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第四章 连续信号的频域分析
将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。
本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。
4.1 基本要求
1．基本要求
? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质；
? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点
? 傅里叶变换的性质及其应用
4.2 知识要点
1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式
三角形式：∑∑∞
=∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1）
指数形式： ∑∑∞
-∞
=+Ω∞
-∞
=Ω=
=n t n n
n t
n n
n F
F t f )j(j e e
)(? （4-2）
其中
?
+Ω=
T
t t n t t n t f T
a 00
d cos )(2
，n =0，1，2，? （4-3）
?
+Ω=
T
t t n t t n t f T
b 00
d sin )(2，n =1，2，? （4-4）
且
n
n n n n n a b b a A a A arctg
, ,2
200-=+==? （4-5）
?+Ω-=
T
t t t n n t t f T F 00
d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系
0)( e 2
1
j ≥=n A F n n n ? （4-7）
并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即
||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义
通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ≥0），即n Ω，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率Ω（即n =1）的分量称为基波分量。
2．周期信号的频谱
通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n Ω）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。
A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n Ω）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。
但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。
所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度
非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为
?∞
∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9）
?∞
∞
-=
ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。
通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ω)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。
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教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。
4．傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质不仅可以用于简化复杂信号频谱密度的求解，也可以用于求解不满足绝对可积条件的信号（例如周期信号）的傅里叶变换。此外，大多数性质都具有明确的物理含义。教材表4-2列出了傅里叶变换的常用性质，通过练习熟悉各性质的应用。
5．周期信号的傅里叶变换
所有周期信号的能量都为无穷大，因此都不满足绝对可积条件，必须根据性质求其傅里叶变换。根据性质得到周期信号傅里叶变换的求解公式为
∑∞
-∞
=Ω-=n n n F F )(π2)j (ωδω （4-11）
4.3 补充例题
例4-1 已知某周期信号f (t )的周期为T =0.1s ，三角形式的傅里叶级数展开式为
()108cos(20ππ/3)2sin 40πf t t t =+-+ 写出指数形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知的f (t )整理为标准形式得到
()108cos(20ππ/3)2cos(40ππ/2)f t t t =+-+-
由于T =0.1s ，则周期信号f (t )的基波角频率为2π/20πT Ω==。将上式与式（4-1）比较可知
01122ππ10,8,,2,232
A A A ??===-==- 再由式（4-7）得到
11j j -j π/3-j π/200112211
10,e 4e ,e e 222
A F F A F A ??=
===== 由式（4-8）得到
j π/3j π/2124e ,e F F --==
再代入式（4-2）得到指数形式的傅里叶级数为
j -j -j2j j201212-j π/3-j -j π/2-j2j π/3j j π/2j2()e
e e e e 104e e e e 4e e e e n t
t t t t
n
n t t t t
f t F F F F F F ∞
ΩΩΩΩΩ--=-∞
ΩΩΩΩ=
=++++=++++∑
另解 利用欧拉公式直接转换。
j(20ππ/3)-j(20ππ/3)j40π-j40π-j π/3j20πj π/3-j20πj40π-j40π-j π/3j20πj π/3-j20πj40π-j40π11
()108[e e ]2[e e ]
22j
104[e e e e ]j[e e ]104e e 4e e je je t t t t t t t t t t t t
f t --=+?++?+=++-+=++--
例4-2 已知某周期信号f (t )的基波频率为10Hz ，其指数形式的傅里叶级数展开式为
-j20π-j(60ππ/4)j20πj(60ππ/4)()25je 3e 5je 3e t t t t f t --=++-+
写出三角形式的傅里叶级数表达式。
解 将已知f (t )整理为标准形式得到
-j20πj π/4-j60πj20π-j π/4j60π()25je 3e e 5je 3e e t t t t f t =++-+
已知f (t )的基波角频率为Ω=2π?10=20π，则上式中各项分别对应指数形式的傅里叶级数中n =0，-1，-3，1，3，由此得到
-j π/4j π/4011332,5j,5j,3e ,3e F F F F F --==-=-== 根据
-j π/2-j π/40132,5j=5e ,3e F F F ==-=
由式（4-7）得到
0011331324,2||2510,2||236
-π/2,-π/4
A F A F A F ??====?===?===
代入三角形式的傅里叶级数展开式得到
01133()cos()cos()2
210cos(20ππ/2)6cos (60ππ/4)
A
f t A t A t t t ??=+Ω++Ω+=+-+- 另解 将上式重新整理为
-j20πj20π-j(60ππ/4)j(60ππ/4)()25j[e e ]3[e e ]t t t t f t --=+-++
再利用欧拉公式得到
()25j (2j)sin20π32cos (60ππ/4)
210cos(20ππ/2)6cos (60ππ/4)
f t t t t t =+?-+?-=+-+-
说明：以上两例练习两种形式的傅里叶级数及其相互转换。可以根据本章所给各公式进行转换，也可根据欧拉公式直接转换。欧拉公式是本章反复用到的基本数学公式，这里再总结如下：
j -j j -j j -j e cos jsin ,e cos jsin e e e -e cos , sin 22j
x x x x x x
x x x x x x =+=-+==
例4-3 对例4-1和例4-2所示周期信号，假设其周期都为T =0.1s 。分析其中含有的分量
以及每个分量的幅度和相位。
解 （1）已知的是三角形式的傅里叶级数展开式，但不是标准形式（有一项为正弦函数，必须化为余弦函数），重新整理得到
()108cos(20ππ/3)2cos(40ππ/2)f t t t =+-+- 由此可知，f (t )中共有三个分量，即
直流分量，幅度为10；
基波分量：频率为10Hz ，幅度为8，相位为-π/3； 二次谐波分量：频率为20Hz ，幅度为2，相位为-π/2。
（2）已知的是指数形式的傅里叶级数展开式，重新整理为标准形式得到
-j20πj π/4-j60πj20π-j π/4j60π()25je 3e e 5je 3e e t t t t f t =++-+
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再将其与式（4-2）比较可得
-j π/2-j π/4j π/2j π/4013132,5j 5e ,3e ,5j=5e ,3e F F F F F --==-====
由此可知，f (t )中共有三个分量，即
直流分量，幅度为2；
基波分量：频率为10Hz ，幅度为2|F 1|=10，相位为?1=∠F 1=-π/2； 三次谐波分量：频率为30Hz ，幅度为2|F 3|=3，相位为?3=∠F 3=-π/4。 说明：通过本例熟悉傅里叶级数的物理含义，并据此引出信号频谱的概念。
由已知的傅里叶级数展开式可以直接分析出原周期信号中含有哪些分量以及各分量的频率、幅度和相位。
但是注意，必须首先将其转换为式（4-1）或（4-2）所示的标准形式，然后通过比较确定出A n 、F n 和?n ，再进一步分析各分量的幅度和相位。
例4-4 已知周期信号
()44cos(π/4)2cos(22π/3)2sin3f t t t t =++--- 分别求出其单边和双边频谱，并画出频谱图。
解 由已知的表达式可知，周期信号f (t )的基波角频率为Ω=1 rad/s ，周期T =2π/Ω=2π。 （1）求单边频谱。将已知的表达式化为标准的三角形式的傅里叶级数展开式得到
()44cos(π/4)2cos(2π/3)2cos(3π/2)f t t t t =++++++ 则单边频谱为
01231238,4,2,2,π/4,π/3,π/2A A A A ???=======
由此画出单边幅度谱和相位谱如图4-1所示。
（2）求双边频谱。根据上述单边频谱，由式（4-7）得到
312j j j j π/4j π/3
j π/20011223
311114,e 2e ,e e ,e e 2222
F A F A F A F A ???======== 再根据双边频谱的对称性得到
-1
1
2345678
-1012
345678
510
1
20123456780
5
10
-101
2
3
4
5
6
7
8
5
10
-1
0120 1 2 3 n
图4-1
312-j -j -j -j π/4-j π/3-j π/2112233||e 2e ,||e e ,||e e F F F F F F ???---======
从而求得 0112233
112233||4,||||2,||||1,||||1=π/4,=-π/4,π/3,π/3,π/2,π/2
F F F F F F F ??????------=========-==-
由此画出双边幅度谱和相位谱如图
4-2所示。
说明：根据三角形式的傅里叶级数得到的A n 、?n 称为周期信号的单边频谱，根据指数形式的到的F n 称为周期信号的双边频谱，其波形称为信号的频谱图。
双边频谱和单边频谱都是以n 为变量的函数。由于n 只能取整数，代表周期信号中的第n 次谐波，所以频谱图都由离散的点构成。
在单边频谱中，n 只能取非负整数，而在双边频谱中，n 的取值有正有负。注意到在双边频谱中，|F n |为偶函数，?n 为奇函数，所以一般取?0=0。
此外，根据式（4-7），可以在单边频谱和双边频谱之间相互转换。 例4-5 已知周期信号f (t )如图4-3所示，求其频谱。
解 由图可知，f (t )的周期为T =0.4s ，则Ω=2π/T =5π。取t 0=-0.2=T /2。 （1）根据三角形式的傅里叶级数展开式求单边频谱。则
0123456780-101234567
800.511.5205-1012345678-2-1012012345678
-1
0123456
7
8
00.511.52-10
12345678
05
10-1
12
3
45678
-2-1012-3 -2 -1
0 1 2 3 n
|F n |
?n
图4-2
4
2
1 1
1
1 2
π/4
π/3
π/2
-π/2 -π/3 -π/4
f (t ) 2
图4-3
-0.1
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?????????=-====ΩΩ=ΩΩ
=Ω=Ω=
---??ΛΛ,15,11,7,3, π
4
,13,9,5,1, π
4,
00,
22πsin π44sin 214sin 14 d cos 22 d cos )(24
/4
/4/4/2/2/n n n n n n n n T n n T t n n T t t n T t t n t f T a T T T T T T n 为偶数 0)cos (14 d sin 22 d sin )(24
/4/4/4/2/2/=Ω-Ω=Ω=Ω=---??T T T T T T n t n n T t t n T t t n t f T b
则
200==a A
?????==+=为偶数
为奇数n n n a b a A n n
n
n 0 π
4
||22
0arctg =-=n
n n a b
?
