设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为：
(){}
{}(,)((,))Z D z
z y
F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy
+∞--∞
-∞
=≤=+≤==???
?
（1.1）
固定z 和y 对积分
(,)z y
f x y dx --∞
?作换元，令x y u +=，得
(,)(,)z y
z f x y dx f u y y du --∞
-∞
=-??
（1.2）
于是
()(,)[(,)]z
z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞
-∞-∞
-∞
-∞
=-=-????
（1.3）
由概率论定义，即得Z 的概率密度为
()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞
=-? （1.4）
由X 与Y 的对称性，又可得
()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=-?
， （1.5）
特别的，当X 与Y 相互独立时，有
()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=-=-?
?
（1.6）
其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。
式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。
设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X
Z Y
=的概率密度，Z 的分布函数为
1
2
(){}
(,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1）
而
1
(,)(,)yz
D f x y dxdy f x y dxdy +∞
-∞=??
?
? （2.2）
对于固定的z ，y ，积分
(,)yz
f x y dx -∞
?作换元x
u y
=
（这里y>0），得 (,)(,)yz
z
f x y dx yf yu y du -∞
-∞
=??
（2.3）
于是
01
(,)(,)(,)z
D z
f x y dxdy yf yu y dudy
yf yu y dydu
+∞-∞+∞
-∞==?????
?
（2.4）
类似的可得
2
(,)(,)(,)yz D z
f x y dxdy f x y dxdy
yf yu y dydu
+∞
-∞-∞-∞
==-???
?
?
?
(2.5)
故有
12
0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z
z F z f x y dxdy f x y dxdy
yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du
+∞-∞
-∞
+∞-∞-∞
=+=-=??????
?
??
(2.6)
有概率密度定义可得X
Z Y
=
的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞
-∞
=? (2.7)
特别的，当X 与Y 相互独立时，有
()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞
=?
(2.8)
随机变量及其分布函数 将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。 分布函数则完整的表述了随机变量。 一、 随机变量与分布函数 (1) 随机变量： 取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。 分布函数： [1] 定义： 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作 (){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分 布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数 ()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。 [2] 性质： ?()F x 单调非降。 ?()0F -∞=、()1F +∞=。 ?()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。 ?对于任意两个实数a b <， {}()()P a X b F b F a <≤=- ?对于任意实数0x ，
00 0{}()()P X x F x F x ==-- ?000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ?000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →- =≤<=- ?000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ?0i p ≥ ? 1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p ==∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：
怎样理解分布函数 概率论中一个非常重要的函数就是分布函数,知道了随机变量的 分布函数,就知道了它的概率分布,也就可以计算概率了。 一、理解好分布函数的定义: F(x)=P(X≤x), 所以分布函数在任意一点x的值,表示随机变量落在x点左边(X≤x)的概率。它的定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1]. 二、掌握好分布函数的性质: (1)0≤F(x)≤1; (2)F(+∞)=1,F(-∞)=0; 可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如: 设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,求常数A与B. 就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π. (3)单调不减; (4)右连续性。 三、会利用分布函数求概率 在利用分布函数求概率时,以下公式经常利用。
