美国学校数学教育的原则和标准
如何使用此书
我们的基本立场是借鉴和参考书中的观点和思想，而不是没有消化地照搬、照抄。新加坡的学生在“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”中，名列前茅。美国的教育部长去年访问新加坡时，也盛赞新加坡的教育。美国的一些学校同时直接采用新加坡的教材，但在具体使用时，遇到了很大的挑战，这在很大程度上是因为教学是和社会、文化密切相关的。同样，尽管此《原则和标准》在美国有较大的影响，其中也确实包括了许多新的有关教学、学习、评估、课程，及现代科技等方面的观点，但如果照搬、直接采用，同样也会遇到挑战和困难。为了便于国内的前辈和同行们参考，现就我们知道的关于美国数学教育界“出台”标准作一点简单的历史回顾。
简单历史回顾
美国各州及学区(school district)有权决定使用教材，因而教材种类多，没有一个统一的“教学大纲”。美国没有高考，只要经济上许可，绝大多数高中毕业生可进不同种类的大学深造，进人大学的重要参考条件之一是SAT或ACT的考试成绩(SAT和ACT不是全国统考，而是由美国两个考试中心具体实施)。另外，美国没有专门培养(或培训)教师的师范院校，但几乎所有的综合性大学都有师范专业。总的来看，美国教育制度大多由当地部门作出决策。由此带来的问题是，由于美国各地对学生有不同的要求，如何来评价他们的学生已经达到了相应的要求呢？如何在一定程度上达到统一要求呢？80年代前后，美国参与“第二次国际数学教育比较研究(The Second International Mathematics Study)”，在参与的20多个国家和地区中，美国排最后几位，特别是韩国、日本和中国香港学生的成绩都好于美国。他们通过比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国(或全地区)统一的大纲或课程，而美国没有。80年代中期，作为一个民间的专业团体的全美数学教师理事会决定成立一个委员会来提出一些标准。经过几年的努力，于1989年出台了《学校数学的课程与评价标准》(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics)，这一标准在一定程度上起到了统一要求的作用，引起了较大反响，表现在：(1)该标准被翻译成多种文字(人民教育出版社已于1994年出版了中文本)；(2)其他学科纷纷仿效数学课程标准，制定相应的课程标准(如，美国的科学标准，人民教育出版社也出版发行了中文版)；(3)美国各州也相应形成了各自的数学内容框架；(4)此成果获全美教育研究会颁发的奖项；(5)美教育期刊中的许多文章引用了这一文件，被引用率首屈一指。
随着这些标准的相继发表，美国联邦政府花费了大量的财力、人力来培训教师，让他们熟悉标准中的观念，掌握其要旨，懂得如何付诸于教学实践。于是，人们期待美国数学教育有一个很大的提高。然而，事与愿违，“第三次国际数学和科学研究(TIMSS)”的研究结果显示，美国学生的表现与人们的期望相距甚远。其中，八年级和十二年级的测试成绩远远低于其他国家，四年级也只达到了国际平均水平，因而批评意见纷沓而至。纽约大学的FranCurcio教授认为以前出版的这些标准足以让人产生如下几种误解。
1．忽视基本计算。
许多人认为基本计算技能不再重要。恰恰相反，基本计算的培养不应被忽视，学生仍需要掌握关于加法与乘法的一些基本的事实，尽管学习这些基本事实并不是解决问题的先决条件，但学习这些事实对学生解决那些有意义的、与他们相关的和有趣的问题是必不可少的。对这些基本事实的学习可通过游戏或其他一些活动有意义地重复、轻松地进行，而不是无意义的机械记忆。同时，通过处理各种不同的情境和问题，学生有机会培养和应用那些有助于他们学习这些基本事实的思维策略。
2．对问题仅有近似解答就足够了。
1989年的“课程标准”强调估算能力的培养，但有些人却误认为只要近似答案就够了。如果一个问题只是需要一个估计，而不需要准确结果，那么有一个合理的估计就够了。然而，如果一个问题需要一个精确的答案，那么近似答案就是错误的。
3．数学教学只有惟一正确方法。
改革支持者都知道教学是一个非常复杂的活动。教学计划的制定，问题的设计，教给学生适宜的、有价值的数学这一切都取决于教师对学习过程的认识能力，对学生的需要和兴趣的了解以及对所教数学的切实理解。尽管教师精于课堂教学的内容，但还必须通过对学生全方位的了解来制定教学计划，并没有惟一正确的教学方法。
4．有标准记号的教材就是支持改革的。
判断一种教材是否支持学校数学改革的标准在于：问题解决时数学的严谨性、深度和逻辑性是否被保持，而数学交流、推理以及数学内外的关联是否被突出。那些为了建立与文学、历史或科学的联系而肤浅处理数学知识的教材，对学生和数学改革都是有害的。
5．没有有效的研究结果支持改革。
许多人误认为没有研究来支持改革，相反的，针对现阶段数学教学改革和学生数学成绩的大量研究都是基于支持这些标准而进行的。
除上述五点，我们认为，这些标准让人所产生的误解还包括以下两点。
6，具体经验能自动导致抽象。
标准中强调让学生理解性地学数学，好像只要让学生看一看、摸一摸那些直观的东西就够了，用不着老师“推学生一把(Push)”就可以达到理解和较抽象的程度。
7．现代技术在数学中的使用等于教学改革。
科技应成为促进数学教与学的工具，然而如何有效地使用科技于课堂教学仍是一个正在探讨的问题，但科技的使用并不意味着数学教育改革，我们不应该用科技给数学教育贴上一个改革的“标签”。
为此，针对以上批评意见，全美数学教师理事会认为，“标准”应不断加以改进和完善。于是，从1996年起他们开始着手制定这一《原则和标准》。在序言中对《原则和标准》的制定有详细的说明。
问题与挑战
《原则和标准》只是提出了一个数学教育的宏伟前景，而不是已实现的现实。实现这一宏伟前景远比提出这些原则和标准难得多。面临的最大挑战之一是如何让教师能在他们的教学中贯彻《原则和标准》的精神。
印第安纳大学(1ndiana University)的Frank Lester教授认为，美国现行数学教育中仍存在以下的问题或挑战。
1．确定什么是数学真正基础的问题。
“回到基础(Back to the basics)”与“朝向将来的基础(Forward to What Will bebasic)”两派激烈之争或许是这一挑战最鲜明的例证。其中有学者更是直言：“为什么要浪费宝贵的时间去教学生解决那些只需花9.95美元的计算器就可解决的问题？”
2．对实践活动、课程材料和教学方法协调一致的评估问题。
(1)如何解决“改革”的课程使用与传统的评估方法和教学方法的使用这一矛盾？
(2)如何正确评估数学教学改革成败的原因？
3．课程平稳过渡问题。
由于存在不同的课程体系、内容重点和哲学，如果各年级之间，特别是从一个学校到同一个学区的邻近学校之间缺乏良好的衔接，就可能严重影响数学教学。如果我们期望通过努力获得数学教育的成功，那么我们必须正视和解决这些问题。
4．师资的短缺和教师的素质问题。
在接下来的十年内美国需要二百万的新教师，到2003～2004年美国可能流失40％的高中师资，数学和理科将受很大的冲击。同时，教师的素质及培训对数学教育是很关键的，正如“不懂的东西你不会教，对没有热情的东西你也不可能教好！”
5．处理学校结构不断复杂化所带来的新需要的策略问题。
6．怎样看待数学教育中的“两难”现象(Paradoxes)。
(1)社会普遍认为数学难学，但易教。
(2)数学对社会有用，但对我无用。对数学的这种态度，学生会受到何种感染呢？
(3)数学是逻辑的、理性的，但对我毫无意义等。
针对以上这些问题，NCTM呼吁大家齐心协力，迎接挑战，为实现《原则和标准》中所描绘的理想的数学教育前景而共同努力。
从1989年《学校数学课程与评价标准》到1991年《数学教学专业标准》，到1995年《学校数学教育的评估标准》，再到2000年《原则和标准》的正式出版，美国数学教育改革所走过的十多年的风雨历程理应成为当前我国正在进行的数学课程改革(尤其是“国家数学课程标准”)的“前车之鉴”，他们所面临的问题和挑战同样也值得我们认真思考和对待。
目录
前言.
致国家数学教师理事会的感谢信
第一章学校数学教育的前景
第二章学校数学教育的原则:公平原则;课程原则;教学原则;学习原则;评估原则;科技原则
第三章学前期至十二年级学校数学教育的标准:数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第四章学前期至二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第五章三至五年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征数与运算
第六章六至八年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第七章九至十二年级的标准;数与运算;代数;几何;度量;数据分析与概率;问题解决;推理与证明;交流;关联;表征
第八章齐心协力将理想变为现实
附录
标准和期望表...
前言
《原则和标准》的目的旨在为直接影响学前期至十二年级学生的数学教育作决策的人们提供参考。本文件中提出的各项建议是基于这样的信念，那就是所有的学生应该理解地学习重要的数学概念和过程。《原则和标准》指明了理解的重要性并描述了学生能达到此种理解的途径。本文件的写作宗旨在于面向数学教师、学校和学区的教师领头人(teacher-leaders)、教材和课程构架制订者、学区的课程主管和教师在职培训的负责人、负责数学教师教育和培训的教育工作者、职前教师、学校、州教育部门的行政人员和政策制订者。此外，本文件也
能为研究人员、数学家及其他关心学校数学教育的同仁们提供参考。《原则和标准》由国家数学教师理事会(NCTM)制订并出版。NCTM是一个国际性的专业组织，其宗旨是提高所有学生的数学教学和学习。
NCTM先前出版了三个划时代的标准——1989年的《学校数学课程与评价标准》、1991年的《数学教学专业标准》以及1995年的《学校数学教育的评估标准》。这三个文件标志着在历史上的第一次重要的尝试，由一个专业组织来制订并向教师和政策制订者描述教育目标。自从它们出版以来，它们为改善数学教育的努力提供了重点、连贯性和新的观点。
从NCTM一开始参与提出教育标准，NCTM就把此种努力看成是不断改进数学教育的一部分。为了让标准继续发挥其功能，体现在标准中的目标和展望必须定期地由具体实施的同仁们考察、评估，及试验，进而进行修订。在90年代初，理事会开始讨论是否有修订这些NCTM标准的需要。这些讨论促使1995年成立了标准的未来委员会。1996年的4月，NCTM董事会通过了修订最初的标准的课题计划。这一被称为“2000年标准”的课题阐明了如何把标准作为所有关心数学教育的人们反思和达成共识的机制。
在NCTM内部成立了不同的小组来负责制订“2000年标准”。首先，标准的未来委员会在1995年组成并负责——
·监管“2000年标准”这一课题及其他相关课题；
·在策划“2000年标准”这一课题的过程中，收集和综合来自NCTM内、外的信息和建议；
·提出一个发行、解释、实施、评价和进一步修改将来标准的计划。
“2000年标准”的写作小组和电子版小组于1997年春季成立。每一小组包括教师、师范教育工作者、行政人员、研究人员和数学家等在内具有不同专长的人士。写作小组在标准制订中的主要职责是让“2000年标准”——
·基于原有的三个标准文件；
·综合《学校数学课程与评价标准》、《数学教学专业标准》和《学校数学教育的评估标准》中与课堂教学有关的部分；
·组织成四个年级段：学前期(prekindergarten)①至二年级、三至五年级、六至八年级和九至十二年级。
电子版小组的职责是——
·考虑不同的途径出版和发行“2000年标准”；
·提出把与现代科技相关的材料溶人到标准中去的可能方法；
·让“2000年标准”的写作小组知道有关应用现代科技的最新资料；
·辅助“2000年标准”写作小组的工作并提供恰当的使用现代科技的例子。
写作小组的主要工作是在1997年夏天、1998年夏天和1999年夏天的短期会议中完成的。尽了最大的努力以保证让写作小组了解最新、最好的研究成果。写作小组的成员能够获得各种教材、各州的课程文件、研究报告、政策文件和别的国家的课程教材。
通过由标准的未来委员会组织的一系列活动，也使写作小组得到更多的建议。在1997年的二月，NCTM的主席邀请了数学科学会议团体(The Confereme Boardof the Mathematical Sciences，简称CBMS)所属的组织成员，组成了联合评审小组(Association Review Groups，简称ARGs)，旨在“从各自所属的机构的层面，不断地提供反映K—12年级数学的建议和信息。”在该课题进行的过程中，形成了14个联合评审小组，提出了五大类的问题给这些评审小组，并寻求他们的答复。(有关这些评审小组，提出的所有问题及来自评审小组的答复可以在WWW．NCTM。org／standards／中找到。)
NCTM的研究指导委员会(Research Advisory Committee)委托出版了一系列的“白皮书”。这些白皮书总结了数学教学中八个方面的研究成果和动向，提供给写作小组。另外，在美国国
家自然基金会的支持下，学校数学基础会议(the Conference on Foundations for School Mathematics)于1999年三月在亚特兰大举行，此会议给编写者提供了有关数学教学和学习的理论方面的背景知识。为此会议而写的论文和“白皮书”将由NCTM作为《NCTM标准的研究篇》出版。由艾森豪威尔全国交换所(Eisenhower National Clearinghouse)部分支持召开的两次会议，使写作小组得到了有关现代科技方面的信息，以及就如何策划《原则和标准》的电子版提供了建议。