（2）根据指数形式的傅里叶级数展开式求双边频谱。
2
πSa
ππ/2)sin(2πj π/2)jsin(2j e 2d e 21d e )(14
/4
/j 4
/4/j 2
/2/j n n n n n n T t T t t f T F T T t n T T t n T T t n n ==--=Ω-=
==-Ω--Ω--Ω-?? 说明：通过本例掌握求周期信号频谱的方法。要求频谱，也就是求其傅里叶级数展开式各项的系数。求单边频谱时，先根据式（4-3）、（4-4）求出a n 、b n ，再由式（4-5）求A n 和?n 。求双边频谱时，只需直接根据式（4-6）求出F n 。
此外，注意在求解过程中，不需将T 和Ω代入计算。在根据定义式得到积分结果后，一般会出现T Ω项，此时只需将T Ω=2π代入，即可将这两个参数一起消去。
例4-6 证明如下结论： （1） 周期偶对称信号中只含有直流分量和余弦分量； （2） 周期奇对称信号中只含有正弦分量。
证明 （1）令t 0=-T /2，则根据式（4-3）和（4-4）得到
??????????Ω--=???
??
?Ω+Ω=Ω=Ω-+=???
?
??Ω+Ω--=???
??
?Ω+Ω=Ω=----2
/0
2/00
2/2/2/2
/0
2/02
/02/00
2/2/2/d sin )]()([2d sin )(d sin )(2d sin )(2d cos )]()([2d cos )(d )cos()(2d cos )(d cos )(2d cos )(2T T T T T n T T T T T T T n t t n t f t f T t t n t f t t n t f T t t n t f T b t t n t f t f T t t n t f t t n t f T t t n t f t t n t f T t t n t f T a
（1）因为f (t )为偶对称信号，则f (-t )=f (t )，则
/2
4()cos d ,0T n n a f t n t t b T =Ω=?
因此
∑∑∞
=∞=Ω+=Ω+Ω+=1
010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n t n a a t n b t n a a t f
其中只有直流分量和余弦分量。
（2）因为f (t )为奇对称信号，则f (-t )=-f (t )，则
/2
040,()sin d T n n a b f t n t t T
==Ω?
因此
∑∑∞
=∞
=Ω=Ω+Ω+=1
10)sin()]sin()cos([2)(n n n n n t n b t n b t n a a t f
其中只有正弦分量。
说明：根据傅里叶级数的计算式可以证明，波形上具有不同特点的周期信号，其中包含
的分量也有所不同。除了本例中证明了的两种特性外，更多的波形特点及其含有的分量组合如表4-1所示。其中的结论请读者模仿此例进行推导和证明。
表4-1 周期信号的对称性与其所含的分量
例4-7 已知双边指数信号||2e )(t t f -=，求其傅里叶变换。 解 因为
02||220
11
|()|d e d e d e d 122
t t t f t t t t t ∞
∞∞
---∞
-∞
-∞
==+=
+=<∞?
??? 因此满足绝对可积条件，则由定义求得
2
)j 2(0)j 2(0
)j 2(0
)j 2(0
j 20
j 2j ||2j 44j 21j 21e j 21e j 21d e d e d e e d e e d e e d e )()j (ωωωω
ωωωωωωωωωω+=
----=--+-=
+=+===∞--∞--∞
--∞
--∞
--∞
--∞
∞
---∞
∞--??????t
t t t t t t t t t t t
t t
t t t t f F
说明：根据定义求信号的傅里叶变换时，必须首先计算判断信号是否绝对可积条件。如
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果不满足，不能用定义求，只能用性质或其他方法求。
所有的能量信号都一定满足绝对可积条件，而典型的时限信号、幅度随时间逐渐衰减的信号等都是能量信号，所以都可以利用定义直接求解其傅里叶变换。
例4-8 已知)(πcos 2)(1t g t t f ?=，求其频谱密度，并画出频谱图。
解 f (t )的波形如图4-4所示，称为半波余弦脉冲。显然该信号是时限信号，因此一定满足绝对可积条件。则由定义求得其傅里叶变换（即频谱密度）为
(j )F ω=====由于F (j
说明：求信号的频谱密度就是求其傅里叶变换，因为频谱密度也就是其傅里叶变换。 此外，大多数信号的傅里叶变换都具有Sa 函数的形式。在用定义求傅里叶变换时，要注意充分利用欧拉公式和Sa 函数的定义将结果化为最简。
例4-9 已知f (t )?F (j ω)，求下列信号的频谱。
（1）2()2()f t f t -
（2）(42)f t -
（3）(1)tf t -
（4）2
()d t f ττ--∞
?
解 （1）21()()()(j )*(j )2π
f t f t f t F F ωω=? （频域卷积性质）
21
()2()(j )*(j )2(j )2π
f t f t F F F ωωω-?
- （线性性质） （2）1(2)(j )2
2
f t F ω-? （尺度变换性质）
图4-5
-j21(42)[2(2)](j )e 22
f t f t F ωω
-=--?
（时移性质） （3）-j (1)(j )e f t F ωω-? （时移性质）
-j -j -j d
(1)j
[(j )e ]j[(j )e j (j )e ]d tf t F F F ωωωωωωω
'-?=- -j [j (j )(j )]e F F ωωω'=+ （频域微分性质）
（4）
(j )()d π(j0)()(j )
t
F f F F ωττδωω-∞
?+
?
（时域积分性质）
2
-j2-j2(j )(j )()d π(j0)()e π(j0)()e j j t F F f F F ωωωωττδωδωωω--∞
???+=+????