(1)P(a 8.随机变量的函数的分布 【教学容】：高等教育大学盛骤，式千，承毅编的《概率论与数理统计》 第二章第五节的随机变量的函数的分布 【教材分析】：本节课主要是在学生学习了随机变量的概念和随机变量的分布的基础上进行的教学；本节从随机变量的分布入手引入随机变量的函数的随机性特征， 即由自变量X 的统计规律性出发研究因变量Y 的统计性规律的问题；本节课的教学先讲授离散型随机变量的函数的分布接着讲连续型随机变量的函数的分布。让学生掌握两种不同的随机变量的分布的求解方法。其中，离散型随机变量的函数的分布是比较容易求得而连续型随机变量的函数的分布学生往往束手无策，因此，我在本次教学中，先复习分布函数和概率密度函数的关系，后通过简单例子来讲解，最后归纳总结 ，再研究连续型随机变量的函数的一种特殊情形的分布问题。最后导出一个重要的定理。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生具有一定的随机变量及其分布相关理论知识及微分学相关知识，通过前两次课的学习已具备一定的解题方法，本节课通过让学生观察、思考，教师启发、引导等教学方式，让学生自然过渡到随机变量的函数的分布的学习中。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的微积分的知识和随机变量的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】：掌握随机变量的函数的概率分布的求法。 【教学重点、难点】： 重点：离散型随机变量的函数的分布；连续型随机变量的函数的分布。 难点：连续型随机变量的函数的分布。 【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数()Y g X =所表示的随机变量Y 更感兴趣。 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），现求Z=X+Y 的概率密度。 令{(,)|}z D x y x y z =+≤，则Z 的分布函数为： (){} {}(,)((,))Z D z z y F z P Z z P X Y z f x y dxdy f x y dx dy +∞--∞ -∞ =≤=+≤==??? ? （1.1） 固定z 和y 对积分 (,)z y f x y dx --∞ ?作换元，令x y u +=，得 (,)(,)z y z f x y dx f u y y du --∞ -∞ =-?? （1.2） 于是 ()(,)[(,)]z z Z F z f u y y dudy f u y y dy du +∞+∞ -∞-∞ -∞ -∞ =-=-???? （1.3） 由概率论定义，即得Z 的概率密度为 ()(,)Z f z f z y y dy +∞-∞ =-? （1.4） 由X 与Y 的对称性，又可得 ()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞ =-? ， （1.5） 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()()()Z X Y X Y F z f z y f y dx f x f z x dx +∞ +∞ -∞ -∞ =-=-? ? （1.6） 其中，()X f x 、()Y f y 分别是X 和Y 的密度函数。 式（1.6）又称为()X f x 和()Y f y 的卷积，常记为*()X Y f f z 。因此式（1.6）又称为独立和分布的卷积公式。 设（X ，Y ）的联合密度函数为f （x ，y ），又X Z Y =，现求X Z Y =的概率密度，Z 的分布函数为 1 2 (){} (,)(,)Z D D F z P Z z f x y dxdy f x y dxdy =≤=+???? （2.1） 而 1 (,)(,)yz D f x y dxdy f x y dxdy +∞ -∞=?? ? ? （2.2） 对于固定的z ，y ，积分 (,)yz f x y dx -∞ ?作换元x u y = （这里y>0），得 (,)(,)yz z f x y dx yf yu y du -∞ -∞ =?? （2.3） 于是 01 (,)(,)(,)z D z f x y dxdy yf yu y dudy yf yu y dydu +∞-∞+∞ -∞==????? ? （2.4） 类似的可得 2 (,)(,)(,)yz D z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dydu +∞ -∞-∞-∞ ==-??? ? ? ? (2.5) 故有 12 0()(,)(,)[(,)(,)][(,)]Z D D z z F z f x y dxdy f x y dxdy yf yu y dy yf yu y dy du y f yu y dy du +∞-∞ -∞ +∞-∞-∞ =+=-=?????? ? ?? (2.6) 有概率密度定义可得X Z Y = 的概率密度为 ()(,)Z f z y f yz y dy +∞ -∞ =? (2.7) 特别的，当X 与Y 相互独立时，有 ()()()Z X Y f z y f yz f y dy +∞-∞ =? (2.8) 浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方法 摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理1[1] 关键字：随机变量函数概率密度 一、 定义1：如果存在一个函数()g x ，使得随机变量,X Y 满足()Y g X =则称随机变 量Y 是随机变量X 的函数，那么随机变量Y 的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 （经典公式法）定理1：设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈，又设 ()y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =是一个连续性随 机变量，其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???