2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
教学目标:
1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验；
3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力；
4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性．
教学重点:
探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题． 教学难点:
引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ． 教学过程:
情境创设
提问：
1．等腰三角形有哪些性质？
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
学生回顾：
1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．
2．判定一个三角形是等腰三角形的方法：
（1）根据定义，证明三角形有两边相等；
（2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相等． 应用反馈
根据你所掌握的方法独立解决下列问题： 1．已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，AD ∥BC ．求证：AB ＝AC ．
思考：（1）上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？试证明你的结论．
B D
（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？
通过这一系列问题的解决，你有什么发现？
学生独立思考分析，代表发言．
学生交流想法，代表发言．
归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．
活动一：操作·探索
1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．
3．提问：观察图形，你还有哪些发现？
学生思考，操作，小组内交流．
1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD是等腰三角形；
B B
2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD．
3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言．
有4个直角三角形全等；
BD＝CD＝AD；
……
活动二：探索·说理
1．提问．
（1）D是斜边AB的中点吗？
（2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？
2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？
（1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？
图（2）图（3）
（2）思考：怎样说明CD ＝12
AB ？ 分析：
在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？
假设已知CD ＝12
AB ，那么我们可以得出怎样的结论？这对于你说明结论有启发吗？
3．小结．
（1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并用符号语言表述；
（2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件．
4．尝试练习．
（1）Rt △ABC 中，如果斜边AB 为4cm ，那么斜边上的中线CD ＝_______cm ．
（2）如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，DE ⊥AC ，垂足为E ． ①如果CD ＝2.4cm ，那么AB ＝ cm ．
②写出图中相等的线段和角．
（3）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，如果斜边AB ＝5cm ，那么斜边上的高CD ＝ cm ．
例题讲解
1．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，如果∠A ＝30°，那么BC 与AB 有怎样的数量关系？
试证明你的结论．
C B A
C C
提问引导：
（1）对于BC 与AB 的数量关系，你有何猜想？你为什么作这样的猜想？
（2）我们猜想BC ＝21AB ，根据我们学过的知识，什么与2
1AB 相等？这对于你证明结论有启发吗？
（3）指导学生完成证明过程（投影）．
2．已知：如图，点C 为线段AB 的中点， ∠AMB ＝∠ANB ＝90°.CM 与CN 是否相等？为什么？
指导学生完成证明过程，对板演点评． 指导学生活动 完成练习： 1．课本P66练习2． 2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、
N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：
（1）MD ＝MB ； （2）MN ⊥BD ．
B
课堂小结
这节课你有哪些收获？
B
八年级数学上册教案 课题： 2.5 等腰三角形的轴对称性（2）课时： 2 课型：新授课教学目标： 1．掌握等腰三角形的判定定理． 2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理． 3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 教学重点： 熟练地掌握等腰三角形的判定定理． 教学难点： 正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理． 教学设计：设计说明及补充： 情境导入一、创设情境 如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，它的一部分被墨水 涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．请同学们想一 想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家 试试看．[来源:学科网ZXXK] 演示折叠过程为 进一步的说理和 推理提供思路． 通过动手操作、演 示、观察、猜想、 教学过程二、探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下 方法进行操作： （1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC． （2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A． （3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD 对折． 问题1：AB与AC有什么数量关系？ B C
问题2：请用语言叙述你的发现． 三、分析证明 思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？ 问题3：已知如图课本P62图2-31，在△ABC中，∠B ＝∠C．求证：AB＝AC． 引导学分析问题，综合证明． 思考：你还有不同的证明方法吗？ 问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？ 四、探索发现二 问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？ 问题6：等边三角形有什么性质？ 问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？ 五、学以致用 请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题． 小结 这节课你学到了什么？ 课堂作业补充练习体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验． 通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解． 板书设计:教学反思：