?（时移性质）
说明：本题主要练习傅里叶变换的性质。傅里叶变换的性质大多以信号在时域中的变换
命名的。例如，时移性质指的是信号在时域中进行的时移，时域卷积性质指的是两个信号在时域中进行卷积运算后的傅里叶变换，等等。因此，必须首先对已知的时域表达式进行分析，明确其中包含的时域运算和变换，才能正确选择合适的性质求解其傅里叶变换。
例4-10 假设f (t )的频谱图如图4-6所示，分析并画出下列信号的频谱图。 （1）100()[()]cos f t f t A t ω=+ （2）200()()cos j ()sin f t f t t f t t ωω=±
解 （1）设0()()x t f t A =+，则10()()cos f t x t t ω
=。由线性性质得到
0(j )(j )2π()X F A ωωδω=+ 再由频移性质得到
1001
(j )[(j())(j())]2
F X X ωωωωω=++-
频谱图如图4-7所示。
（2）因为 0j 2
0000()()cos j ()sin ()[cos jsin ]()e t f t f t t f t t f t t t f t ωωωωω=±=±=
则由频移性质得到
220(j )(j()F F ωωω=-
图4-6
图4-7
11 / 20
频谱图如图4-8所示。
说明：本例主要练习傅里叶变换的频移性质。傅里叶变换的频移性质又称为调制定理，它是现代通信系统中各种调制解调技术的理论基础，对通信专业是及其重要的。
例4-10 假设f (t )如图4-9（a ）所示，用三种方法求其傅里叶变换。
解1 用定义求。
1
1j j j 1
1
11
j j 11j j j j 1(j )()e
d e d de j 1e e d j 1e e (e e )j j 12sin 2cos -j 2(cos Sa )-j t t t
t t F f t t t t t t t ωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωω∞----∞
--------===
-??
=
-???
?-??-=+-??--????
=
-????=-?
???
解2 用时域积分性质求。
将f (t )求导得到f '(t )如图4-9（b ）所示，由图得到
12()()()(1)(1)f t f t g t t t δδ'==-+-- 则根据线性性质和时移性质得到
j j 1(j )2Sa e e 2Sa 2cos F ωωωωωω-=--=-
图4-8
图4-9
（a ） （b ）
因为(1)1()()f t f t -=，则由时域积分性质
11(j )2
(j )π(j0)()(Sa cos )j j F F F ωωδωωωωω
=+
=- 解3 用频域微分性质求。 已知的f (t )可以表示为
22()()()f t tg t tf t ==
其中222sin ()()(j )2Sa 2f t g t F ωωωω
=?==，则由频域微分性质得到
22
d d 2sin 2cos 2sin 2j
(j )j (j )j j (cos Sa )d d F F ωωωωωωωωωωωωω
?-====- 说明：本例继续练习傅里叶变换的性质。对满足绝对可积条件的信号，其傅里叶变换可以根据定义求，也可以根据性质求。充分利用性质，可以简化傅里叶变换的求解。
例4-11 已知
()1
1cos π||()20 t t f t ττ
?+
其它 用三种方法求其傅里叶变换。
解 （1）已知的f (t )为时限信号，满足绝对可积条件，则由定义求得其傅里叶变换为
j j j j π-j πj 1
(j )()e d (1cos π)e d 211e d (e +e )e d 2212jsin 12jsin(-π)12jsin(+π)2j 2j(-π)2j(+π)11
Sa Sa(-π)Sa(+π)22
t t t t t t F f t t t t
t t τ
ωωτττωωττωττωτωτωττωωωωτωτωτ
∞
---∞-----==+??=+????
??---=++??---??
=++?
?
?? （2）已知的f (t )可以表示为
()22211
()1cos π()[()()cos π]22f t t g t g t g t t τττττ
=
+?=+ 其中
2()2Sa g t ττωτ?
由频移性质得到
21
()cos π[2Sa(π)2Sa(π)]
2
[Sa(π)Sa(π)]
g t t ττωττωττωτωτ?-++=-++ 最后由线性性质得到
13 / 20
{}1
(j )2Sa [Sa(π)Sa(π)]21
Sa [Sa(π)Sa(π)]
2
F ωτωττωτωττωτωτωτ=
+-++=+-++
（2）已知的f (t )可以表示为
()21
()1cos π()2f t t g t ττ
=
+? 而其中
2()2Sa 12π()
cos ππ[(π)(π)]
g t t ττωτ
δωδωδω???-++ 由线性性质得到
11
(1cos π)[2π()π(π)π(π)]22t δωδωδωττ
+?+-++ 最后由频域卷积性质得到
11
(j )[2π()π(π)π(π)]*2Sa 2π21[2π()π(π)π(π)]*Sa 2π
1
Sa [Sa(π)Sa(π)]
2
F ωδωδωδωτωττδωδωδωωτωτωτωτ=
?+-++=?+-++=+-++ 说明：本例中的f (t )及其频谱如图4-10所示。f (t )称为升余弦脉冲，这是数字通信系统中广泛采用的一种脉冲波形，例如用该脉冲的有无表示数字代码“1”和“0”。
升余弦脉冲信号的频谱由三个Sa 函数叠加而成。在旁瓣内，三个Sa 函数的极性相反，相互抵消，使得总的频谱中旁瓣衰减得更快。
例4-12 已知()*()(1)e ()t
f t f t t u t -'=-，求f (t )。
解 设f (t )的傅里叶变换为F (j ω)，则根据时域微分性质和卷积性质得到
2()j (j )
()*()(j )j (j )j (j )
f t F f t f t F F F ωωωωωωω'?'??=
而
22
11j (1)e ()e ()e ()j 1(j 1)(j 1)t t t t u t u t t u t ω
ωωω----=-?
-=+++ 由此得到
22
j j (j )(j 1)F ω
ωωω=
+
解得
1
(j )j 1
F ωω=±
+ 取傅里叶反变换得到
()e ()t f t u t -=±
说明：该题目已知的相当于是微分方程，利用傅里叶变换可以简化微分方程的求解过程，甚至可以求解用普通数学方法不能求解的微分方程。
例4-13 求下列积分。
（1）
21
d 4ωω∞
-∞+?
（2）
Sa(10π)d t t ∞
-∞
?
解 （1）由于e -2|t |的傅里叶变换为
244ω+，则244ω+的傅里叶反变换为e -2|t |，即 2||
j 214e e d 2π4t t ωωω∞--∞=+? 上式两边同时令t =0，得到
214
1d 2π4ωω
∞-∞=
+? 所以
2
12ππ
d 442
ωω∞
-∞==+? -1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.2
0.4
0.6
0.8
1
0.20.40.60.81-4
-3-2-1
1234
15 / 20
（2）由于Sa(10πt)的傅里叶变换为
20π20ππ
()0.1()10π
g g ωω=，即 -j 20πSa(10π)e d 0.1()t t t g ωω∞
-∞
=?
上式两边同时令ω=0得到
20πSa(10π)d 0.1(0)0.1t t g ∞
-∞
==?
说明：傅里叶变换和傅里叶反变换的定义都为积分形式。利用定义及常见信号的傅里叶变换可以实现一些特殊函数的积分运算。
例4-14 已知信号f (t )的频谱F (j ω)如图4-11所示，求f (t )。
解 由图4-11可得
j π/200-j π/200e ,0j ,0(j )e ,0j ,00 ,0 ,A A F A A ωωωωωωωωω?-<<-<
=<<=-<
其它其它
则由傅里叶反变换的定义得到
0000j 0j j 0-j j 2
001()(j )e d 2π1j e d (j )e d 2π1e e 1j j 2πj j 2(1-cos )sin (/2)ππt t t
t t
f t F A A A t t A A t t t t
ωωωωωωωωωωωωω∞
-∞
-=
??=+-???
???--=-????=
=???
例4-15 求下列函数的傅里叶反变换f (t )。
00
图4-11
（1）12cos2ω+
（2）5
2π()(j 1)(j 2)
δωωω+
++
（3）2e ()u ωω-
解 （1）因为
j2-j2(j )12cos 21e e F ωωωω=+=++
由()1t δ?及时移性质得到其反变换为
()()(2)(2)f t t t t δδδ=+++-
（2）因为
55
(j )2π()j 1j 2
F ωδωωω=+
-
++ 则
22()15e ()5e ()15(e -e )()t t t t f t u t u t u t ----=+-=+
（3）因为
21
e ()j 2
t u t ω-?