< §3.4 随机变量函数的分布 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是N （2 ,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题， 在中曾经引入变换 η=σ ξa - 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。 定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 ? ? ?<<*=其他,0|],)(|)([)('β α?y y h y h p y （3.51） 其中 α=min{)(-∞f ,)(+∞f } β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明 略) 例3.11（略） 例3.12（略） 2χ—分布 我们先给出下述一个式子： p (x,y)=? ? ???≤>Γ-0,00,)2(212x x x n y n 我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的 2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2 n χ，它是数理统计中一个重要的分布。 （一）和的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为 F ζ(y)= P (ζ F ζ(y)= ??<+y x x dx dx x x p 2121 2 1 ),( = dx dx x x p )),((221?? ∞∞ -∞ ∞ - （3.54） 如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得 F ζ(y) = dx dx x p x p ))()((221?? ∞∞ -∞ ∞-ηξ =dx dz x z p x p y ))()((11? ?∞ ∞-∞--ηξ = dz dx x z p x p y ))()((11?? ∞ -∞∞ --ηξ 由此可得 ζ 的密度函数为 F ζ(y)= F ' ξ(y)= dx x y p x p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.55） 由对称性还可得 F ζ(y)= dx x p x y p ? ∞ ∞ --)()(ηξ （3.56） 由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作 P ζ=P ξ* P η 例3.13（略） 我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2 χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。如果随机变量ξ具有密度函数为 p (x,y)=?? ???≤>Γ--0,00 ,)(1x x e x x βαααβ （3.57） （其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略） （二）商的分布 设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求η ξ ζ= 的分 第四章 大数定律与中心极限定理 4.1特征函数 内容提要 1. 特征函数的定义 设X 是一个随机变量,称)()(itX e E t =?为X 的特征函数,其表达式如下 (),()().(), 在离散场合， 在连续场合，itx i i itX itx x e P X x t E e t e p x dx ?+∞-∞ ?=?==-∞<<+∞???∑? 由于1sin cos 22=+=tx tx e itx ,所以随机变量X 的特征函数)(t ?总是存在的. 2. 特征函数的性质 (1) 1)0()(=≤??t ; (2) ),()(t t ??=-其中)(t ?表示)(t ?的共 轭; (3) 若Y =aX +b ,其中a ,b 是常数.则);()(at e t X ibt Y ??= (4) 若X 与Y 是相互独立的随机变量,则);()()(t t t Y X Y X ????=+ (5) 若()l E X 存在,则)(t X ?可l 次求导,且对l k ≤≤1,有);()0()(k k k X E i =? (6) 一致连续性 特征函数)(t ?在),(+∞-∞上一致连续 (7) 非负定性 特征函数)(t ?是非负定的,即对任意正整数n ,及n 个实数 n t t t ,,,21Λ和n 个复数n z z z Λ,,21,有 ;0)(11≥-∑∑==j k j n k n j k z z t t ? (8) 逆转公式 设F (x )和)(t ?分别为X 的分布函数和特征函数,则对F (x )的任意两个点21x x <,有 =-+--+2 )0()(2)0()(1122x F x F x F x F ;)(21 lim 2 1dt t it e e T T itx itx T ?π?-+∞→- 特别对F (x )的任意两个连续点21x x <,有 ;)(21 lim )()(2 112dt t it e e x F x F T T itx itx T ?π ?-+∞→-=- (9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定； 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 浅谈如何简单求随机变量函数的概率密度函数的方 法 摘要：针对教材中给出的求连续型随机变量函数的概率密度的方法的单一，在借鉴前人研究成果的基础上，提出求概率密度的四步教学法。 概率论与数理统计是一门很有特色的数学分支，无论是综合类大学还是高职、高专院校，都将它作为一门必修课。在大学《概率论与数理统计》中，随机变量函数是一个重点也是一个难点，尤其是连续性随机变量函数的概率密度，教材中只是一般给出两种方法：一种是先求其分布函数，然后对分布函数求导，来得概率密度函数；二是教材中的定理1[1] 关键字：随机变量函数概率密度 一、定义1：如果存在一个函数() g x，使 得随机变量,X Y满足() =则称随机变量 Y g X Y是随机变量X的函数，那么随机变量Y的概率密度函数称为随机变量函数的概率密度函数。 