标准初稿《数学教育的原则和标准(讨论稿)》于1998年的10月出版，并在较大范围内传阅以寻求各方面的反映和讨论。大约三万份标准初稿送到有兴趣阅读的人手中，12万人次通过NCTM的网址阅读。1998～1999年度所有NCTM的地方会议上均有关于标准的报告和讨论，在许多其他专业组织会议上也有报告，应邀对标准初稿的反馈文章也在NCTM 的刊物上发表。另外，有25人被特别委托从他们各自感兴趣的领域出发对标准初稿进行评审。总共有650多人和?o多个小组提出了他们的建议。这些建议被分类并输入了定性的数据库(qualitative database)，以确定一系列的重要观点和建议供修改时考虑。在1999年夏天的会议上，写作小组得到有关重要建议、具体例子以及有关细节反馈的总述，以帮助他们写作。在提供的反馈中考察了各方面的建议。根据反馈信息和写作小组成员各自的判断，写作小组认真地作出了如何把每一重要建议容纳到《原则和标准》中去的决定。
在NCTM董事会的要求以及美国国家自然基金会的支持下，NCTM的研究指导委员会组织了一个由不同背景的专家组成的小组来评审、整合和分析标准初稿反映的程序和过程，评审如何在修改中反映提出的建议的计划，以及评审写作小组如何在最终的文件中执行此计划。写作小组就如何反映来自评审员和数学教育专业领域的建议而得到的专家小组的指导，并在指导中大大获益，其结果促使该文件有了较大的改进。
《原则和标准》反映了来自不同方面的建议和影响。在整个文件中，教育研究为许多提议和主张提供基础。这些建议和主张说明的是处于某一水平的学生，在特定的教育条件下，学习特定内容的最大可能性。在《原则和标准》中强调的内容和标准也反映了社会对数学素质的要求，反映了数学教育的过去，同时也反映了教师、数学教育工作者、数学家和一般公众的价值观和期望。最后，包括在本文件中的许多内容是基于写作小组中课堂第一线教师、教师教育工作者、教育研究者和数学家的经验和观察，也是基于在整个写作过程中写作小组收到的建议。
《原则与标准》包括了许多课堂教学的实例，学生解题的例子和说明文中提到观点的教学片断。如果这些是从别的出版物中来的，那么有说明引用这些例子或教学片断的出处。如果一个教学片断没有引用出处，而且是用过去式写的，那样的片断是根据写作小组成员或教师的经验而写成的，在恰当的地方也指明了出处(例如，没有发表的观察记录)。以现在时写的教学片断则是根据作者的经验而虚构的例子，在文中有说明。
本文件提供了学校数学教育的前景——一系列需要努力才能达到的目标。在整个文件中，这一数学教育的前景是使用“应该”“将”“能够”“必须”等词表达，以让读者知道NCTM提出的数学教学和学习是什么样的。但这并不意味着保证达到预先确定的结果，而这只是描述NCTM前景的一种方式。
《原则和标准》可以从NCTM的网页中阅读并打印(WWW．NCTM．org)。《原则和标准》电子版(称为E—标准)包括了检索该文件的工具，以及更多电子版的例子(E-例子)，来说明和加强本文中提到的观点。电子版的标准使之和别的资料和背景材料相联成为可能，从而提高了《原则和标准》的信息量。E—例子是传递文中一些特别信息的关键，它以边上的一个插图表示出来。电子版的《原则和标准》既有CDROM的形式，又有网络版(www．standards．nctm．org)。
在今后的几年中，《原则和标准》将是NCTM的重点和工作方向。几个与《原则和标
准》相关的课题已经开始。NCTM已经组成了一个专门的行动小组，来计划出版一系列的、既有书面的又有电子版的材料，目前此系列暂定名为“辅助教师在课堂教学中实现《原则和标准》的前景指南”。这一系列材料和89年出版的《学校数学课程与评价标准》辅助系列类似。一系列的由NCTM新成立的专业培训学院(Acade my for Professionl Development)组织的机构将给各级领导重点介绍《原则和标准》并深人探讨本文件中的各种标准和论点。另一个行动小组正在策划和准备材料，帮助NCTM有效地传达到教育行政人员。同时，成立了标准影响研究小组(The Stand ards Impact Research Group)。研究在本文件中确定的标准为本的教育改革的总体过程怎样才能被更好地理解，并随后做出改进以达到提高学生学习的目的。E—标准行动小组正在考虑扩展并改进未来的《原则和标准》的电子版本(包括网络的和CD的)。在一个电话公司(MCI WorldCom)资助下，“照明课题”(illumination proliect)正在通过网络提供信息以“照明”本文件中的信息。所有这些活动(和其他的许多别的活动不可避免地将在今后几年中出现)都以《原则和标准》作为坚实基础以保证NCTM继续地在改善所有学生的数学学习中起领导作用。有关本文件的各方面的消息和信息，请参考NCTM的网页：WWW．nctm．org。
第三章
学前期至十二年级学校数学教育的标准
学生在学校应学习和能应用什么样的数学内容和过程呢？《原则和标准》提出了NCTM 有关学校数学教育中所应重视的内容和过程的建议。要想使社会的成员具有数学思维和推理的能力，并掌握有用的数学基础知识和基本技能，我们必须要有一系列高要求的标准。
本章提出的十个标准阐述了一个数学理解和能力相互关联的整体。它是一个要求所有学生达到的综合性基础，而不是一个做课程选择的菜单。这些标准描述了通过数学教学学生应该学习掌握什么样的数学。它们具体地指明了从学前期至十二年级学生应该达到的理解，知识和技能水平。数与运算、代数、几何、度量以及数据分析和概率，明确说明了学生应该学习的数学内容。问题解决、推理与证明、交流、关联和表征强调了获得和应用知识的方法。
1.跨年级的提高：旨在重点突出并连贯
这十个标准中的每一个都适用于从学前教育到高中毕业的各年级。第四章至第七章要详细讨论的这些标准提出了所有学生都应学习的数学。每个标准包括几个适用于各年级的教育目标。这些教育目标表明了随着课程的加深，也应相应强调学生知识的增长和复杂程度的共同基础。就每一内容标准来说，第四章至第七章还提供了更加具体的、每一年级阶段应达到的教育目标。
附录中列出的标准和要求清楚表明了，随着年级增加要求也随之提高。每一数学内容在每年都教是不现实的。然而学生应该根据预先确定的课程对相应的概念达到一定深度的理解，对相应的技能达到一定的熟练程度，以使以后的教学能建立在这些理解和熟练的基础上。
尽管每一标准适用于所有年级，但在各年级阶段和各年级阶段之间的重点有所不同。例如，学前期至二年级，数是应强调的重点。而到了九至十二年级，数的教学就不是重点了。总的教学时数是根据各年级阶段的需要而划分的。例如，在初中，大部分的课时用于代数和几何教学。
这十个标准并没有把学校数学课程分成不相干的部分。因为作为一门学科的数学是相互关联的，所以这些标准所描述的内容和过程是相互重叠的综合体。过程体现在内容标准中，同时内容也体现在过程标准中。数学中存在着大量的关联和重叠。例如，数的概念和运算普遍存在于所有的数学领域中。数据分析中的有些内容又可看成度量的一部分。几何随处可见模式和函数关系。在各数学内容中，都要用到推理、证明、问题解决和表征等过程。
把数学课程安排成十个标准，只是建议把其看成是包含重要数学内容和过程的连贯组织。根据《原则和标准》设计课程框架、评估、教材和课堂教学的人们应根据各自的需要决定重点和优先顺序。也可用别的办法来看待和安排数学课程。
2.离散数学在哪里？
在1989年的《学校数学课程与评价标准》中，离散数学是九至十二年级中的一个内容标准。在《原则和标准》中，仍然包括离散数学的主要内容，但并不是作为一个单独的内容标准对待，而是分布在从学前期至十二年级的各标准中。离散数学作为一个广泛应用于商业和工业的当代相当活跃的数学分支，应该是学校数学不可分割的一部分。离散数学的主要内容很自然地融入到了其他的数学分支中。组合（combinatorics）、迭代和递归（interation and recursion）及图论（vertex-edge graphs）这三个离散数学的重要内容被融入到了数学内容标准中。所涉及的概念和思想在学前期至十二年级的课程中逐渐由系统地展开。另外，在九至十二年级中，应涉及到矩阵的知识。组合数学涉及到系统地数数。迭代和递归用于模拟有顺序、有步骤的变化。图论用于建模和解决有关路线、网络和有限元之间的关系等问题。
数与运算
数与运算标准描述了对数数、数和算术的深刻理解和熟练运算以及对数系及其结果的理解。算术概念和算理是数和运算的组成部分，数的分类和性质也是数和运算的组成部分。数的分类和性质有助于数论的初步认识。这一标准的中心是培养学生的数感(number sense)，就是用100或1/2这样特定的数作参考自然地分解数字的能力，运用从算术运算到问题解决间关系的能力，理解十进制数的能力，估算能力，理解数字含义的能力，以及对数的绝对和相对大小的辨认能力。
历史上，无论在美国、加拿大，还是在世界上别的国家，数都被认为是数学课程的基石。这里提到的从学前期至十二年级的数学都扎根在数这块基石上。代数中的解方程原理和数系中的结构特征一致。几何和度量特性是用数学描述的。数据分析的各个层面都涉及到对数的理解和认识。通过问题解决，学生能够探究和巩固对数的理解。儿童最初的数学推理是有关数字方面的，最初的数学表征也可能是数字方面的。研究表明，儿童学习数和运算是个十分复杂的过程。
在这些标准中，理解数和运算、发展数感和进行熟练的算术运算是小学数学教育的核心。当学生从学前期至十二年级，学生对数的理解应当更加丰富——数是什么？如何用具体事物、数字或在数轴上表征？它们如何彼此相联？数十如何在既有结构又有特性的数系中体现的？怎样用数和运算解决问题？
理解基本的数字运算——个位数的加法和乘法以及相应的减法和除法——是关键。计算的熟练程度同样也是关键——知道快速准确的计算方法并能有效地应用。用心智策略和打草稿或用纸笔列式运算，特别在数字很大的情况下，来快速得到准确答案，就可能表现出计算的熟练程度。不管用什么具体的方法，学生应该能够解释他们所用的方法，知道有别的方法存在，并明白有效的、准确的、一般化的计算方法的用途。学生也应该能够估计平判断结果的合理性。计算的熟练程度应该随着对数系中算术运算的作用和意义的理解纵向地发展。
作为计算工具，应该在任何适宜的场合允许使用计算器，特别在解答涉及到多且繁杂计算的问题时应允许使用计算器。然而，当教师和学生一起探究算理时，应把计算器放于一边以便着重于算理的理解。计算器是当今社会各层面广泛使用的计算工具，课堂教学中应该反映这一现实。
1.理解数、表征数的方法、数量关系以及数系
学前期至二年级的儿童对数概念的理解是从数数和学习辨认各组实物的“多少”中发展的。一个关键的观念是一个数能从多方面进行分解和思考。例如，24是两个10加四个1，也是两个12。从原先的吧“10”简单地看成10各一相加转变成把“10”既看成是10各一又看
成1个十是学生理解十进制数系结构的第一步。在整个小学阶段，学生能够学习数的分类和特性，比如像哪些数十奇数、偶数、素数、合数和平方数。、
除了理解整数以外，还应鼓励儿童在情境中学习常用的分数，比如1/2块饼干、1/8各比萨饼。鼓励儿童把分数看成是一个整体单位或一个集合的一部分。教师应该帮助学生把分数理解成两个数的商。在初中，学生应该巩固对分数概念的理解，这种知识在一定程度上是学习比例的基础。在高中以前，学生对十进小数知识的应用应该达到牢固程度。对数的概念有了深刻的理解，高中学生就能用变量代表数进行符号运算。
用具体实物和材料代表数十小学数学教学的主要方法。到初中，学生应该明白一个数能用不同的方法去表征，以使他们知道1/4、25%、0.25是同一个数的不同名称而已。当学生用具体实物或在数轴上表征分数和小数时，当他们在分数和小数间进行等量转换时，他们的理解和推理能力也随之提高。
当学生理解了数及其表征，他们就具备了理解数量关系的基础。在三至五年级，学生能学会将分数与1/2这样熟悉的参照分数进行比较。随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如，“1/2+3/8:”一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。对六至八年级的初中学生来说，使他们达到能进行分数、小数和百分数的灵活等量转换及用不同的策略比较有理数的大小并进行有理数排序是十分重要的。通过把自然数扩展到整数，初中学生对数的顺序和大小的直觉会更可靠，而且对数系如何扩展有所了解。高中学生能够用变量和函数表示数量关系和考察各类数的特点。
尽管九至十二年级的高中课程强调的是数和运算以外的其他数学内容，但高中学生应该从更加全面的角度来理解数系。他们应该了解数系间的不同，并知道从一个数系扩展到另一个数系时，保留了哪些特征，而有失去了哪些特征。
2.理解运算的意义及各运算间的联系
在小学阶段，学生会遇到整数加减法的各种含义。研究人员和教师已经通过分析学生解答以下简单算术题的方法知道他们是如何理解数字运算的。
鲍勃（Bob ）得到了2块饼干之后，现在他有5块饼干了。鲍勃在开始时有多少块饼干？ 为了解答这个问题，有的学生可能用加法，用他们的手指从2数到5。或者有的学生认为这是一个减法题，从而用5-2=3这样的事实去解答这个题。分析这样的思维过程或者意识到7+8与7+7+1是等同的，有助于学生理解运算的意义。这样的分析也有助于教师了解学生的思维。当学前儿童至二年级的学生解决来自周围环境中的问题时，如4个人如何平分一袋葡萄干，学生开始了解乘法和除法的意义。
在三至五年级，帮助学生学习整数乘除法的意义是该年级段的重点。创设和利用乘除法的表征方法(像用图或具体实物)，使学生理解运算间的关系。学生应该能够恰当地选择加法、减法、乘法或者除法去解决某一特定的问题。为此，学生必须认识到表面上看似差别很大的问题却可以运用同样的运算，必须知道各种运算是怎样彼此相联的，并且知道会出现什么样的预期结果。
六至八年级应强调有理数的运算。当学生在扩展了的数系里运算时，应帮助学生调整对运算的领悟。例如，用一个整数成0到1之间的分数(比如2
18 ),乘积必然比那个整数小。这正好与他们先前获得的有关整数的乘法经验相反，因为那时乘积总是比任一乘数大。
比例的学习是初中阶段课程标准的重点。学生应该能熟练地运用比例进行几组数之间的比较，如下题所示：
如果3袋可可粉能跑15杯热巧克力饮料，那么泡60杯热巧克力饮料需要多少袋可可粉？
这一水平的学生也应学习正负数运算。在九至十二年级，当学生学习向量和矩阵运算
时，他们开始经历到具有新特性和形式的数系。
