本科毕业论文
（自然科学）
题 目： 具有外部环境的群集系统的稳定性分析 院（系、部）：
学 生 姓 名： 指 导 教 师： 职 称
2014年05月26日
河北科技师范学院教务处制
Hebei Normal University of Science & Technology
资料目录
1. 学术声明………………………………………………………………1～1页
2. 河北科技师范学院本科毕业论文………………………………1～14页
3. 河北科技师范学院本科毕业论文任务书……………………1～1页
4. 河北科技师范学院本科毕业论文计划书……………………1～3页
5. 河北科技师范学院本科毕业论文中期检查表………………1～1页
6. 河北科技师范学院本科毕业论文答辩记录表………………1～1页
7. 河北科技师范学院本科毕业论成绩评定汇总表…………1～2页
8. 河北科技师范学院本科毕业论文工作总结…………………1～1页
9. 文献综述………………………………………………………………1～5页
10. 外文翻译及原文………………………………………………………1～18页
河北科技师范学院
本科毕业论文
具有外部环境的群集系统的稳定性分析
院（系、部）名称：
专业名称：
学生姓名：
学生学号：
指导教师：
2014年05月24日
河北科技师范学院教务处制
学术声明
本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于河北科技师范学院。
本人签名：日期：
指导教师签名：日期：
目录
摘要 ........................................................................................................................................... I Abstract ...................................................................................................................................... II 1引言 .. (1)
1.1论文研究的背景与意义 (1)
1.2群集系统的稳定性的研究现状 (1)
1.3本文主要研究内容 (2)
2群集模型 (3)
3二次型吸引/排斥分布函数 (5)
4稳定性分析 (6)
5数值仿真实验 (9)
结论 (10)
参考文献 (10)
致谢 (13)
附录Ⅰ群集稳定性的仿真程序 .......................................................... 错误！未定义书签。
具有外部环境的群集系统的稳定性分析
摘要
在生物界，群集是一个非常普遍和有趣的现象。为了在大自然中生存，从简单的细菌到高级的哺乳类动物，很多生物表现出群体行为。近些年来，越来越多的数学家和物理学家从数学模型方面研究这一现象。在本文中，提出了一个在n维吸引/排斥函数下的“基于个体”的连续时间各向同性Swarm模型。每个个体的运动都由三个部分决定：（1）吸引处于远处的个体；（2）排斥处于近处的个体；（3）吸引到吸引/排斥分布函数的更有利区域。基于Lyapunov稳定性理论研究了处于二次分布函数下群集的集体行为的稳定性，且仿真结果数值地验证了文中群集系统的稳定性。
关键词：Swarm模型；群体行为；稳定性；数值仿真
Abstract
Stability analysis of the swarm system with the external
environment
Abstract
Swarming is one of the most common and interesting phenomena in the biological world. Many organisms ranging from simple bacteria to more advanced mammals behave collectively in order to survive in nature. In the recent years, more and more mathematicians and physicists study this phenomenon from the aspects of mathematical modeling. In this article we specify an “individual-based” continuous time isotropy swarm model in n-dimensional space with an attractant/repellent profile. The motion of each individual is determined by three components: (1) attraction to the other individuals on long distances; (2) repulsion from the other individuals on short distances; (3) attraction to the more favorable regions of the attractant/repellent profile. The stability properties of the collective behavior of the swarm for quadratic profiles is studied with Lyapunov stability theory. The simulation results were provided that verify the stability of the swarm system proposed in this paper.
Keywords: Swarm Model; flocking motion; stability; numerical simulations
1 引言
1.1 论文研究的背景与意义
在生物界，群集是一个非常普遍和有趣的现象，且群体行为是目前复杂性科学的热门研究领域。很长一段时间，生物学家一直在致力于研究群体行为[1]，从简单的细菌（比如大肠杆菌）到高级哺乳类动物（比如人类），自然界中许多生物由于某种原因相互聚集在一起。许多生物理论证明，这样的合作行为具有一定的优势，如增加寻找食物的机会、躲避捕食者和构建巢穴，但是仍需要生物体之间的相互沟通和协调策略的确定。例如，Krause和Ruxton[2]、Couzin和Krause[3]表明为了在大自然中生存，鱼群、成群的鸟儿、群居的蚂蚁和其它一些脊椎动物都表现出群体行为，甚至可以在细菌菌落中也发现群体行为。总之，在生物界中群体行为大幅度增加了生存的平均成功率，也就是说，与它们自己单独生存比起来群体的每个个体成员会做的更好，生物学家对这一现象的研究已经有几十年了[4]。
同生物学家一样，许多物理学家在群体行为方面也做出了重要的贡献。由于群中个体成员的相互作用，物理学家采用的普遍方法是把每个个体模拟为一个质点以研究此群集的群体行为。现在，我们一般认为群体行为是个体成员之间远距离吸引和近距离排斥相互作用的结果。
近些年来，越来越多的数学家和物理学家从数学模型[5-6]方面研究这一现象。越来越多的研究集中在由工程领域的发展引起的群体行为，如控制、分布式协调管理以及学习自动化多智能体系统如自治多机器人的应用和无人的海、陆、空中机动群体的控制策略，然而，利用生物原则来研究这样的高度自动化的多智能体系统有几个关键的步骤，其中包括生物群体小组目标的动力学分析的完成、群体的建模和明确协调策略。
目前研究群集系统的热点和难点是研究其数学建模、稳定性分析和软控制，来自社会生态学界、理论生物学界、物理界、工程应用界以及控制工程界等不同领域的专家学者对此产生了浓厚的兴趣并进行了深入的研究，从而积累了关于群集系统的丰富理论成果。
1.2 群集系统的稳定性的研究现状
研究一个群集系统性能的关键之处是分析它稳定性，所以分析群集系统的稳定性对于群集系统来说具有深远的意义。
早期的分析群集系统的稳定性的一些方法，大部分是利用群集系统的各个孤立子系统的某种稳定性，然后通过适当的控制关联项，来判断群集系统的稳定性。但是，通过不断地研究和实践，人们逐渐发现由群集系统的稳定性一定可以得到孤立子系统
的稳定性，但是，由群集的各个孤立子系统的稳定性并不一定可以得到群集系统的稳定性[7]。为了解决这一现象，来自社会生态学界、理论生物学界、物理界、工程应用界以及控制工程界等不同领域的专家学者研究出了新的分析稳定性的方法，其中主要是应有Lyapunov函数、矩阵指数函数、积分估计和代数关系等方法来判定群集系统的稳定性。
Jin[8]等人提出了一个处于二维空间的同步群集模型，并应用Lyapunov函数方法证明了此群集的稳定性。
Breder[9]提出了一个由一个吸引项和一个排斥项组成的简单群集模型，其中引力是恒定的，斥力与个体间的距离的平方成反比。
王龙[10-11]等人提出了一个基于个体成员间吸引/排斥相互作用的各向异性的群集模型，并讨论了此群集系统的稳定性问题。
Gazi和Passino[12]提出了一个简单的基于个体间的吸引/排斥相互作用群体聚集模型，并表明不管群集中个体成员的数量，该群集都会在有限的时间内收敛到恒定的范围内。
在文献[12]中，作者指定了一个吸引/排斥函数，以确保群集的每个个体成员不离开整个群集。此外，他们在文献[13]中修改了他们的模型，且引入了环境因素，并表明该群能避免不利区域。
2004年，Fax[14]等人提出了一个线性群集系统，并应用Nyquist稳定性判定方法证明了此群集的稳定性。
2005年，陈世明和方华京提出了一个大规模智能群体模型，并应用Lyapunov函数方法分析了此群集的稳定性[15]。
2006年，Olfatis[16]提出了一个具有Boid模型的群集系统，并在控制工程的方面分析了此群集的稳定性。
2009年，郭晓丽等人提出了一种基于一维离散时间的完全异步的群集系统，并对此群集进行了稳定性分析[17]。
2010年，在二维空间中群集系统稳定性的基础上，王冬梅等人提出了在任意有限维中的群集并应用求解凸壳的方法证明了此群集的稳定性[18]。
