2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题
一、单选题
1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1
b a
<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】【详解】
若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”?“b ＜1
a
”为假命题； 若“b ＜
1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a ”?“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1
a
”的既不充分也不必要条件，故选D
2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ）
A ．(,2]-∞-
B ．[6,)+∞
C ．5(,2][,)2-∞-+∞U
D ．15
(,][6,)2
-∞-+∞U
【答案】C
【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-,然后对ω大于
0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围. 【详解】
Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-
①当0>ω时,,54x ππωωω??
∈-
???
? Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-
∴ 5
2
π
π
ω-
≤-
可得:52
ω∴≥
②当0ω<时,,4
5x π
πωωω??∈-?
???
Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54
ππ
-上存在最小值2-
∴
4
2
π
π
ω≤-
可得:2ω≤-
综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2
??
-∞-?+∞????
.
故选:C. 【点睛】
本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数
sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.
3．已知集合{(,)|||||1}M x y x y =+≤,若实数对(,)λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M 的“嵌入实数对”,则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ） A ．{(,)|2}λμλμ-= B ．{(,)|2}λμλμ+= C ．22{(,)|2}λμλμ-= D ．22{(,)|2}λμλμ+=
【答案】C
【解析】由定义可知||1λ≤,||1μ≤利用不等式的性质,即可得出2222
,,,λμλμλμλμ+--+的范围,
从而得出答案. 【详解】
Q {(,)|||||1}M x y x y =+≤
Q 对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈
可得:||||1x y λμ+≤
Q 11x y x y λμ?+≤??+≤??, 结合:实数对(,)λμ满足,对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈.
∴ 可得||1λ≤,||1μ≤ 即11λ-≤≤,11μ-≤≤
对于A,Q 11μ-≤≤,可得11μ-≤-≤,
根据11
11λμ-≤≤??
-≤-≤?
可得:22λμ-≤-≤,
∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ-=
对于B,Q 11
11
λμ-≤≤??
-≤≤?可得22λμ-≤+≤,
∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使2λμ+=
对于C,Q ||1λ≤,||1μ≤可得:22
0110
λμ?≤≤?-≤-≤? 故22
11λμ-≤-≤, ∴ 故不存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ-=
对于D, Q ||1λ≤,||1μ≤可得22
01
01
λμ?≤≤?≤≤?,故2202λμ≤+≤. ∴ 故存在集合M 的“嵌入实数对使222λμ+=
综上所述,故C:22{(,)|2}λμλμ-=不存在集合M 的“嵌入实数对. 故选:C. 【点睛】
本题考查了集合的新定义,解题关键是能理解新定义“嵌入实数对”,结合不等式知识进行求解,考查了学生的理解能力和推理能力,属于基础题.
4．已知函数210
()(1)0x x f x f x x -?-+≤=?->?
,则下列命题中正确命题的个数是（ ）
①函数()f x 在[1,)-+∞上为周期函数
②函数()f x 在区间(),1m m +,()
m N +
∈上单调递增
③函数()f x 在1x m =-（m N ∈）取到最大值0,且无最小值
④若方程()log (2)a f x x =+（01a <<）有且仅有两个不同的实根,则11[,)32
a ∈ A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】作出()f x 的图像,由图像对各选项进行判断即可.0x ≤时,12112x
x y -??=-+=-+ ???
,可由12x
y ??
= ???
的图像作关于x 轴的对称图像,再向上平移一个单位得到.当0x >时,()(1)f x f x =-故是周期
为1的周期函数,01x <≤图像可由10x -<≤时,112x
y ??=-+ ???
向右平移一个单位得到,根据周期函数的性质即可得到0x >图像. 【详解】
()f x 的图像如图所示:
对于①,因为(1)1f -=-,(0)0f =,可得(1)(0)f f -≠所以函数()f x 在[1,)-+∞上不是周期函数,故①不正确;
对于②,当(),1m m +,(
)m N +
∈结合函数图像可知,函数()f x 在区间(),1m m +,()m N +
∈上单调递增,
故②正确;
对于③,因为0m =时,(1)(1)1f m f -=-=-,不是最大值, 故③不正确; 对于④,如图所示,
图中两条曲线对应的a 分别为
13和1
2
,故方程为()log (2)(01)a f x x a =+<<,有且只有两个实根,则11,32a ??
∈????
,故④正确.
故选:B. 【点睛】
本题考查了分段函数和周期函数等相关知识.解题关键是根据函数平移变换画出其函数图像,结合函数图像对其单调性,最值进行求解,考查了计算能力和理解能力,属于中档题.
二、填空题
5．已知集合2{|340}A x x x =--=,{|10,}B x mx m R =+=∈.且A B A ?=,则所有满足条件的m 构
成的集合为________ 【答案】1{0,,1}4
-
【解析】先化简集合A .由A B A ?=,可得B A ?,分类讨论=0m 和0m ≠,即可求出构成m 的集合. 【详解】
Q 集合2{|340}A x x x =--=
∴ {1,4}A =-
Q A B A ?=,可得B A ?
①当0m =时,满足B A ?,符合题意
②当0m ≠时,1{|10}B x mx m ??