3.熟练地计算并进行合理的估算
达到熟练运算的程度需要概念性理解和计算技能间的平衡和联系。一方面，没有理解只靠强化练习获得的计算方法往往会遗忘或记忆不正确。另一方面，理解了算理但运算不熟练会影响问题解决的过程。当学前期至二年级的学生理解了整数和加减法运算后，课堂教学的注意力应集中于整数运算的策略以便他们能灵活熟练地计算。有的学生会提出一些独特的、也很有用的计算策略，教师应把这些策略介绍给班上的所有学生并进行讨论。到二年级末，学生应该掌握简单的加、减综合运算，熟练掌握两位数加法，并了解两位数减法的法则。在三至五年级，当学生学习简单乘除法的综合运算时，他们同时也应该学习能有效、迅速地解决算术问题的算法。这些算法也应能用于较大数目的计算，并不断学习，熟练掌握这些算法。
研究人员和有经验的教师都发现，当鼓励小学生学习、记忆、理解和相互评判解决计算问题的策略时，他们能学到许多重要的东西。他们会讨论各种策略在计算中的效率。也会讨论各种策略的概括性：这一策略能用于所有数的计算呢，还是只适用于这两个数的计算？经验表明，提出和讨论各种计算策略可以很自然地引出一些“常规”算法，或使教师能在恰当的时候导入这些“常规”算法。关键是学生必须能进行熟练的数字运算——就是他们在对数和运算理解的基础上，掌握有效、准确的算法。掌握“常规”算法是达到能熟练计算的一种手段。
有理数概念的学习是三至五年级学生的主要目标。有理数概念能导入分数计算的非正规方法。例如，1/4+1/2这样的分数问题很容易心算，是因为学生能够想象1/2和1/4，或能用像1/4+1/2=1/4+（1/4+1/4）这样的分解法。在这个年级段，学生应该学习和应用小数的计算，但到了六至八年级，学生应熟练地用以分数和小数形式出现的有理数进行运算。在一次全美国范围内的调查中，只有24%的十三岁的学生估计12/13+7/8的和接近于2。大部分学生说12/13+7/8的和接近于1,19或21。这些估计值反映了分数加法中的常见错误和学生缺乏对分数运算的理解。如果学生理解了分数加法并形成了数感，他们就不会出现这样的错误了。在他们理解了整数的含义和表征的同时，他们也应该掌握整数的运算方法。九至十二年级的学生应该熟练地用实数计算，基本掌握向量和矩阵运算，恰当地用现代科技辅助计算。
能够熟练地进行计算，在一定程度上意味着明智地选择和适时利用计算工具。教师应当提供机会帮助学生选择心算、笔算、估算或是用计算器算。特定问题和情境以及涉及的数字都会影响学生的选择。涉及的数字是否能使学生心算？问题是否要求学生估算？问题是否要求重复且繁琐的计算？学生应该衡量问题情境决定是否给出估计即可，还是需要精确的答案。充分地利用他们的数感，学生应该能够给出他们做出相应决定的理由。
代数
代数的历史根源来自研究解方程的一般方法。代数标准强调数量间的关系，包括函数、表征数学关系的关系和分析变化关系。函数关系可用符号表达，这些符号能够简洁地表达复杂的数学观点，有效地分析变量关系。当今，代数的方法和观点有助于研究其他分支的数学。例如，分布和通信网、物理定律、人口模型和统计结果都能用代数中的符号语言表达。另外，代数涉及的抽象结构和应用这些结构原理解决问题都可用符号表达。
代数中强调的符号和结构大都建立在学生广泛的数字经验基础上。代数也与几何和数据紧密相联。代数标准中包括的观点是学校数学课程的主要部分，它也有助于统一课程。代数能力，无论对于我们的生活，工作，还是为中学阶段以后的教育作准备，都是十分重要的。所有的学生都应该学习代数。
把代数看作是从学前教育就开始的课程内容，教师能帮助学生牢固建立理解和体验代数的基础，从而为初中和高中学习更复杂的代数作准备。例如，系统地学习模式而获得的经
验有助于学生理解函数概念。学习数和它的特性而获得的经验为以后学习符号和代数表达式奠定了基础。对数学能用于描述现实情境的认识可以帮助学生开始形成数学建模的观念。
人们往往将学校学习的代数与求解复杂方程和简化代数表达式的符号操作等同起来。实际上，代数符号及其运算是历史上杰出的数学成就之一，也是数学学习和研究中的关键。但是，代数不仅仅是简单的符号运算。学生需要理解代数概念、支配符号运算的结构和原理以及符号是怎样用于表达观点和洞察情境的。今天的学生需要学习如何解释现代科技表征的数学，以及如何有效、明智地运用现代科技。
通常，学校数学课程要等到初中或高中才明确地包括传统的代数。建议在小学就包括代数，《原则和标准》有助于计划在中学开设代数课的各种可能。在六至八年级的标准中对代数已有相当重视，并包括比一般初中更多的几何内容，提倡代数和几何的综合。假定到八年级底，已打下了代数的坚实基础，九至十二年级的标准勾画了一个有关代数、几何、数据分析和统计的远大计划，并提倡各观点的综合与关联。
1.理解模式、关系以及函数
将物体分类和排序的早期经验对儿童来说是既自然又有趣的活动。假定“红——蓝——蓝”的模式无限地重复，教师可以帮助孩子观察到“红——蓝——蓝——红——蓝——蓝”接下来仍然是“红——蓝——蓝”的序列，也可帮助学生预测在此序列中的第十二个十蓝。开始，学生可能只是口头上描述模式的规律，而不是用数学符号。到三至五年级，他们开始用变量和代数表达式描述和扩展模式。到中学的最后几年，学生应该得心应手地用函数概念表达关系。
在小学低年级，通过强调模式的后一项是如何由前一项得到的，学生能描述像2、4、6、8这样的模式。在本例中，是通过前一项加2得到此模式的后一项。这就是递归思想的开端，随着年级的升高，学生能够学习用递归来定义和计算序列，像斐波那契序列1,2,3,5,8…..在本例中，后一项是前两项之和。递归序列很自然地出现在多种情境中，可用现代科技帮助研究它们。
从学前教育升到高中的过程中，应帮助学生学习各种函数。在初中，学生应注重线性函数的学习。高中的学生应学习更多种的函数并了解各类函数的特征。
在大学，许多学生把函数仅仅理解为一种规则或公式，就像“给出n,得到2”，在这里n=0,1,2,3.”到了初中，学生应该能够理解表、图、符号等多种函数表征时，他们对函数将会有更全面的理解。
2.用代数符号表征和分析数学情境和结构
从学前教育到高中，学生逐渐形成对数的性质和理解。当儿童隔着2跳着数数时，会发现这些数的末位是0、2、4、6和8，接下来他们会用这种代数观察继续这一模式。在三至五年级，当学生深入学习整数运算的特征时，会发现通过心算4181018?+?会很容易得到1418?的积。这样做，他们应用了乘法对加法的分配律。有时，几何解释帮助学生对代数的理解远早于学生能进行复杂的代数符号运算。例如，图3.2可能帮助小学高年级的学生猜想到前几个奇数之和等于n 2。初中学生能理解图3.2中的图和1+3+5+7=42是怎样相互联系的 。高中学生应该能够用符号表达一般关系，1+3+…..+（2n -1）= n 2，同时能证明这种一般表达式的正确性。
研究表明，学生在理解变量概念时有各种困难，因此随着年级的上升加深学生对变量概念的理解是十分重要的。在小学，学生通常把变量看作是具体数的代表，比如＿+2=11。之后，他们应明白方程式3x +2=11中的变量x 与恒等式00=?x 中的变量x 在用法上是很不同的。而这两种用法与公式中2
r A π=中的r 的用法又不同。深刻地理解变量概念需要很长时间，也需要建立在相当多的经验基础上。
培养学生的相等观点应是整个课程的重点。小学生所受教育的局限，往往把运算中的等号看作是“做什么”的标志。而实际上他们应把等号看作是均等和平衡的符号。
在初中，应培养学生用心算或笔算进行等式变换和解线性方程的技能。高中时，学生应能熟练地用心算或纸笔进行简单的符号运算，或用计算机代数系统进行各种符号运算。如果学生没有牢固的理解作基础，就从事大量的符号运算，那他们只能是机械地操作而已。帮助学生打下有意义的符号运算的基础并非一日之寒，而需要相当长时间。
3.用数学模型表征和理解数量关系
数学最大的用处在于能为多种现象建立数学模型。各种水平的学生应该有机会用适合自己水平的方式为多种现象建立数学模型。小学低年级的学生能用实物、图和符号为涉及整数加减法的情境建模。当儿童们用数数筹码来表示“李燕有4个苹果，蔡祥有5个”时，他们正在获得建模的初步知识。
三至五年级的学生应能用模型进行预测、得出结论或更好地理解涉及数量关系的情境。这样的建模会变得越来越复杂。例如，在求解有关“五味果汁”的问题时，初中学生可能用J P )3
8( 来描述问题中的关系。在这里P 表示五味果汁的杯数，J 是果汁的杯数。这一数学模型可用于决定50杯果汁能泡多少杯五味果汁。
应用各种类型的函数知识，高中生应该能够建立模型，例如，决定是线性函数还是二次函数能最佳地模拟一个问题情境，并能分析模型而得出有关问题情境的结论。用配有计算机的实验室(收集一个物体运行的速度和距离的设备，并把数据直接输入计算机以作出图、表和方程)，学生能迅速地从物理实验中得到可靠地数据。现代科技使学生为更广泛的有趣问题情境建模。
4.分析各种情境中的变化关系
理解变化关系是理解函数概念和理解新闻媒体中许多观点的基础。当学生学习导数概念时，他们开始正式地形成微积分中的数学变化关系。研究表明，既使学生学了微积分之后，他们通常对数学变化理解也还比较肤浅。如果从低年级开始就明确地强调变化观点的学习，或许学生会有扎实的基础来学习微积分。学前期至二年级，学生开始能定性地描述变化(“暑假后我长高了”)，接下来是定量地描述变化(去年我长了两英寸)。三至五年级的学生开始能用图和表指出和描述变化关系。例如植物生长的变化特征——开始长得慢，接下来长得越来越快，然后是慢下来。当他们遇到序列时，能区分算术级数增长(2,5,8,11,14,…)和几何级数增长(2,4,8,16,…)。初中学生有了学习线性关系的扎实基础，就应该学习有关斜率是线性函数恒定的变化率。到高中，就要学习变化率不恒定的许多函数。
几何
通过几何学习，学生将掌握几何图形和结构，以及怎样分析他们的特征和关系。空间想象——建立和操纵二维和三维物体的心智表征，及从不同角度观察一个物体的能力，是几何思维的重要方面。几何很自然地有助于培养学生的思维和推理能力，中学阶段是学习证明的重要阶段。几何建模和空间推理为解释和描述外在环境提供了方法，是解决问题的重要工具。
几何观念在表征和解答其他数学领域中的问题和现实世界的问题时是非常有用的，因此应尽可能把几何和其他数学内容结合起来。几何表征能有助于学生了解面积和分数，直方图和散布图有助于洞察数据代表的信息，解析几何服务于综合代数和几何。空间推理对于阅读地图、路线计划、平面图设计和艺术构思都是很有帮助的。学生能够学会观察周围的几何结构和对称图。应用具体模型、绘画以及动态几何软件，学生主动地参与几何观念的学习。有了精心设计的数学活动、恰当的工具及教师的辅助，小学低年级的学生就能作出有关几何方面的猜想，并探讨猜想的真实性。几何不仅仅只涉及到一些定义，它是一门有关描述关系
和进行推理的学科。随着年级的升高，学生的思维由非正式向正式方向发展，在这一方面的认识是和一些理论工作者和研究者的想法一致的。
长时间来，几何一直被当作学校数学课程中学生学习推理和了解公理体系的一门学科。几何标准特别强调用定义和已知事实进行推理和证明能力的培养。现代科技在几何教学中也占有重要地位。像动态几何软件这样的工具使学生能够学习建模，拥有处理大量二维图形的经验。利用现代科技，学生能大量举例以帮助形成和探索猜想，但重要的是他们必须认识到特定现象的大量例子并不是证明。计算机模拟和别的科技设施提供的人机对话，有助于提高学生空间想象能力和推理能力。
1.分析二维和三维几何图形的特点与性质，并具有关于几何关系的数学推理能力
小学生很自然地倾向于观察和描述各种图形，并开始留意他们的性质。能辨认几何图形的形状固然重要，但更应注意图形的特征和他们之间的关系。例如，学前班到二年级的学生可能会注意到矩形有四个直角，所以矩形形状的瓷砖比较容易铺。这个年龄段的学生能通过看、摸和实际操作实物来学习几何图形的形状。后来，对几何图形的特征和性质的学习就变得抽象了。小学高年级的学生能分析、讨论图形的组成部分，比如边和角，以及各类图形的性质。例如，用实物和动态几何软件考察各种矩形，三至五年级的学生能够做出长方形的对角线相等且互相平分这样的猜想。
从初中到高中，当学生学习相似或全等的概念时，他们应学会用演绎推理和较正式的证明方法解决问题、证明猜想。各水平的学生都应能对他们的猜想和解答过程作出令人信服的解释。他们最终应该能够描述、表征和研究一个几何系统内的关系，并逻辑地表述和证明这些关系。他们也应该能够理解定义、公理和定理的作用，并能进行证明。
2.用坐标和其他表征系统表明位置和描述空间关系
开始，儿童学习相对位置的概念，比如前面、后面、附近和之间等等。后来他们能用方格表明物体的位置，测定在纵线或横线上两点间的距离。当他们解答许多代数和几何问题时，会经历到方格坐标平面的用处。在中学阶段，坐标平面能帮助学生发现和分析图形的特征。在初中阶段，用地图上的比例尺或勾股定理(毕达哥拉斯定理)确定平面上两点间的距离是学生学习的重要内容之一。像初中学习的直线、高中学习的三角形和圆等几何图形能够在平面直角坐标系上表征出来，因此建立了代数和几何间的基本联系。
学生应该有机会学习用各种空间的和坐标的方法分析问题和探讨数学。例如，小学时，整数的加法可以在数轴上表示。小学阶段的后期，学生能用数轴表征其他类型数的运算。三至五年级，方格和点阵式能帮助学生理解乘法。其后能考虑更复杂的问题。例如，在试图使一个救护车从社区内的任何位置到一所医院的距离最短时，初中生可能测量沿路的距离。可以让高中生找出两个城市间的最短航空路线，并比较用地图得到的结果和用地球仪得到的结果。他们也许用图论的知识，找到开车旅行几个城市的最短距离。高中学生应能用笛卡尔坐标系解答问题并考证其结果。
3.用变换和对称等原理分析数学模型
儿童在入学时就有了怎样移动一个几何图形的直观感受。用镜子、折纸和按图描绘等方法，学生能探讨像滑动(slides)、翻转(flips)和反射(tucus)等运动。之后，他们有关变换的知识变得正式和系统。三至五年级的学生能够探讨变换的过程，并开始学习用数学术语描述变换过程。用动态的几何软件，他们开始学习确定一个变换所需的条件。例如，如图3.3所示用旋转变换一个图形，学生需要确定旋转的中心、旋转方向及旋转的角度。初中学生应当理解在进行平移(translations)、旋转(rotations)、反射(reflections)等变换时距离不变的意义。高中学生应该学习多种表达变换的方法，包括用矩阵表明图形在坐标平面上是怎样变换的，也可用函数符号表达变换。他们也应对变换的组合所产生的影响有初步的认识。对所有年级的学生来说，适当地学习对称有助于他们更深地了解数学、艺术和美学。