群集系统的稳定性是将群体行为应用到社会行为控制的前提，对具有外界环境的群集系统稳定性的研究具有实际意义。群集系统的稳定性分析已经取得了一定的研究成果，但是仍有许多亟待解决的问题，比如非线性群体系统的稳定性分析等，在今后的工作中研究人员仍然需要给予更多的关注和研究。
1.3 本文主要研究内容
本文重点研究吸引/排斥环境中的群集系统的稳定性，Breder[9]提出了一个由一个吸引项和一个排斥项组成的简单群集模型，其中引力是恒定的，斥力与个体间的距离
的平方成反比。
文献[11]中提出了一个基于个体之间的吸引/排斥相互作用的群集聚合体的简单模型，并且表明了有限的时间内群体的稳定性。
文献[19]提出了一个新的吸引/排斥函数，由于该函数更接近于群的性质，所以它在群体行为的建模方面有更好地效果，且该函数还表明斥力增加到无穷时群中的两个个体之间的距离减少到零，引力减少到零时距离增加到无穷。然而，在文献[16]中的吸引/排斥函数，当引力增加到无穷时群中的两个个体之间的距离增加到无穷，距离减少到零时斥力是有界的。且仿真结果数值的验证了，此群集在有限时间内收敛到平衡位置的任意小领域。
本文在文献[19]中的吸引/排斥函数存在的基础上提出了一个各向同性群集的简单模型，并且在二次分布函数下分析它的稳定性。然后，对该群集系统的运动行为在Matlab 环境下进行数值仿真，来验证了文中群集系统的稳定性。
2 群集模型
在本节中描述了一个群集模型，此模型中的个体是在吸引/排斥环境下运动的。取n 维欧几里得空间中由N 个个体（成员）组成的一个群集，不考虑每个个体的尺寸，将每个个体看作空间中的一点，群集的成员i 的空间位置由i n x R ∈表示。假设所有个体之间保持同步运动和没有时间延迟，也就是说，所有的个体同时行动并且知道所有其他个体成员的确切位置。令:n R R σ→表示一个吸引/排斥分布函数。
然后，我们把每个个体i 的运动方程定义为
()()1,i N
i
i
i
j x j j i
x
x f x
x σ=≠=-?+-∑ ，1,,i N = ， （1）
其中i n x R ∈代表个体i 的位置；()f ?表示个体之间相互的吸引/排斥函数且
24()()a b
f y y y y =--，n y R ∈， （2）
其中a 和b 是正常数，且y 是由y =它是用来表示群中两个个体之间的距离。
当参数100a =，1b =，1y R ∈时，函数()f y 如图1（图1是来自文献[19]）所示，其中横轴代表个体间的距离，纵轴代表个体间的相互作用力（相互作用力大于零表示斥力，相互作用力小于零表示引力）。从图1中我们很容易观察到，随着个体间距离的逐渐变大，两个个体从相互排斥（相互作用力大于零）到相互吸引（相互作用力小于零），且引力随着距离的变大而减小，图1中的星号代表引力和斥力平衡的位置。在更高维空间中（即，n y R ∈），该函数与在一维空间情况下完全一样，除了它作用于两个个体的位置连接线。
同文献[9]中的函数一样，本文的函数()f y 构成一个人工的社会势能函数，支配
着个体间的相互作用，其中
2
a y
代表吸引关系，
4
b y
代表排斥关系。该函数给出了
群集个体之间的远距离吸引（也就是说，2
a y
占据支配地位）和近距离排斥（也就是
说，
4
b y
占据支配地位）的关系，这与生物群体中的不同个体间的吸引/排斥是一致
的，因此，它构成生物群体相互作用的一个粗略近似。
图1 吸引/排斥函数
令()0f y =，即2
4
(
)0a b y y
y
--
=，可得0y =
或y δ==δ是引力和斥力的平衡距离，即如果两个个体成员之间的距离为δ，则它们之间是没有相互作用的，因此，若y δ<，斥力占主导地位；若y δ>，引力占主导地位。同样令
()0f
y =
，可得距离y ζ==[19]，这是因为随着距离的增加，个体与其他成员有较少的接触。
从此模型可以直观的看到，方程（1）中的每个个体成员的运动由三个方面决定，
分别是吸引其它个体成员由()2i j i j a
x x x x
---决定、排斥其它个体成员由
()
4
i j i j
b x x x x --决定和吸引到此分布函数的更有利区域由()i i x x σ-?决定[20]。
定义2.1[8] 群集中心定义为
1
1
N
i i x x N
==
∑。 （3）
因为2
4
()(
)a b f y y y
y
-=-
，又由于2
4
()()a b f y y y
y
-=-
，故得，对任意n
y R ∈有()()f y f y -=-，即吸引/排斥函数()f y 是奇函数。
令12
4
()i j i
j i
j a b f x x x x
x x
-=
-
--，由文献[19]中的定理 3.2可知
()()111,
10N N
i j i j i j j i x x f x x N ==≠--=∑∑，则群集中心x 的运动方程推导为 ()()()()()()()1
11,111,1111,1
11111()()
1i i i i N i i N
N i i j x i j j i N N i
i j i j x i j j i N N N i
i j i j x i i j j i
N
i x i x x
N x f x x N
x x x f x x N x x x f x x N N x N σσσσ===≠==≠===≠==??=-?+-??????=-?+--????=-?---=-?∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 。
所以，群集中心x 的运动方程为
()11i N i x
i x
x N σ==-?∑ 。 （4） 上式意味着群集的中心沿着地形上各点所在位置的梯度的平均方向运动，然而，这并不意味着它会收敛到分布函数的全局最小点，此外，这也并不意味着关于个体运动的任何事情。事实上，群集能否收敛到分布函数的全局最小点取决于该分布函数的性质。在下面的章节中，我们将会分析处于二次型分布函数描述的环境中的群集的群体行为。
3 二次型吸引/排斥分布函数
为了简单起见，考虑群集在由
()2
2
A y y c σ
σσ=
- （5）
定义的最简单的二次分布函数描述的环境中运动，其中A R σ+∈和n c R σ∈。
这个分布函数在y c σ=时有一个全局最小点，它在点n y R ∈处的梯度[20]为
()()y y A y c σσσ?=-。 （6）
把公式（6）代入由（4）式定义的x 的运动方程中得到
()x A c x σσ=- ， （7） 同时代入由（1）式定义的个体i 的运动方程得
()()1,N
i
i
i
j j j i
x
A x c f x
x σσ=≠=--+-∑ ，1,,i N = 。
在下面一节中，我们将会分析处于二次型分布函数描述的环境中的群集的稳定性。
4 稳定性分析
定义4.1 群集中心x 与全局最小点c σ的误差矢量定义为
e x c σσ=-。 （8）
Lyapunov 函数定义[21]：设()V x 为相空间坐标原点的邻域D 中的连续函数，且
()V x 是正定的，则函数()V x 称为Lyapunov 函数。
Lyapunov 稳定性定理[21]：若对于动力学方程存在一个Lyapunov 函数()V x ，且
其全导数()V x 分别是半负定、负定、正定，则方程的定点相应的是稳定的、渐近稳定的、不稳定的。
根据Lyapunov 稳定性定理证明定理4.1和定理4.2。
定理4.1 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数()f ?是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当t →∞时，有x c σ→（也就是说，群集中心收敛到该分布函数的全局最小点）。
证明：根据定义4.1，可以得到
()e
x A c x σσσ==- 。 （9） 选择下面的Lyapunov 函数：12
T
V e e σσ=，然后，对函数V 求导并把公式（9）代入得
()2
11
22T T T T
T
V e e e e e e
e A c x A e e A e σσσσσσσσσσσσ
σσ
=+==-????=-=- 。
由于2
0e σ
>，0A σ>，所以2
0A e σσ
-<。
综上所述，有
0V
< 。 （10） 依据Lyapunov 稳定性定理，误差系统(8)渐进稳定，即当t →∞时，有x c σ→。 由定理4.1可知，对任意的有限数0ε>，在有限的时间内满足x c σε-<，也就是说，在有限的时间内x 在c σ的任意ε邻域内。根据文献[22]的结果，我们将会预料到在有限的时间内个体将会围绕在c σ的附近而群集，然而，我们要证明它还需证
明在有限时间内群集中个体将会收敛到群集中心。
同文献[8]一样，我们把群集中的成员定义为自由成员，这意味着在群集中个体成员之间不存在斥力。
定义4.2[23] 若对时间t 有
()()i j x t x t δ->，j τ?∈，j i ≠， （11）
则群集中成员i
称为自由成员，其中δ=
，{}1,...,N τ=是群集中成员的集合。 注意如果群中每个自由成员和其他个体成员之间的距离大于δ，则不会存在有排斥力的自由成员，群集中所有个体成员之间只有吸引力，且作用于它的总力将会是由所有其他个体成员施加的引力的总和。
定义4.3 个体与群集中心的误差矢量定义为
i i e x x =-，1,,i N = 。 （12）
定理4.2 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数()f ?是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当对时间t 群中所有成员是自由成员时，群集中的个体成员收敛到群集中心。
证明：注意成员i 的运动可以表述为
()2
4
1,()(
)N
i
i
i j i
j i
j j j i
a b x
A x c x x x x
x x
σσ=≠=-----
--∑
。 （13）
且根据定义4.3，可以得到
()()()
()()
()()()1,1,11,11,1i i N
i
i
j j j i N
i
i
j j j i
N N i k i j k j j i N N
i k i j k j j i
e
x x A x c f x
x A c x A x x f x
x A x x f x x N A x x f x x N σσσσσσσ=≠=≠==≠==≠=-=--+
---=--+
-??