=+==-????
Q B A ?
∴ 11m
-
=-或1
4m -=
解得:1m =或1
4
m =-.
∴ 所有满足条件的m 构成的集合为:1
{0,,1}4
-.
故答案为:1
{0,,1}4
-.
【点睛】
本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题,一般涉及子集问题时,需考虑集合是空集或非空集两种情况,属于基础题.
6．设,a b ∈R ,则“tan b α=”是“arctan b α=”的________条件 【答案】必要不充分
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】
Q ,a b ∈R ,只有当2
2
π
π
α-
<<
时,由tan b α=才有arctan b α=
∴ 由tan b α=不能推出arctan b α=
故tan b α=不是arctan b α=的充分条件 又Q 由arctan b α=得tan tan(arctan )b α=
∴ 可得tan b α=
故tan b α=是arctan b α=的必要条件;
∴ tan b α=是arctan b α=的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分. 【点睛】
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.
7．294i z z +=+（i 为虚数单位），则||z =________ 【答案】5
【解析】设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,代入294i z z +=+,整理后由复数相等的条件列式求得
,a b 的值,根据z a bi =+的模为22z a b =+即可求得z .
【详解】
Q 设z a bi =+(,a b ∈R ),则z a bi =-,
代入294i z z +=+,得:()2()394a bi a bi a bi i ++-=-=+
39,4a b ∴=-= 故:3,4a b ==-
∴ 34z i =-
根据z a bi =+的模为22z a b =
+
∴ ()22345z =+-=
故答案为:5. 【点睛】
本题主要考查复数相等和复数求模,明确复数的实部与虚部是解题关键,考查计算能力,属于基础题.
8． 若△ABC 中，a ＋b ＝4，C ＝30°，则△ABC 面积的最大值是________． 【答案】1 【解析】【详解】
在△ABC 中，∵C ＝30°，
a ＋
b ＝4，∴△ABC 的面积S ＝12ab ·sin C ＝12
ab ·sin30°＝14ab ≤241(
)2a b +＝1
4×4＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因此△ABC 面积的最大值是1. 故答案为1.
9．设直线l 过点(4,0)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为310
，则直线l 的方程是________ 【答案】4x =-或43160x y -+=
【解析】设l 的方程为(4)(1)0a x b y ++-=(,a b 不同时为零),根据直线夹角公式可
得2222
310
10
3(1)a b =
++-,化简可得0b =或34a b =-,即可求得直线l 的方程. 【详解】
直线:310m x y -+=的方向向量为(1,3)α= 设所求直线的方向向量为(,)a b β=(,a b 不同时为零)
Q 依题意有:310310
|cos ,|cos αβ???== ?? ∴
310
||||10αβαβ?= ,2233101010a b a b
+=?+ 解得243a ab =,即0a =或34a b =- ①当0a =时,则(0,)b β=且0b ≠
∴ 此时直线l 的斜率不存在,直线的方程为:4x =-
②当34a b =-时,则,a b 均不为0
可得:3,4b b β??
= ???
,故直线的斜率为:4334
b b =
∴ 直线的方程为:4
(4)3
y x =+ ,即43160x y -+=
综上所述, 直线l 的方程:4x =-或43160x y -+=.
故答案为: 4x =-或43160x y -+=. 【点睛】
本题考查直线夹角的问题,解题关键是熟记直线夹角的计算公式,考查了计算能力.属于基础题.
10．设常数0a >，9
x x ?+ ?
展开式中6x 的系数为4，则()2lim n n a a a →∞+++=L _______ 【答案】
1
2
【解析】根据二项展开式的通项公式3992199r
r
r r r r r T C x a C x
x --+==和已知求出r ，再代入求a ，从而将a 代入所求表达式，结合等比数列的前n 项和公式求和并取极限即可. 【详解】
9
x x ? ?展开式的通项公式为3992199r
r r r r r r T C x a C x
x --+==，
令3962
r -
=，解得2r =，则2294a C =，解得13a =，
所以，()2lim lim l 11
(1)
111331223213
im n n n n n n a a a →∞→∞→∞-??=-= ???-
+?++=L .
故答案为：12
. 【点睛】
本题考查二项展开式的通项公式和系数，考查了等比数列的前n 项和以及极限的简单计算，注意仔细审题，认真计算，属中档题.
11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，11()142
x x f x =-++，则此函数的值域为________.
【答案】{}55,11,04
4????
--??? ??????
【解析】先求当0x >时函数的值域，再根据函数的奇偶性得到函数在R 上的值域. 【详解】
当0x >时，21111
()1=()14222
x x x x f x =-++-++, 令
1
,(01)2
x t t =<<，所以2()1(01)g t t t t =-++<<， 所以5
()(1,]4
g t ∈.
由于函数是奇函数，
所以当0x <时，5()[,1)4
f x ∈--. 当0x =时，(0)0f =.
综上所述，此函数的值域为{}55,11,044
???
?--??? ???
?
?
?
.
故答案为：{}55,11,044
???
?--??? ???
?
?
?
