【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第六
节 直线与圆锥曲线的位置关系AB 卷 文 新人教A 版
1.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 2
3＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线
交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4 . 又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 2 3＝1得7y 2 －12y ＝0， 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝12 7 . 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144 49 . (2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 2 3＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2 － 12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2 －123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2 ） 3＋4k 2 ， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2 ＝121＋k 2 3＋4k 2. 由题设，直线AN 的方程为y ＝－1 k (x ＋2)， 故同理可得|AN |＝12k 1＋k 2 3k 2 ＋4 . 由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k 3k 2 ＋4 ，即4k 3－6k 2 ＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3 －6t 2 ＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2 －12t ＋3＝3(2t －1)2 ≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3 2.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2 ＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线 l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. (1)证明 由题设F ? ????12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ? ????a 22，a ，B ? ?? ??b 2 2，b ， P ? ?? ??－12 ，a ，Q ? ?? ??－12 ，b ，R ? ?? ??－12 ，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝ a － b 1＋a 2＝a －b a 2 －ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ . (2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝ 12|b －a |? ?????x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |??????x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)， 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).而a ＋b 2 ＝y .所以y 2 ＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以， 所求轨迹方程为y 2 ＝x －1. 1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2 ＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2 ＋y 2 ＝r 2 (r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，4) C.(2，3) D.(2，4) 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则? ????y 2 1＝4x 1， y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－ x 2)， 当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有 y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得k ·y 0－0 x 0－5 ＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2 ＝4x ，得y 2 ＝12，有－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2 ＋y 2 0＝r 2 ，r 2 ＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 2 0＋4＞4，∴4＜r 2 ＜16，∴2＜r ＜4，故选D. 答案 D 2.(2013·山东，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 2 3－y 2 ＝1的右焦点的 连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.3 16 B.38 C.23 3 D.43 3 解析 设抛物线焦点A ? ?? ??0，p 2，双曲线右焦点为B (2，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±33x ，直线AB 方程为px ＋4y －2p ＝0，由?????y ＝12p x 2， px ＋4y －2p ＝0， 得M 点横坐标为x M ＝－p 2 ＋p 4 ＋16p 2 4 ， 又y ′＝1p x ，∴1p x M ＝3 3 ，又p ＞0， ∴－p ＋p 2 ＋164＝33，即p 2 ＋16＝433＋p ，平方可解得p ＝433 . 答案 D 3.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点. (1)求椭圆C 的方程及离心率； (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. (1)解 由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1. 所以椭圆方程为x 2 4＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2 ＝ 3. 所以椭圆离心率e ＝c a ＝ 32 . (2)证明 设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 2 0＋4y 2 0＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB 方程为：y －1＝ y 0－1 x 0 (x －0)， 令y ＝0，得x N ＝x 0 1－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0 y 0－1， 由A 点坐标(2，0)得直线PA 方程为y －0＝ y 0 x 0－2 (x －2)， 令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0 x 0－2， 所以S 四边形ABNM ＝1 2 |AN |·|BM | ＝12? ? ???2＋x 0y 0－1? ?? ??1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 2 0＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2） ＝ 2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4 x 0y 0－x 0－2y 0＋2 ＝2. 即四边形ABNM 的面积为定值2. 4.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距 为2 2. (1)求椭圆C 的方程； (2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′ k 为定值. ②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2 －c 2 ＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0 . 直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0 . 此时 k ′k ＝－3.所以k ′ k 为定值－3. ②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立?????y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2 2 ＝1， 整理得(2k 2 ＋1)x 2 ＋4mkx ＋2m 2 －4＝0， 由x 0x 1＝2m 2 －42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2 －2） （2k 2 ＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2 －2） （2k 2 ＋1）x 0 ＋m . 同理x 2＝2（m 2 －2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2 －2） （18k 2 ＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2 －2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2 －2） （2k 2 ＋1）x 0 ＝－32k 2 （m 2 －2）（18k 2＋1）（2k 2 ＋1）x 0 ， y 2－y 1＝－6k （m 2 －2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2 －2） （2k 2 ＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2 ＋1）（m 2 －2） （18k 2＋1）（2k 2 ＋1）x 0 ， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14? ? ???6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0， 所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝6 6时取“＝”. ∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 2 2 ＝1上， ∴x 0＝4－8m 2 ，故此时 2m －m 4－8m 2 －0 ＝ 66 ， 即m ＝ 14 7 ，符合题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为 62 . 5.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角 形的三个顶点，点P ? ????3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程； (2)设不过原点O 且斜率为1 2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ， 直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 解 (1)由已知，a ＝2b ， 又椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)过点P ? ????3，12，故34b 2＋14 b 2＝1，解得b 2 ＝1.所以椭圆E 的方程是 x 24＋y 2 ＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝1 2 x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2). 由方程组?????x 2 4＋y 2 ＝1， y ＝12x ＋m ， 得x 2 ＋2mx ＋2m 2 －2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2 >0，解得－2 －2. 所以M 点坐标为? ????－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组?????x 2 4＋y 2 ＝1，y ＝－1 2 x ，得C ? ? ???－ 2， 22，D ? ?? ?? 2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·5 2 (2＋m ) ＝54 (2－m 2 ). 又|MA |·|MB |＝14 |AB |2 ＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2] ＝ 516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54 (2－m 2 ). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |. 6.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55 . (1)求直线BF 的斜率； (2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |. ①求λ的值； ②若|PM |sin ∠BQP ＝75 9，求椭圆的方程. 解 (1)设F (－c ，0).由已知离心率c a ＝ 55 及a 2＝b 2＋c 2 ，可得a ＝5c ，b ＝2c ，又因为B (0，b )，F (－c ，0)， 故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2c c ＝2. (2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M ). ①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 2 4c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆 方程联立，消去y ，整理得3x 2 ＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3 . 