=--+- ??
?=--+-∑∑∑∑∑∑ 。
所以，可得
()()1
1,N
N
i
i
k i
j k j j i
A e
x
x f x
x N
σ==≠=--+
-∑∑ （14）
选择下面的Lyapunov 函数：1
N
i i V V ==∑，其中12
iT i
i V e e =
代表成员i 和群中心x 之间距离的一半。
然后，对函数V 求导并把公式（14）代入得
1N
i
i V V ==∑
()()()()()()1111,24111,241111,()()()N
iT i i N
N N iT
i k i j i k j j i N N N
iT i k i j i j i j i k j j i N N N N
iT i k iT i j i j i j i k i j j i iT
i
k
k e e
A e x x f x x N A a b
e x x x x N x x x x A a b e x x e x x N x x x x
A e
e e N σσσσ
====≠===≠====≠==??=--+-????????=-----??--??
=-------=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ()2
4
11
11,1
1
2
2
2411
11
1
1
2
2
2
4
1111
2
1
(
)
(
)(
)
N N
N
N
iT i j i
j i
j i i j j i
N N
N N
i
k i
j i
j i
j i k i i j i N N
N N
i
k i j i
j i
j i k i i j i N i
k i k i a b e e e x x
x x
A a b
e e e e
N x x x x A a b
e e
x x N x x x x
A b
e e
a N
x x σ
σ
σ
===≠--==+==+--==+==+=+-----=-------=-----
--=----
-∑∑∑
∑
∑∑∑∑∑∑
∑
∑
∑
1
1
211111221111N N N j
i i j i N N N N i k i j i k i i j i A b e e a N x x σ--===+--==+==+?
? ? ??
?
???? ? ?=--+- ? ?-???
?∑∑∑∑∑∑∑。
其
中还用到了公式()i j i j i j
e e x x x x x x -=---=-和
()1
2
11,11
N N
N N
iT
i
j
i
j i j j i
i j i e
e e e e
-==≠==+-=-∑∑
∑∑
，
因为所有个体成员对时间t 是自由成员，由定义4.2知，对所有i ，j τ∈且j i ≠，
有i j x x δ->=，可得20i j b a x x ->-，因此，有12110N N i j i j i b a x x -==+?? ?-> ?-??
∑∑。 又由于2
0i k e e ->，0A σ>，0N >，故有1211
0N N i k i k i A e e N σ-==+->∑∑，所以，112211110N N N N i k i j i k i i j i A b e e a N x x σ--==+==+??
?-+-> ?-??
∑∑∑∑。 综上所述，有
0V
< 。 （15） 依据Lyapunov 稳定性定理，得到误差系统(12)渐进稳定，即群集中的个体成员收敛到群集中心。
注：这个定理很重要是因为若原始群是分散的它可以证明该群收敛的可能性，也
就是说，当群体中的所有个体成员均是自由成员时，则所有成员将会聚集在群集中心
x 的周围。
通过观察定理4.1和定理4.2，有下面的结论。
定理4.3 考虑由方程（1）定义的群集模型，其个体之间的吸引/排斥函数()f ?是由公式（2）定义的，假设在由公式（5）定义的二次型分布函数描述的环境下，可得当对时间t 群集中所有个体成员是自由成员时，群集中的个体成员收敛到该分布函数的全局最小点。
二次型分布函数是相当简单的分布函数，现在，假设这个分布函数是一个二次型
分布函数的总和，也就是说，考虑由()2
1
2i N
i i A y y c σσσ==-∑定义的分布函数。()y σ在
点n
y R ∈处的梯度被定义为()()1
N
i
i y i y A y c σσσ=?=-∑，且定义1N
i i A A σσ==∑和
11
N
i i i N i
i A c c A σσσσ
===
∑∑
，得到()()y y A y c σσσ?=-，则该分布函数和上述的二次分布函数的
式子是完全一样的。事实上，点c σ也是这联合分布函数函数的全局最小点，因此，上面的结论可以直接延伸到这个情况而不需要任何修改。
同上述的结论一样，当群集中的所有个体成员均是自由成员时，则群集中所有成员将会收敛到这个分布函数的全局最小点c σ处，并且在c σ处形成一个群集，也就是说，当群体中的所有个体成员均是自由成员时，该群集系统是稳定的。
5 数值仿真实验
在本节中，为了阐明前述理论结果的有效性，对该群集系统的运动行为在Matlab 环境下进行了数值仿真。为了便于仿真结果的可视化，在仿真实验中，我们就简单的取2n =维空间，且群集系统包含了10个个体，也即是说，10N =。每个个体的动态依式（1）在2维欧式空间中运动，其中吸引/排斥函数采用式（2）的形式，二次分布函数采用式（5）的形式。
系统参数确定如下：2a =，7b =。由于式（5）中的参数A σ需满足的条件：
A R σ+∈ ，所以可取8A σ=。
又由于式（5）中的c σ是二次分布函数的全局最小点，且2c R σ∈，所以可取点c σ
为（50，50）。
对该群集模型使用Matlab 数值方法进行仿真，得到图2。图2展示了当二次分布函数的参数8A σ=时，群集的每个个体成员的运动路径，群集中的所有个体成员逐渐聚集和形成一个紧密结合的群，随着时间的增加每个个体成员最终稳定到二次分布函数的全局最小点c σ处。
x
y
10
20
30
40
5060
70
80
90
100
0102030405060708090
100
图2 当二次分布函数的参数8A σ=时，群集收敛路径
个体成员在各自运动模型的基础上通过个体间的相互作用，逐渐朝着二次分布函数的全局最小点c σ聚合的趋势运动，最终形成了方向一致的群集运动且都收敛到点
c σ（50，50）处的效果。图2很好的反映了这一点，所以，仿真结果数值验证了文中所提出的群集系统的稳定性。
结论
将群体行为应用到社会行为控制的前提条件是此群集系统必须是稳定的，对具有外部环境的群集系统的稳定性分析具有实际意义。在本文中，通过假设自由成员在一个吸引/排斥分布函数中移动来建立这个模型，也就是说，在一个吸引/排斥分布函数存在的基础上提出了一个各向同性群集的简单模型并且在二次分布函数下分析它的稳定性，且仿真结果数值地验证了文中群集系统的稳定性。
参考文献
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致谢
本论文最终能顺利完成，首先应感谢我的指导老师老师自始至终给予的关心和指导。无论是在论文选题、开题、写作阶段还是在项目的实践过程中，老师都加以悉心的指导。老师严谨的治学作风和求实的工作态度都深深地影响着我。
感谢在论文的写作过程中，为我提供了很多帮助，与我共同奋斗的同学，这段风雨同舟的日子将成为永恒的记忆。
本论文的写作参考、引用了很多书籍及文献，在此向这些文章的作者表示深深的谢意。
感谢在百忙之中抽出时间、精心审阅本论文的各位专家、学者！
感谢我的父母和亲人，正是有了他们的关心和支持，我的学业才得以顺利完成。
最后，再次感谢所有关心和爱护过我的老师、亲人、同学和朋友！