4.用直观、空间推理和几何模型解决问题
从小学低年级开始，学生应该通过体验各种几何实物，通过利用现代科技来转动、缩小和变化二维和三维物体并发展他们的空间想象能力。之后，他们应熟练地分析并画出透视图、数出几何组成部分和描述看不见而只能推断的一些几何特征。当他们的理解全等、相似和变换时，也需要学习如何具体和形象地改变物体的位置、方向和大小。
空间想象能力的一个方面是能在二维、三维图形和它们的表征间转换。小学生能用展开图包积木——通常是用纸做的二维空间，能够折叠成三维的——来学习判断某些展开图是否与实物相匹配。到了初中，他们应能画出和解释物体的俯视图和侧面图。促使学生在只有侧面图和正面图的情形下，建立整个图形的结构，如图3.4所示，从而发展这方面的能力。在三至五年级，学生能够判断是否可以构造多个满足两个条件的图形。可以要求中学生用最少的积木来构造这样的图形。高中学生应能想象和画出不同的立体图和他们的切面图。
度量
度量是用一个数值来表示物体的某一属性，例如铅笔的长度。较复杂的情形是用一个数表明一个情境的属性，例如消费价格指数就是如此。本标准强调学生理解什么是可度量的特征，以及熟悉常用的度量单位和过程。通过学习，特别让学前期至八年级的学生能熟练地在不同情境中运用测量工具、技能和公式。
学习有关度量方面的知识对于学前期至高中各年级的学生都是重要的。因为度量在日常生活的许多方面都有实际运用，而且是普遍存在的。度量的学习更提供了学习和应用其他数学概念的机会，包括数的运算、几何概念、统计概念和函数概念。它突出了数学内部的联系，也强调了数学学科与社会科学、自然科学、艺术和体育等非数学学科的联系。
度量本身特别基于具体的实物。实际上，如果不触摸具体事物，对它们进行比较和用工具进行测量，学生就不可能对有关度量概念有深刻的理解。度量概念应随着年级的升高而加深加宽，课堂教学不应年复一年同样的有关度量的课程内容。当然，度量的学习应侧重在小学和初中，而不是高中。
1.理解物体可度量的属性以及度量单位、系统和过程
一个可度量的属性是物体能够量化的特征。直线段有长度，平面有面积，物体有质量。学生在学习丛学前期至高中的课程过程中，学到的能够度量的属性逐渐增多。意识到物体有可度量的特性是学习度量概念的第一步。学前期至二年级的学生用“更长”和“更短”这样的语言比较并为物体排序，开始学习度量知识。长度是这个年级阶段的重点，但也应学习质量、时间、面积和体积。三至五年级的学生应更系统地学习面积概念，也应学习周长、体积、温度和角度等概念。在这个阶段，学生应认识到可以用公式计算得到所需的度量，而不必总是直接用度量工具去得到。初中学生在先前度量概念学习的基础上继续学习周长、面积和体积，并开始学习像速度这样的衍生度量概念。他们应能熟练地测量角度并理解角度间的关系。高中学生应理解不同单位和标度的使用是否会影响最终的度量结果。不管在什么年级水平，在用工具测量或用公式计算前，学生应该有许多日常生活经验帮助他们理解事物可测量的属性。
随着年级的升高，不仅可测量的属性种类增多，而且对属性间关系的理解也不断加深。小学生应探讨一个物体某些属性的改变如何影响它们的度量。例如，把一个图形剪开并重新拼合，可能改变该图形的周长但不会影响其面积。在初中，这个观念应延伸到探讨长方体的表面积会改变但体积不变的情形。这种观察能让学生大体了解变换中的不变性这一复杂的数学概念。
度量单位的类型和使用应随着学生从学前期到二年级而扩展变化。从学前期至二年级，学生通过用非标准的单位开始学习度量知识。应鼓励学生用多种物体去学习度量，例如用曲别针测长度，方形小块测面积，用纸杯测体积。儿童也应有机会使用厘米、磅、小时这样的
标准单位。单位的“标准化”应出现在这一年级段的后期。当学生注意到用一个学生的脚测量教室的长度与另一个学生的脚测量同一教室的长度得到的结果不一样时，学生会意识到单位“标准化”的必要性。这样的经验有助于学生明白标准单位的便利和一致性。当学生从初中升到高中时，他们应学会怎样用标准单位测量表示新的较复杂属性，比如体积和密度。到高中，学生表示抽象属性时应该使用更复杂的度量单位，例如每平方英寸的磅数，每人每天等。
理解表示不同的属性需要不同的度量单位对儿童来说是一个难点。学习怎样选择合适的单位是理解度量概念的一个主要方面。例如，学前期至二年级的学生应知道用一维的度量单位表示长度，但一维的度量单位不适合用于面积的度量。儿童们应理解度量面积应用像方形小块这样的单位。初中学生应知道不能用方形小块来表示体积，而应用三维的单位。各种水平的学生应该能根据问题情境明智地选择度量单位和标度。例如，尽管可以用厘米来测量足球场的长度，但可能难以理解和应用所得的结束。到小学结束时，学生应对单位在度量中的作用有相当的理解。
公制度量系统具有简单和一致的内容结构。每一单位与前一单位总是以10的关系相联：1厘米时1毫米的10倍，1分米时1厘米的10倍，等等。既然惯用的英制度量系统在美国仍相当普遍，学生应该既学习英制，有学习公制。并了解两种度量系统间的大体关系，例如一瓶二升的汽水比半加仑稍多一点。公制和英制度量系统的学习开始于小学，这个年级阶段的学生应能进行多种度量间的简单换算。到初中，学生应很熟练地进行一些换算并掌握一些进行两个度量系统间转换的明显参照物。掌握度量系统有助于学生理解十进制数的一些特征，比如位值。在换算时，学生用到了比例方面的知识。
理解所有的度量都是一个近似值是学生学习的重点和难点。在三至五年级，学生通过测量特定的物体，与其他同学比较所得的结果，观察到许多结果并不一致，从而来发展这一概念。课堂讨论学生们的观察有助于他们学习有关正确性和精确性的观念。初中学生应继续加深对度量是一个近似值的观念的理解。在高中，学生应该认识到计算有关的度量时如何保留恰当的有效数字。
2.应用合适的技能、工具和公式进行度量
度量技能指的是用数数、估计、公式或工具得到度量的策略。度量工具使大多数人进行测量时使用的常用设施，如尺子、卷带尺、容器、秤、钟和秒表。公式是赋值给公式中的变量而得到度量值的一般关系式。
学前期至二年级的学生应掌握各种度量技能，包括数数和估计，并会使用像尺子、秤和钟这样的度量工具。小学和初中阶段的学生应继续学习使用这些技能并学习掌握新的技能。除此之外，他们应能用现有的测量工具，并发现使用新的工具进行较复杂的度量。例如，他们可以用透明的方格纸估计一片树叶的面积。初中学生能用三角形和长方形的面积公式计算梯形面积。高中学生学习的一个重点是逐次逼近，这一概念时微积分概念的先驱。
小学阶段，学生应开始学习探讨面积和周长的计算公式。初中生应该掌握这些计算公式，同时学习像棱柱、圆柱的体积和表面积公式。研究表明，许多小学和初中学生在理解周长和面积概念时有困难。通常，有些学生在用像P=2l+2w及A=l X w这样的公式时，并没有理解公式与度量的属性或单位间的关系。教师必须帮助学生理解公式和实际物体间的联系。高中学生用公式求解问题时，应该意识到度量中的单位和代数表达式中的变量类似，基于这样的认识，学生能够通过单位分析来进行换算和计算。
估计是整个年级阶段的学生所要培养的一种度量技巧。学前期至二年级的估计应集中在帮助儿童更好地理解度量的过程及单位大小的作用。小学生和初中学生应该有很多机会把他们自己和参照物相比作出一些估计。例如，一个学生注意到教师是学生的一倍半高，从而可以估计教师的身高。初中生也应用参照物估计角度，估计像速度这样的衍生度量概念。
最后，三至五年级的学生应该有使用地图的机会并制作简单的比例图。六至八年级的学
生应该将对比例的理解扩展到解决涉及比例因素的问题。这些问题能帮助学生理解比例关系和相似性。高中学生应学生更复杂的涉及量标的问题，包括比例变化对问题情境的影响等。他们也应逐渐理解非线性的尺度变化，比如对数尺度，学生也应逐渐理解尺度变化在数据分析和建模中的应用。
数据分析与概率
数据分析与概率标准建议学生能够提出利用数据回答的问题，并了解明智地收集和应用数据中涉及的事宜。学生应该学会怎样收集数据、组织他人和自己收集的数据及用有利于回答问题的图表表示数据。这个标准也包括学习一些分析数据的方法和从数据中推断结论的方法。也包括概率方面的基本概念和应用，强调了概率和统计相互关联的方面。
有助于商业、政治、研究和日常生活中决策的数据和信息量成倍增长。例如，通过对顾客的调查来指导产品的开发和销售，通过民意调查帮助政治家决定竞选的策略，用实验评价新的医疗方法的安全性和有效性。然而，某些统计通常误导公众对某些事物的看法，或错误地表述商业产品的质量和效果。学生应该了解数据分析和有关概率方面的知识作出统计推断——这是一些成为见识广博的公民和明智的消费者所必备的技能。
本标准提出的增加数据分析的课程内容，旨在贯穿所有的年级，而不只是局限于初中和高中。而在很多国家，数据分析的课程内容主要在初中和高中。NCTM1989年的?学校数学课程与评价标准?介绍了各年级阶段的概率统计标准，许多组织也设计了有关概率统计教学的教材和在职培训的计划。在此基础上，本标准建议要大力发展此学科，随着年级的增长，概念和技能也随之加深，以便到高中未有相当的基本统计学知识。掌握统计的基本知识和观点，学生必须有直接处理数据的经验。强调数据处理能使学生随着年级的升高而不断学习新的知识和技能，而不是重复相同的活动和主题。数据和统计这一数学分支使教师和学生能够做出一系列有关数、代数、度量和几何等分支间的重要联系。学习数据分析和概率为学生提供了一种联系数学和其他学科，联系数学和日常生活的自然途径。
除此之外，统计推断过程对学生将来的工作和生活大有益处。儿童在学校里学的一些东西对他们来说好似预先准备好的和有规可循的。在学习数据处理和统计分析时，他们会了解有些问题的答案基于一定程度的不确定性和假设。在概率和统计中涉及的推理过程并不总是那么直截了当，所以如果课程中没有包括，那么学生不一定会有机会发展这方面的推理能力。
1.明确地提出用数据表达的问题并通过收集、组织以及展示相关数据来回答这些问题
因为儿童通常有对他们所生活的世界的好奇性，所以他们常常会问以下的问题：多少个？多少量？哪一种？哪一个？这些问题提供了早期学习数据分析和概率的机会。小孩子善于提出和他们生活经验接近的问题——同学们有什么样的宠物？他们最喜欢的是哪种比萨饼？当升到高年级时，他们提出的所要探索的问题往往和时事以及兴趣有关。例如，六至八年级的学生可能会对回收、自然保护和制造厂家对产品成分质量的声明等感兴趣。他们可能会提出以下问题：自助餐厅是用纸盘好呢还是用塑料盘好呢？哪个牌子的电池寿命比较长？到九至十二年级，学生会提出并研究涉及较复杂现象的问题。
儿童应能够设计简单数据收集的计划来回答他们提出的问题。小学时，教师可以帮助学生明确他们的问题，或提供给他们分数表、点名册，或者提供他们图表用于记录所收集的数据。“数据“可能是实物，例如用条形图(bar graph)排列孩子们的鞋，或者根据不同的兴趣把孩子们排列起来。在小学阶段，学生应该花较多的时间计划如何收集数据和评价他们获取问题信息方法的优劣。在初中，学生应该花较多的世界来分析处理别人收集的或通过模拟得到的数据。到九至十二年级，学生应该理解并明确调查、观察研究和实验的各种目的。
对学前期至二年级的学生来说，一个最基本的思想是数据能够被组织和排序，数据组织和排序后的“图”能够提供有关现象和问题的信息。在三至五年级，学生应发展表示数据的技
能，例如用条形图、表或直线图方法。他们也应学会不同的数、符号和点所表达的意思。其中很大的一步是认识到，有些数代表某一数据这一方面的值，而另一些数则代表这些值出现的频率。当学生开始理解表示数据的不同方式时，他们也能比较两组或多组数据。书、报纸、互联网或其他媒体都有很多数据图表，到了小学的高年级，学生应该能阅读和理解这样图表。六至八年级的学生应知道各种表示数据方法的特点，以便作更深入的分析或向听众较清楚地呈现数据。当学生处理较大或较复杂的数据时，他们应能很快地用现代科技重新排序和用图表表示，以便将重点放在分析数据和解释分析的结果上。
2.选择和运用适当的统计方法分析数据
虽然小孩子常常对与自己相关的数据最感兴趣(我家有五口人)，但是把他们的数据放在一起会引起他们对一组数据的注意。这之后，学生应学习把一组数据作为一个整体来描述。尽管这样的转变并不容易，但学生仍可能注意到，像“乘校车上学的学生比乘坐所有其他交通工具上学的学生总数还多”。到三至五年级，学生逐渐开始发展对一组数据作为一个整体的理解。当较大一点的学生开始将一组数据看成一个整体时，他们需要描述这一整体的工具。有关中心趋势的统计量(如平均数、中位数、众数)、离散度的统计量(如全距、标准差)以及数据分布的特性对学生来说都是非常有用的描述方法。小学时，学生的理解建立在非正式的经验基础上，如中间、中心或平衡点。到中学，随着知识程度的加深，学生应能为需要回答的问题选择特定的概要性统计量。
在学校学习期间，学生应掌握有效的统计比较的含义。小学时可能说这一组比另一组的某些特性多一点或少一点。到初中，学生应能应用统计量定量地描述这些差别。从三至五年级开始一直到初中，重点应逐渐从分析和描述一组数据转移到比较两组或更多组的数据上。当他们从初中升到高中，学生需要新的工具来辨别几组数据间的异同性。这些工具可包括：直方图(histograms)、树状图(stem-and-leaf plots)、条形图和散点图。学生也需要工具探讨二元数据间的关联和发展趋势，这包括六至八年级学习的散点图和拟合线以及九至十二年级学习的相关性分析。
3.策划和评价根据数据所进行的推理和预测
随着年级的升高，学生应理解统计分析的中心要素——确定一个恰当的样本，收集所确定样本的数据，描述所确定的样本并对样本和总体做出合理的推论。低年级的学生大都处理人口统计数据，如调查班级中每个学生最喜欢的冰激凌。对这个年级阶段的学生，把一个班看成是一个总体的样本这样的概念还没有形成。小学高年级和初中低年级，学生开始产生统计推断的观念，但这一年龄的学生对深入地理解“抽样”这一概念还有困难。研究表明，五至八年级的学生认为他们根据经验作出的判断比用收集的数据进行判断更可靠。初中后期和高中，学生开始学习样本选择和统计推断等概念，并开始理解一些量化的方法去描述特定的样本怎样影响统计结果。