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查指数型函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．已知函数8()log (8)a f x x x
=+-在[2,)+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是________ 【答案】[4,20)-
【解析】根据复合函数单调性同增异减,因为外层函数8log y x =是单调增函数,则需内层函数
8a y x x =+-
也是增函数,且满足80a
x x
+->,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
Q 8()log (8)a
f x x x
=+-
设8log ,8a y t t x x
==+-
8log y t =Q 在(0,)+∞上为增函数
要保证8()log (8)a f x x x
=+-在[2,)+∞上是增函数
8a
t x x ∴=+-
在[2,)+∞上是增函数 ∴ 210a
t x
'=+≥在[2,)+∞上恒成立
2a x ∴≥- 在[2,)+∞上恒成立 22,4x x ≥≥Q 可得24x -≤-
4a ∴≥-
Q 8()log (8)a
f x x x
=+-
2802
a
∴+-
> 20a ∴<
∴ 实数a 的取值范围是:[4,20)-.
故答案为:[4,20)-. 【点睛】
本题考查了根据复合函数单调性求参数.对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,当外层函数是增函数时,内层函数也需要增函数,注意内层函数要满足外层函数的定义域. 13．奇函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有(2)(2)0f x f x ++-=,且(1)9f =,则
(2016)(2017)(2018)f f f ++的值为________
【答案】9
【解析】由(2)(2)0f x f x ++-=推导出(4)()f x f x +=即可得到()f x 的周期为4,当0x =时,由
(2)(2)0f f +=得(2)0f =.结合(1)9f =,即可求得(2016)(2017)(2018)f f f ++的值.
【详解】
Q (2)(2)0f x f x ++-=
(2)(2)f x f x ∴+=-- ┄①
Q ()f x 为奇函数,故()()f x f x -=-
(2)[(2)](2)f x f x f x ∴-=--=-- ┄②
由①②可得:(2)(2)f x f x +=- 即:(4)()f x f x += 可得:()f x 的周期为4
Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得: (0)0f =
Q 当0x =时, 由(2)(2)0f x f x ++-=,可得: (20)(20)0f f ++-=
∴ (2)0f =
(2016)(50440)(0)f f f ∴=?+= (2017)(20161)(1)9f f f =+== (2018)(20162)(2)0f f f =+==
∴ (2016)(2017)(2018)9f f f ++=
故答案为:9.
【点睛】
本题考查通过奇函数的定义及周期函数的定义求函数的周期,解题关键是通过赋值法求特定的函数值和利用周期性求函数的值.
14．在直角坐标系中，已知()1,0A ，()4,0B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是______．
【答案】()
,33,?-∞-?+∞?
【解析】设点P 的坐标为(),x y ，根据条件2PA PB =求出动点P 的轨迹方程，可得知动点P 的轨迹为圆，然后将问题转化为直线10x my +-=与动点P 的轨迹圆有公共点，转化为圆心到直线的距离不大于半径，从而列出关于实数m 的不等式，即可求出实数m 的值. 【详解】
设点P 的坐标为(),x y ，2PA PB =Q ()
()
2
2
2212
4x y x y -+=-+
化简得()2
254x y -+=，则动点P 的轨迹是以()5,0为圆心，半径为2的圆， 由题意可知，直线10x my +-=与圆()2
254x y -+=有公共点，
2
21m
≤+，解得3m ≤或3m ≥.
因此，实数m 的取值范围是()
,33,?-∞-?+∞?. 故答案为：()
,33,?-∞-?+∞?.
【点睛】
本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了利用直线与圆的位置关系求参数，解题的关键就是利用距离公式求出动点的轨迹方程，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 15．下列命题:
①关于x 、y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-??-=+?的系数行列式0D =是该方程组有解的必要非充分
条件;
②已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;
③“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件;
④“0p =或4p =-”是“关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 【答案】②
【解析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案. 【详解】
对于①,Q 系数行列式0D ≠,关于x 、y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-??
-=+?有唯一解,
∴ 0D =是该方程组有解的非充分条件
又Q 系数行列式0D =,0x D ≠或0y D ≠
关于x 、y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-??-=+?无解
系数行列式0D =, 0x y D D ==
关于x 、y 的二元一次方程组1
323mx y mx my m +=-??-=+?
有无穷组解
∴ 关于x 、y 的二元一次方程组1
323
mx y mx my m +=-??-=+?的系数行列式0D =是该方程组有解的非必要非
充分条件; 故①不正确;
对于②,已知E 、F 、G 、H 是空间四点,命题甲:E 、F 、G 、H 四点不共面,命题乙:直线EF 和GH 不相交.
Q 命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件
又Q 直线EF 和GH 不相交,当EF GH P ,即E 、F 、G 、H 四点共面,
∴ 命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件 ∴ 甲成立是乙成立的充分非必要条件.
故②正确;
对于③,设|1||1|y x x =++- 当1x ≥时,22y x =≥; 当11x -≤<时,2y =;
当1x <-时,22y x =->. 故|1||1|2x x ++-≥
Q 2a <能推出任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥
又Q 对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥不能推出2a <
故“2a <”是“对任意的实数x ,|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充分不必要条件 故③不成立;
对于④,由关于x 的实系数方程
p
x p x
=+有且仅有一个实数根,得:20x px p +-=, 由2
40p p ?=+=得:0p =或4p =-
当0p =时,得0x =,检验知:0x =不是方程p
x p x
=+的实根,故此时方程无解 当4p =-时,2440x x -+=,解得2x =,检验知:2x =是方程p
x p x
=+的实根.