+ 则由对称性得到
21
2πe ()j 2
u t ωω?-+ 再由线性性质得到
1
()2π(j 2)
f t t =
+
说明：以上两例练习傅里叶反变换的求解方法。可以根据反变换的定义求解（如例4-14），也可以利用性质求解（如例4-15）。具体总结如下：
（1）如果已知的幅度谱宽度有限，则可利用傅里叶反变换的定义直接求解； （2）如果已知的频谱表达式全部为冲激函数，也利用定义求解；
（3）如果已知的频谱表达式中含有分式，一般利用部分分式展开法求解；
（4）如果频谱表达式中含有冲激，同时含有
1
j ω
的形式，部分分式展开时注意将两项合在一起，反变换后得到一项阶跃信号。
（5）在求解过程中也要注意充分利用性质简化计算。
例4-16 已知某周期信号f (t )的周期为T =0.1s ，其频谱图如图4-12所示。 （1）求其傅里叶变换F (j ω)，并画出频谱密度图； （2）求f (t )的时域表达式。 解 （1）由图4-12可得
112
2
j j j π/2-j π/21111j j j π/2
-j π/2
2222||e 2e ,||e 2e ||e
4e
,||e
4e
F F F F F F F F ????------========
并且Ω=2π/T =20π，则其傅里叶变换为
17 / 20
2112-j π/2-j π/2j π/2j π/2(j )2π()
2π[(2)()()(2)]8πe (40π)4πe (20π)4πe (20π)8πe (40π)
n n F F n F F F F ωδωδωδωδωδωδωδωδωδω∞
=-∞
--=-Ω=+Ω++Ω+-Ω+-Ω=++++-+-∑
频谱密度图如图4-13所示。
（2）将F n 代入指数形式的傅里叶级数展开式得到
j -j2-j j j22112-j π/2-j2-j π/2-j j π/2j j π/2j2()e
e e e e 4e e 2e e 2e e 4e e 8cos (2π/2)4cos(π/2)8cos (40ππ/2)4cos(20ππ/2)
n t
t t t t
n
n t t t t f t F F F F F t t t t ∞
ΩΩΩΩΩ--=-∞
ΩΩΩΩ=
=+++=+++=Ω++Ω+=+++∑
或者对F (j ω)取傅里叶反变换得到
j -j π/2-j π/2j π/2j π/2j -j π/2-j40π-j π/2-j20πj π/2j20πj π/2j40π1()(j )e d 2π1[8πe (40π)4πe (20π)2π 4πe (20π)8πe (40π)]e d 4e e 2e e 2e e 4e e 8cos(40ππ/2)4cos(20ππ/2)
t
t t t t t f t F t t ωωωωδωδωδωδωω∞-∞∞-∞
=
=++++-+-=+++=+++?? 说明：周期信号既有频谱， 也有频谱密度。一般都统称为频谱。但是根据频谱和频谱密度求周期信号的时域表达式时是有区别的。已知频谱（即F n ）时，是由指数形式的傅里叶级数展开式求时域表达式；而已知频谱密度F (j ω)时，是根据傅里叶反变换的定义求。
例4-17 已知f (t )=g 2(t )，)(*)()(t t f t y T δ=，T =4，分别求出f (t )和y (t )的频谱，并画出频谱图。
图4-12
|F n |
-40π -20π 图4-13
2π
8π 0 20π 40π ω
解 f (t )为单脉冲信号，其频谱为
(j )2Sa F ωω=
而周期冲激序列的基波角频率Ω=2π/T =π/2，则其傅里叶变换为
ππ
()()22n n n n δωδω∞
∞=-∞
=-∞Ω-Ω=-∑∑
再根据傅里叶变换的时域卷积性质得到y (t )的频谱为
πππππ
(j )2Sa ()πSa ()πSa()()22222n n n Y n n n n ωωδωωδωδω∞∞∞
=-∞=-∞=-∞
=?-=-=-∑∑∑
f (t )和y (t )的频谱如图4-14所示。
说明：此例中，f (t )为时限信号，在时域中将其与周期冲激序列相卷积，得到的y (t )为周期信号。（参看例2-14）。由此例中的计算结果进一步体会，非周期信号的频谱都为连续谱，即都是以ω为自变量的连续函数，频谱图上表现为连续的曲线；周期信号的频谱都是以n （或者n Ω）为自变量的离散函数，频谱图上表现为在频率轴方向的一系列冲激，相邻冲激的间隔等于基波角频率Ω。
-3-2-10123
-1
3
-3
-2
-1
1
2
3
图4-14
19 / 20
4.4 补充练习
4.1填空
1）通过傅里叶级数可以将任意周期信号分解为若干个 信号或 信号的叠加。 2）傅里叶级数中，第n 次谐波分量的频率为周期信号 频率的n 倍，而幅度为 或者 ，相位为 。
3）在傅里叶级数中，频率为0的分量称为 分量，其幅度为 或者 ；频率等于基波频率的分量称为 分量。
4）傅里叶系数代表了各分量的幅度和相位随谐波次数和频率的变化关系，称为周期信号的 。
5）根据三角形式和指数形式的傅里叶级数得到的频谱分别称为 频谱和 频谱。 6）所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为 谱，而所有非周期信号的频谱都是
频率的连续函数，所以都是 谱。
7）通过傅里叶变换将信号分解为不同频率的 信号的叠加，而傅里叶变换F (j ω)反映
了信号中各分量的幅度和相位随其频率ω 的变化关系，称为信号的 。 8）信号f (t )=δ(t )+e -2t u (t )的频谱F (j ω)= 。 9）信号f (t )=10cos20πt 的频谱密度F (j ω)= 。 10）傅里叶变换的绝对可积条件为 。 11）已知f (t )? F (j ω)，则4f (1-2t )和4f (2t +1)的频谱密度分别为 、 。 12）已知f (t )的频谱密度为F (j ω)，且F (j0)=0，则f (-1)(t )* f '(t )的频谱密度为 。 13）周期冲激序列δ2(t )的频谱密度为 。
14）已知f (t )的频谱密度为F (j ω)，则f (t )cos20πt 的频谱密度为 。 15）已知f (t )的频谱密度为F (j ω)=1+4cos2ω，则f (t )= 。 4.2 已知周期信号f (t )的单边频谱图如题图4.1所示，周期T =1s 。
1）分析并画出双边频谱图； 2）分析并画出频谱密度图； 3）求f (t )的时间函数表达式。
4）求该周期信号中直流分量和基波分量的幅度。
4.3 已知信号f (t )的频谱图如题图4.2所示，求其时间函数表达式。
4.4 已知f (t )的频谱密度为F (j ω)，且F (j0)=0，利用性质求如下信号的傅里叶变换。
1）[()10]cos200πf t t + 2）(2-t ) f (t -1) 3）f (t )δ2(t ) 4.5 利用性质求下列函数的傅里叶反变换f (t )。
1）12π()j 1δωω-+ 2）j 22π()j (j 1)ωδωωω+++3）Sa[10(π)]Sa[10(π)]ωω-++
题图4.2
0246-101234-3-2-101-1
01234
0246-1
0123
4
题图4.1
实验五 信号与系统的复频域分析 王靖 08通信 12号 实验目的 （1）掌握利用MA TLAB 进行连续时间信号与系统的复频域分析。 （2）掌握利用MA TLAB 进行离散系统的复频域分析。 实验环境 安装MATLAB7.0以上版本的计算机 实验内容 1. 利用help 命令了解以下命令的基本用法 residue ，roots ，pzmap ，cart2pol ，residuez ，tf2zp ，zplane 2. 部分分式展开的MATLAB 实现 用部分分式展开法求X(s)的反变换。 2321 ()452s X s s s s +=+++ 步骤一：建立新的m 文件，保存并命名为program1.m 。 步骤二：输入以下命令，理解每条命令的含义。 %program1，部分分式展开法求反变换 [10 1];[1452];[,,](,) n u m d en r p k resid u e n u m d en === 步骤三：保存程序并运行，记录得到的结果。 如右图所示 步骤四：由得到的结果可以直接获得X(s)展开表示式 25 4 2 ()21(1)X s s s s =-++++： 步骤五：由此可得到X(s)反变换的原函数，记录。 X(t)=(5exp(-2*t)-4exp(-t)+2texp(-t)) 思考：将其转换成极坐标形式，应该如何使用cart2pol 命令？离散系统的部分分式展开，如何使用命 令residuez ，得到的结果如何利用？ 将笛卡尔坐标转化为极坐标用 [angle,mag]=cart2pol(real(r),imag(r)) [r,p,k] = residuez(nun,,den)
北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为 (s)(t)e st X x dt +∞ --∞ = ? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ -∞ =? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F) L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 () F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 (,) F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。
的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 110 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++= +++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值r 为多项式的根向量。 求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap 函数，调用格式如下： pzmap(sys)绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。 [p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。 还有两个专用函数tf2zp 和zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格