课题：八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》课时：1课时教材分析：本节内容是继上一节“等腰三角形的性质”之后。首先由“等边对等角”逆用是否成立引出；之后通过学生动手操作探究；然后得出“等角对等边”定理；接着进行应用；最后是关于等边三角形的识别的“大家谈谈” 学情分析：学优生通过启发引导探究出几何推理的方法得到“等角对等边”；中等生、学困生通过动手操作验证“等角对等边”。在复杂图形中正确运用“等角对等边”的方法应予以指导。 教学目标： （一）知识与技能 1．学优生掌握“等角对等边”的几何推理方法，并能够综合运用有关定理解决三步几何说理题。 2．中等生学会运用全等的方法证明“等角对等边”，并能运用有关定理解决二步几何说理题。 3．学困生学会正确运用“等角对等边”，并能够区分“等角对等边”与“等边对等角”。 （二）过程与方法 1．学优生经历用几何推理方法得到“等角对等边”的过程，提高他们的几何推理能力。 2．中等生、学困生经历动手操作方法验证“等角对等边”。 （三）情感态度、价值观 激发全体学生的探究热情，体验探究成功的快乐，帮助学生树立学习信心。 教学过程： （一）复习旧知，导入新课 1．教师提问学困生：（如图1）在△ABC中，如果AB=AC，你能得到什么结论？ 2．教师提问中等生：（如图2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=BD=BC，你能得到哪些等角？
(二)探究新知 1．问题解决 （1）提出问题：（如图3）在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC吗？ （2）学生讨论验证方法：折叠法；测量法；几何推理法（师引导辅助线的添加） （3）自主解决：学优生写出几何推理过程；学困生动手操作验证；中等生自愿选择。 （4）交流总结：先找学困生动手操作演示；然后找学优生口述几何推理过程；之后，师生共同总结出“等角对等边”性质定理。 2．同类变换 找中等生依次回答下列问题： （1）如图4，在△ABC中，如果∠A=∠C，那么。 （2）如图5，在Rt△ABC中，如果∠A=∠B，那么。 （3）如图6，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么。 （4）如图7，∠BCD是△ABC的一个外角，如果∠BCD =60°,∠ A=30°，那么。 3．方法总结 （1）先用箭头指出一个三角形中两个等角所对的两条边，然后写出结论。
数学八(上)1.5《等腰三角形的轴对称性》习题 1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为； （2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为；（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？ 3.在等腰三角形ABC中，∠A =4∠B. (1)若∠A 是顶角，则∠C= °； （2）若∠A 是底角，则∠C= °。 4.如图，在三角形平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自己自然下垂。如果调整架身，使垂线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置，这是为什么？ 5.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D 在AB 上。 （1）如果CD是角平分线，那么∠BCD = ° ; （2）如果CD是高，那么∠BCD = °； （3）如果CD = AD，那么∠BCD = °； （4）如果CD = CB ,那么∠BCD = °。
6.在△ABC中，∠A=40°，当角∠B等于那些度数时，△ABC是等腰三角形？ 7.如图，∠C=36°，∠B=72°，∠,BAD=36°. （1）求∠1和∠2的度数。 （2）找出图中的等腰三角形，并说明理由。 （第7题） 8.如图。 （第8题） （1）由Rt△CDE≌ Rt△ACF,可得∠DCE+∠ACF= °,从而∠ACB= °；（2）设小方格的边长为1，则AB= ； （3）去AB的中点M，连接CM，则CM= ,理由是：。 9.如图,AB⊥ AC,点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD. (1) ∠ACB= °∠ABD= ° ;
1.5 等腰三角形的轴对称性复习课 [趣题导学] 建筑工人在建房子时，为了确定房梁是否水平，常用这样的方法：用一块等腰三角板放在梁上，从顶角顶点系一重物，如果系重物的绳刚好经过三角板的底边中点，则认为房梁就是水平的，你认为这样做有道理吗？ 解答：这样做有道理。如图1.5-1，△ABC 为等腰三角 形，所系重物过底边中点D 点，则可知AD 为等腰三角形的底边中线，根据等腰三角形底的平分线，底边的高，底边的中线，“三线合一”的性质，可知AD 也为高，即AD ⊥BC ，AD 的方向正好为铅垂方向，与铅垂方向垂直的线则是水平线，由此可知梁BC 是水平的。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形 2、有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A ．2cm ，2cm ，4cm B ．3cm ，8cm ，3cm C ．3cm ，4cm ，6cm D ．5cm ，4cm ，4cm 3、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，40° B ．80°，20° C ．50°，50° D ．50°，50°或80°,20° 4、如图1.5-2，在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上,且BD=BE ，CD=CF ，∠A=70°，那么∠FDE 等于（ ） A ．40° B ．45° C ．55° D ．35° 5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．． 的个数是（ ） 图1.5-2 A B C E F D
A B 2 1C B A E D O 21 1.5等腰三角形的轴对称性（2） 姓名_________ 班级 ________ 学号 等第 学习目标 1. 掌握“等角对等边”的性质 2. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 3. 经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力， 感受分类、转化等数学思想方法； 4. 会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和 表达，提高演绎推理的能力 学习重点 熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质 学习难点 正确熟练的运用解决问题 学习过程 1.探索发现 （1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB ，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？ 经过折叠后所得的△ABC ，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC ，BC 的长度，你们有什么发现？ （2）.在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABM.设AM 与BN 相交于点C.量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？ 2.例题分析 例1. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O 。 (1).OB 与OC 相等吗？请说明理由。 ⑵.BD 与CE 相等吗?为什么? B A C 21