故此时关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实数根
∴ “0p =或4p =-”不能推出“关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实根”
又Q 关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实根也不能推出“0p =或4p =-”
∴ “0p =或4p =-”是“关于x 的方程p
x p x
=+有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.
故④错误. 故答案为:②. 【点睛】
本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.
16．在直角坐标平面xOy 中,已知两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,设集合{|P l =点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于2}，22{(,)|4,,}Q x y x y x y R =+≤∈,记
{(,)|(,),}S x y x y l l P =?∈,{(,)|(,)}T x y x y Q S =∈I ,则由T 中的所有点所组成的图形的面积是
________ 【答案】4433
π
【解析】根据条件确定集合P 对应的轨迹,利用集合T 的定义,确定T 对应图形,即可求得T 中的所有点组成的图形的面积. 【详解】
Q 两定点1(2,0)F -与2(2,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧,如图:
过1(2,0)F -与2(2,0)F 分别作l 直线的垂线,垂足分别为,B C 由题意得122F B F C -=,即12F A =
Q 在12Rt AF F △中214F F =,
∴ 121cos 2
AF F ∠=
可得2160AF F ?∠= ∴.集合P 对应的轨迹为线段2AF 的上方部分,Q 对应的区域为半径为2的单位圆内部
根据T 的定义可知,T 中的所有点组成的图形为图形阴影部分
∴ 阴影部分的面积为:21142224sin 4362360ππ???
?+???= ???
故答案为:4433
π. 【点睛】
本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.
三、解答题 17．关于x 的不等式
201
x a x
+<的解集为()1,b -．
()1求实数a ，b 的值；
()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．
【答案】（1）1a =-，2b =（2）1
2
-
【解析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案; (2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】 解：(1)不等式
2
01x a x
+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，
解得1a =-,2b =．
(2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，
20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,
解得12
tan α=-. 【点睛】
本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18．如图,四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 为平行四边形,若
60DAB ∠=?,2AB =,1AD =.
（1）求证:PA BD ⊥;
（2）若45PCD ∠=?,求点D 到平面PBC 的距离h . 【答案】（1）答案见解析（2）
221
7
. 【解析】（1） 因为60DAB ∠=?,2AB =,1AD =,利用余弦定理求出BD ,即可判断出ABD △满足勾股
定理,即ABD △直角三角形且角ADB ∠为直角,则AD BD ⊥,结合已知PD ⊥底面ABCD ,即可求证
PA BD ⊥.
（2）利用等体积法,根据P BCD D BCP V V --=列方程,即可求得点D 到平面PBC 的距离h . 【详解】
（1）1,2,60AD AB DAB ?
==∠=Q
根据余弦定理可得: 2222cos60BD AB AD AB AD ?=+-??
∴3BD =222AD BD AB ∴+=
AD BD ∴⊥
Q PD ⊥底面ABCD ,BD ?底面ABCD
PD BD ∴⊥,又AD PD D =I
BD ∴⊥平面PAD
PA ?Q 平面PAD ∴ PA BD ⊥
综上所述, PA BD ⊥ （2）由（1）可知BC BD ⊥
13
2BCD S BC BD ∴=
??=
V 45PCD ?∠=Q 可得:2PD CD ==
133
23P BCD V -∴==
22222,,1PC CD PB PD DB BC ===+=Q 222BC PB PC ∴+= PB BC ∴⊥
17
2BCP S BC PB ∴=
?=
V 177326
D BCP h
V h -∴=?=
又Q P BCD D BCP V V --=
73
63h =
解得:2217
h = . 【点睛】
本题考查了判定空间两条直线垂直和点到面的距离问题.本题的解题关键是将判定空间线线垂直转化为求证空间线面垂直,考查了学生空间想象能力和计算能力.属于中等题.
19．如果一条信息有n 1,N)n n >∈（种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率
分别为12,,,n p p p L ，则称H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈）为
该条信息的信息熵．已知11
22
f ??= ???． （1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；
（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．
【答案】（1）5（2）422
n -
【解析】试题分析：利用11
()22
f =求出a ，根据题目（1）所给出的信息，32名学生，通过随机抽签的
方式选一名学生参加某项活动，“某人被选中”的概率均为1
32
，利用公式H =
()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），求出信息熵的值；比赛共有n 位选
手（分别记为12,,,n A A A L ）参加，若当1,2,k = ,1n -L 时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，利用公式H = ()()()12n f p f p f p ++L （其中()f x = log ,a x x - ()0,1x ∈），表示出信息熵后，利用错位相减法求出数列的和. 试题解析：（1）由11
22f ??=
???
，可得111log 222a -=，解之得2a =. 由32种情形等可能，故()1
1,2,,3232
k P k =
=L ， 所以21
132log 53232H ??=?-
= ???