实 验 报 告 学生姓名： 学 号： 指导教师： 一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理： 1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘 B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。 根据傅里叶变换性质 00 0()() ()() ??()()()()()()(()) FT FT a a T n n FT a a T a T a a n n x t X j T j x t x t T x nT t nT X j X j n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞ =-∞ ←?→Ω←?→Ω==-←?→Ω=Ω-Ω∑ ∑式中T 代表采样间隔，01 T Ω= 由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。 ) (t T δ^ T ^)t
C 、低通采样和Nyquist 采样定理 设()()a a x t X j ?Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当， 即为带限信号。则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的 ^ ()()()a a s s n x t x nT t nT δ∞ =-∞ = -∑信号无失真地恢复()a x t 。称2M f 为奈奎斯特频率， 1 2 N M T f = 为奈奎斯特间隔。 注意： 实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。 2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下： ) () a G j Ω0 m -ΩΩ m Ω0 T T
1.周期信号的频谱 周期信号在满足一定条件时，可以分解为无数三角信号或指数之和。这就是周期信号的傅里叶级数展开。在三角形式傅里叶级数中，各谐波分量的形式为()1cos n n A n t ω?+；在指数形式傅里叶级数中，分量的形式必定为1j n t n F e ω 与1-j -n t n F e ω 成对出现。为了把周期信号所具有的各 次谐波分量以及各谐波分量的特征（如模、相角等）形象地表示出来，通常直接画出各次谐波的组成情况，因而它属于信号的频域描述。 以周期矩形脉冲信号为lifenxi 周期信号频谱的特点。周期矩形信号在一个周期（-T/2,T/2）内的时域表达式为 ,2 0,>2 ()A t T t f t ττ ≤?=?? （2-6） 其傅里叶复数系数为 12 n n A F Sa T ωττ?? = ??? （2-7） 由于傅里叶复系数为实数，因而各谐波分量的相位为零（n F 为正）或为π±（n F 为负），因此不需要分别画出幅度频谱n F 与相位频谱n φ。可以直接画出傅里叶系数n F 的分布图。 如图2.4.1所示。该图显示了周期性矩形脉冲信号()T f t 频谱的一些性质，实际上那个也是周期性信号频谱的普遍特性： ① 离散状频谱。即谱线只画出现在1ω的整数倍频率上，两条谱线的间隔为1ω（等于2π/t ）。 ② 谱线宽度的包络线按采样函数()1/2a S n ωτ的规律变化。如图2.4.2所示。但1ω 为 2π τ 时，即( )2m π ωτ =（m=1，2，……）时，包络线经过零点。在两相邻 零点之间，包络线有极值点，极值的大小分别为-0.212()2A T τ，
信号时域与频域分析 实验报告 姓名：杨 班级：机械 学号： 213
实验数据中，电机转速为1200r/min，采样频率为1280Hz。Hz3为X位移振幅数据，Hz4为Y位移振幅数据，Hz5为速度振幅数据。 Matlab中信号特征对应函数编程 ma = max(Hz) %最大值 mi = min(Hz) %最小值 me = mean(Hz) %平均值 pk = ma-mi %峰-峰值 va = var(Hz); %方差 st = std(Hz); %标准差 ku = kurtosis(Hz); %峭度 rm = rms(Hz); %均方根 一、X轴位移测量分析 plot(Fs3,Hz3)时域图： ma =52.0261 mi =56.7010 me =1.8200 pk =108.7271 va =1.3870e+03 st =37.2431 ku =1.5462 rm =37.2693 频域图： fs=1280; x=Hz3; N=length(Hz3); df=fs/N; f=0:df:N*df-df; y=fft(x); y=abs(y)*2/N; figure(1); plot(f,y); xlabel('频率/Hz') ylabel('幅值') 频谱幅值取得最大值51.9847um，频率为20Hz，与电机转速对应频率一致，应为电机轴未动平衡所致；二倍频处有较大振幅，可能为轴承间隙过大所致。
二、Y轴位移测量分析 plot(Fs4,Hz4)时域图： ma =61.3987 mi =-74.6488 me =-1.1948 pk =136.0475 av =42.6109 va =2.2428e+03 st =47.3582 ku =1.5135 rm =47.3501 频域图： fs=1280; x=Hz4; N=length(Hz4); df=fs/N; f=0:df:N*df-df; y=fft(x); y=abs(y)*2/N; figure(1); plot(f,y); xlabel('频率/Hz') ylabel('幅值') 频谱幅值取得最大值66.6319um，频率为20Hz，与电机转速对应频率一致，应为电机轴未动平衡所致；二倍频处有较大振幅，可能为轴承间隙过大所致。
实验六信号与系统复频域分析 一、实验目的 1.学会用MATLAB进行部分分式展开； 2.学会用MATLAB分析LTI系统的特性； 3.学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。 4.学会用MATLAB画离散系统零极点图； 5.学会用MATLAB分析离散系统的频率特性； 二、实验原理及内容 1．用MATLAB进行部分分式展开 用MATLAB函数residue可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为 其中，num,den分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点，k为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k为零。 例6-1 用部分分式展开法求F(s)的反变换 解:其MATLAB程序为 format rat; num=[1,2]; den=[1,4,3,0]; [r,p]=residue(num,den) 程序中format rat是将结果数据以分数形式显示
F(s)可展开为 210.536()13 F s s s s --=++++ 所以，F(s)的反变换为 3211()()326t t f t e e u t --??=--???? 2．用MATLAB 分析LTI 系统的特性 系统函数H （s ）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。计算H （s ）的零极点可以应用MATLAB 中的roots 函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot 命令画图。 在MATLAB 中还有一种更简便的方法画系统函数H （s ）的零极点分布图，即用pzmap 函数画图。其调用格式为 pzmap(sys) sys 表示LTI 系统的模型，要借助tf 函数获得，其调用格式为 sys=tf(b,a) 式中，b 和a 分别为系统函数H （s ）的分子和分母多项式的系数向量。 如果已知系统函数H （s ），求系统的单位冲激响应h(t)和频 率响应H ω（j ）可以用以前介绍过的impulse 和freqs 函数。 例6-2 已知系统函数为 321221 s s s +++H(s)= 试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H ω（j ），并判断系统是否稳定。 解：其MATLAB 程序如下： num=[1];
周期信号的时域及其频域分析 姓名：张敏靓学号：1007433014 一、实验目的 1.掌握Multisim软件的应用及用虚拟仪器对周期信号的频谱测量 2.掌握选频电平表的使用，对信号发生器输出信号（方波、矩形波、 三角波等）频谱的测量 二、实验原理 周期信号的傅里叶级数分析法，可以把周期信号表示为三角傅里叶级数或指数傅里叶级数，其中周期信号满足。 1. 周期信号表示为三角傅里叶级数 2. 周期信号表示为指数傅里叶级数 其中， 周期矩形信号的频谱
三、实验内容 1.在Multisim上实现周期信号的时域、频域测量及分析 （1）绘制测量电路 （2）周期信号时域、频域（幅度频谱）的仿真测量 虚拟信号发生器分别设置如下参数： 周期方波信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=50μs，脉冲幅度 V P=5V； 周期矩形信号：周期T=100μs，脉冲宽度τ=20μs，脉冲幅度 V P=5V； 周期三角波信号：周期T=200μs，脉冲幅度V P=5V； 采用虚拟示波器及虚拟频谱仪分别测量上述信号的时域、频域波形并保存测试波形及数据。
2.周期信号时域、频域（幅度频谱）的测量 信号发生器、示波器、选频电平表的连线如上图所示。信号发生器的输出信号分别为周期分别信号、周期矩形信号、周期三角波信号，参数设置同仿真测量。采用示波器及选频电平表对信号发生器的输出信号分别测量，并将测量数据记录下表中。