因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2 －40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21. 又因为λ＝|PM | |MQ |，及x M ＝0， 可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝7 8. ②由①有|PM ||MQ |＝7 8 ， 所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝7 15， 即|PQ |＝15 7 |PM |. 又因为|PM |sin ∠BQP ＝75 9， 所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝ 157|PM |sin ∠BQP ＝553 . 又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ， 所以|BP |＝ ? ????0＋5c 32＋? ?? ??2c ＋4c 32 ＝553c ， 因此553c ＝55 3，得c ＝1. 所以，椭圆方程为x 25＋y 2 4 ＝1. 7.(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2 ＋3y 2 ＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率； (2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； (3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 解 (1)椭圆C 的标准方程为x 2 3＋y 2 ＝1， 所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝ 63 . (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3，2－y 1)， 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 1 3－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝ 1－0 2－1 ＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为 y －1＝y 1－1x 1－2 (x －2). 令x ＝3，得点M ? ?? ?? 3， y 1＋x 1－3x 1－2， 由? ????x 2＋3y 2 ＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2 －31＋3k 2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3 x 1－2 －y 2 3－x 2 ， 因为k BM －1＝ k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2） （3－x 2）（x 1－2） ＝ （k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3] （3－x 2）（x 1－2） ＝（k －1）? ?? ??－3k 2 ＋31＋3k 2＋12k 2 1＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2） ＝0， 所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ， 综上可知，直线BM 与直线DE 平行. 8.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 2 ，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ， C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程. 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2 c ＝3， 解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2 2 ＋y 2 ＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2 )x 2 －4k 2 x ＋2(k 2 －1)＝0， 则 x 1 ，2 ＝2k 2±2（1＋k 2 ）1＋2k 2 ，C 的坐标为? ?? ? ?2k 2 1＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝ （x 2－x 1）2 ＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2 ）（x 2－x 1）2 ＝22（1＋k 2 ） 1＋2k 2 . 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2 ＝－1k ? ?? ??x －2k 2 1＋2k 2， 则P 点的坐标为? ????－2，5k 2 ＋2k （1＋2k 2）， 从而PC ＝2（3k 2 ＋1）1＋k 2 |k |（1＋2k 2 ） . 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2 ＋1）1＋k 2 |k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2 ） 1＋2k 2 ， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 9.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1， MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆 记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由. 解 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 2 4 ＝1. (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝1 2×4×4＝8. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ? ????k ≠±12， 由? ?? ? ?y ＝kx ＋m ，x 2 ＋4y 2 ＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)2x 2＋8kmx ＋4m 2 －16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2 －4(1＋4k 2 )(4m 2 －16)＝0，即m 2 ＝16k 2 ＋4.① 又由??? ? ?y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0， 可得P ? ??? ?2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ? ?? ? ?－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝ |m | 1＋k 2 和|PQ |＝1＋k 2 |x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12·|m |·??????2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝???? ??2m 2 1－4k 2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝????? ?2m 21－4k 2＝8|4k 2 ＋1||4k 2－1| . 当k 2 >14时，S △OPQ ＝8? ????4k 2 ＋14k 2－1＝8? ?? ??1＋24k 2－1>8； 当0≤k 2 <14时，S △OPQ ＝8? ????4k 2 ＋11－4k 2＝8? ?? ??－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2 ≤1，21－4k 2≥2， 所以S △OPQ ＝8? ????－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号. 所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8. 综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 10.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率 为 32，且点? ????3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2 4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于 A ， B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP | 的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 解 (1)由题意知3 a 2＋14 b 2＝1.又a 2 －b 2 a ＝3 2 ， 解得a 2 ＝4，b 2 ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 2 4＋y 2 ＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为 x 216＋y 2 4 ＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ | |OP |＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0). 因为x 20 4 ＋y 2 0＝1， 又（－λx 0）2 16＋（－λy 0）2 4＝1， 即λ2 4 ? ?? ?? x 2 04＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2 )x 2 ＋8kmx ＋4m 2 －16＝0， 由Δ＞0，可得m 2 ＜4＋16k 2 ， ① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2， x 1x 2＝4m 2 －161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2 ＋4－m 2 1＋4k 2 . 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝1 2|m ||x 1－x 2| ＝216k 2 ＋4－m 2 |m |1＋4k 2 ＝2（16k 2 ＋4－m 2 ）m 2 1＋4k 2 ＝2? ?? ??4－m 21＋4k 2m 2 1＋4k 2. 设 m 2 1＋4k 2 ＝t ， 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2 －4＝0， 由Δ≥0，可得m 2 ≤1＋4k 2 . ② 由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2 ＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2 ＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 11.(2015·湖南，20)已知抛物线C 1 ：x 2 ＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的 一个焦点.C 1 与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD → 同向. (1)求C 2的方程； (2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率. 解 (1)由C 1：x 2 ＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以 a 2－ b 2＝1.① 又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2 ＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为? ????±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2 ＝9，b 2 ＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 2 8 ＝1. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4). 因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD → ，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4， 于是(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2 －4x 3x 4. ③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由? ????y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0. 而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. ④ 由?????y ＝kx ＋1，x 28＋y 2 9 ＝1得(9＋8k 2)x 2 ＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2， x 3x 4＝－ 64 9＋8k 2，⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2 ＋1)＝162k 2 （9＋8k 2）2＋4×64 9＋8k 2， 即16(k 2 ＋1)＝162 ×9（k 2 ＋1） （9＋8k 2） 2 ， 所以(9＋8k 2)2 ＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64 . 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 -2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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