，
答：“谁被选中”的信息熵为5．
（2）n A 获得冠军的概率为111111111+1124222
n n n ---???
?-++=--=
? ?????L ，
当1,2,k = ,1n -L 时，()22log 22k k
k k k f p --=-=
，又()1
1
2n
n n f p --=， 故1112311
24822
n n n n H ----=
+++++L ， 1112211+248222
n n n n n n H L ----=++++， 以上两式相减，可得
11111111+1224822n n H --=+++=-L ，故4
22
n H =-， 答：“谁获得冠军”的信息熵为4
22
n -．
20．双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点.
（1）若l 的倾斜角为
π
2
，1F AB V 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =l 的斜率存在，且11()0
F A F B AB +?=u u u r u u u r u u u r
，求l 的斜率. 【答案】（1）2y x =；（2）15
. 【解析】试题分析：（1）设(),x y A A A ，根据题设条件得到(
)2
4
413b
b
+=，从而解得2b 的值．
（2）设()11,x y A ，()22,x y A ，直线:l ()2y k x =-与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据l 与双曲线交于两点，可得230k -≠，且(
)2
3610k
?=+>．再设AB 的中点为(),x
y M
M M ，由
(
)
110F F A +B ?AB =u u u r u u u r u u u r 即10F M?AB =u u u u r u u u r
，从而得到11F k k M ?=-，进而构建关于k 的方程求解即可．
试题解析：（1）设(),x y A A A ．
由题意，()2,0F c ，21c b =+，()
2
2
2
41y b
c
b A =-=，
因为1F AB V 是等边三角形，所以23c y A =， 即(
)2
4
413b
b
+=，解得22b =．
故双曲线的渐近线方程为2y x =．
（2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．
设()11,x y A ，()22,x y B ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠．
由()
2
2
1{3
2y x y k x -==-，得()222234430k x k x k --++=． 因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且(
)2
3610k ?=+>．
设AB 的中点为(),x y M M M ．
由11()0F A F B AB +?=u u u r u u u r u u u r 即10
F M?AB =u u u u r u u u r ，知1F M ⊥AB ，故1
1F k k M ?=-． 而2122223
x x k x k M +==-，()2623k y k x k M M =-=-，12
323F k k k M =-， 所以
2
3123k k k ?=--，得2
35k =，故l 的斜率为15． 【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用,,,a b c e 的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
21．若定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数x 、y ，总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=恒成立，我们称()f x 为“类余弦型”函数．
()1已知()f x 为“类余弦型”函数，且()514
f =，求()0f 和()2f 的值；
()2在()1的条件下，定义数列()()21(1,n a f n f n n =+-=2，3，).?求
20172018122
2223333
a a a a
log log log log ++?++的值． ()3若()f x 为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t ，总有()1f t >，证明：函数()f x 为偶函数，
设有理数1x ，2x 满足12x x <，判断()1f x 和()2f x 的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）()01f =，()17
28
f =
（2）2035153（3）证明见解析，()()12.f x f x <，证明见解析 【解析】()1是抽象函数基础题,令121,0x x ==,求得()01f =;令121x x ==,求得()1728
f =; ()2对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令x n =，1y =,利用题中关系式推导出递推公
式12n n a a -=,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;
()3属于难题,因为()()12的铺垫,代入特定的数即令0x =,y 为任意实数即可证明偶函数,证明()1f x 与
()2f x 的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点.
【详解】
解：()1令1x =，0y =，则()()()()11210+=f f f f ，所以()01f =． 令1x =，1y =，则()()()()20211f f f f +=，所以()17
28
f =
． ()2令x n =，1y =，其中n 是大于1的整数，则()()()()()511212
f n f n f n f f n ++-==，所以
()()()()()21221f n f n f n f n +-=--，即12n n a a -=．
又因为()()12213a f f =-=，所以数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，所以1
32n n a -=?，
则2
13
n
a log n =-． 所以原式0120172035153=++?+=．
(3)证明:由题意函数()f x 定义域为R 关于原点对称,
令0x =,y 为任意实数,则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()-=f y f y ，所以()f x 是偶函数．
令N 为1x ,2x 分母的最小公倍数,并且1a x N =
,2b x N
=,a b 、都是自然数,并且a b <． 令数列{}n c 满足n n c f N ??
= ???，0n =，1，.?下证：数列{}n c 单调递增．
()1.01i f f N ??
=< ???
，所以01c c <；
.ii 若1n n c c -<，n 是正整数，即1n n f f N N -????< ? ?????