除此之外，九至十二年级的学生应学会采用模拟的方法学习样本的分布，并作出直观的推断。特别地，他们应该学习基本的检验产品质量的统计方法和技术。中学毕业后的学生应具备判断统计推断的有效性的能力，比如在新闻媒体所出现的统计数据和推断。
4.理解和应用基本的概率概念
概率就其本身而言，是一门学科。但它与其他数学分支密切相关，特别是数论和几何。概率论的思想和概念时收集、描述和解释数据的基础。
从学前期到二年级，有关概率概念的学习是直观的和非正式的。教师应随着学生词汇的增加而引出并明确有关概念，例如，今天下午我们“可能”不上课，或者今天“不太可能”下雨。通过对具体事物的操作、实验，儿童开始理解机会和随机性等概念。例如，从袋子中选择不同颜色的小片。三至五年级的学生通过实验考虑机会的概念，比如用硬币、骰子、转盘等。也可能通过熟悉的不可能事件、可能事件或必然事件学习有关机会的概念。初中学生应学习
和应用适当的术语，并能计算简单复合事件的概率。例如，当把两个硬币投100次后，两个硬币都是正面的概率是多少。高中学生应能计算复合事件的概率，并理解条件和独立事件。随着年级的升高，学生应能够从一个确定事件概率的问题情境，转向需要取样和仿真模拟才能算出不确定事件的概率的问题情境。
学生遇到的许多现象，特别是在学校遇到的许多现象都有可预测的结果。当投掷一枚硬币时，每一面都有同样的机会出现。在一次特定的投资中出现哪种结果则是不确定的——既使连续十次都出现正面，第十一次投掷只有50%的可能性出现反面这样的事实与许多人的直觉相反。一个随机事件重复多次，其结果的分布是有一定规律的。在一个情境中，单个事件是不能预测的，但其结果的分布是可预测的。这是一个十分重要的概念，这一概念是学习数理统计的基础。
问题解决
问题解决指的是从事一件事，但完成此任务的方法事先并不清楚。为了找到解答方法，学生必须利用他们的知识。在此过程中，通常他们会对数学有新的理解。问题解决不仅是学习数学的一个目标，也是学习数学的一种主要方式。学生应当有经常不断的机会提出、理解和解决需要努力才能解决的复杂问题，并应该鼓励他们反思他们的解答的思维过程。
通过学习如何解决数学问题，学生应该学会思考的方法、养成坚持不懈和好奇的习惯，使他们有信心面对在数学课堂外遇到的不熟悉的情境。成为好的问题解决者，无论在日常生活还是工作场合都大有益处。
问题解决时数学学习不可分割的一部分，因此不应把其在数学课堂中隔离开来。数学问题解决应参透到五个内容标准的每一个。问题情境可能有所不同，情境可以是涉及学生的日常生活和学校生活的经历，也可以是涉及科学和实际工作的应用。好的问题会把不同的数学内容联结起来，并涉及到重要的数学概念。
1.通过解决问题掌握新的数学知识
通过解决问题如何帮助学生学习数学呢？好的问题让学生有机会巩固和加深他们所学的知识。如果问题选择得当，能促进学生的数学学习。对小孩子来说，我们应该用来源于他们生活的问题来引入大多数要学的数学概念。例如，假定二年级学生想要知道在四个二年级的班中是男生多还是女生多。为了解答这一问题，他们需要学习怎样收集信息、记录数据及正确地计算出几个数的和。初中阶段，给学生几个调五味果汁的配方，这些配方需要不同量的水和果汁，让学生决定哪一种配方更有“水果味”，通过这样的探索、讨论，来引入比例概念。因为没有两种配方会产生同样多的果汁，这个问题对那些不理解比例概念的学生来说是较难的。有了这一好的问题以及教师的指导，尝试多种解题方法，学生最终能用比例来解答这一问题。在高中，许多课程内容能通过数学问题和应用数学的情境来引入。
问题解决能够而且应该用来帮助学生熟练掌握一些特殊的技能，例如，考虑下面来自NCTM1989年的《学校数学课程和评价标准》的问题。
我口袋里有一些一分的、一角的和五分的硬币。如果我从口袋里随意取出三个，我可能取出了多少钱？
解答此题所需知识包括各硬币的值和有关对加法的理解。做这样的题能很好地练习加法技巧。但解决此问题最重要的目的是帮助学生系统地考虑各种可能性并组织和记录他们的思维过程。实现这样的目标没有必要等到学生能够熟练地做加法才考虑。
教师在选择好的、有价值的数学问题上，起着至关重要的作用。通过分析和采用数学问题、预计解答这一数学问题所能学习的数学概念及预计学生可能遇到的困难，教师能决定是否所选的问题能帮助全班学生进一步达到教学目的。有许许多多有趣的数学问题，但它们并不是对全班学生学习重要的数学概念都有益。明智地选择、利用和改写教材中的数学问题是数学教学中的难点。
2.解决在数学及其他情境中出现的问题
能从数学的角度看待世界的人，被说成是有“数学情趣”的人。好的数学问题解决者很自然地用数学术语认真地分析情境，并根据他们所观察到的情境提出问题。在尝试解答较复杂的问题前，他们先考虑简单的情形，然后再做较精细的分析。例如，给出了两家救护公司的数据，问初中学生，哪家公司更可靠。如果只是根据顾客等的平均时间长短来解答此问题那是不正确的。较仔细地分析在白天的不同时间段各公司让顾客等待的时间，可能得出不同的答案。在这个问题中，更仔细地分析才会有对情境更全面的理解并得出正确答案。在整个学习阶段，问一些能帮助学生发现周围世界中的数学的问题，鼓励学生坚持不懈地做有趣但富挑战性的问题，教师能帮助学生形成这种对数学的情感。
对年幼的儿童来说，提出一些问题是很自然的事。例如，我想知道要花多久才能数到一百万？用多少易拉罐才能装满学校的大楼？通过帮助学生解决从他们的周围世界中提出数学问题，教师和父母能够培养他们对数学的爱好。在发展学生问题解决的情感方面，教师起着很重要的作用。从学前期开始，教师就应创造和保持课堂环境，以鼓励学生探索、敢于冒险、共同分享失败与成功、彼此提问。在那样的环境支持下，学生能够发展他们对自己探索问题能力的自信，乐意去探索、解决问题，他们更有可能提出问题，并坚持不懈地去探索数学问题。
3.采用各种恰当的策略解决问题
有关数学问题解决策略的许多描述中，最著名的事波利亚的工作。经常被引用的策略包括用图表、寻找规律、列出所有的可能性、尝试特殊值或特殊的个案、后推法、尝试错误法、考察一个类似问题和考察一个较简单的问题。一个明显的问题是，我们应该怎样教这些解题策略。应该在教学中给予明确的注意吗？应怎样将它们综合到数学课程中？有了其他数学问题解决的必备工具，如果我们希望学生掌握解题策略，在教学中必须明显的注意这些策略。在低年级，教师可以帮助学生表达、分类和比较他们的解题策略。使用各种解题策略的机会必须很自然地渗透到各课程内容中。等学生到初中时，他们应能很熟练地认识到不同的策略在何处使用最恰当，应能决定何时及怎样使用他们。到高中，学生应有机会接触到更多的解题策略，能够决定用哪一种最恰当，能够采用和发明新的解题策略。
年幼的儿童最早的数学经验来自问题解决。当学生遇到越来越多不同的问题时，他们需要使用不同的策略。有需要时，学生必须能想到这些策略。当在课堂教学中学着用这些策略解题时，教师应鼓励学生把这些策略记录下来。例如，当一个学生讲了一个解答方法及如何得到的时候，教师会说：“听起来好像你在解题中有组织地列出了各种可能性，有没有人用别的方法解？”以此来突出和认同所用到的解题策略。这样的讨论有助于学生发展常用词汇和表征方法，以及让其他学生理解第一个学生的解答过程。这样的讨论也表明没有解题策略是一次就学会的，也没有解答策略适用于所有的问题情境。而是，掌握解题策略需要很长一段时间，可能有些策略只适用于一些特殊的问题情境，当一些解题策略用于解答越来越复杂的问题时，这些策略也变得更加精炼、详尽和灵活。
4.检验和反思数学问题解决的过程
有效的问题解决者经常不断地监控和调整他们的解题思路。他们必须确信他们理解了问题。如果一个问题是写在纸上的，他们会认真阅读；如果只是口头上告诉他们问题，他们会问问题直到理解题意为止。有效的问题解决者经常不断地进行计划，他们时时估计进展情况来看是否在正确的轨道上。如果没有进展，他们就会停下来考虑其他的方法，而且毫不犹豫地采用完全不同的方法。研究表明，学生解题失败通常并不是因为缺少数学知识，而是因为没有有效地利用他们的知识。
好的问题解决者遇到和解决问题时，知道他们在做什么并不断地检验、自我评估他们的进展情况并调整他们的解题策略。那样的反思能力（称做元认知）更适于在有利于其发展的
课堂情境中发展。教师在促进这样的思维习惯中起着很重要的作用。教师会问下面的问题，比如“在继续以前，我们肯定理解问题了吗？”“我们有什么选择？”“我们有一个计划吗？”“我们有进展吗？或者我们应该重新考虑我们的解答过程？”“为什么我们认为这是正确的？”这些问题有助于学生在学习时形成检验他们是否理解的习惯。这种习惯应在小学的低年级就开始训练。当教师保持课堂教学情境使学生通过反思检验他们的理解时，他们很可能学会承担反思自己学习的责任，并在解决问题中作出必要的调整。
推理与证明
数学推理与证明提供了行之有效的方法，探索和表达不同现象的内在关系。善于分析和推理的人们，倾向于注意现实世界和符号情境中的模式、结构或规律。他们会思考那样的模式是偶然出现的还是必然的，并为此做出了猜想并证明。归根到底，数学证明是一种表达特定推理过程的严谨的方法。
能进行推理是理解数学的关键。在各年级水平、各数学内容范围内、探索现象、验证结果、做出数学猜想，使学生明白数学的意义和合理性。当然对不同年级水平学生的要求可能不同。基于学生在入学前就拥有的推理技能，教师应帮助学生学习数学推理所涉及的过程和知识。到中学毕业时，学生应该能够理解和进行数学证明———一系列基于假设的，通过逻辑严密的演绎推理而得到结论的过程，并能欣赏此推理过程的价值。
不能简单地想要在所谓的逻辑这样一个课程单元里，教会学生推理和证明。比如，不能只仅仅在几何的所谓“证明”但愿里教推理和证明。即使对大学本科学生，证明也是学习难点。也许因为学生只有在高中的几何课上才有惟一的机会做证明，因此他们对证明的看法很有限，以致在中学以后的学习中进行证明仍有很大的困难。推理和证明应是学前期至十二年级的学生所应不断学习的数学的一部分。数学推理是一种思维习惯，像所有其他习惯一样，必须在各种情况下经常运用才能发展。
1.认识到推理和证明是数学的基础
从而儿童最早期的数学学习，就应帮助他们理解需要根据理由得出结论。这样做事十分重要。“你们为什么认为那是正确的？”“有人有不同的答案吗？为什么如此想？”问这样的问题可以帮助学生明白需要证据维持或推翻所做的判断。小孩子往往倾向于用他人作为证据的来源(“我姐姐那样告诉我的”)，有时甚至用投票的方式决定最好的解释。但学生必需懂得在数学课堂中什么是可以接受的、恰当的推理。这是理解数学推理要依据明确的假设和逻辑规则的第一步。
数学的优点在于，当有趣的结果出现时，通常是基于合理的推理。学生学习数学应懂得这一点。例如，考虑下面这一通常包括在数学娱乐书中的魔术题。
写下你的年龄，加上5，所得的结果乘2，再在结果上加10，把结果再乘5.告诉我所得的结果，我就能说出你的年龄。
找到答案的步骤是：去掉所得结果末位的0，再减去10，所得的结果就是此人的年龄。为什么这样做后能算出一个人的年龄？各位年级水平的学生都能探索和解释这样的问题。
有步骤地逻辑推理是数学的一个明显的特征。在不同的内容中都涉及到推理，但严谨性的要求在不同的年级则不同。例如，一年级学生能注意到偶数和奇数交替出现。三年级的学生能猜测并证明---也许用非正式的折纸方法，正方形的对角线相互垂直。当投掷1-6数字的两个骰子时，初中学生应能决定朝上的两数乘积是奇数或偶数的可能性。高中学生可能要求他们在变量的线性变换下考虑相关系数的变化。
2.提出并探讨数学猜想
学习和做数学与发现有关。猜想---明智的猜想，是发现的主要途径。教师和研究人员发现，小学生就能学习提出、修正和检验猜想。教师在早期的教学中，就可以通过问一下问题帮助学生猜想。你们认为下一步会出现什么？有什么规律？这一结论永远成立吗？还是只是
有时候成立？简单地变换数学问题提出的方式，也能帮助学生作出猜想。例如，教师不是说“证明一组数都乘2时，这组数的平均值会变化吗？如何变化？为什么？”可以让高中学生用动态的几何软件观察和猜测，联结一个平行四边形邻边中点所产生的图形形状，并设法证明他们的猜想。要建立假设，学生需要各种机会和丰富的、引人入胜的情境来帮助他们学习。
儿童会用他们自己的语言来表达猜想、描述思路，并往往用直观材料和实例来探讨猜想。各年级水平的学生应该学习用直观材料、计算机器和其他工具探索他们的猜想。随着年级的升高，在考察猜想时应该更多地使用书写表征和符号。他们也应该学习一别的同学合作提出和探索猜想，并倾听和理解同学们提出的猜想与解释。
教师可以帮助学生重新审查在一种情境下成立的假设，是否在新的情境仍然成立。例如，一般的想法是“乘积往往比乘数大”，这对于正在学习比1大的整数的儿童来说是非常正确的。但当他们转向学习分数时，需要重新考察此假设。在证明猜想或用反例推翻猜想时，学生并不总是具有必需的数学知识和工具。例如，高中学生在有绘图功能的计算器帮助下，他们会相信如果一个多项函数有一个大于0的值和一个小于0的值，那么此函数图像定会经过x 轴的某处。教师可以指出，严格的论证，已经超出了大多数高中学生的知识范围俄。
3.发展和评价数学推理和证明
在做出和考察猜想的同时，学生应该学习回答一下=问题：为什么有这样的结论呢？小学低年级的学生倾向于用特例证明一般的结论。例如，学生可能将奇数9表示成图3.5所示的情况,并指出”一个奇数是有一个剩余这样的数”.学生随后可能推断出这样的结论:任何奇数都有一个“多余”的单位。因此把两个奇数相加时，两个“多余”的单位成为一对，变成一个偶数，没有“多余”。到小学高年级，证明应该更一般化，并建立在其他数学结果之上。用全等图形面积相等的事实，五年级学生会得到以下的结论：一个三角形和矩形的面积相等因为他们都是两个全等矩形的一半。对高中学生来说，应要求他们写出相互复杂关联的一系列推理，并说明数学依据。为了帮助学生发展和证明更具一般性的猜想或推翻猜想，教师可以问学生：“这总是成立吗？是有时成立？还是从来不成立？为什么？”这种向更一般情形的推广需要较深的数学知识，这种较深的数学知识应随着年级的升高而逐渐掌握。
