交DC于E． 1、已知如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，DE 垂直平分仙于D ，交BC 于E 点．求证：CE=2BE ． 2、如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 交x 轴正半轴于A(-1,0),交y 轴正半轴于B,C 是x 轴负半轴上一点，且CA= 4 3CO,△ABC 的面积为6。 （1）求C 点的坐标。 （2）求直线AB 的解析式。 （ 3、已知如图，射线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100 ,E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF. （1）求∠EOB 的度数； （2）若平行移动AB ，那么∠OBC ∶∠OFC 的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 4．如图Ⅰ—8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：(1)AE ＝CD ；(2)若AC ＝12 cm ，求 A B C O x y F O E C B A BD 的长． 5、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线 BG 于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。 （1）求证：BG=CF ；（2）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明。 6．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的 中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：12 CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论 A F C D B G E 中考模型解题系列之大角夹半角模型 满分100分 答题时间30分钟 1.(本小题100分) （2010重庆改编）等边的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为外一点，且 ,,BD=DC.探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长Q 与等边的周长L 的关系． （I ）如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是_____________；此时___________； （II ）如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=，则Q=_________（用、L 表示）． 核心考点: 全等三角形的判定与性质 旋转的性质 单选题(本大题共8小题，共100分) 1.(本小题10分)Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=50°,点D在边BC上,BD=2CD.把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0 32 H A B F E 1G E F D C B A D C B A O G A B C D A B C 初中几何之截长补短模型 模型 截长补短 如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。 截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。 补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。 模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中 截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法 构造全等三角形来完成证明过程。 模型实例 例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D 。 求证：AB=AC+CD 。 例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD 求证AO+BO=2CO 。 精练1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且 AC=AB+BD 。 求∠ABC 的度数。 E A B C D E A B C D F E A B C D A O E A B C D 2．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD 。求证：AB+CD=BC 。 3．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB 。求证AC=AE+CD 。 4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°， BE ⊥AD 于点E 。求证：AC-AB=2BE 。 5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E 。求证：AD=2DF+CE 。 6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°。求证：AD 平分∠CDE 。 1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形， 所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。 正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。 小结： （1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图 （2）正方形的性质： ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ． 而（-1）， ∴AG=BM=2）． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1 (10)2BF x =+． 由222PB PF BF =+． 可得：2221 10(10)4 x x =++． 故6x =． 216256ABCD S ==． 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ． 由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， F 八年级数学几何经典题【含答案】 1、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长 线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 2、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ， 点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半． 3、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ． . 4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ． B 5、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ． 6、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ． 7如图，△ABC 中，∠C 为直角，∠A=30°，分别以AB 、AC 为边在△ABC 的外侧作正△ABE 与正△ACD ，DE 与AB 交于F 。 求证：EF=FD 。 8如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，EC 和DF 相交于G ，连接AG ，求证：AG=AD 。 9、已知在三角形ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE=AC,延长BE 交AC 与F,求证AF=EF D F E P C B A F P D E C B A 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么 例4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点 O ,90AOF ?∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的面积为________2cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； （2）求证：DE EF FB =+． 【纵向应用】 6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2 1 = 7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 2 1= 8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥ 9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , 图2 D G A E B C F 13 A D E F C G B 1．如左图：AB=CD，AD=CB，E，F是BD上两点，BE=DF，若∠AEB=100°，∠DBC=30°，则∠BCF=_________。 2．如右图：AB=AC，∠BAC=90°，延长BA到E，连结CE，BF⊥CE于F交AC于D，若AE=2，BE=7，则DC=___________。 3．已知：如图：B在AC上，∠BDC=∠BEA，DN=CN=EM=AM。 求证：BA=BC 4.已知：如图：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。M是BE中点， 求证：AM⊥DC。 5.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分. A O F B E 6.