；
2019年数学高考试题(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 4．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期 期中考试数学试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 集合的真子集有________个 2. 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示） 3. 命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”） 4. 某个时钟时针长6，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是 ________ 5. 函数是奇函数，则实数的值为________ 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为________ 7. 在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________ 8. 已知函数，则的解集是________
9. 若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________ 10. 已知常数，函数的图象经过点， ．若，则______． 11. 已知函数，若，则 的最大值是________ 12. 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________ 二、单选题 13. “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 14. 若函数的反函数为，则函数与的图象可能是 A．B．C．D． 15. 在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形； （2）若，则△为直角三角形； （3）若，则△为等腰直角三角形；
（4）若，则△为正三角形； 以上正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 16. 是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标 . （1）求的值； （2）若，求点坐标. 18. 如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米. （1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发 前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多 长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 19. 问题：正数、满足，求的最小值. 其中一种解法是：，当且仅当
2019年数学高考试卷(附答案) 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 4．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．326．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是 ，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 10．若实数满足约束条件 ，则的最大值是（ ） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ，B 两点 （异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0) C ．(6,0) D ．(8,0) 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题
2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试 数学试卷 1、函数的最小正周期是 【答案】 XXXXX： 【解析】 XXXXX： 2、函数的对称轴方程是 【答案】 ， 【解析】 XXXXX：， 3、在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则 【答案】 【解析】 XXXXX： 4、若锐角、满足，，则 【答案】 【解析】
5、函数的单调递减区间为 【答案】 ， 【解析】 XXXXX： 6、已知（），则（用反正弦表示） 【答案】 【解析】 XXXXX： 7、方程的解是 【答案】 或， 【解析】 XXXXX：先用辅助角公式 8、在△中，角、、的对边分别为、、，面积为，且，则 【答案】 【解析】 XXXXX：， 9、若将函数（）的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是
【解析】 XXXXX： 10、已知函数，对任意，都有不等式恒成立，则的最小值为 【答案】 【解析】 XXXXX：比较的大小1 1、已知函数（），下列命题：① 函数是奇函数；② 函数在区间上共有13个零点；③ 函数在区间上单调递增；④函数的图像是轴对称图形、其中真命题有（填所有真命题的序号）【答案】 ②④ 【解析】 为的对称轴，故①错④对；所以区间有共计13个零点，故②对；在区间不可能单调，故③错。 12、已知是正整数，且，则满足方程的有个 【答案】 11 【解析】 只有当除外等式两边都等于0才成立。有正弦函数的性质可知在时有两解，所以二、选择题 13、“”是“”的（）
【A】 充分非必要条件 【B】 必要非充分条件 【C】 充要条件 【D】 既非充分条件又非必要条件 【答案】 B 【解析】 前面不能推后面，后面可以推前面 14、将函数图像上的点向左平移（）个单位，得到点，若位于函数的图像上，则（） 【A】 ，的最小值为 【B】 ，的最小值为 【C】 ，的最小值为 【D】 ，的最小值为
七宝中学高三月考数学卷 2016.10 一. 填空题 1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A = 4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ?=+(||)2π?<的图像关于点4(,0)3 π中心对称，则?= 6. 若12 2log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 7. 已知0x >，0y >，1211 x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||2AB =，||3AC =，若AP AB AC λ=+， 且AP BC ⊥，则实数λ的值为 9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红 包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的 最小值，则实数t = 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 12. 已知函数1,0()42,0 x x x x f x x --?+>?=?-≤??，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实 数a 的取值范围是 13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6 a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于
七宝中学高三 数学模拟试题（理科） 一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿． 2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿． 3．在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是＿＿． 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为＿＿．
5．若，则方程的解为＿＿＿＿． 6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点 分别在线段上运动，且，设与交于点，则点 的轨迹方程是＿＿＿． 7．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表： 其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）. 8．已知数列{}的通项公式为，则 +++的最简表达式为_____.
9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________. 10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、 与直线所围成的图形的面积为_______. 11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时， n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n－4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2018!!)·(2018!!)=2018!；② 2018!!=21007·1007!；③2018!!的个位数是0；④2018!!的个位数不是5．正确的命题是________． 12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______. 13．已知是内部一点，，记、、 的面积分别为、、，则________. 14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与： ，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别
2019年高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ． 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2 x y = C ．2y log x = D ．() 2 112 y x = - 4．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 5．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形
C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b = ，则 c =( ) A ．23 B ．2 C ．2 D ．1 8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 9．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ±
上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷 一、单选题 1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集， 不属于集合S，属于集合S的补集 即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩?I S 故答案为：C． 【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合. 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. （）与（） 【答案】D 【考点】判断两个函数是否为同一函数