⑶.如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么? 例2、如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，△ADE 的周长为10，BC 长为8，求△ABC 的周长. 3. 根据课本P26的探索，请同学讨论，并从中得出相关的结论 取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠： 问题：图中与AD 相等的线段有哪些？CD 与AB 的大小有什么关系？ 4.课堂练习 （1）.课本第26页练习1、2、3 （2）.如图,在四边形ABCD 中， ∠ABC=∠ADC=900 ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN ⊥BD. （3）.如图,在△ABC 中，∠C=900 ， ∠ABD=2∠EBC ，AD ∥BC ， 求证:DE=2AB. 5. 总结反思 （1）.如何判定一个三角形是等腰三角形？ （2）.直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？ A B C D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A B C D E A C B D M N A B C D E
初中数学 轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称． 线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. (2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. 轴对称变换的性质 （1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 (2)?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (３）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 (1）作出一些关键点或特殊点的对称点． (2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x,y)关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
第五章生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形（第1课时） 会宁县桃林中学王伟彦 一、教学目的 1. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 掌握等边三角形的轴对称性及其有关性质。 二、教学过程 ⑴（整体浏览课本，确定学习目标） 1、（课本121页引例）认识等腰三角形是轴对称图形。掌握等腰三角形对称轴的“三线合一”及相关性质。 2、（课本121页想一想）认识等边三角形是轴对称图形。掌握等边三角形的相关特征。 ⑵创设情境导入新课 1. 认识等腰三角形，介绍等腰三角形的概念及各部分名称。 ⑶动手操作探求新知 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质吗？拿出你的等腰三角形纸片，把纸片折折看，你能发现什么现象吗？ 1. 思考 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 （2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ （3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高呢？（4）沿对称轴折叠，你能发现等腰三角形的哪些特征？
2.归纳 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)∠B =∠C (3 )∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线 (4)∠ADB=∠ADC=90°AD为底边上的高 (5 )BD=CD，AD为底边上的中线。 等腰三角形的特征： 1）.等腰三角形是轴对称图形 2）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3）.等腰三角形的两个底角相等。 3.推理 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 （也称为“三线合一”）. 证明：因为AD是角平分线, 所以∠BAD= ∠ CAD 在ΔABD和ΔA CD中, 因为AB=AC, ∠BAD= ∠CAD,AD=AD 所以ΔABD ≌ΔACD 所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90? 所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。 ⑷知识推广 1．等边三角形的有关概念有几条对称轴？ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？ ⑸知识应用
《等腰三角形的轴对称性》教学设计 一、教材分析 1.教材的地位和作用 本课是苏科版八年级上册第二章第5节第1课时的内容。在此之前，学生已经掌握了三角形全等和轴对称的知识，具有了初步的推理证明能力。本节课要求进一步培养学生推理能力；而“等边对等角”和“三线合一”也是今后证明两个角相等、两条线段相等、两条直线互相垂直的重要依据，也是学习等边三角形的预备知识。因此本节内容是本章的重点之一，具有承前启后的作用。 2.课时安排和说明 “2.5等腰三角形的轴对称”这一节安排三课时，本次教学内容为第一课时，探索得到等腰三角形的性质，并利用等腰三角形的性质解决有关问题。 3.教具准备 多媒体、长方形纸片，剪刀。 二、学情分析 认知分析：学生已掌握了轴对称与轴对称图形的性质，这将成为学生研究和探索等腰三角形性质的基础知识。 能力分析：学生通过前面的知识学习，已初步具备一定的操作、归纳、推理和论证能力，但数学意识和应用能力尚需要进一步培养。 情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与动手操作与研究，但合作交流意识方面，有待加强；少数学生主动性不够强，需要营造一定的学习氛围，来加以带动。 三、教学目标 1、知识与技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。 2、过程与方法：经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，了解等腰三角形是轴对称图形。 3、情感态度与价值观：培养学生的观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心。 四、教学重点和难点 教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用。 教学难点：等腰三角形的性质的推理证明。 五、教学过程 （一）、创设情境，引出课题 1、课件出示一些具有三角形的图片，提问：这些三角形有什么共同的特点？ （设计意图：由日常生活中的等腰三角形引出课题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。） 2、回顾等腰三角形的概念，并让学生思考：等腰三角形还有其他的特殊性质吗？教师引入课题这节课我们就来研究等腰三角形的性质。 （设计意图：回顾旧知，有利于新旧知识的衔接，教师要让学生对探索的目标、意义有十分明确的认识，做好探索前的物质准备和精神准备。）
复习范围：等腰三角形的轴对称性 知识点回顾： 知识点一：等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 同步测试： 1、等腰三角形的周长为cm 13,其中一边长为cm 3,则该等腰三角形的底边为( ) A. cm 7 B. cm 3 C. cm 7或cm 3 D. cm 8 2、如图,△ABC 是等腰三角形,∠A=90°,AD 是BC 上的高,DE 、DF 分别是AB 、AC 上的高,图 中等腰三角形有 ( ) A.7个 B.6个 C.3个 D.5个 知识点二：等边三角形的轴对称性 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600 。 同步测试： 1、在等边三角形ABC 中,AD 是高,∠B 的平分线交AD 于E,下面判断中错误的是 ( ) A.点E 在AB 的垂直平分线上 B.点E 到AB 、BC 、AC 的距离相等 C.点E 是AD 的中点 D.过点E 且垂直于AB 的直线必经过点C 知识点三：等腰（边）三角形的判定 如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） 3个角相等的三角形是等边三角形； 有两个角等于600的三角形是等边三角形； 有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 同步测试： 1、有一个外角是120°,两个外角相等的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 2、如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。①试说明△OBC 是等腰三角形，并说明理由。 知识点四：直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 同步测试： 1、某直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则它的斜边中线为 。 A E D C O A B C D E F