四、实验总结 1.在周期矩形信号的实验中，信号频率减小，频谱减小；信号占空 比减小，频谱减小；幅度值减小，频谱减小。 2.未安装Origin绘图软件，Excel绘图未能达到理想效果。
实验5 连续时间系统的复频域分析 一、实验目的 1.掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2.学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。 3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号)(t x 的拉普拉斯变换定义为 )1.....(..........)()(dt e t x s X st ? +∞ ∞ --= 拉普拉斯反变换定义为 )2....(..........)(21)(ds e s X j t x j j st ?∞ +∞ -=σσπ 在MATLAB 中，可以采用符号数学工具箱的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和反拉氏变换。 L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。 F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。 除了上述ilaplace 函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下： 当 X (s )为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： )3.(..........)()()(0 110 11a s a s a b s b s b s D s N s X N N N N M M M M +?+++?++==---- 式（3）可以用部分分式法展成一下形式 )4.....(.............)(2211N N p s r p s r p s r s X -++-+-= 通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式（1-2）求得拉普拉斯逆变换。 利用 MATLAB 的residue 函数可以将 X (s )展成式（1-2）所示的部分分式展开式，该 函数的调用格式为：[r,p,k] = residue(b,a) 其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数
实验二 连续时间信号的频域分析 一、实验目的 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因； 3、掌握连续时间傅里叶变换的分析方法及其物理意义； 4、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质； 5、学习掌握利用Matlab 语言编写计算CTFS 、CTFT 和DTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 、DTFT 的若干重要性质。 基本要求：掌握并深刻理傅里叶变换的物理意义，掌握信号的傅里叶变换的计算方法，掌握利用Matlab 编程完成相关的傅里叶变换的计算。 二、原理说明 1、连续时间周期信号的傅里叶级数CTFS 分析 任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。 三角傅里叶级数为： ∑∞ =++=1 000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1 或： ∑∞=++=1 00)cos()(k k k t k c a t x ?ω 2.2 其中1 02T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、 余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ?、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ?－0ωk 图像为相位谱。 三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。 指数形式的傅里叶级数为：
课程设计任务书 题目 专业、班级电信1班学号姓名 主要内容、基本要求、主要参考资料等： 基于钟表设计的常识，给出时、分、秒的设计思路，并利用硬件编程语言VHDL或者Verilog-HDL来实 现。要求具有基本功能如调整时间对表、闹铃、计时器等，给出完成控制电路所需要的设计模块；给出硬 件编程语言的实现，并进行仿真；给出下载电路的设计，设计为2种下载方法，其中一种必须为JTAG；同 时设计者报告不允许雷同。 参考资料： 1、潘松、黄继业《EDA技术及其应用》（第四版）科学出版社 2009 2、樊昌信《通信原理》电子出版社 完成期限： 指导教师签名： 课程负责人签名： 年月日
目录 摘要…………………………………………………………………………………II
ABSTRACT……………………………………………………………………………III 绪论…………………………………………………………………………………III 1傅里叶变换原理概述 (1) 1.1 傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现 (2) 2 用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析 (3) 2.1 单边指数信号时域波形图、频域图 (3) 2.2 偶双边指数信号时域波形图、频域图 (4) 2.3 奇双边指数信号时域波形图、频域图 (4) 2.4 直流信号时域波形图、频域图 (5) 2.5 符号函数信号时域波形图、频域图 (5) 2.6 单位阶跃信号时域波形图、频域图 (6) 2.7 单位冲激信号时域波形图、频域图 (6) 2.8 门函数信号时域波形图、频域图 (7) 3 用MATLAB实现信号的幅度调制 (8) 3.1 实例1 (8) 3.2 实例2 (10) 4 实现傅里叶变换性质的波形仿真 (11) 4.1 尺度变换特性 (11) 4.2 时移特性 (14) 4.3 频移特性 (16) 4.4 时域卷积定理 (18) 4.5 对称性质 (20) 4.6 微分特性 (22) 心得体会 (25) 参考文献 (26) 附录 (27)
第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求 1、掌握周期信号的频谱及其特点； 2、了解周期信号的响应问题； 3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换； 4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用； 5、掌握系统的频域特性及响应问题； 6、了解系统的无失真传输和理想滤波。 3.2 本章重点 1、频谱的概念及其特性； 2、傅里叶变换及其基本性质； 3、响应的频域分析方法； 4、系统频率响应的概念。 3.3 知识结构
3.4内容摘要 3.4.1信号的正交分解 两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即： o 1212cos900?=?=V V V V 若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足 ?????=≠===??2 1 21,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i i n j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。 若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外 {}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式 2 1 20()t t x t dt <<∞?且2 1 ()()0t i t x t g t dt =? 则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。 若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示 11221 ()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞ ==++++=∑L L 各分量的标量系数为 2 1 21 2 ()()d ()d t i t i t i t x t g t t C g t t = ?? 系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。 3.4.2周期信号的傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数 0001 ()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞ ===++∑
信号与系统 实验报告 实验三周期信号的频谱分析 实验报告评分：_______ 实验三周期信号的频谱分析 实验目的： 1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法； 2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs现象”，了解其特点以及产生的原因；