【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数； 对于B选项的定义域为 的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数． 对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数. 故答案为：D. 【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可. 3.已知，则“ ”是“ ”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条 件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1” 则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2?b2， ∴（a+b）2＜（1+ab）2 ∴ab+1＞a+b． 若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立． 综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件． 故答案为：A． 【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可. 4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
东北师大附中 重庆一中 2019届高三联合模拟考试 吉大附中 长春十一高中 理科数学试题 吉林一中 松原实验高中 本试卷共23题，共150分，共6页。时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，， D ．{12}， 2．i 为虚数单位，复数1 i 2 += z 在复平面内对应的点的坐标为 A ．)11(，- B ．)11(， C ．)11(-， D ．)11(--， 3．等比数列{}n a 各项均为正数，若11a =，2128n n n a a a +++=，则{}n a 的前6项和为 A ．1365 B ．63 C ． 32 63 D ． 1024 1365 4．如图，点A 为单位圆上一点，3π =∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点)5 4 53(，-B ， 则=αcos A ．10 334- B ．10 334+- C ． 10334- D ．103 34+- 5．已知双曲线22 22:1(00)x y C a b a b -=>>，的右焦点到渐近线的距离等于 实轴长，则此双曲线的离心率为 A B C D ．2 6．已知1536a =，433b =，25 9c =，则 A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c << 7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用 秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别 为5，2，则输出v 的值为 A ．64 B ．68 C ．72 D ．133 8．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边 长为1，则该三棱锥的外接球的体积为 A ．4π B ．16 3π C ．16π D ． 323 π 9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 A ．336 B ．340 C ．352 D ．472 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下 三个命题： ①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值； ③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．
2020届上海市七宝中学高三三模数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设a 、b 分别是直线a 、b 的方向向量，则“a ∥b ”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 2．某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为a 、b ，且直线480ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于B 、 C 两点，且120BAC ∠=?，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)9x y -++= C ．22(1)(1)4x y -++= D ．22(1)(1)3x y -++= 3．函数2cos(2)26 y x π =+ -的图像按向量a 平移后所得图像的函数解析式为 ()y f x =，当函数()f x 为奇函数时，向量a 可以等于（ ） A ．(,26 )π - B ．(),26 π - C ．( 212 ,)π - D ．()212 ,π - 4．已知F 为抛物线2 4y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点， 当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个 第II 卷（非选择题）
2019-2020年上海市七宝中学高一上12月月考 一. 填空题 1. 关于x 的不等式2420x x -++>的解集为 2. 设函数()(2)()f x x x a =++为偶函数，则实数a = 3. 对数表达式1log (5)x x --中的x 的取值范围是 4. 已知函数()()2g x f x =+是奇函数，且(2)1f =，则(2)f -= 5. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x = 6. 函数y =的最大值为 7. 已知函数2()(2)m f x m m x =+是定义在[0,)+∞上的幂函数，则(45)f x x +≥的解集为 8. 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式 2(3)(22)f x f x +>+的解集为 9. 已知函数2()3f x x x a =+--在区间[1,1]-上有零点，则实数a 的取值范围是 10. 函数531x y x =--有 个零点 11. 若函数231()21 x x f x x m x ?≤=?-+>?的值域为(,3]-∞，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数()f x 满足22(1)(1)()()2f x f x f x f x +-++-=，则(1)(2020)f f +的最大值是 二. 选择题 13. 已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，那么“()f x 、()g x 都是奇函数”是 “()()f x g x 为偶函数”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
2019年数学高考一模试题(及答案) 一、选择题 1．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 2．2 5 3 2()x x -展开式中的常数项为（ ） A ．80 B ．-80 C ．40 D ．-40 3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44 AB AC - B ．13 44 AB AC - C ． 31 44+AB AC D ． 13 44 +AB AC 4．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22 221x y a b += (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ， 使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．2,13?? ???? B ．12,32?????? C ．1,13?? ???? D ．10,3 ?? ?? ? 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．函数3 2 ()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,2) 8．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
七宝高一英语期中考试（2019年11月） 满分：150分 I. Listening Comprehension (25%) Section A Directions: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard. 1. A. 5:00. B. 4:30. C. 5:30. D. 6:00. 2. A. In a factory. B. In a hotel room. C. At a reception desk. D. In the hell. 3. A. She doesn’t like eating the cake. B. She is trying to buy some cake. C. She is leaving to take a flight. D. She is going on a diet now. 4. A. She’s a housewife. B. She’s a nurse. C. She’s a babysitter. D. She’s a teacher. 5. A. Painting the room. B. Pleasure in helping others. C. Preparing for a surprise party. D. Asking Mike for help. 6. A. She is working in the hospital as a doctor. B. She is a patient in the hospital. C. She is not allowed to be visited by her friends. D. She is seeing patients of injuries on the fourth floor. 7. A. Nervous. B. Relaxed. C. Confident. D. Fine. 8. A. He is not afraid of driving in the terrible rush hour. B. Driving is much faster than taking the bus to work. C. He has to leave the seat when the bus gets to his stop. D. He doesn’t like standing all the way on his way to work. 9. A. Because she doesn’t want a good rest. B. Because she doesn’t take a bad cold seriously. C. Because she will lose her job if she does. D. Because she wants to keep on working. 10. A. Her English class is interesting. B. Mr. Jackson is stricter than Mr. White. C. She wants to shout in English class. D. She doesn’t like being sleepy in class. Section B Directions: In Section B, you will hear two short passages, and you will be asked to questions on each of the passages. The passages will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard. Questions 11 through 13 are based on the following passage. 11. A. How to say and spell “horse”. B. A few simple spelling tricks. C. A comfortable pattern of numbers. D. Rules in math without a problem. 12. A. He learned the spelling “rules” in high school. B. He spent hours online playing word games. C. He entered himself in competitions of all levels. D. He learned Spanish to play in another language. 13. A. He was good with words in elementary school.