轴对称图形与等腰三角形 一、选择题 1．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．正方形的对称轴的条数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（） A．B．C．D． 4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（） A．5 B．C．D．6 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（） A．6 B．6 C．9 D．3 6．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）
A．B．1 C．D．2 7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=1，则AC的长是（） A．2 B．2 C．4 D．4 8．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（） A．2 B．C．D． 9．如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=（）
【最新整理，下载后即可编辑】 等腰三角形的轴对称性 1.知识.能力聚焦 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。 （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。 3.直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在应用该性质时应注意以下两点： （1）必须是在直角三角形中； （2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。 4.等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 ②等边三角形是每个角都等于60° （3）识别：判定等边三角形有如下三种方法: ①三边相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
E D C B A 第2题图 创新.思维拓展 等腰三角形性质的拓展 由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质； （1） 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。 （2） 等腰三角形两底角的平分线相等。 （3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。 （4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等， 并且大边对大角。 再探直角三角形的性质 在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 习题 1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ； (2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8， 那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=B E ，则∠ADE 是 °． 3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( ) A ．80°、80°、20° B ．80°、50°、50° C ．80°、80°、20°或80°、50°、50° D ．以上答案都不对 D C B A
等腰三角形的轴对称性 1.知识.能力聚焦 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。 3.直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在应用该性质时应注意以下两点： （1）必须是在直角三角形中； （2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。
4.等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 （2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 ②等边三角形是每个角都等于60° （3）识别：判定等边三角形有如下三种方法: ①三边相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 创新.思维拓展 等腰三角形性质的拓展 由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质； （1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。
E D C B A 第2题 （2） 等腰三角形两底角的平分线相等。 （3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。 （4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并 且大边对大角。 再探直角三角形的性质 在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 习题 1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ； (2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °．
初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 等腰三角形和等边三角形的轴对称性 ［目标］ 探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。 二. 重、难点： 1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 2. 等边三角形的概念及其性质。 三. 知识要点： 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形。 顶角平分线所在直线是它的对称轴。 （2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法） ①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”） ②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”） ③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） ☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 等边三角形 （a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 （b）等边三角形特殊的性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 60。 ②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于 60的等腰三角形是等边三角形） （有一个角是 【典型例题】 例1. 已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（）（A）2，2，6 （B）3，3，4 （C）4，4，2 （D）3，3，4或4，4，2