3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征。 实验内容： （1）Q3-1 编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图： 其中，0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos( 0t)、cos(3 0t)、cos(5 0t)和x(t) 的波形图，给图形加title，网格线和x坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入的和式中的项数。 程序如下: clear,%Clear all variables close all,%Close all figure windows dt = 0.00001; %Specify the step of time variable t = -2:dt:4; %Specify the interval of time w0=0.5*pi; x1=cos(w0.*t); x2=cos(3*w0.*t); x3=cos(5*w0.*t); N=input('Type in the number of the harmonic components N='); x=0; for q=1:N; x=x+(sin(q*(pi/2)).*cos(q*w0*t))/q; end subplot(221) plot(t,x1)%Plot x1 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(w0.*t)') subplot(222) plot(t,x2)%Plot x2 axis([-2 4 -2 2]); grid on, title('signal cos(3*w0.*t))') subplot(223) plot(t,x3)%Plot x3 axis([-2 4 -2 2])
第六章 连续信号的复频域分析 在复频域分析方法中，用复指数信号e st 作为基本信号，将系统的输入信号分解为复指数信号的叠加，然后同样根据线性时不变系统的特性求解系统的输出响应，并进一步分析系统的性能。 连续信号和系统的复频域分析是基于另外一种数学工具，即拉普拉斯变换。本章首先介绍连续信号的拉普拉斯变换及反变换，下一章介绍连续系统的复频域分析。 6.1 基本要求 1．基本要求 ? 掌握双边和单边拉普拉斯变换的定义； ? 了解拉普拉斯变换的零极点及收敛域； ? 掌握单边拉普拉斯变换的性质； ? 熟练掌握单边拉普拉斯反变换的两种典型方法； ? 了解信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。 2．重点和难点 ? 单边拉普拉斯变换的性质 ? 单边拉普拉斯反变换 6.2 知识要点 1．拉普拉斯变换的定义 （1）双边拉普拉斯变换及反变换 ?∞ ∞--=t t f s F st d e )()( （6-1） ?∞+∞ -= σσs s F t f st d e )(πj 21)( （6-2） （2）单边拉普拉斯变换及反变换 ?∞--=0 d e )()(t t f s F st （6-3） 0,d e )(πj 21)(≥=?∞+∞ -t s s F t f st σσ （6-4）
信号的拉氏变换是信号的复频域描述（复频域表达式），对这些定义说明如下几点： （1）式（6-3）中积分下限取为0- 是考虑到信号f (t )中可能会含有δ(t )。如果给定信号中没有δ(t )，计算时可以将积分下限设为0。 （2）拉氏反变换的定义只需做一般了解，实际求反变换时，一般不用该定义直接计算。 （3）注意到式（6-2）和式（6-4）的区别，说明单边拉氏反变换的结果都为因果信号。 （4）本课程重点掌握单边拉氏变换的定义、性质及反变换。 2．拉普拉斯变换的零极点和收敛域 信号的拉普拉斯变换一般都是有理分式，可以表示为 11011)()()(a s a s b s b s b s D s N s F n n n m m m m ++++++==---- 令F (s )的分子多项式N (s )=0，可以得到一系列根z i （i = 1，2，…，m ）。当s = z i 时，F (s )=0，因此将这些根称为F (s )的零点。同样，令F (s )的分母多项式D (s )=0，可以得到一系列根p j （j = 1，2，…，n ），称为F (s )的极点。 [s ]平面是一个复平面，其上每个点都代表s 的一个取值。在[s ]平面上分别用“ ”和“?”将所有的零点和极点表示出来，称为信号拉氏变换的零极点图。 为使信号f (t )的拉普拉斯变换F (s )存在所允许的σ = Re[s ]的取值范围称为该信号的拉普拉斯变换的收敛域。显然，收敛域实质上就是函数F (s )的定义域，并且该定义域只与其复数自变量s 的实部有关，因此在s 平面上表现为这样一个连续的区域，该区域以平行于虚轴的直线为边界。 3．典型信号的拉氏变换 （1）δ(t )?1 （2）t n e -at u (t ) ? 1 )(!++n a s n 根据这一对拉氏变换还可以得到单边指数信号、单位阶跃信号、单位斜变信号等的拉氏变换。 （3）e -at cos ω0tu (t ) ?20 2)(ω+++a s a s e -at sin ω0tu (t ) ?2 020 )(ωω++a s 当a =0时，由以上两对变换得到正弦信号和余弦信号的拉氏变换。 4．单边拉氏变换的性质 教材P.148表6.2.1总结了单边拉氏变换的常用性质。学习这部分内容时需要密切注意与傅里叶变换各性质的区别和联系，特别是大多数性质都有附加条件。具体再总结如下： （1） 大多数性质中所涉及到的信号都必须是因果信号。 （2） 时移性质：t 0>0；尺度变换性质：a >0。 （3） 终值定理要求F (s )的所有极点中，最多只有一个极点等于零（位于[s ]平面的坐标原点），其余极点实部都必须小于零（位于左半平面2、3象限）。 4．单边拉氏反变换 单边拉氏反变换是已知信号的复频域表达式求信号的时域表达式，反变换结果一定都为
第一章引言 语音信号是一种非平稳的时变信号，它携带着各种信息。在语音编码、语音合成、语音识别和语音增强等语音处理中无一例外需要提取语音中包含的各种信息。语音信号分析的目的就在与方便有效的提取并表示语音信号所携带的信息。语音信号分析可以分为时域和频域等处理方法。语音信号可以认为在短时间内(一般认为在 10~30ms 的短时间内)近似不变，因而可以将其看作是一个准稳态过程, 即语音信号具有短时平稳性。任何语音信号的分析和处理必须建立在“短时”的基础上, 即进行“短时分析”。 时域分析:直接对语音信号的时域波形进行分析，提取的特征参数有短时能量，短时平均过零率，短时自相关函数等。 频域分析:对语音信号采样，并进行傅里叶变换来进行频域分析。主要分析的特征参数：短时谱、倒谱、语谱图等。 本文采集作者的声音信号为基本的原始信号。对语音信号进行时频域分析后，进行加白噪声处理并进行了相关分析，设计滤波器并运用所设计的滤波器对加噪信号进行滤波, 绘制滤波后信号的时域波形和频谱。整体设计框图如下图所示： 图1.1时频域分析设计图 图1.2加噪滤波分析流程图
第二章 语音信号时域分析 语音信号的时域分析可直接对语音信号进行时域波形分析，在此只只针对语音信号的短时能量、短时平均过零率、短时自相关函数进行讨论。 2.1窗口选择 由人类的发生机理可知，语音信号具有短时平稳性，因此在分析讨论中需要对语音信号进行加窗处理进而保证每个短时语音长度为10~30ms 。通常选择矩形窗和哈明窗能得到较理想的“短时分析”设计要求。两种窗函数的时域波形如下图2.1所示： sample w （n ） sample w （n ） 图2.1 矩形窗和Hamming 窗的时域波形 矩形窗的定义：一个N 点的矩形窗函数定义为如下 {1,00,()n N w n ≤<=其他 （2.1） 哈明窗的定义：一个N 点的哈明窗函数定义为如下 0.540.46cos(2),010,()n n N N w n π-≤<-??? 其他 = （2.2） 这两种窗函数都有低通特性，通过分析这两种窗的频率响应幅度特性可以发现（如图2.2）：矩形窗的主瓣宽度小（4*pi/N ），具有较高的频率分辨率，旁瓣峰值大（-13.3dB ），会导致泄漏现象；哈明窗的主瓣宽8*pi/N ，旁瓣峰值低（-42.7dB ），可以有效的克服泄漏现象，具有更平滑的低通特性。因此在语音频谱分析时常使用哈明窗，在计算短时能量和平均幅度时通常用矩形窗。表2.1对比了这两种窗函数的主瓣宽度和旁瓣峰值。
实验四：连续系统的复频域分析 一、实验目的： 1、掌握连续与离散时间系统的正反复频域与Z域变换 2、掌握利用MATLAB进行零极点分析，进一步了解零极点对整个系统的影响 3、掌握simulink环境下系统建模与仿真以及系统求解。 二、实验内容： 1、已知某连续系统的系统函数为： （1）利用[r, p, k]=residue(num, den),求H（s）的极零点以及多项式系数; （2）画出系统的零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求h(t)，判断系统得稳定性。 2、已知某离散系统的系统函数为：， （1）利用[r, p, k]=residuez(num, den)求H（z）的极零点以及多项式系数; （2）画出零极点分布图，判断系统得稳定性。 （3）求单位函数响应用impz(b, a)，判断系统是否稳定； 3、已知线性时不变微分方程 在Simulink环境下搭建起系统的仿真模型，并查看仿真结果曲线。（1）写出传递函数H（s），绘出系统模拟框图； （2）当f(t)分别为，，的零状态响应；且当与课本P81的结果进行比较（3）方程的初值为, ,求全响应； 4、已知某信号，n(t)为正态噪声干扰且服从N(0,0.22)分布，对此信号进行采样，采样间隔为0.001s，之后对此信号进行Botterworth低通滤波，从信号中过滤10HZ的输出信号，试对系统进行建模与仿真。 三、实验数据处理与结果分析： 第一题：题1_1：
>> num=[2,5]; den=[1,1,3,2]; [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.5750 - 0.7979i -0.5750 + 0.7979i 1.1499 p =-0.1424 + 1.6661i -0.1424 - 1.6661i -0.7152 k =[]