如图所示，∠BAC=∠ABD,AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明. 7．已知：如图17，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE 求证：CE＝DE （提示：过D作AC的平行线或者过E作AC的平行线或者过E作CD的垂线） C D 8. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC＋CD 9. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。 10. 已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。 求证：∠BAP＋∠BCP＝180° 11.如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF； 解析： 延长CB到G，使GB=DF，连接AG， 证△ABG≌△ADF，得∠3=∠2，AG=AF， 进而求证△AGE≌△AFE， 可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF 特征描述：过等腰△ABC(AB=AC)顶角顶点（设顶角为A），引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关. 题型识别：“等线段、共顶点、半角度” 解决方法： ①以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合； ②找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。 如图，在正方形ABCD的边BC，CD上分别有点E，F，∠EAF=45°，AH⊥EF．求证：AH=AB； 分析：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，根据旋转的性质可得DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ， 然后求出∠EAF =∠EAG =45°，再利用“边角边”证明△AEF 和△AEG 全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH =AB ． 证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ， 由旋转的性质得，DF =BG ，AF =AG ，∠DAF =∠BAG ． ∵∠F AG =∠BAG +∠BAF =∠DAF +∠BAF =∠BAD =90°， ∠EAF =45°， ∴∠EAF =∠EAG =45°． 在△AEF 和△AEG 中， AF AG EAF EAG AE AE =??∠=??=? ∴△AEF ≌△AEG （SAS ）， ∵AH 、AB 分别是△AEF 和△AEG 对应边上的高， ∴AH =AB ． （1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：___________． （2）如图2：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°．点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点C ，使DG =BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是___________． 请你帮小王同学写出完整的证明过程． 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. G H F E D C B A 几何图形题 常见辅助线的作法有以下几种： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、以等边三角形为基础 1．已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 为等边三角形； (3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90 O ，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2） 两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 2.如图，△ABC 为等边三角形，AB=6cm ，O 为AB 上的任意一点（与B 点不重合），OD ⊥BC 于D ；DE ⊥AC 于E ；EP ⊥AB 于P 。问：当OB 的长等于多少时，点P 与点O 重合？ 二、以等腰直角三角形为基础 3.如图1图2图3，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o， （1）在图1中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。 （2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC 与BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？ （3）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC 与BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？ 4．如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE 和三角板ABC 放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E 、A 、C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由． 5.已知：在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的左侧作等腰直角△ADE ，解答下列各题：如果AB=AC ，∠BAC=90°． （i ）当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图甲，线段BD ，CE 之间的关系为______________ （ii ）当点D 在线段BC 的延长线上时，如图乙，i ）中的结论是否还成立？为什么？ 6.如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取 CG=AB ，连结AD 、AG 。 求证：（1）AD=AG ， （2）AD 与AG 的位置关系如何？ 7.在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点.写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系， 并说明理由. （1）若点M 、N 分别是AB 、AC 上的点，且BM=AN ，试判断△OMN 形状，并证明你的结论. (2)S ?AMN 、s ?OMN 、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 正方形角含半角模型提升 例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ． 例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？ 例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，?垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？ 例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使 45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB = 例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ? ∠=. 求证：BE CF =. (2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点 O ,90FOH ?∠=,4EF =.求GH 的长. 【双基训练】 1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，?其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ?的 面积为________2 cm ． (6) (7) 2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________． 3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ?的面积为14平方厘米，BCE ?的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF 的面积是________． 4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以 AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。 求证：FN EC =。 图 2中考数学 几何专题——半角模型
八年级上学期数学压轴几何题复习
人教版八年级数学 几何培优讲义设计 第6讲 夹半角模型 无答案
八年级上册数学几何难题突破
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案
初二数学(上册)几何题(提高)
中考模型解题系列之大角夹半角模型
2018北师大版下册数学截长补短和半角模型[原创]
2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
(完整版)八年级数学几何经典题【含答案】
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
八年级上册几何数学题
八年级数学——半角模型
初二数学几何图形题(供参考)
2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)
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