学生能够通过在课堂上讨论别的学生得出的结论来学习推理。如果一个数能被6和4除，那么它就能被6和4除，但不能被24除。高中学生也许能证明一个与素数有关的猜想，或者学生能够探索上面的逆命题是否成立。不管在何种情况下，学生提供的既合理却又有缺陷的推理为课堂讨论提供了良机。随着年级的升高，学生会将自己的推理思路与别的学生的推理思路相比较，这将有助于他们修正、巩固或加强他们的推理。在课堂上鼓励学生表达思路、评价他人的思考过程，这样的课堂环境有助于学生学习数学推理。
年幼的儿童会用自己的语言，口头地或用实物来表达他们的推理过程。通过向小组、同学或班级以外的其他人表达他们的思维过程，学生能够学习较清楚也陈述他们的推理。高中学生应能数学家所能接受的书面形式表达数学推理。不管是用文字描述推理过程，用“列式证明方法”，还是直观的证明方法，这种数学证明的特定格式并不重要，重要的在于学生能用适合于他们年级水平的方法将数学思想和推理过程清楚地，正确地表达出来。
4.选择和运用不同的推理和证明方法
低年级的学生在课堂上学习和应用的推理与数学家的逻辑推理相比较，则不正规。在数学过程中，教师在帮助学生学习掌握证明的一般形式的同时，应该扩大学生能接受的推理类型和方法，比如代数和几何推理、比例推理、概率推理和统计推理等等。随着课程内容的加深，学生也应越来越训练地运用各种形式的证明。
应鼓励儿童在他们已知的基础上进行推理。一个小孩子解答6+7的问题时，先计算6+6，然后再加1，是用了同数相加、再加1和加法结合律的知识。应教导学生怎样清楚明白地应用知识进行数学推理。
2020年特殊教育学校教学计划 围绕学校课程改革，强化各项管理，立足残障学生的发展，转变观念，优化课堂教学，进一步提高管理实效，才能够创办和谐的人民满意的特殊教育学校。以下是第一范文网小编为你精心整理的关于20xx年特殊教育学校教学计划的内容，希望你喜欢。 20xx年特殊教育学校教学计划(一) 指导思想： 以精细化管理为抓手，以深化改革为动力，以教育局教育工作会议精神为指引，以《一比一访三走进》等活动为载体，走内涵发展之路，进一步强化办学理念，完善特殊教育学校标准化学校建设。探索适合我校校情的“医教结合”之路，强化个别化、生活化教育，为残疾孩子受到平等教育、将来走上社会做个自食其力的合格公民做出不懈的努力。 一、加强教师队伍建设 1、为深入贯彻学校办学理念，进一步加强教师教学思想的引导，把学生自理能力的培养，良好行为习惯的养成、文明礼貌的培养、责任意识的培养、生存能力的培养等综合素质的达成作为学校的中心工作，和对任课教师的基本要求，要求各科教师在教学过程中得到具体落实。 2、加强教师校本培训。切实增强校本培训工作的针对性和实效性，借助平时的各类专业技能培训，为教师的专业化成长创造条件。在校本培训中，实行“全员培训与分层次培训”相结合，积极开展切实有效的“校本教研”活动，提高教师的业务素质和业务能力。加强骨干教师的培养，加快青年教师的成长进程。发挥名师和骨干教师的作用，每学期每人进行示范引领课，并和新教师结成帮教对子。 校本培训的项目有：钢笔字(每周一次展示)、粉笔字(两周展示一次)、以业务学习和通识学习为载体进行业务理论培训、在集体备课过程中进行业务能力(手语、课件等)的培训。并结合教学设计比赛和教学叙事比赛，展示教师集体学习和自主学习的成果。 二、加大课程改革力度 1.精细教学常规管理 坚持学校以教学为中心、教学以课堂为中心、课堂以效益为中心。以“有效教学”的研究为抓手，努力增强“三个意识”：一是进一步增强课程管理意识，确保开全、开足、教好国家规定课程;二是进一步增强过程管理意识，按照科学、高效、规范的要求，关注每一个细节;三是进一步增强制度管理意识，完善考评机制，使教学的每一个环节都有章可循、有据可依。 严把集体备课关。严把课堂教学关。严把作业批改、讲评关。周密安排日常教学管理。做到对每一位教师的教学工作情况了如指掌。挖掘教师教学风格，打造精品、高效课堂. 2.积极探索教改模式
艺术教育需要国家标准 作者：肖一《光明日报》（2016年12月06日 14版） 艺术教育作为美育教育的主要途径，关乎人的全面发展，关乎创新创造，关乎文化传承，是增强文化自信的重要途径。越来越多的国家正从国家层面制定艺术教育发展战略、编制有关法规、建立国家标准。结合我国实际、借鉴先进经验，建立健全我国的国家艺术教育标准，具有重要的理论意义和现实意义。 我国艺术教育标准的现状 我国高度重视艺术教育，党的十八届三中全会明确提出“改进美育教学”，2015年9月，国务院办公厅出台《关于全面加强和改进学校美育工作的意见》，明确提出“到2018年各级各类学校开齐开足美育课程”等要求。2016年8月，教育部与8省（市）签署学校美育改革发展备忘录。随着政府的重视，我国艺术教育有了很大改观。目前我国已经有31个省区市确定了102个全国中小学生艺术素质测评实验区。 艺术教育国家标准是站在国家的高度、在全国范围内制定和实施艺术课程的主要依据和参照标准，是国家艺术教育发展战略和意图的具体体现，对于艺术教育的有效开展和持续发展具有着基础和决定性意义。当前我国可作教学依据的是《义务教育艺术课程标准（2011年版）》。其中虽然对其课程理念和内容设计、要求标准等做了阐述，但是没有对艺术学科在整个教育体系中的位置予以明确，没有将艺术课程提升到国家实施层面，更没有相关法规、规定予以指导和实施，教学标准、效果评估等较为宏观，缺乏一定的实施细则，影响了系统性、可操作性。《标准》颁布以来，总体看实施效果欠佳，存在着艺术课程较为单一、教育目标不明确、效果难以评估等问题，表现在具体实施中，很多学校没有把艺术课程列为必须完成的必修课程；重知识教育、轻艺术教育，自动压缩、削减艺术课，甚至其他课挤压、挪占艺术课等。当前，进一步建立健全目标更加明确、设计更加科学、体系更加完善、内容更加丰富的艺术教育国家标准，就显得迫在眉睫。 各国设立标准的尝试 美国、澳大利亚、新西兰等是制定标准较早、实施标准较为成熟的国家，研究他们在标准设立和实施方面的经验，对我国建立健全艺术教育国家标准或有裨益。 美国很早就认识到艺术教育对于创新的重要性，将推动艺术教育、制定艺术教育标准列为一项国家战略。早在《目标2000：美国教育法》出台时，就把艺术首次列为学校教育中法定的核心学科。在1994年正式出台《艺术教育国家标准》后，2014年又出台了《国家核心艺术标准》，美国对艺术教育的措施主要有几个特点：一是在有着广泛坚实的调查和研究基础上制定，并不断与时俱进。美国建立核心艺术标准国家联盟领导小组，并对美国各州和全球范围内15个国家的艺术教育标准都进行了深入研究，广泛吸收教育学、心理学、认知科学等多领域前沿研究成果，出台新标准，将1994年标准中的舞蹈、音乐、戏剧和视觉艺术四个门类拓展到舞蹈、媒体艺术、音乐、戏剧和视觉艺术；二是多学科的关联、综合和多元文化的融合吸纳。不仅强调跨多个学科的综合、先进技术的应用还有与社会生活、时代需求的结合，更把多元文化看作丰厚艺术资源吸纳融合；三是从目标导向更侧重于过程导向，将艺术过程和落实标准置于首要位置，强调艺术学习过程对人的全面发展的培养。四是注重艺术素养培养和标准的可操作性，将标准细化为具体的学习目标和落实标准。新标准中“反向设计”的课程模式是一大特色。经过不断革新，美国艺术教育质量得到大幅提升，位居世界前列。 澳大利亚早在上世纪80年代起，联邦教育部就表达了在基础教育领域设立统一的国家课程标准的决心和图景。2008年，澳大利亚《墨尔本宣言》正式签署，明确将艺术同英语、
小学数学课程标准 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。 三、课程设计思路 义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。 按以上思路具体设计如下。 （一）学段划分 为了体现义务教育数学课程的整体性，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展的生理和心理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6年级）、第三学段（7~9年级）。 （二）课程目标 义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。 数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述（术语解释见附录1）。 （三）课程内容 在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。 “数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。 “图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。 “统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推断；简单随机事件及其发生的概率。 “综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。 在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。 数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
《幼儿艺术教育与活动指导》课程标准 课程类型:专业基础课 总课时：36 一、课程地位 本课程是学前教育专业课程体系中的专业必修课程,它是以教学论的一般原理为依据,运用教育学、心理学的理论,原则,来阐述幼儿园艺术教育规律和方法的一门学科,实践性及操作性强。该课程旨在指导学生学习幼儿艺术教育的基本理论和方法,培养学生设计,组织、评价幼儿艺术教育活动的能力。 本课程是幼儿生理与保育、幼儿心理发展与评价,学前教育原理等学前教育理论基础过程,乐理与视唱练耳、声乐、舞蹈、琴法、美术、幼儿园教玩具设计与制作等艺术类课程的后续课程,又是毕业实习,毕业设计的先行课程。 二、课程目标 1.情感目标 ●形成热爱幼教以及幼儿艺术教育的情感 ●养成将正确教育理念运用于幼儿园艺术教学实践的自觉性 ●增强幼儿园艺术教育课程改革和教育创新的责任感和使命感 2.知识目标 ●了解幼儿艺术能力发展的特点和基本规律 ●理解幼儿艺术教育的目标和教育内容特点,《幼儿园教育指导纲要》、《3-6 岁儿童学习与发展指南》的精神及前沿理念,形成幼儿艺术教育的科学理念 ●掌握前儿童艺术教育的原则、途径和方法 3.技能目标
●能综合运用所掌握的专业知识和技能设计各类艺术教育活动 ●掌握组织幼儿艺术教育活动的一般指导策略并组织实施活动 能运用所学,对幼儿艺术能力发展及幼儿艺术教育活动进行分析和评价三、教学内容与要求 第一单元幼儿园艺术教育概述 (一)教学内容 第一课艺术领域目标解读 第二课幼儿艺术教育活动方案各要素的基本要求 (二)教学要求 1.理解并掌握艺术领域的目标 2..掌据教案的组成部分、书写格式和要求 (三)重点与难点 1.重点: 掌握教案的规范格式及各部分的设计要点 2.难点: 理解和掌握艺术领域的目标 第二单元设计实施歌唱活动 （一）教学内容 第一课幼儿歌唱能力发展的特点 第二课幼儿歌唱活动的目标与内容 第三课幼儿歌唱活动的组织与指导
谈美国中小学艺术教育课程设置的原则构想 [摘要]艺术教育主要包括美术、音乐、舞蹈、戏剧等学科的教学工作，其目的是充分开发学生的潜能，培养学生创新思维的能力，促进学生个性的发展和人格心智的完善。艺术教育的独特性在于，从艺术中学生可以得到有关我们自身和世界的知识、信仰和价值，这些知识、观点、体验和意义是任何其他学科不能提供和代替的。纵观古今中外，我们发现，只要有人类的地方就有艺术，文明与艺术同时产生，不管在哪个文明和哪种文化中，艺术都是人们生活中不可缺少的部分。 ［关键词］艺术教育；课程设置；审美；艺术素养 一、课程设置的涵义和内容 课程设置是指一定学校选定的各类各种课程的设立和安排。以往，人们把“课程设置”仅仅理解为学科课程的开设，这是不够全面的。目前，在我国中小学课程计划中，设置了学科类课程和综合实践类课程两种课程类型。课程设置主要规定课程类型和课程门类的设立，及其在各年级的安排顺序和学时分配，并简要规定各类各科课程的学习目标、学习内容和学习要求。 课程设置主要包括：合理的课程结构和课程内容，合理的课程结构指各门课程之间的结构合理，包括开设的课程合理，课程开设的先后顺序合理，各课程之间衔接有序、能使学生通过课程的学习与训练，获得某一专业所具备的知识与能力。合理的课程内容指课程的内容安排符合知识论的规律，课程的内容能够反映学科的主要知识，主要的方法论及时代发展的要求与前沿。课程设置必须符合培养目标的要求，它是一定学校的培养目标在一定学校课程计划中的集中表现。二、美国艺术教育发展过程简述 第一，在上世纪二十年代至三十年代，美国的美术教育受包浩斯①教师和前卫艺术家理论的影响，采取了一种“放任式教学”的方法。并以这一思想作基础，逐步建立了孔纳特的教育体系，这就是以儿童为中心的教学。“允许学生以自己的方式，做他想做的工作，只要在工作中守规矩和发挥创造性”。这种教学法导 ①关于包浩斯：由德国建筑家华尔塔．格鲁比乌斯于1919年在魏玛设立的以综合建筑、雕刻、绘画、工艺为目标，以抽象表现主义以及荷兰、俄罗斯的构成主义相混合的“合理的构成主义”造型研究所兼学校。以康定斯基、克里、法伊尼加为教师，成为现代美术的大潮流。