二、 （经典公式法）定理1：设随机变量X 具有概率密度 (),X f x x R ∈，又设 () y g x =出处可导且恒有 ()()''0(0) g x g x ><或则 () Y g X =是一个连续性随 机变量，其概率密度函数 ()()()11' ,0,X Y f g y g y y f y αβ--???< 第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(510 41===-k C C k X P k 所以X 的分布列为 2. 一批元件的正品率为4，次品率为4 ，现对这批元件进行有放回的测试，设第 X 次首次测到正品，试求X 的分布列。 解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k 1 ==? ? ? ? ??==-k k X P k . 此即为X 的分布列。 3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2 ，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为 由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ???? ?????≥<≤<≤<=3 ,132 ,3 221 ,6 1 1 ,0)(x x x x x F 4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15 )(== =k k k X P 。 求 ).3( )3( ),31( )2( ),2 5 21( )1(>≤≤< 如何理解概率分布函数和概率密度函数 大学的时候，我的《概率论和数理统计》这门课一共挂过3次，而且我记得最后一次考过的时候刚刚及格，只有60分。你可以想象我的《概率论》这门课学的是有多差了。后来，我工作以后，在学习数据分析技能时，又重新把《概率论》这本书学了一遍。原来之前一直没学好这门课的很重要一个原因就是，这门课涉及很多基础的概念，而我当初就是对这些概念非常不理解。 今天我就讲讲应该如何理解概率分布函数和概率密度函数的问题。是不是乍一看特别像，容易迷糊。如果你感到迷糊，恭喜你找到我当年的感觉了。 先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量，我这里先给大家举几个例子: 1、一批电子元件的次品数目。 2、同样是一批电子元件，他们的寿命情况。 在第一个例子中，电子元件的次数是一个在现实中可以区分的值，我们用肉眼就能看出，这一堆元件里，次品的个数。但是在第二个例子中，这个寿命它是一个你无法用肉眼数的过来的数字，它需要你用笔记下来，变成一个数字你才能感受它。在这两个例子中，第一例子涉及的随机变量就是离散型随机变量，第二个涉及的变量就是连续型随机变量。 在贾俊平老师的《统计学》教材中，给出了这样的区分: 如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来，则为离散型随机变量。如果随机变量X 的取值无法逐个列举则为连续型变量。 我始终觉得，贾老师这么说，对于我们这些脑子笨又爱钻牛角尖的学生来说，还是不太好理解。所以我就告诉大家一个不一定非常严谨，但是绝对好区分的办法。 只要是能够用我们日常使用的量词可以度量的取值，比如次数，个数，块数等都是离散型随机变量。只要无法用这些量词度量，且取值可以取到小数点2位，3位甚至无限多位的时候，那么这个变量就是连续型随机变量! 对了，如果你连随机变量这个概念还不理解的话，我送你一句贾俊平老师的话: 如果微积分是研究变量的数学，那么概率论与数理统计是研究随机变量的数学。 再来理解离散型随机变量的概率分布，概率函数和分布函数 在理解概率分布函数和概率密度函数之前，我们先来看看概率分布和概率函数是咋回事。一下子又冒出来两个长得差不多的概念!没事，他们长得差不多，实际代表的含义其实也差不多! 6数理统计的基本概念 6.1 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 6.2 内容提要 6.2.1 总体和样本 1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。 2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。 3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n 的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。 4 样本的联合分布 *该部分内容考研不作要求。 149 150 若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为 ∏== n i i n x F x x x F 1 21) (),,,( 若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为 ∏ == n i i n x f x x x f 1 21) (),,,( (6.1) 若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为 ∏=== ===n i i i n n x X P x X x X x X P 1 22 11} {},,,{ (6.2) 其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。 6.2.2 样本分布 1 频率分布 设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l * 且n n l i i =∑=1 。 则样本的频数分布及频率分布可由表6-1给出。 大连民族学院 数学实验报告 课程：数理统计 实验题目: 统计图及概率密度与分布函数作图 系别：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：历红影 班级：信息102班 指导教师：董莹 完成学期：2012 年11月15日 实验方法和步骤： 理论方法：1.