论电力系统稳定性 发表时间：2018-10-19T09:07:14.800Z 来源：《电力设备》2018年第17期作者：姚彦枝 [导读] 摘要：随着电力工业的迅速发展，我国发电机、变压器单机容量不断增大，电力系统正朝着“大机组、超高压、大电网”的方向发展。 摘要：随着电力工业的迅速发展，我国发电机、变压器单机容量不断增大，电力系统正朝着“大机组、超高压、大电网”的方向发展。在当今电力作为推动社会飞速发展的主动力时代，电力网是否稳定对社会的生产、生活、发展起着决定性的影响。因此，研究电力系统在各种条件下的稳定性问题对社会的发展具有特别重要的意义。 关键词：电力系统；稳定性；措施 1电力系统稳定性的作用及要求 1.1电力系统稳定性的作用 （1）对于企业的调配与服务有优化作用。之所以说电力系统稳定性的提供对企业的调配与服务功能有一定程度的优化作用，是因为相关人员在电力系统应用中，可以根据具体运行情况来开展工作，根据不同类型的电力设备特点，来实现设备利用的最优化，为电力企业工作效率的提升做好准备。相关人员可以全面掌握设备的利用情况，以此来对设备进行合理而科学的配置，实现设备的高效率运行，从而还能降低企业成本的使用率。对于传统电力技术而言，稳定性技术式是一个大胆创新，相关人员在实际作业中可以利用该技术实现对电力设备的协调配置。 （2）有利于促进电力企业的高效发展。电力系统稳定性对电力企业的经济效益具有促进作业。众所周知，电对于人们的生活是何等重要，可以说生活处处都需要电。一旦电力系统稳定性受到冲击，便会发生大面积停电的安全事故，这种现状会导致电力系统的运行受到干扰，对企业的生产，人们的生活都起到了很大的影响。电力系统稳定性技术则可以在这种情况下，对相关干扰进行及时排除，保障用户的正常用电。 1.2电力系统稳定性的要求 电力系统稳定性要求电网结构与设备的选用必须科学合理，供电可靠性必须相对较高，工作人员的技术也必须相对过硬，以此来保证电力系统的正常运行，其中，工作人员的技术具有关键作用，他们必须在实际操作前，做好相关准备，采取有效措施来应对突发故障。 2确保电力系统稳定性的措施 目前，我国电力系统已步入大电网、大机组、超高压、远距离输电时代，随着电力系统的发展及其互联，电力系统稳定问题也将越来越突出。有关电力系统稳定问题的研究已成为国内外电力界的热门课题之一。因此，在当前，研究电力系统稳定问题的机理、以及提高电力系统稳定性的控制措施，具有重要的意义。 2.1对送电系统的控制 改善发电机励磁调节系统的特性：由电力系统功率极限的简单表达式可知，减小发电机的电抗，可以提高电力系统功率极限和输送能力。 改善原动机的调节特性：我们根据发电机功角变化对于再热式轮机可以采用快速调节轮机汽门与带有微机控制和带有功角检测仪的高速系统来消除故障后发电机输入以及输出功率之间的不平衡，交替关、开快速汽门，以缩短振荡时间，提高暂态稳定。 快速操作汽阀（快关）：当系统受到较大干扰时，输出的电磁功率突变，这时，如果原动机的调节装置非常的准确、灵敏和快速，使得原动机自身的功率能跟上相应的变化的电磁功率，则能极大让系统稳定性得以提高[2]。 切机：提高系统暂态稳定的基本措施包括减小原发电机大轴不平衡功率。方法有两个一个是减少原发动机的输入功率，第二个是增大发电机发出的电磁功率，当系统有充足的备用电机时，我们同时切除故障线，同时切除部门联锁发电机，这样就能有效的增大系统稳定性。 2.2采用附加装置提高电力系统的稳定性 在输电线路串联电容：利用电容器容抗和输电线路感抗性质相反的特点，在输电线路中串联电容补偿线路中的电感来提高超高压远距离输电的功率极限，从而起到提高系统稳定的作用。 在输电线路中并联电抗：改善远距离输电系统稳定性的重要措施之一就是将电抗并联到输电线路中。因为随着输电线路长度的增加，产生的电抗就会越大，随之容抗也会变大，而增加的电容则会给线路带来大量的无功，当线路负荷较轻情况下，线路中大量的无功会造成线路末端电压过高。为改善这种情况，我们将电抗器并联到输电线路上来吸收由长距离线路所产生的大电容造成的无功功率，这样，可以减小发电机的运行功角，提高发电机的电势从而提高长距离输电系统的稳定性。 将变压器中性点改为小阻抗接地：电力系统发生接地短路情况时产生的暂态稳定和变压器中性点接地情况有着重要的联系。为了提高中性点直接接地系统的稳定性，我们利用电流流过阻抗会消耗有功功率原理将系统中变压器的中性点改为经小阻抗接地，这样系统短路时产生的零序电流经过变压器中性点小阻抗后消耗有功这就增加了发电机的输出电磁功率，减小了发电机转轴上存在的不平衡功率，进而提高了系统的暂态稳定。 2.3非线性控制技术在暂态稳定控制中的应用 为提高电力系统运行的稳定性，除应对电网进行合理的规划、建设、采取紧急措施之外，最主要的就是对相关部件采取有效的控制手段。根据电力系统采用模型的不同可选取不同的方法。通常对非线性系统进行控制的方法有： Lyapunov直接法：在假设非线性控制系统的原点为平衡点，寻找一个正定Lyapunov函数，，且，在此基础上求出反馈控制规律，使得，这就是正定函数的思想，当时闭环系统才会逐渐的趋向稳定。由此可见，要想使受干扰后的系统动态过程以较快的速度趋向平衡点则需要V越负越大。自适应、滑膜等控制设计都可以用Lyapunov直接法。 变结构控制方法：20世纪70年代中期科学研究者们开始研究变结构控制方法，该方法不但能有很好的全局渐进稳定性，而且它有很强的鲁棒性，能抗外部干扰和参数的摄动。该方法的基本思想是：预先选定一个超平面，利用切换函数和高速开关将电力系统的相轨迹按照一定的规律驱动到超平面上，我们将该运动定义为滑动模态，其基本思想是，利用高速开关和切换函数将系统的相轨迹按一定的趋近律驱动到一个预先选定的超平面S（X）=0（称滑行面或切换面）上，超平面上的系统运动称为滑动模态（Slidingmode），且系统的滑动模态
实验一--控制系统的稳定性分析
实验一控制系统的稳定性分 班级：光伏2班 姓名：王永强 学号：1200309067
实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1、研究高阶系统的稳定性，验证稳定判据的正确性； 2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响；
3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。 二、实验任务 1、稳定性分析 欲判断系统的稳定性，只要求出系统的闭环极点即可，而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根，可以利用MATLAB中的tf2zp函数求出系统的零极点，或者利用root函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点，从而判断系统的稳定性。 （1）已知单位负反馈控制系统的开环传递 函数为 0.2( 2.5) () (0.5)(0.7)(3) s G s s s s s + = +++，用MATLAB编写 程序来判断闭环系统的稳定性，并绘制闭环系统的零极点图。 在MATLAB命令窗口写入程序代码如下：z=-2.5 p=[0,-0.5,-0.7,-3] k=1 Go=zpk(z,p,k)
Gc=feedback(Go,1) Gctf=tf(Gc) dc=Gctf.den dens=ploy2str(dc{1},'s') 运行结果如下： Gctf = s + 2.5 --------------------------------------- s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 2.05 s + 2.5 Continuous-time transfer function. dens是系统的特征多项式，接着输入如下MATLAB程序代码： den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5] p=roots(den)