2019年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =I e（ ） A ．{1}- B ．{0，1} C ．{1-，2，3} D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ． 2 B ．1 C ．2 D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+?? --??+? … ?…，则32z x y =+的最大值是（ ） A ．1- B ．1 C ．10 D ．12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ） A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +?”是“4ab ?”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x y a = ，1 1()2a y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（ ）
7．设01a <<．随机变量X 的分布列是 X 0 a 1 P 1 3 13 13 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．() D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32 ,0, ()11(1),03 2x x f x x a x ax x C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b > 10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，2 1n n a a b +=+，*n N ∈，则（ ） A ．当12b = 时，1010a > B ．当1 4 b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a > 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．已知复数1 1z i = +，其中i 是虚数单位，则||z = ． 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则 m = ，r = ． 13．在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ． 14．在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则 BD = ，cos ABD ∠= ． 15．已知椭圆22 195 x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原 点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．
上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期10月月 考数学试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 不等式的解集为________； 2. 已知集合，，则_________. 3. 设，则是成立的________条件； 4. 不等式的解集为________； 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是____________. 6. 已知，若，则或”是_______命题（填“真”或“假”）. 7. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 __________ 8. 已知，，若，则实数的取值范围是________； 9. 已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ________；
10. 已知关于的方程的两个根，，且在区间上恰好有两个正整数解，则实数的取值范围是________. 11. 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，设，，其中表示不超过的最大整数， ．若用表示不等式解集区间的长度，则当 时，________； 12. 对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合．已知，，用 表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为________； 二、单选题 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A．B． C．D． 14. 设集合A=若A B,则实数a,b必满足 A．B． C．D． 15. 已知函数，且，，集合 ，则下列结论中正确的是（） A．任意，都有B．任意，都有 C．存在，都有D．存在，都有
16. 设，，.记集合，，若、分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（） A．，B．， C．，D．， 三、解答题 17. 已知关于的不等式：． （1）当时，求此不等式的解集； （2）当时，求此不等式的解集． 18. 命题甲：关于的方程有两个相异负根；命题乙：不等式 对恒成立． （1）若这两个命题至少有一个成立，求实数的取值范围； （2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数的取值范围． 19. 若存在满足下列三个条件的集合，，，则称偶数为“萌数”： ①集合，，为集合的个非空子集，，，两两之间的交集为空集，且；②集合中的所有数均为奇数，集合中的所有数均为偶数，所有的倍数都在集合中；③集合，，所有元素的 和分别为，，，且．注：． （1）判断：是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合，，，若不是“萌数”，说明理由． （2）证明：“”是“偶数为萌数”成立的必要条件． 20. 已知集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围；
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷 一、填空题 1.已知全集U R =，集合{} 12A x x =->，则U C A =_________. 2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1 (5)f -=_________. 3. () 2 14732lim n n n →∞ +++ +-=_________. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 5.设函数2 ()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________. 6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________. 7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________. 9.已知函数()x f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1 g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则 14 a b +的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6 f x A x A π ωω=- >>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：① 0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π?? ???? 上单调递增；③方 程1 ()2 f x A = 一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________. 11.函数11 ()22 f x x =- ≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.
上海市七宝中学（文来中学）二O一六学年度第二学期教职工 业 绩 工 资 二O一七年六月三十日
上海市七宝中学（文来中学）二O一六学年度第二学期教职工业绩工资 第一类：本学期在岗教职工业绩工资基数7000元 1、工人人均7000元（系数1.0） 2、不任课教师、职员人均8400元（系数1.2） 3、任课教师人均9800元(系数1.4) 4、班主任或年级组长人均11200元(系数1.6) 5、中层副职的副职干部人均11200元(系数1.6) 6、班主任兼年级组长人均11900元(系数1.7) 7、中层副职干部人均11900元(系数1.7) 8、中层正职干部人均12600元(系数1.8) 9、校长助理人均14000元(系数2.0) 10、校级干部人均15400元（系数2.2）
第二类：各类业务工作业绩考评奖 教学类： 一、课堂教学精品奖：（13名2000元/人） 七宝高中语文教研组：周陶富 七宝高中数学教研组：管恩臣 七宝高中政治教研组：王立华 七宝高中物理教研组：汤凤君 七宝高中地理教研组：柳英华 七宝高中体育教研组：朱立明 文来高中数学教研组：叶莺 文来高中地理教研组：赵磊 文来高中体育教研组：李妍 文来高中国际部：金佩佩 文来初中英语教研组：杨晓珏 文来初中政治教研组：徐枢清 文来初中体育教研组：韩杨杨 二、课堂教学探索奖：（21名1500元/人） 七宝高中语文教研组：张君平 七宝高中数学教研组：郝翠荣 七宝高中英语教研组：沈威金亚伦 七宝高中政治教研组：范丽 七宝高中物理教研组：邓雪冰 七宝高中化学教研组：周国亮 七宝高中生物教研组：秦海张菲菲 七宝高中历史教研组：王丽 七宝高中体育教研组：胡健 七宝高中艺术教研组：姚若曦 七宝高中信息科技组：金琼 七宝高中劳技教研组：欧维嘉 七宝高中心理教研组：梅晓菁 文来高中语文教研组：周瑾茹 文来高中英语教研组：李筱 文来高中政治教研组：俞金晶 文来初中语文教研组：缪娴