直接在MATLAB中输入要完成的命令即可实现 2.在MATLAB中利用输入相关函数实现 步骤：产生随机数：randn（） 直方图：hist(y , s） 实验数据和分析： 实验数据： 例1: >> x=-2.9:0.1:2.9; >> y=randn(10000,1); >> hist(y,x) >> h=findobj(gca,'type','patch'); >> set(h,'Facecolor','r','Edgecolor','w'); 例2: >> x=normrnd(0,1,1,50); >> [h,stats]=cdfplot(x); 例3: >> x=normrnd(0,1,1,50); >> y=exprnd(1,1,50); >> normplot(x) >> normplot(y) 例4: >> x1=normrnd(5,1,100,1); >> x2=normrnd(6,1,100,1); >> x=[x1,x2]; >> boxplot(x,1,'g+',1,0) 例5: >> data=normrnd(0,1,10000,1); >> p=capaplot(data,[-2,2]) p =0.9540 例6: >> r=normrnd(0,1,100,1); >> histfit(r) 例7: >> p=normspec([10 Inf],11.5,1.25) p =0.8849 例8: >> x=0:10; >> y=binopdf(x,10,0.5) 第2章随机变量及其分布习题解答 一．选择题 1．若定义分布函数(){}F x P X x =≤，则函数()F x 是某一随机变量X 的分布函数的充要条件是( D )． A ．0()1F x ≤≤． B ．0()1F x ≤≤，且()0,()1F F -∞=+∞=． C ．()F x 单调不减，且()0,()1F F -∞=+∞=． D ．()F x 单调不减，函数()F x 右连续，且()0,()1F F -∞=+∞=． 2．函数()0 212021 0 x F x x x <-??? =-≤ 5．设X 的分布律为 而(){}F x P X x =≤，则F =( A )． A ．0.6． B ．0.35． C ．0.25． D ．0． 6．设连续型变量X 的概率密度为()p x ，分布函数为()F x ，则对于任意x 值有( A )． A ．(0)0P X ==． B ．()()F x p x '=． C ．()()P X x p x ==． D ．()()P X x F x ==． 7．任一个连续型的随机变量X 的概率密度为()p x ，则()p x 必满足( C )． A ．0( )1p x ≤≤． B ．单调不减． C ． ()1p x dx +∞ -∞ =?． D ．lim ()1x p x →+∞ =． 8 ．为使 x 1()0 1p x x ?=??≤? 是随机变量X 的概率密度，则常数c ( B )． 统计学之分布函数和概率密度函数的区别 一. 概念解释 PDF：概率密度函数（probability density function）【F(x)在x处的关于x的一阶导数，即变化率】, 在数学中，连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。 PMF : 概率质量函数（probability mass function),在概率论中，概率质量函数是离散随机变量在各特定取值上的概率。 CDF : 累积分布函数(cumulative distribution function)【随机变量在某个区间的概率】，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。 二. 数学表示 PDF：如果X是连续型随机变量，定义概率密度函数为fX(x)，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即 PMF：如果X离散型随机变量，定义概率质量函数为fX(x),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即 比如对于掷一枚均匀硬币，如果正面令X=1X=1，如果反面令X=0X=0，那么它的PMF就是 CDF：不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。 三.概念分析 根据上述，我们能得到一下结论： １）PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的； ２）PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的； ３）PMF的取值本身代表该值的概率。 四.分布函数的意义 我们从两点来分析分布函数的意义： 1.为什么需要分布函数？ 对于离散型随机变量，可以直接用分布律来描述其统计规律性，而对于非离散型的随机变量，如连续型随机变量，因为我们无法一一列举出随机变量的所有可能取值，所以它的概率分布不能像随机变量那样进行描述，于是引入PDF，用积分来求随机变量落入某个区间的概率。分布律不能描述连续型随机变量，密度函数不能描述离散随机变量，因此需要找到一个统一方式描述随机变量统计规律，这就有了分布函数。另外，在现实生活中，有时候人们感兴趣的是随机变量落入某个范围内的概率是多少，如掷骰子的数小于3点的获胜，那么考虑随机变量落入某个区间的概率就变得有现实意义了，因此引入分布函数很有必要。 2. 分布函数的意义 分布函数F(x)F(x)在点xx处的函数值表示XX落在区间(?∞,x](?∞,x]内的概率，所以分布函数就是定义域为RR的一个普通函数，因此我们可以把概率问题转化为函数问题，从而可以利用普通的函数知识来研究概率问题，增大了概率的研究范围。随机变量的函数的分布
两个随机变量和与商的分布函数和密度函数
求随机变量函数的概率密度函数的教学方法
§4随机变量函数的分布
随机变量的特征函数
连续型随机变量的分布与例题讲解
求随机变量函数的概率密度函数的教学方法
第2章 随机变量及其函数的概率分布
如何理解概率分布函数和概率密度函数
常见的分布函数
统计图及概率密度与分布函数作图
随机变量及其分布习题解答
统计学之分布函数和概率密度函数的区别
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