电力系统稳定与控制 廖欢悦电自101 2 电力系统的功能是将能量从一种自然存在的形式转换为电的形式，并将它输送到各个用户。电能的优点是输送和控制相对容易，效率和可靠性高。为了可靠供电，一个大规模电力系统必须保持完整并能承受各种干扰。因此系统的设计和运行应使系统能承受更多可能的故障而不损失负荷（连接到故障元件的负荷除外），能在最不利的可能故障情况些不知产生不可靠的广泛的连锁反应式的停电。 由此，电力系统控制所要实现的目的： 1.运行成本的控制：系统应该以最为经济的方式供电； 2.系统安全稳定运行的控制：系统能够根据不断变化的负荷变化及发电资源变化情况调整功率 分配情况； 3.供电质量的控制：必须满足包括频率、电压以及供电可靠性在内的一系列基本要求；一．电力系统的稳定性设计与基本准则 首先，一个正确设计和运行的电力系统： 1.系统必须能适应不断变化的负荷有功和无功功率需求。与其他形式的能量不同，电能不能方便地以足够数量储存。因而，必须保持适当的有功和无功的旋转备用。 2.系统应以最低成本供电并具有最小的生态影响 3.考虑到如下因素，系统供电质量必须满足一定的最低标准： a）频率的不变性 b）电压的不变性 c）可靠性水平 对于一个大的互联电力系统，以最低成本保证其稳定性运行的设计是一个非常复杂的问题。通过解决这一问题能得到的经济效益是巨大的。从控制理论的观点来看，电力系统具有非常高阶的多变量过程，运行于不断变化的环境。由于系统的高维数和复杂性，对系统作简化假定并采用恰当详细详细的系统描述来分析特定的问题是非常重要的。 二、电力系统安全性及三道防线可靠性－安全性－稳定性 电力系统可靠性：是在所有可能的运行方式、故障下，供给所有用电点符合质量标准和所需数量的电力的能力。是保证供电的综合特性（安全性和充裕性）。可靠性是通过设备投入、合理结构及全面质量管理保证的。 电力系统安全性：是指电力系统在运行中承受故障扰动的能力。通过两个特征表征（1）电力系统能承受住故障扰动引起的暂态过程并过渡到一个可接受的运行工况，不发生稳定破坏、系统崩溃或连锁反应；（2）在新的运行工况下，各种运行条件得到满足，设备不过负荷、母线电压、系统频率在允许范围内。 电力系统充裕性：是指电力系统在静态条件下，并且系统元件负载不超出定额、电压与频率在允许范围内，考虑元件计划和非计划停运情况下，供给用户要求的总的电力和电量的能力。 电力系统稳定性：是电力系统受到事故扰动（例如功率或阻抗变化）后保持稳定运行的能力。包括功角稳定性、电压稳定性、频率稳定性。 正常运行状态下，通过调度手段让电力系统保持必要的安全稳定裕度以抵御可能遭遇的干扰。要实现预防性控制，首先应掌握当前电力系统运行状态的实时数据和必要的信息，并及时分析电网在发生各种可能故障时的稳定状况，如存在问题，则应提示调度人员立即调整运行方式，例如重新分配电厂有功、无功出力，限制某些用电负荷，改变联络线的送电潮流等，以改善系统的稳定状况。 目前电网运行方式主要靠调度运行方式人员预先安排，一般只能兼顾几种极端运行方式，且往往以牺牲经济性来确保安全性。调度员按照预先的安排和运行经验监视和调整电网的运行状态，但他并不清楚当前实际电网的安全裕度，也就无法通过预防性控制来增强电网抗扰动的能力。因此，实现电力系统在线安全稳定分析和决策，得出当前电网的稳定状况、存在问题、以及相应的处理措
西京学院实验教学教案实验课程：现代控制理论基础 课序： 4 教室：工程舫0B-14实验日期：2013-6-3、4、6 教师：万少松 一、实验名称：系统的稳定性及极点配置二、实验目的 1．巩固控制系统稳定性等基础知识；2．掌握利用系统特征根判断系统稳定性的方法；3．掌握利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性的方法；4. 掌握利用状态反馈完成系统的极点配置；5．通过Matlab 编程，上机调试，掌握和验证所学控制系统的基本理论。三、实验所需设备及应用软件序号 型 号备 注1 计算机2Matlab 软件四、实验内容1. 利用特征根判断稳定性；2. 利用李雅普诺夫第二法判断系统的稳定性；3.状态反馈的极点配置；五、实验方法及步骤1.打开计算机，运行MATLAB 软件。2.将实验内容写入程序编辑窗口并运行。3.分析结果，写出实验报告。 语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器
一、利用特征根判断稳定性 用matlab 求取一个系统的特征根，可以有许多方法，如，，，()eig ()pzmap 2ss zp ，等。下面举例说明。 2tf zp roots 【例题1】已知一个系统传递函数为，试不同的方法分析闭环系统的稳定性。()G s 2(3)()(5)(6)(22)s G s s s s s += ++++解：num=[1,3]den=conv([1,2,2],conv([1,6],[1,5]))sys=tf(num,den)(1)() eig p=eig(sys)显示如下：p = -6.0000 -5.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 所有的根都具有负的实部，所以系统稳定。(2) ()pzmap pzmap(sys) 从绘出的零极点图可看见，系统的零极点都位于左半平面，系统稳定。（3）2()tf zp [z,p,k]=tf2zp(num,den) （4）()roots roots(den)【例题2】已知线性定常连续系统的状态方程为122122x x x x x ==- 试用特征值判据判断系统的稳定性。 解： A=[0,1;2,-1] eig(A)
性能稳定性分析 1功角的具体含义。 电源电势的相角差，发电机q轴电势与无穷大系统电源电势之间的相角差。 电磁功率的大小与δ密切相关，故称δ为“功角”或“功率角”。电磁功率与功角的关系式被称为“功角特性”或“功率特性”。 功角δ除了表征系统的电磁关系之外，还表明了各发电机转子之间的相对空间位置。 2功角稳定及其分类。 电力系统稳态运行时，系统中所有同步发电机均同步运行，即功角δ是稳定值。系统在受到干扰后，如果发电机转子经过一段时间的运动变化后仍能恢复同步运行，即功角δ能达到一个稳定值，则系统就是功角稳定的，否则就是功角不稳定。 根据功角失稳的原因和发展过程，功角稳定可分为如下三类： 静态稳定（小干扰） 暂态稳定（大干扰） 动态稳定（长过程） 3电力系统静态稳定及其特点。 定义：指电力系统在某一正常运行状态下受到小干扰后，不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复到原始运行状态的能力。如果能，则认为系统在该正常运行状态下是静态稳定的。不能，则系统是静态失稳的。 特点：静态稳定研究的是电力系统在某一运行状态下受到微小干扰时的稳定性问题。系统是否能够维持静态稳定主要与系统在扰动发生前的原始运行状态有关，而与小干扰的大小、类型和地点无关。 4电力系统暂态稳定及其特点。 定义：指电力系统在某一正常运行状态下受到大干扰后，各同步发电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来的稳态运行状态的能力。通常指第一或第二振荡周期不失步。如果能，则认为系统在该正常运行状态下该扰动下是暂态稳定的。不能，则系统是暂态失稳的。 特点：研究的是电力系统在某一运行状态下受到较大干扰时的稳定性问题。系统的暂态稳定性不仅与系统在扰动前的运行状态有关，而且与扰动的类型、地点及持续时间均有关。 作业2 5发电机组惯性时间常数的物理意义及其与系统惯性时间常数的关系。 表示在发电机组转子上加额定转矩后，转子从停顿状态转到额定转速时所经过的时间。TJ=TJG*SGN/SB 6例题6-1 (P152) （补充知识：当发电机出口断路器断开后，转子做匀加速旋转。汽轮发电机极对数p=1。额定频率为50Hz。要求列写每个公式的来源和意义。）题目:已知一汽轮发电机的惯性时间常数Tj=10S,若运行在输出额定功率状态，在t=0时其出口处突然断开。试计算（不计调速器作用） （1）经过多少时间其相对电角度（功角）δ=δ0+PAI.(δ0为断开钱的值）（2）在该时刻转子的转速。 解:（1）Tj=10S,三角M*=1,角加速度d2δ/dt2=三角M*W0/Tj=W0/10=31.4RAD/S2 δ=δ0+0.5dd2δ/dt2 所以PI=0.5*2PI*f/10t方 t=更号10/50=0.447 （2）t=0.447时，