《数学课程标准》介绍 一、教学目的： 通过对国家《数学课程标准》的研制、《全日制义务教育数学课程标准》和《高中数学课程标准》基本理念的介绍，使学生深入了解新数学课程改革的国际背景和我国课程改革的必要性与紧迫性。 二、教学重点、难点及关键： 数学课程改革的课程目标与内容特点，新数学课程标准的理念和结构。 三、教学方法： 讲授、讨论交流与阅读文献 四、教材分析： 内容主要包括：新课程改革的国际背景、我国课程改革的必要性与紧迫性、国家《数学课程标准》的研制、《全日制义务教育数学课程标准》和《高中数学课程标准》的基本理念与创新以及新课程目标与内容特点。 五、教学程序： 3.1 新一轮国家基础教育课程改革的兴起 3.1.1新课程改革的国际背景 21世纪是以知识的创新和应用为重要特征的知识经济时代。科学技术迅猛发展，国际竞争日趋激烈。国家发展越来越依赖高素质的劳动者和大量的创新人才，越来越依赖于教育发展的水平和质量。联合国教科文组织在1994年提交的报告《学习一一财富蕴藏其中》指出，在当今信息时代，通过不断加重课程负担来满足社会对教育无止境的需求，既不可能也不合适，必须改革知识为本、学科中心的课程教材体系。 20世纪80年代以来，世界各国掀起了新一轮的课程改革。课程是学校培养未来人才的蓝图，它体现着一个国家对学校教育的基本要求，影响着学校教育的水平和人才培养的质量。课程改革之所以得到世界各国的重视，之所以被如此重要而紧迫地提出来，是因为课程改革是教育改革的核心内容。课程是教育观念和教育思想的集中体现与放映，是实现教育培养目标的重要途径，是组织教育教学的主要依据，直接影响教师的教学方式和学生的学习方式，从而直接影响教育的质量。正因为如此，20世纪中后期以来，美国、英国、日本、韩国、新加坡等各国政府在推进教育改革中都十分重视中小学课程改革，将其作为关系国家生存与发展的重大问题优先予以政策考虑。 世纪之交，基础教育课程改革在世界范围内受到前所未有的重视。对世界主
学习时间：2013.6.14 学习内容：义务教育《美术课程标准》（2011年版） 第一部分前言 美术以视觉形象承载和表达人的思想观念、情感态度和审美趣味，丰富人类的精神和物质世界美术教育具有悠久的历史，近代以来，美术课程更以其丰富的教育价值列入中小学课程体系中。当代社会的发展对国民的素质提出了新的要求，学习图像传达与交流的方法、形成视觉文化的意识和构建面向21世纪的创造力已成为当代美术课程的基本取向。美术课程应该在我国基础教育课程体系中发挥更积极的作用，为国家培养具有人文精神、创新能力、审美品位和美术素养的现代公民。 美术课程以社会主义核心价值体系为导向，弘扬优秀的中华文化，力求体现素质教育的要求以学习活动方式划分美术学习领域，加强学习活动的综合性和探索性，注重美术课程与学生生活经验紧密关联，使学生在积极的情感体验中发展观察能力、想象能力和创造能力，提高审美品位和审美能力，增强对自然和人类社会的热爱及责任感，形成创造美好生活的愿望与能力。 一、课程性质 美术课程以对视觉形象的感知、理解和创造为特征，是学校进行美育的主要途径，是九年义务教育阶段全体学生必修的基础课程，在实施素质教育的过程中具有不可替代的作用。 美术课程凸显视觉性。学生在美术学习中积累视觉、触觉和其他感官的经验，发展感知能力、形象思维能力、表达和交流能力。 美术课程具有实践性。学生在美术学习中运用传统媒介或新媒体来创造作品，发展想象能力、实践能力和创造能力。 美术课程追求人文性。学生在美术学习中学会欣赏和尊重不同时代和文化的美术作品，关注生活中的美术现象，涵养人文精神。 美术课程强调愉悦性。学生在美术学习中自由抒发情感，表达个性和创意，增强自信心，养成健康人格。 二、课程基本理念 （一）面向全体学生 实施义务教育阶段的美术教育，必须坚信每个学生都具有学习美术的潜能，能在他们不同的潜质上获得不同程度的发展。美术课程适应素质教育的要求，面向全体学生，选择基础的、有利于学生发展的美术知识和技能，结合过程和方法，组成课程的基本内容，并通
第一节、教学原则 一、抽象性与具体性相结合原则 二、严谨性与量力性相结合原则 三、理论性与实际性相结合原则 四、巩固知识与发展能力相结合原则 一、抽象性与具体性相结合原则（重点） 1.抽象性与具体性 具体性：数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，其研究对象是十分具体的。 例如：在讲授矩形这节课的时候，可以利用门窗，课桌和瓷砖等实物图片，使学生通过模型直观更深刻的体会矩形角、边具有的特点引出矩形的性质，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授一次函数这节课的时候，可以利用生活中乘坐高铁的情景，探究已知高铁的速度，能否表达出时间与路程的关系的问题，使
学生通过模型直观更深刻的体会一次函数具有的特点引出一次函数的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授函数单调性这节课的时候，可以利用一次函数和二次函数的图象，使学生通过模型直观更深刻的体会图象上升和下降具有的特点引出单调性的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授直线与平面垂直的判定定理这节课的时候，可以利用生活中升国旗的情景，探究旗杆与地面的关系的问题，使学生通过模型直观更深刻的体会直线与平面垂直具有的特点引出思考方向，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 抽象性：数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学抽象性。 数学的抽象性表现为：数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，其中数学概念抽象性是最根本的。然而，任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些具体的抽象概念作为基础。 例如：三角形的内角和的证明过程中，不仅仅是通过测量角的度数，而是需要通过一些逻辑证明方法（合情推理和演绎推理）证明三角形内角和是180°的结论。 例如：等差数列的通项公式的探究过程中，不仅仅是具体实例的分析，而是需要通过一些归纳证明的方法（合情推理和演绎推理）得出等差数列公式的结论。
第三讲特殊教育课程 一、特殊教育课程含义 1.广义：特殊教育学校设置学科的总和，或者学生在教师教导下各种活动的总和。 2.狭义：特殊学校中的各门学科。 课程的定义众说纷纭，大致可以分为以下三类 课程即教材 课程内容在传统上历来被作为要学生习得的知识来对待，重点放在向学生传递知识这一基点上，而知识的传递是以教材为依据的。所以，课程内容被理所当然地认为是上课所用的教材。这是一种以学科为中心的教育目的观的体现。教材取向以知识体系为基点，认为课程内容就是学生要学习的知识，而知识的载体就是教材，其代表人物是夸美纽斯。 课程即活动 这种课程的主要代表人物是杜威。杜威认为“课程最大流弊是与儿童生活不相沟通，学科科目相互联系的中心点不是科学，而是儿童本身的社会活动”。通过研究成人的活动，识别各种社会需要，把它们转化成课程目标，再进一步把这些目标转化成学生的学习活动。这种取向的重点是放在学生做些什么上，而不是放在教材体现的学科体系上。以活动为取向的课程，注意课程与社会生活的联系，强调学生在学习中的主动性，是一种探究性的教学。 课程即经验， 认为“教育的基本手段是提供学习经验，而不是向学生展示各种事物。”这种观点强调学生是主动参与者，学生是学习活动的主体，学习的质和量决定于学生而不是课程，强调学生与外部环境的互相作用。教师的职责是构建适合学生能力与兴趣的各种情境，以便为每个学生提供有意义的经验 5
二、特殊教育课程的历史发展 唯物论与人道主义的传播从思想上为特殊教育扫清了道路，康复医学的进步从科学上为特殊教育课程提供了依据，而盲文和聋人手势语的创造则从语言文字上为特殊教育课程做了准备。 课程的前提是语言文字，有了语言文字，课程才能提到日程上来。 2.第二阶段 养护机构的建立。由于尚未具备诊断测量的工具，受教育者的障碍程度无法分辨，只得不分障碍程度的轻重，一律加以教养，教学内容主要是以补偿或治疗缺陷，为残疾者参与和适应社会环境创造条件。养护也意味着慈善救济，反映在课程上就是只停留在生活适应的低水平，并且不分残疾轻重。 3.第三阶段 教育对象分化，引起课程分化的阶段 20世纪60年代以前： 1905年比奈-西蒙量表问世；普通中、小学特殊儿童班的大发展。这两件事也叫做特殊教育的里程碑。对弱智儿童的诊断更加科学，对弱智儿童的认识分化更详细。教育对象的分化，必然引起课程的分化。建立特殊班，逐渐推广到盲聋低视力肢体障碍等儿童也在普通中小学建立 1.第一阶段 第1页 特殊班，这样就使人们明确了特殊儿童在课程设置上，首先考虑的是学习普通教育学校相应学段的部分课程，以完成普及义务教育的任务。 特殊教育学校课程完善阶段1960-至今 1975年美国94-142公法，促进了美国特殊教育长足发展，日本在第二次世界大战以后公布的新宪法，对公民的权利与义务加以保障，据此制定的《教育
中美新数学课程标准比较 中国教育部于2001年颁行了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》；美国数学教师全国委员会1999年发表了新的数学课程标准《学校数学的原则和标准（2000）》。以下是对中美的数学课程标准的目标、内容等方面作出比较分析。 1中国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》 教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（简称《标准》）已于新世纪第一年正式颁布。它标志着我国数学教育已经进入一个新的时代。到2005年，中国义务教育阶段起始年级学生全部进入新课程。 1.1《标准》中的总体目标简述 中国《标准》首先论述了数学课程改革的必要性，根据时代的发展，改革需要提出数学课程标准的基本理念，指出数学教育应突现义务教育的普及性、基础性和发展性，使数学教育面向全体学生。 《标准》基本理念第一条中用比以前更为全面的语言提出：“使数学教育面向全体学生，实现：○1人人都能获得良好的数学教育；○2不同的人在数学上得到不同的发展。”这就是一个开创性的成果。 1.2《标准》中的目标内容简述 数学课程的总体目标被细化为四个方面：知识技能、数学思考、解决问题、情感态度。《标准》对各个目标领域的内涵及其四个方面目标之间不可分割的相互关系作了详细的阐述。数学课程的目标不只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还应当包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。因此，《标准》明确将“数学思考、解决问题、情感与态度”列为课程目标领域，并且对它们作了较为具体的说明。这是又是《标准》的一个特色。 1.3新的一轮课程改革的突破 中国新的一轮课程改革取得了一些突破： 一、确定了学生必备的基础知识和基本技能； 二、改变了学生课程结构过于强调学科本位、门类过多和缺乏整合的现状； 三、改变课程内容“繁、难、偏、旧”和偏重书本知识的状况，切实反映学生生活经验，努力体现时代的特点； 四、引导学生改变学习方式，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力； 这些突破，有些方面与美国教育的相似之处。由此可以看出，中美两国在基础教育改革方面正在相互靠拢。 2 美国2000年《学校数学的原则和标准》 美国2000年的新数学课程标准，即《学校数学的原则和标准》（简称《标准（2000）》）是在总结了1989年美国全国数学教师协会推出的《学校数学的课程与评价标准》的基础上重新修订而来。 2.1 《标准（2000）》中的总体目标简述
《艺术欣赏》课程标准 一、课程概况 注：课程类别填公共基础课、专业基础课、专业核心课、岗位方向课。 二、专业对课程要求 系统地了解艺术涵盖的范畴、美术的分类、指导学生进行艺术欣赏。通过鉴赏美术术作品、学习美术理论，使学生树立正确的审美观念，培养高雅的审美品位，提高人文素养。培养学生的艺术审美能力和精益求精的工匠精神，并激发学生的创新的方法和手段。 三、课程培养目标 1、总体目标 通过本课程的学习，使学生较系统地了解美术涵盖的范畴、美术的分类、指导学生进行美术欣赏。通过鉴赏美术术作品、学习美术理论，使学生树立正确的审美观念，培养高雅的审美品位，提高人文素养；了解、吸纳中外优秀艺术成果，理解并尊重多元文化；发展形象思维，培养创新精神和实践能力，提高感受美、表现美、鉴赏美、创造美的能力。 在课程中不光培养学生的专业能力和专业技巧，同时需要注意引导学生以社会主义核心价值观为学习内容，树立正确的人生观、价值观。教师在教学过程中，需要以“育人为本、德育为先”，把“立德树人”作为自己的根本任务，以身作则，为学生树立正面积极的做人原则和学习态度。 2、知识目标 （1）美术的起源和发展历程。 （2）史前美术和各个时期不同的美术史知识。 （3）西方艺术流派和绘画风格 （4）建筑艺术欣赏 （5）中国传统美术鉴赏。 （6）平面设计形式和构形手法
3、能力目标 （1）怎样欣赏美术作品。 （2）掌握不同时期美术形式、风格和流派。 （3）通过优秀平面作品的欣赏，培养学生的创造性思维与横向、多向思维方式，从而开创丰富、新颖的审美境界，为提高版面设计的整体水平打下良好的根基。 4、素养目标 （1）增强学生视觉感受能力。 （2）培养学生的想象力和创造力等感性素质。 （3）提高个人艺术修养。 （4）培养学生不断创新、精益求精的工匠精神。 （5）引导学生树立正确的人生观、价值观。 四、课程设计思路 美术鉴赏课程由基础型课程、拓展型课程、探究型课程三部分组成。美术鉴赏课程内容由若干学习模块组成，各学习模块依据课程目标要求进行设计，并通过活动建议具体展开。基础型课程：是使学生掌握美术基本知识和技能，培养学生对美术的兴趣和健康的美术审美观念与情趣，促进学生美术素养形成与发展的必修课程。拓展型课程：是发展学生对美术的兴趣爱好，开发学生的美术潜能，为学生进一步发展美术的某些专长奠定基础的课程。拓展型课程由学生自主选择修习。探究型课程：是学生自主运用探究性学习方式，针对美术某一领域的问题进行更深入地学习、研究，从而获得并应用新的知识，培养发现和解决问题能力的课程。探究型课程由学生自主选择修习。学习模块本课程主要分美术及美术鉴赏的基本常识、古老文明、宗教故事影响下的美术、艺术家的故事、中外美术之间的比较以及代表作品赏析四个模块完成。内容与要求根据四个阶段课程目标进行设计与编制，针对学习模块落实教学目标。活动建议主要从研究性学习、美术与社会及生活的融合、美术与信息技术的整合等方面提出教学设计和实施的建议。 五、课程内容设计 1、课程整体设计