第四章 连续信号的频域分析 将信号分解为若干不同频率的正弦信号或虚指数信号，实质上是将信号在频率域上进行分解，因此根据这种基本思想对信号和系统的分析称为频域分析。这种分解过程是通过傅里叶级数和傅里叶变换这一数学工具来实现的。 本章首先介绍连续信号的傅里叶级数和傅里叶变换，熟悉信号频谱的概念。 4.1 基本要求 1．基本要求 ? 了解傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其物理含义； ? 掌握信号频谱和频谱密度的概念； ? 了解连续谱和离散谱的特点和区别； ? 掌握傅里叶变换的常用性质； ? 掌握周期信号傅里叶变换的求解方法。 2．重点和难点 ? 傅里叶变换的性质及其应用 4.2 知识要点 1．周期信号的傅里叶级数 （1）傅里叶级数展开式 三角形式：∑∑∞ =∞=+Ω+=Ω+Ω+=1010)cos(2)]sin()cos([2)(n n n n n n t n A A t n b t n a a t f ?（4-1） 指数形式： ∑∑∞ -∞ =+Ω∞ -∞ =Ω= =n t n n n t n n n F F t f )j(j e e )(? （4-2） 其中 ? +Ω= T t t n t t n t f T a 00 d cos )(2 ，n =0，1，2，? （4-3） ? +Ω= T t t n t t n t f T b 00 d sin )(2，n =1，2，? （4-4） 且
n n n n n n a b b a A a A arctg , ,2 200-=+==? （4-5） ?+Ω-= T t t t n n t t f T F 00 d e )(1j （4-6） （2）两种形式之间的转换关系 0)( e 2 1 j ≥=n A F n n n ? （4-7） 并且|F n |为偶函数，?n 为奇函数，即 ||||n n F F -=，||||n n -=?? （4-8） （3）傅里叶级数的物理含义 通过傅里叶级数可以将任意周期信号f (t )分解为若干个正弦信号（三角形式）或复简谐信号（指数形式）的叠加。每个正弦信号分量的频率为周期信号基波频率的n 倍（n ?0），即n ?，而幅度为A n 或者2|F n |，相位为?n ，将其称作第n 次谐波分量。特别地，将频率为0（即n =0）的分量称为直流分量，幅度为A 0/2或者F 0；频率等于基波频率?（即n =1）的分量称为基波分量。 2．周期信号的频谱 通过傅里叶级数可以将时域中的周期信号分解为直流分量、基波分量和各次谐波分量之和，傅里叶级数展开式中的A n 、?n 或傅里叶系数F n 分别代表了各分量的幅度和相位随谐波次数n （从而频率n ?）的变化关系，称为周期信号的频谱，其中A n 或|F n |称为幅度谱，?n 称为相位谱。 A n 或|F n |、?n 都是关于整型变量n 的实函数，分别以其为纵轴，以n （或者n ?）为横轴，得到的图形称为周期信号的幅度谱图和相位谱图，合称为周期信号的频谱图。 但是，在三角形式的傅里叶级数中，A n 和?n 的自变量n 只能取非负的整数，因此称为单边频谱，而在F n 中，n 可以为任意的整数，相应地将F n 称为双边频谱。对同一个周期信号，其单边和双边频谱可以通过式（4-7）进行相互转换。 所有周期信号的频谱都具有离散性，因此称为离散谱。 3．非周期信号的傅里叶变换及其频谱密度 非周期信号的傅里叶变换及傅里叶反变换的定义为 ?∞ ∞--=t t f F t d e )()j (j ωω （4-9） ?∞ ∞ -= ωωωd )e (j 2π1)(j t F t f （4-10） 其中正变换用于根据信号的时域表达式求其频谱表达式，反变换用于根据其频谱表达式求时域表达式。 通过傅里叶变换可以将信号分解为不同频率的复简谐信号的叠加，而信号的傅里叶变换F (j ?)反映了信号中各分量的幅度和相位随其频率? 的变化关系，称为信号的频谱密度，又称为频谱密度函数或频谱函数。 教材表4-1中列出了一些基本信号的傅里叶变换，在求解复杂信号的傅里叶变换和频谱密度时经常用到。 4．傅里叶变换的性质
计算机与信息工程学院设计性实验报告 一、实验目的 1.掌握用matlab 分析系统时间响应的方法 2.掌握用matlab 分析系统频率响应的方法 3.掌握系统零、极点分布与系统稳定性关系 二、实验原理 1.系统函数H(s) 系统函数:系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比. H(s)=R(s)/E(s) 在matlab 中可采用多种方法描述系统,本文采用传递函数(系统函数)描述法. 在matlab 中, 传递函数描述法是通过传递函数分子和分母关于s 降幂排列的多项式系数来表示的.例如,某系统传递函数如下 )1(8 .03.11 )(2+++=s s s s H 则可用如下二个向量num 和den 来表示: num=[1,1]；den=[1,1.3,0.8] 2.用matlab 分析系统时间响应 1)脉冲响应 y=impulse(num,den,T) T:为等间隔的时间向量,指明要计算响应的时间点. 2)阶跃响应 y=setp(num,den,T) T 同上. 3)对任意输入的响应 y=lsim(num,den,U,T) U:任意输入信号. T 同上. 3.用matlab 分析系统频率响应特性 频响特性: 系统在正弦激励下稳态响应随信号频率变化的特性. ()()() ()j s j H j H s H j e φωω ωω=== |H(j ω)|:幅频响应特性. ?(ω):相频响应特性(或相移特性).
Matlab 求系统频响特性函数freqs 的调用格式: h=freqs(num,den,ω) ω:为等间隔的角频率向量,指明要计算响应的频率点. 4.系统零、极点分布与系统稳定性关系 系统函数H(s)集中表现了系统的性能,研究H(s)在S 平面中极点分布的位置,可很方面地判断系统稳定性. 1) 稳定系统: H(s)全部极点落于S 左半平面(不包括虚轴),则可以满足 0)]([lim =∞ →t h t 系统是稳定的. 2)不稳定系统: H(s)极点落于S 右半平面,或在虚轴上具有二阶以上极点,则在足够长时间后,h(t)仍继续增长, 系统是不稳定的. 3)临界稳定系统: H(s)极点落于S 平面虚轴上,且只有一阶,则在足够长时间后,h(t)趋于一个非零数值或形成一个等幅振荡. 系统函数H(s)的零、极点可用matlab 的多项式求根函数roots()求得. 极点:p=roots(den) 零点:z=roots(num) 根据p 和z 用plot()命令即可画出系统零、极点分布图,进而分析判断系统稳定性. 三、实验内容 设()(1)(2) s H s s p s p = -- 设①p1=-2,p2=-30; ②p1=-2,p2=3 1. 针对极点参数①②, 画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性. 2. 针对极点参数①②,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t →∞时, 脉冲响应变化趋势. 3. 针对极点参数①, 绘出系统的频响曲线. 四、实验要求 1．预习实验原理； 2．对实验内容编写程序(M 文件),上机运行； 3．绘出实验内容的各相应曲线或图。 五、实验设备 1.装MATLAB 软件的计算机 1台
理工大学信号与系统实验报告连续时间系统的 复频域分析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
实验5连续时间系统的复频域分析 （综合型实验） 一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换 连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为(s)(t)e st X x dt +∞ --∞ =? （1） 拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ - ∞ = ? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F)L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 ()F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量 为t 的结果表达式。 (,)F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。 拉氏变换还可采用部分分式法，当(s)X 为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比： 110 1 10 ...(s)(s)(s)...M M M M N N N N b s b s b N X D a s a s a ----+++==+++ （3）
上式可以采用部分分式法展成以下形式 1212(s)...N N r r r X s p s p s p = +++--- （4） 再通过查找常用拉氏变换对易得反变换。 利用residue 函数可将X(s)展成（4）式形式，调用格式为： [r,p,k]residue(b,a)=其中b 、a 为分子和分母多项式系数向量，r 、p 、k 分 别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。 2.连续时间系统的系统函数 连续时间系统的系统函数是指系统单位冲激响应的拉氏变换 (s)(t)e st H h dt +∞ --∞ = ? （5） 连续时间系统的系统函数还可以由系统输入与输出信号的拉氏变换之比得到。 (s)(s)/X(s)H Y = （6） 单位冲激响应(t)h 反映了系统的固有性质，而(s)H 从复频域反映了系统的固有性质。由（6）描述的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 1 10 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++=+++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析 系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下：