分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。 答：选D 。 例2. O 为锐角△ABC 的∠C 平分线上一点，O 关于AC 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则△POQ 一定是（ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 分析：设OP 、OQ 分别交AC 、BC 于E 、F ，由线段的对称轴是它的垂直平分线知： OE ⊥AC ，且OE ＝ 21OP ；同理OF ⊥BC ，且OF ＝2 1 OQ ； 由角平分线的性质知：OE ＝OF ，则OP ＝OQ 。∴△POQ 一定是等腰三角形 答：选B 例3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm ，那么斜边长等于_________。 （2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于 260，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。 （3）等边三角形的周长是30cm ，一边上的高是8cm ，则三角形的面积为______ _______。 解：（1）设斜边长为x cm ，则直角边长为 x 22，根据题意，42 22=-?x x 。 解得)21(4+=x cm （2）设顶角的一个外角为 m ，则 260180=+m 。 而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于 40，顶角等于 100。 （3）等边三角形三边相等，则其边长为cm 10330=，∴2408102 1 cm S =??=? 例4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少?30，求这个三角形的三个内角 的度数。（考虑两种情况） 解：①设等腰三角形的底角为x ，则顶角为)302( -x ，则 180)302(=-++x x x 解得：x ＝ 5.52 ∴)302( -x ＝ 75 ②设等腰三角形的顶角为x ，则底角为)302( -x ，则
【知识点梳理】 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 1. 轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 1) 线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 m C A B D' D C' B' A' K J I H 图1 图2
（2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 顶角顶角2 1 -902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一。 m C A B P 图3 底边 底角底角顶 角 腰 腰 D C B A 图4
《轴对称图形与等腰三角形》单元测试题 姓名：_______ 学号：_____ 分数：_____ 一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共24分） 1.下列图形不一定是轴对称图形的是 ( ) A.半圆 B.梯形 C.直角 D.矩形 2.( ) A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个 3.若等腰三角形的一个底角为α，则( ) A.0°＜α＜90° B.90°＜α＜180° C.α≤45° D.α≤90° 4.等腰三角形的边长是3和8，则它的周长是( ) A.11 B.14 C. 19 D.14或19 5.小明从平面镜中看到背后墙上的电子钟显示的时间为15∶21，这时的实际时间是( ) A.15∶12 B.21∶15 C.15∶21 D.12∶15 6.等腰三角形的周长为24，其中一边的长为7，则与它相邻的另一边的长是( ) A.7或10 B.7或8.5 C. 8.5或10 D.7或8.5或10 7.下列说法错误的是( ) A.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧 B.等边三角形是轴对称图形 C.轴对称图形的对应边相等，对应角相等 D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 8.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形( ) A.是直角三角形 B.是锐角三角形 C.是钝角三角形 D.其形状无法确定 二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共24分） 9.汉字、英文字母和阿拉伯数字0～9中有不少是轴对称图形，如“中”、“A”、“8”，请再写出三 个是轴对称图形的汉字：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的英文字母：_____，_____，_____；三个是轴对称图形的数字_____，_____，_____. 10.如图1，△ABC是轴对称图形，MN是它的对称轴；MN将△ABC分成△ABE和△ACE，△ ABE和△ACE关于直线_____成轴对称. 11.如图2，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，则∠ADC的度数是_____， ∠BAD的度数是_____. 12.在图3中分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N. 若P1P2=8cm，则△PMN的周长是_____. 13.如图4，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，∠CAE∶∠BAE =1∶2，则∠B的度数是_____. 14.等腰三角形的一个底角为50°，则这个等腰三角形的顶角平分线与一腰的夹角是______. 15.等边三角形的两条高相交所成钝角的度数是________________. 16.将一张正方形白纸，沿对角线对折后得到一个等腰直角三角形，在这张重叠的纸上剪出一朵
《等腰三角形的轴对称性》习题 1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为； （2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为；（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？ 3.在等腰三角形ABC中，∠A =4∠B. (1)若∠A 是顶角，则∠C= °； （2）若∠A 是底角，则∠C= °。 4.如图，在三角形平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自己自然下垂。如果调整架身，使垂线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置，这是为什么？ 5.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D 在AB 上。 （1）如果CD是角平分线，那么∠BCD = ° ; （2）如果CD是高，那么∠BCD = °； （3）如果CD = AD，那么∠BCD = °； （4）如果CD = CB ,那么∠BCD = °。
6.在△ABC中，∠A=40°，当角∠B等于那些度数时，△ABC是等腰三角形？ 7.如图，∠C=36°，∠B=72°，∠,BAD=36°. （1）求∠1和∠2的度数。 （2）找出图中的等腰三角形，并说明理由。 （第7题） 8.如图。 （第8题） （1）由Rt△CDE≌ Rt△ACF,可得∠DCE+∠ACF= °,从而∠ACB= °；（2）设小方格的边长为1，则AB= ； （3）去AB的中点M，连接CM，则CM= ,理由是：。 9.如图,AB⊥ AC,点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD.