数学教师基本的课堂教学技能 一个数学教师，尤其是新教师，怎样吸引学生，怎样启发学生，怎样提问学生，怎样管理学生。怎样导入，怎样探究，怎样巩固，怎样结束，都是非常基本的常用的课堂教学技能。 1、怎样吸引学生 课程计划制定者基于社会的、数学的、学生的未来需要，提出了学校数学的目的和相应的教学内容，但是，这一切并不完全是学生兴趣所在，所以，为了达到这些目的，让学生掌握这些内容，教师除了要教育学生树立远大的理想，勇于战胜学习道路上的各种困难以外，还必须想方设法努力使自己的教学能够最大限度的吸引学生。 教与学是师生心灵的交往，成功的教学不是靠教师单方面的灌输。国外有些教科书是在采访和调查了许多学生的兴趣、爱好以后才确定教学内容的呈现途径和形式，希望学生对它产生好感，想读、想了解。我国最近出版的教材也在向这样的方向努力，力求贴近学生的现实。但是，教材毕竟是面向所有学生的，由于各地校的发展水平不同，学生的兴趣爱好、关心的热点也不同，教材很难作到吸引所有的学生，所以，教师根据学生的现实情况设计教学，以保持和激发学生的学习兴趣是非常必要的。 吸引学生的主要方式归纳起来有这样几个字：联系、挑战、变化、魅力。所谓联系就是教学设计要联系学生的客观现实和数学现实，使教学内容不是空洞无物而是有意义的，是与其已有经验和知识有联系的。挑战自然是教学任务对学生具有挑战性，平庸拖沓的教学安排不可能吸引学生，教师应该尽可能地提高教学效率，让学生感到学习充实，收获大。一题解毕，谁还有其他创新的解法？类似具有挑战性的问题都能吸引学生。变化是教师在学生注意力涣散或情绪低落时，改变教学的形式、讲授的语速语调等，重新将学生的注意力拉回到教学中来的手段，比如，上课采用多种教学形式，穿插多种教学任务如猜想、观察、听讲、思考、操作、自学、讨论、演算、小组竞赛等等，最后一种吸引学生的方式是增加教师自身的魅力，比如得体的仪表、精彩的语言、挥洒自如的教态、简练漂亮的板书、亲切的语言、热情的鼓励、信任的目光、敏捷的思维、娴熟的解题技巧，都会有助于建立良好的师生关系，使学生“亲其师而信其道”。教师如果能调动学生的情感和意志的精神需要，效果将会持久而巨大。 2、怎样启发学生
2021年特殊教育学校教学计 划(最新版) Through the work plan, you can make a plan for future work and work out a detailed plan; the work plan function greatly improves work efficiency. ( 工作计划) 部门：_______________________ 姓名：_______________________ 日期：_______________________ 本文档文字可以自由修改
2021年特殊教育学校教学计划(最新版)导语：通过工作计划，可以对未来工作进行一个规划，制定出详细计划；这样能让工作更有条理性，还能对工作进行全局的管理，可以更好的应对工作中遇到的问题，工作计划功能对提升工作效率有很大提升。 20xx年特殊教育学校教学计划(一) 指导思想： 以精细化管理为抓手，以深化改革为动力，以教育局教育工作会议精神为指引，以《一比一访三走进》等活动为载体，走内涵发展之路，进一步强化办学理念，完善特殊教育学校标准化学校建设。探索适合我校校情的“医教结合”之路，强化个别化、生活化教育，为残疾孩子受到平等教育、将来走上社会做个自食其力的合格公民做出不懈的努力。 一、加强教师队伍建设 1、为深入贯彻学校办学理念，进一步加强教师教学思想的引导，把学生自理能力的培养，良好行为习惯的养成、文明礼貌的培养、责任意识的培养、生存能力的培养等综合素质的达成作
为学校的中心工作，和对任课教师的基本要求，要求各科教师在教学过程中得到具体落实。 2、加强教师校本培训。切实增强校本培训工作的针对性和实效性，借助平时的各类专业技能培训，为教师的专业化成长创造条件。在校本培训中，实行“全员培训与分层次培训”相结合，积极开展切实有效的“校本教研”活动，提高教师的业务素质和业务能力。加强骨干教师的培养，加快青年教师的成长进程。发挥名师和骨干教师的作用，每学期每人进行示范引领课，并和新教师结成帮教对子。 校本培训的项目有：钢笔字(每周一次展示)、粉笔字(两周展示一次)、以业务学习和通识学习为载体进行业务理论培训、在集体备课过程中进行业务能力(手语、课件等)的培训。并结合教学设计比赛和教学叙事比赛，展示教师集体学习和自主学习的成果。 二、加大课程改革力度 1.精细教学常规管理
国外的艺术教育 研究显示,艺术体验不仅能使学生获得愉悦,还能给学生带来多方面的益处,无论是数学、阅读、认知能力、批判性思维,还是口语技能。学习艺术还能提高学生的学习主动性、专注力、自控力、自信心和团队合作能力,使学生跟环境发生更深层次的联系,从而开阔视野,获得人生的幸福感。多年来,国外在艺术教育方面进行了许多积极的探索,积累了许多宝贵的经验,值得我们借鉴。 ——编者 法国艺术教育注重感悟 与国内推崇数学、语文等学科不同,法国幼儿的教育更偏重音乐和美术。法国所有的幼儿园都把美术教育看成教育的根本,80%以上的幼儿课程都和美术有关。为培养孩子们的创造力,他们很重视参观和旅行之类的活动,让孩子们用画笔或语言描述他们的所见所闻所感。而在地理、音乐等其他科目的学习中,也积极鼓励孩子们运用自己的想象力,创造出具有独特个性的作品,以此培养孩子对艺术的热爱。 为了营造家庭艺术氛围,法国父母喜欢给孩子买很多手工制作用的材料,使孩子随心所欲,兴趣一来即可创作。法国父母还在家里的墙上贴很多空白纸张,到处都放着绘画工具。法国父母还喜欢带孩子参
加各种艺术活动,让孩子亲身感受生活与艺术。 在幼儿园、学校和家庭的合力培养下,法国的孩子对建筑、美术、音乐普遍有独特的感悟与认识,让他们看一幅画,他们就能谈出它的配色、素材、明暗、构图等等,并能说出对画的感想。(胡峻) 俄罗斯的小观众 在俄罗斯,家长普遍重视对儿童艺术兴趣的培养,不失时机地培养他们的艺术感受力和鉴赏力,让儿童从小就接受艺术的熏陶。 在周末或节假日,俄罗斯人最喜欢去的地方是剧院。在那里,经常能看到年轻的父母拖儿带女,兴致勃勃前来观赏,而且每个人都打扮得漂亮整洁,有的孩子还手捧一束鲜花,那是家长准备让孩子在演出结束之后送给自己喜欢的演员的。所以,一般在演出结束后,观众并不是匆匆离去,他们仿佛还陶醉在优美的艺术境界中,而演员谢幕、小观众献花有时要持续半个小时。孩子在大庭广众下,手捧鲜花走上舞台丝毫不羞怯。 音乐厅同样是俄罗斯人带孩子经常光顾的地方。那里经常演奏俄罗斯及世界各国的著名交响乐曲。孩子们听音乐时聚精会神,肃静庄严,俨然一个成年听众。那种认真的神态,使人觉得他们一点也不是在凑热闹,而是津津有味地欣赏。他们发出掌声,并不是模仿,而是发自内心的喜悦。不管他们能听懂多少(那远不是最主要的),至少他们的投入是真诚的。他们听音乐时的自制力正是来自这种投入,而投入则是平常家长循循善诱与熏陶的结果。 逛艺术博物馆是俄罗斯人的嗜好。在博物馆的艺术品前,你经常
中华人民共和国国家教育部艺术课程标准 第一部分前言 艺术是人类文明的重要组成部分。随着信息时代的到来，艺术不再局限于传统的剧场、戏院、音乐厅、美术馆，而是更为广泛地进入电视、电脑、网络等大众媒体，成为现代人日常生活和学习不可分割的部分。越来越多的人文学者、科学工作者和工程技术人员尝试从艺术中吸取灵感，将艺术的思维方式渗透到自己的工作和研究中。艺术的感受、想像、创造等能力，已成为现代社会需要的综合型人才所不可缺少的素质。 基础教育阶段的艺术课程日益走向综合，不仅音乐和美术开始交叉融合，戏剧、舞蹈、影视等也进入艺术课堂。新的课程将更加关注学生人格的健全发展，充分利用学生的生活经验和社会文化资源，鼓励学生进行体验性、探究性和反思性学习，为学生提供生动有趣、丰富多彩的内容和信息，拓展艺术视野，提高整体素质，并使艺术学习更有趣、更容易，使每个学生获得成功感。 一、课程的性质和价值 艺术课程作为义务教育阶段学生的必修课程，对学生的人格成长、情感陶冶以及智能的提高等，具有重要价值。艺术课程综合了音乐、美术、戏剧、舞蹈以及影视、书法、篆刻等艺术形式和表现手段，对学生的生活、情感、文化素养和科学认识等产生直接与间接的影响。艺术课程不是各门艺术学科知识技能数量的相加，而是综合发展学生多方面的艺术能力；艺术课程也不仅仅是培养学生的艺术能力，同时还培养学生的整合创新、开拓贯通和跨域转换的多种能力，促进人的全面发展。概括起来，艺术课程具有如下性质和价值。 (一)课程性质 ●人文性 艺术课程是一种人文性课程，它不再把艺术视为单纯的消遣娱乐或单纯的技艺，而是把它视为人类文化的积淀和人类想像力与创造力的结晶，具有极高的人文价值。艺术记录着不同时代的文明，凝聚着浓厚的人文精神，闪烁着人类的智慧。艺术课程用艺术的感人形式、丰富内容和深刻的人文内涵，打动学生的心灵，接近学生的生活，表达学生的情感和文化追求。 ●综合性 艺术课程是一门综合性的课程。它不仅仅是某一门艺术学科的知识、创作技能、文化背景、风格流派等内容的综合，还是音乐、美术、戏剧、舞蹈、影视等多种艺术学科的综合以及艺术学科与其他学科的综合，是一门在课程目标、课程结构、课程内容上探求综合性改革的新型课程。 ●创造性
“小学数学教师教学能力提升专项培训”心得体会 沈宁 对于“课堂教学能力”，人们很直观地认为是“上课期间教的东西能让学生接受吸收多少的能力。”但是，真的只有这样简单吗？教师的教学能力——是教师素质的核心标志，它的大小决定了教师教学水平的高低。教学能力是教师职业特有的一种能力，它更是区别于其他职业的本质标志。而我们如今所提的“课堂教学能力”是教师的基本素养，是教师能力结构中的核心要素。即课堂是实施新课程的主要场所，是培养学生全面发展的最重要场所。 此次培训主要针对“学科教学基本常规”、“教材解读与教学设计”、“课标10个核心概念的内涵与教学实施”、“图形与几何的教学”、“强化教学八项专业素养”“概念、法则、公式、例题的教学”进行阐述。使我在理论上对教育、教学有了更深层次的认识和体会。在多元化社会背景下,在一个以学习为主题的时代发展中,区教育局及时的给民办小学教师提供了学习和交流的平台。在这次培训中，我更是进一步了解和掌握了新课改的发展方向和目标，反思了以往工作中的不足。作为一名教师，我深知自己在数学教学上是幼稚且不成熟的，教学工作中还有很多不足，但通过这些日子的学习，我坚信在以后的工作学习中一定能取得更大的进步。下面联系本人的实际谈谈对这次学习的认识： 一、数学理念的提升 虽然从事教育工作已有一段时间，但面对当今的形式，时代要求我们不断进步，吸取营养。在这次学习中冯崇和老师为我们总结了数学的10个核心概念，由2001版到2011版从原本的6个核心概念演变成今天的10个核心概念。每一个概念都从它的界定、意义与价值、教学策略详细的讲解并列出各个年级关于这10个概念的教学内容。这让我在数学理念上有了更深刻的认识。数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识这么多数学核心概念在数学教学中的应用是复杂和实效的。还有林振才老师的《强化教学八项专业素养》“培养学生素养，首先关注教师修养的提高。有了教师良好的素养，才会有学生良好的素养”。这就要求我们要做到：1、关注“新课标”学习，提升学科素养2关注教材信息，提升教学学科素养3、关注衔接点4、关注课堂教学提升数学思考力5、关注学生主体6、关注学困生，提高品德修养7、关注教育科研等等，都做出了详细的解说并结合了教学中的事例。我正是缺少了这样的一些理论基础，使得在实际教学中缺乏高度和深度。 二、教学行为的转变 对于每位教师都要面临的备课和上课任务，在这次培训中我也有了进一步的认识。在日常工作中面对庞大的班级学生数，面对堆积如山的要批改的
美国公共艺术发展现状和美国艺术 教育的考察 一个偶然的机会，本人被学校派遣到美国学习。到达美国后，原本以为离公共艺术发源地越来越近，会看得越来越清楚。但通过本人与部分美国艺术家深入交谈，以及对美国大多数大学艺术专业教育的调查显示：在美国大学基本没有公共艺术专业，因此非常失望。然而，美国公共艺术现状并非如此，本人到美国各地参观了很多公共艺术现场和展览，一个意外的现象是：美国拥有很多优秀的公共艺术作品，这些作品普遍的特点是：（1）观念奇特；（2）材料新颖；（3）技术跨界；（4）文化交融；（5）构成简练，非常具有国际范。带着一些
疑问和不解，本人走进了美国艺术教育课堂去体会中美艺术教育的差异，从中发现了很大的不同，以西俄勒冈大学为例： 中国论文网/7/view-12949888.htm （一）艺术课堂认真、活跃。（1）在美国艺术课堂教师上课非常认真，甚至每次上课打两次考勤，进来一次出去一次； （2）老师备课非常的详细，他们在课程开始、中间、甚至结束的时候有选择地播放名家的作品，并且随时会邀请专家进课堂与学生互动；（3）教师每次课程结束都会进行课堂总结，很多老师会在课程完成后举办一个班级party，要求学生自己带一份食品参加，学生在聚会中谈自己创作中的问题和收获，甚至包括烹饪的体会；因此课堂气氛非常活跃。 （二）老师对学生的授课方式不同。在美国的艺术课堂上，教师的授课方式基本以鼓励为主，哪怕有的同学做的方
案很差，他们都会给予极大的鼓励然后适当地给予一些建议，让该学生充满信心。对于那些特别不爱学习的学生，他们会在课后打分的环节毫不留情。另外，在手工操作课程中授课方式也有很大的差异，如：老师在前期会非常耐心地讲解和回答学生提出的疑问；在具体实施方案阶段，老师除了讲一些工具的使用外，一般不会主动指导学生，只有学生遇到问题主动找老师请教时，老师才会进行指导。 （三）授课思路不同。（1）在美国艺术课堂，老师不会刻意地要求学生有多强的写实功底，但是他们会特别对学生强调创新的重要性，会要求学生去归纳和总结，从而形成自己的想法，尤其是在作品后期加工方面，老师特别强调作品工艺的完整性，因此，在抽象思维方面美国的学生放得开，创新能力较强。（2）美术史的学习方法不同，在美国，美术史论的学习也是上大课，但是美国的美术史老师会结合专业特征，要求同