风电——水电互补电力系统稳定性分析与计算 摘要 本文介绍了含风力发电的风电一水电互补电力系统如何处理风力发电参数，进行稳定性分析与计算的方法，并结合新疆阿勒泰地区布尔津风电一水电互补电力系统计算实例验证其方法的正确性及可行性。 引言 近年来，由于当代科学技术的发展，加之能源短缺和环境保护等方面的影响，人类正在致力于寻找可再生的，取之不尽，用之不竭又是洁净的绿色能源，而水能与风能是绿色能源中最有发展潜力和前景的品种。同时水能与风能又都容易转化为能源的更高级形式一电能，其经济效益显著。 由于风力资源的随机性和季节性使风力发电的出力不平稳，风力发电不具备有功调节和无功调节的能力。风电的缺点也就是无风就无电，影响到风电的连续及稳定性。为了解决风电的连续性和稳定性问题就需要有一个互补系统。 在我国西北、华北、东北等内陆风区，风资源的季节分布特色大多为冬春季风大、夏秋季风小，与水能资源夏秋季丰水、冬春季枯水的季节分布正好形成互补特性，这是构建风能一水能互补系统的基础条件。如果在上述地区内，以带有蓄水调节水库的水电站为依托，在风资源丰富的地点建设适当容量的风电场，两者以电网连接实现季节性能量互补，以水库做为能源调剂手段，就能够实现风能与水能这两种最佳绿色能源的联姻，充分发挥绿色能源的优势，以风一水联手供电取代传统的水一火联合供电，这将是人类能源利用形式的历史性突破。由于阿勒泰地区的风资源和水资源具有极强的互补性，更由于阿勒泰地区具有较大的水电装机容量，而且其中有三个电站带有库容可观的调节水库，因此在该地区突破传统限制，在风电装机大大超出电网容量10％的条件下建设水电一风电互补系统，在技术上和经济上都是可行的。在我国类似阿勒泰那样资源条件的地区还有很多，都可以构建水电一风电互补系统解决供电问题，这将是对现有禁区的重要突破，有可能为阿勒泰及有类似条件地区的电源建设找到一条最为多快好省的途径。 1问题的提出 在电力系统中，传统的发电方式为水力发电和火力发电，一般均为同步电机。目前，风力发电这一新成员加入电网，一般都采用电容励磁感应异步发电机。使其分析计算复杂化。风电的加入使电网的稳定性受到影响。对风力发电机如何给定运行条件，如何建立数学模型、如何确定参数，是进行含风力发电的风电一水电互补电力系统静态和暂态及动态稳定性分析和计算的关键。本文介绍了含风力发电的风电一水电互补电力系统如何处理风力发电参数，进行稳定计算的方法。 2风力发电机的处理 电力系统是由发电厂、输电网络及电力负荷三大部分组成的能量生产、传输和使用系统。在过去的几十年间，同步发电机(水轮发电机或汽轮发电机)、输电网络及负荷的稳定计算已经成熟。只有风力发电技术在国内外都属于研究阶段，建立适合潮流计算、暂稳、动稳和静稳
实验二 控制系统的阶跃响应及稳定性分析 一、实验目的及要求： 1.掌握控制系统数学模型的基本描述方法； 2.了解控制系统的稳定性分析方法； 3.掌握控制时域分析基本方法。 二、实验内容： 1.系统数学模型的几种表示方法 （1）传递函数模型 G(s)=tf() （2）零极点模型 G(s)=zpk(z,p,k) 其中，G(s)= 将零点、极点及K值输入即可建立零极点模型。 z=[-z1,-z …,-z m] p=[-p1,-p …,-p] k=k (3)多项式求根的函数：roots ( ) 调用格式： z=roots(a) 其中：z — 各个根所构成的向量 a — 多项式系数向量 (4)两种模型之间的转换函数： [z ,p ,k]=tf2zp(num , den) %传递函数模型向零极点传递函数的转换 [num , den ]=zp2tf(z ,p ,k) %零极点传递函数向传递函数模型的转换 （5）feedback()函数：系统反馈连接
调用格式：sys=feedback(s1,s2,sign) 其中，s1为前向通道传递函数，s2为反馈通道传递函数，sign=-1时，表示系统为单位负反馈；sign=1时，表示系统为单位正反馈。 2.控制系统的稳定性分析方法 （1）求闭环特征方程的根(用roots函数)； 判断以为系统前向通道传递函数而构成的单位负反馈系统的稳定性，指出系统的闭环特征根的值： 可编程如下： numg=1; deng=[1 1 2 23]; numf=1; denf=1; [num,den]= feedback(numg,deng,numf,denf,-1); roots(den) （2）化为零极点模型，看极点是否在s右半平面（用pzmap）； 3.控制系统根轨迹绘制 rlocus() 函数：功能为求系统根轨迹 rlocfind():计算给定根的根轨迹增益 sgrid()函数：绘制连续时间系统根轨迹和零极点图中的阻尼系数和自然频率栅格线 4.线性系统时间响应分析 step( )函数---求系统阶跃响应 impulse( )函数：求取系统的脉冲响应 lsim( )函数：求系统的任意输入下的仿真 三、实验报告要求：
实验一控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、实验内容 系统模拟电路图如图 系统模拟电路图 其开环传递函数为: G（s）=10K/s(0.1s+1)(Ts+1) 式中 K1=R3/R2，R2=100KΩ，R3=0～500K；T=RC，R=100KΩ，C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验步骤 1.连接被测量典型环节的模拟电路。电路的输入U1接A/D、D/A卡的DA1输出，电路的 输出U2接A/D、D/A卡的AD1输入，将纯积分电容两端连在模拟开关上。检查无误后接通电源。 2.启动计算机，在桌面双击图标 [自动控制实验系统] 运行软件。 3.在实验项目的下拉列表中选择实验三[控制系统的稳定性分析] 5.取R3的值为50KΩ，100KΩ，200KΩ，此时相应的K=10，K1=5，10，20。观察不同R3 值时显示区内的输出波形(既U2的波形)，找到系统输出产生增幅振荡时相应的R3及K值。再把电阻R3由大至小变化，即R3=200kΩ，100kΩ，50kΩ，观察不同R3值
时显示区内的输出波形, 找出系统输出产生等幅振荡变化的R3及K值，并观察U2的输出波形。 五、实验数据 1模拟电路图 2．画出系统增幅或减幅振荡的波形图。 C=1uf时： R3=50K K=5：
R3=100K K=10 R3=200K K=20：
等幅振荡：R3=220k: 增幅振荡：R3=220k：
R3=260k: C=0.1uf时：
. Matlab在控制系统稳定性判定中的应用 稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关.线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部. 在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是劳斯判据。劳斯判据给出线性系统稳定的充要条件是:系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造劳斯表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法. 具体方法及举例： 一用系统特征方程的根判别系统稳定性 设系统特征方程为s5+s4+2s3+2s2+3s+5=0，计算特征根并判别该系统的稳定性。在command window窗口输入下列程序，记录输出结果。 >> p=[1 1 2 2 3 5]; >> roots(p) 二用根轨迹法判别系统稳定性：对给定的系统的开环传递函数 1．某系统的开环传递函数为，在command window窗口输入程序，记录系统闭环零极点图及零极点数据，判断该闭环系统是否稳定。 >> clear >> n1=[0.25 1]; >> d1=[0.5 1 0]; >> s1=tf(n1,d1);
. >> sys=feedback(s1,1); >> P=sys.den{1};p=roots(P) >> pzmap(sys) >> [p,z]=pzmap(sys) 2
精品 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10 2．绘制EWB图和Simulink仿真图。
精品 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。 系统响应曲线 实验曲线Matlab （或EWB）仿真 R3=100K = C=1UF 临界 稳定 （理论值 R3= 200K） C=1UF
精品 临界 稳定 （实测值 R3= 220K） C=1UF R3 =100K C= 0.1UF
精品 临界 稳定 （理论 值R3= 1100 K） C=0.1UF 临界稳定 （实测值 R3= 1110K ） C= 0.1UF
精品 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