(1) ∠ACB= °∠ABD= ° ; （2）画∠ABD的平分线交AD于点E，则∠ AEB= °； （3）你所画的线段BE与图中哪一条线段相等？请说明理由。 10.（1）按下列要求画图：画等边三角形ABC和它的两条中线BD、CE、BD、CE 相交于点O，连接DE; (2)说出图中有哪几个三角形是等边三角形？哪几个三角形是等腰角形？ 11.如图，AB=AC，∠BA⊥CA=120，AD⊥AB,AE⊥AC. （1）图中，等于30°的角有：；60°的角有； （2）△ADE是等边三角形吗？为什么？ (3) 在Rt△ABD中，∠B= °，AD BD;在Rt△ACE 中，有类 似的结论吗？ 12.如图, △ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，度量并 比较AD与BE的大小，你能对所得结论说明理由吗？
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期 末总复习资料 本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。 3、对称轴都是直线 4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。就能得到线段相等。4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等
的重要依据。性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。 七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。就能得到线段相等。 本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。 3、对称轴都是直线 4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形 专题一轴对称性质的应用 1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（） 2.已知，如图（1），Rt△ABC ≌Rt△ADE，∠ABC =∠ADE =90°．试以图中标有字母的 点为端点，连结出新的线段，并请你把满足相等、或垂直、或平行关系的线段找出来，然后 选择一种关系予以证明． 专题二规律探究题 3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形. 4.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐 标是（a，b），则经过第2019次变换后所得的A点坐标是________． 专题三操作题 5.小华将一张如图1所示矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形通过图 形变换构成了下列四个图形，这四个图形中不是 ．．轴对称图形的是( ). 6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你 用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形. C A B D F E y x O A B C y x O y x O y x O y x O 第1次 关于x轴对称 第2次 关于y轴对称 第3次 关于x轴对称 第4次 关于y轴对称 B Ａ D C
图甲 图乙 专题四 图案设计题 7.用四块如图a 的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图b 、图c 、图d 中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）. 15.2 线段的垂直平分线 专题一 线段垂直平分线知识的应用 1.如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ， 求证：BE +CF ＞EF ． 2.△ABC 中，∠A =90°,AB =AC ,D 、E 、F 分别在AB ，AC ，BC 上，且AD =AE ，CD 为EF 的中垂线，求证BF =2AD . 3.已知，如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，DE =DF ．求证：AD 垂直平分EF ． 合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下： 学生甲：因为DE =DF ，所以点D 在线段EF 的垂直平分线上（?到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD 垂直平分EF ． 学生乙：因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，DE =DF ，AD =AD ，?所以Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）,所以AE =AF （全等三角形的对应边相等），所以A 点在图 a 图c 图 d 图b M
2.5 等腰三角形的轴对称性（3） 教学目标: 1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验； 3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力； 4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性． 教学重点: 探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题． 教学难点: 引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ． 教学过程: 情境创设 提问： 1．等腰三角形有哪些性质？ 2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？ 学生回顾： 1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合． 2．判定一个三角形是等腰三角形的方法： （1）根据定义，证明三角形有两边相等； （2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相等． 应用反馈 根据你所掌握的方法独立解决下列问题： 1．已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，AD ∥BC ．求证：AB ＝AC ． 思考：（1）上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？试证明你的结论． B D
（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？ 通过这一系列问题的解决，你有什么发现？ 学生独立思考分析，代表发言． 学生交流想法，代表发言． 归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立． 活动一：操作·探索 1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？ 2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由． 3．提问：观察图形，你还有哪些发现？ 学生思考，操作，小组内交流． 1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD是等腰三角形； B B 2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD． 3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言． 有4个直角三角形全等； BD＝CD＝AD； …… 活动二：探索·说理 1．提问． （1）D是斜边AB的中点吗？ （2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？ 2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？ （1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？ 图（2）图（3）