电力系统稳定性分析研究 摘要：电力系统地域分布非常辽阔，是一个结构极为复杂的大系统，它由发电厂、变电站、输配电网络和用户组成，电力系统具有的非线性、时变性以及参数的不确定等特性，并含有大量未建模动态部分，是一个巨维数的典型动态动力学系统。稳定的电力系统是保证电力系统安全和经济运行的有效手段，对保证经济发展和国民安全以及人民生活有重大的意义，随着科学技术不断提高，各类自动化技术也在电力系统中广泛的应用，电力系统的稳定性也越来越受到电力工作者们的重视。本文从电力系统稳定的重要性出发，首先分析了电力系统运行的基本状态，然后解释了稳定性的基本概念，最后提出了有关于电力系统稳定性的解决办法。 关键词：电力系统静态稳定暂态稳定 1、电力系统稳定性的重要性 我国经济发展速度越来越快，对电力的需求也越来越大，电力建设是各行各业发展的基础，是国民经济增长的基础，是我国向现代化前进的命脉。近年来我国电力消耗越来越高，预计到“十二五”时期，我国电力需求会逐年上升10%，在加上我国电力系统的大规模化和系统结构的复杂化，电力系统的不确定性也增加了发生电力事故的概率，给人民生活、工业生产以及国民安全带来较大的损失。所以要维持我国经济的高速发展，必须要建立现代化的电力系统，其首要问题就是保证电力系统稳定正常安全的运行。 电力系统所具有复杂的非线性特征，其不确定的动态行为使得电力系统会出现混沌振荡、频率崩溃和电压崩溃，这三种现象就是电网系统不稳定的典型特征，这也是电网事故三大主要原因。1966年美国两大电网西北西南电网合并互联时，就曾发生过振荡现象，在一分钟内发生了六次混沌振荡，从而导致两大电网解列。1996年5月28日11时57分我国华北电网发生了一起较为罕见的系统振荡事故，振荡持续了1分46秒，造成地处张家口地区的两座火力发电厂的停电，即沙岭子电厂(4*300MW)，下花园电厂(2*100+200MW)全停，最后导致该区域大部分地区停电，这就是严重的“5.28”华北电网事故。由此可见，电力工作者们必须在工程和技术上非常重视和关注电力系统的稳定性。 2、电力系统运行的基本状态 电力系统应有充足的静态稳定容量，分有功和无功两种，而且在正常负荷的波动下，能够有效的调节有功和无功间的潮流，并且不发生振荡，这样就可以保持电力系统正常运行的稳定性。若系统任意一元件发生故障，如发电机或变压器等，不应导致主系统发生频率崩溃或电压崩溃等非同步运行的情况。 若电力系统的总功率与总负荷随时相等，那么我们可以称该电力系统正常运行。用数学公式表示为：； ，式中P为有功功率，Q为无功功率，g为功率，l为负荷，△P、Q分别代表有功、无功的损耗。 电力运行的状态主要包括以下四种。(1)正常状态：电力系统可以在电压和频率上满足各用户的用电需求。(2)警戒状态：电力系统在正常运行状态下受到振荡等一些因素的干扰，并且将干扰带来的影响积累起来，当干扰的影响积累足够多时，电力系统进入警戒状态。(3)紧急状态：当干扰的影响积累足够多时，各运行水平偏离正常值，电力系统已经不能在电压和频率上满足各用户的用电需
MATLAB 实现控制系统稳定性分析 稳定是控制系统的重要性能,也是系统能够工作的首要条件,因此,如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施,便成为自动控制理论的一个基本任务.线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数,而与输入无关.线性系统稳定的条件是其特征根均具有负实部. 在实际工程系统中,为避开对特征方程的直接求解,就只好讨论特征根的分布,即看其是否全部具有负实部,并以此来判别系统的稳定性,由此形成了一系列稳定性判据,其中最重要的一个判据就是Routh 判据.Routh 判据给出线性系统稳定的充要条件是:系统特征方程式不缺项,且所有系数均为正,劳斯阵列中第一列所有元素均为正号,构造Routh 表比用求根判断稳定性的方法简单许多,而且这些方法都已经过了数学上的证明,是完全有理论根据的,是实用性非常好的方法. 但是,随着计算机功能的进一步完善和Matlab 语言的出现,一般在工程实际当中已经不再采用这些方法了.本文就采用Matlab 对控制系统进行稳定性分析作一探讨. 1 系统稳定性分析的Matlab 实现 1.1 直接判定法 根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性,最简单的方法是求出系统所有极点,并观察是否含有实部大于0的极点,如果有,系统则不稳定.然而实际的控制系统大部分都是高阶系统,这样就面临求解高次方程,求根工作量很大,但在Matlab 中只需分别调用函数roots(den)或eig(A)即可,这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性. 已知控制系统的传递函数为 ()24 5035102424723423+++++++=s s s s s s s s G （1） 若判定该系统的稳定性,输入如下程序: G=tf([1,7,24,24],[1,10,35,50,24]); roots(G.den{1}) 运行结果: ans = -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 由此可以判定该系统是稳定系统. 1.2 用根轨迹法判断系统的稳定性 根轨迹法是一种求解闭环特征方程根的简便图解法,它是根据系统的开环传递函数极点、零点的分布和一些简单的规则,研究开环系统某一参数从零到无穷大时闭环系统极点在s 平面的轨迹.控制工具箱中提供了rlocus 函数,来绘制系统的根轨迹,利用rlocfind 函数,在图形窗口显示十字光标,可以求得特殊点对应的K 值. 已知一控制系统,H(s)=1,其开环传递函数为: ()()() 21++=s s s K s G (2) 绘制系统的轨迹图. 程序为: G=tf(1,[1 3 2 0]);rlocus(G); [k,p]=rlocfind(G) 根轨迹图如图1所示,光标选定虚轴临界点,程序 结果为:
四川师范大学本科毕业设计 基于MATLAB的控制系统稳定性分析 学生姓名宋宇 院系名称工学院 专业名称电气工程及其自动化 班级 2010 级 1 班 学号2010180147 指导教师杨楠 完成时间2014年 5月 12日
基于MATLAB的控制系统稳定性分析 电气工程及其自动化 本科生宋宇指导老师杨楠 摘要系统是指具有某些特定功能，相互联系、相互作用的元素的集合。一般来说，稳定性是系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。如果系统是不稳定，它可以使电机不工作，汽车失去控制等等。因此，只有稳定的系统，才有价值分析与研究系统的自动控制的其它问题。为了加深对稳定性方面的研究，本设计运用了MATLAB软件采用时域、频域与根轨迹的方法对系统稳定性的判定和分析。 关键词：系统稳定性 MATLAB MATLAB稳定性分析
ABSTRACT System is to point to have certain function, connect with each other, a collection of interacting elements. Generally speaking, the stability is an important performance of system, also is the first condition of system can run normally. If the system is not stable, it could lead to motor cannot work normally, the car run out of control, and so on. Only the stability of the system, therefore, have a value analysis and the research system of the automatic control of other problems. In order to deepen the study of stability, this design USES the MATLAB software using the time domain, frequency domain and the root locus method determination and analysis of the system stability. Keywords: system stability MATLAB MATLAB stability analysis
DYNAMICS OF A SYNCHRONOUS MACHINE 同步电机动力学 同步电机转子的动能 2 6 sm 1 10MJ 2 KE J ω-=? 式中：J 为转子转动惯量，单位2 kg m - sm ω为机械同步转速，单位r a s 而 s sm 2P ωω?? = ??? 为电气同步转速，单位rad s ，式中， P 为电机磁极数。 ∴ 2 6 s s 12102KE J P ωω-????=? ? ? ????? s 1 2 M ω= 式中， 2 6 s 12102M J P ω-????=? ? ? ????? ，为惯性矩，单位MJ-s elect rad 惯性常数H 定义为 s 1 M J 2 G H K E M ω== 式中，G 为电机额定容量，单位MV A （3相） H 为惯性常数，单位MJ/MV A 或MW-s/MV A 由上式可推导出，惯性矩 s 2 M J -s /e l e c t r a d G H G H M f ωπ= =
M J -s /e l e c t d e g r e e 180 GH f = （12.1） 也可称为惯性常数。取G 为基准，惯性常数的标幺值 2 (p u ) s /e l e c t r a d H M f π= 2 s /e l e c t d e g r e e 180H f = （12.2） 摇摆方程（SWING EQUATION ） 同步电机中转矩、转速和机械电气功率流向如图12.1所示。假定忽略风阻、摩擦和铁损转矩，转子运动可用以下微分方程描述： 2m m e 2 d Nm d J T T t θ=- （12.3） 式中，m θ为机械转角，单位为rad m T 为原动机转矩，单位Nm ；电动机取负值 e T 为电机产生的电磁转矩，单位Nm ；电动机取负值 图12.1 同步电机中机械功率和电磁
GB XXXXX —XXXX 14 附录A 电力系统稳定性分类 根据电力系统失稳的物理特性、受扰动的大小以及研究稳定问题应考虑的设备、过程和时间框架，电力系统稳定可分为功角稳定、电压稳定和频率稳定3大类以及若干子类。电力系统稳定性分类如图 A.1所示。 图A.1 电力系统稳定性分类 A.1 功角稳定 rotor angle stability 同步互联电力系统中的同步发电机受到扰动后保持同步运行的能力。功角失稳由同步转矩或阻尼转矩不足引起，同步转矩不足导致非周期性失稳，而阻尼转矩不足导致振荡失稳。 A.1.1 小扰动功角稳定 small-disturbance rotor angle stability 电力系统遭受小扰动后保持同步运行的能力，它由系统的初始运行状态决定。小扰动功角失稳可表现为转子同步转矩不足引起的非周期失稳以及阻尼转矩不足造成的转子增幅振荡失稳。 A.1.1.1 静态功角稳定 steady-state rotor angle stability 简称静态稳定，是指电力系统受到小扰动后，不发生非周期性失步，自动恢复到起始运行状态的能力。是小扰动功角稳定的一种形式。 A.1.1.2 小扰动动态稳定 small-disturbance dynamic stability 电力系统受到小的扰动后，在自动调节和控制装置的作用下，不发生发散振荡或持续的振荡。是小扰动功角稳定的另一种形式。 A.1.2 大扰动功角稳定 large-disturbance rotor angle stability 电力系统遭受严重故障时保持同步运行的能力，它由系统的初始运行状态和受扰动的严重程度共同决定。大扰动功角失稳也表现为非周期失稳和振荡失稳两种形式。 A.1.2.1 暂态稳定 transient stability 电力系统稳定性 功角稳定非周期 性失稳 （静态稳定）大扰动功角稳定小扰动 功角稳定周期性失稳（小扰动动态稳定）第一、二摆失稳（暂态稳定）周期性失稳（大扰动动态稳定）电压稳定 大扰动电压稳定 短期过程（暂态电压稳定）长期过程长期过程频率稳定短期过程小扰动电压稳定
系统的相对稳定性分析 已知某系统的开环传递函数为200 153.0005.060023)()(+++= S S S H G S S ,试用Nyquistw 稳定判据判断闭环系统的稳定性，并用阶跃响应曲线验证。 （1）计算系统开环特征方程的根。 p=[0.0005 0.3 15 200]; roots(p) 程序运行结果 ans= 1.0e+002 * -5.4644 -0.2678 + 0.0385i -0.2678 - 0.0385i 即三个根均有负实部，都为稳定根。故开环特征方程的不稳定根的个数p=0。 (2)绘制系统的开环Nyquist 图，并用来判断闭环系统的稳定性。 n=600;d=[0.0005 0.3 15 200]; GH=tf(n,d); nyquist(GH) 程序运行后，绘制出系统的开环Nyquist 曲线如图1所示，由图1可以看出系统的Nyquist 曲线不包围（-1，j0)点。而p=0，根据Nyquist 稳定判据，其闭环系统是稳定的。这还可以用系统的阶跃响应曲线来验证。 图1系统的开环Nyquist 图
（3）用阶跃响应曲线来验证。 syms s GH sys; GH=600/(0.0005*s^3+0.3*s^2+15*s+200)； sys=factor(GH/(1+GH)) 程序运行结果 sys = 1200000/(s^3 + 600*s^2 + 30000*s + 1600000) 即1600000 300006001200000s 23+++=Φs s s ）（ 下面为使用matlab 绘制系统单位阶跃响应曲线的程序代码： n=1200000;d=[1 600 30000 1600000]; sys=tf(n,d); step(sys) 程序运行后，绘制系统单位阶跃响应曲线如图2所示。由图2可知，曲线略微超调后迅速衰减到响应终了值，对应的系统闭环不仅稳定，而且具有优良的性能指标，这就证明了Nyquist 稳定判据的正确性。 图2 系统的单位阶跃响应曲线
自动控制理论实验报告 实验题目控制系统的稳定性分析 一、实验目的 1．观察系统的不稳定现象。 2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。 二、实验仪器 1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台 2．计算机一台 三、系统模拟电路图 系统模拟电路图如图3-1 图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。 四、实验报告 1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。 G(S)= K=R3/100K,T=CuF/10
自动控制理论实验报告 2．绘制EWB 图和Simulink 仿真图。 3．根据表中数据绘制响应曲线。 4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告
自动控制理论实验报告 实验和仿真结果 1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。 对比： 实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。 原因： MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。 2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较 （1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2， 当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11 当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近 四、实验总结与思考 1．实验中出现的问题及解决办法 问题：系统传递函数曲线出现截止失真。 解决方法：调节R3。 2．本次实验的不足与改进 遇到问题时，没有冷静分析。考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。 改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。 3．本次实验的体会 遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，