一元二次方程知识点总结
考点一、一元二次方程
1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次
多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：
)04(242
2≥--±-=ac b a
ac b b x
公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式
5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-a
b ，二根之积等于
a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a
b ，x 1 x 2=a
c
。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。 考点三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，
ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根。 考点四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a
c
x x =21。也就是
说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 考点五、一元二次方程的二次函数的关系
二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y 的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点。也就是该方程的解了
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如
2
y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数。
2. 二次函数2
y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2
y ax c =+的性质：
上加下减。
3.
()
2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4.
()2
y a x h k
=-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
()2
y a x h k
=-+，确定其顶点坐标()h k ，；
⑵ 保持抛物线2
y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2
（或
m c bx ax y -++=2
） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，
c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数
()2
y a x h k
=-+与2
y ax bx c =++的比较
从解析式上看，
()2y a x h k
=-+与
2
y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中
2
424b ac b h k a a -=-=
，． 五、二次函数
2
y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2
()y a x h k =-+，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、
与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若
与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2
y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．
当
2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a =-
时，y 有最
小值2
44ac b a -．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当
2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-
时，y 有最大值2
44ac b a -．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2
y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2
()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以
写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2
40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表
示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数
2
y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，0
2b
a -=，
即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，0
2b
a -
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．
⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，0
2b
a -
>，即抛物线的对称轴在y 轴
右侧；当0b =时，02b a -
=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，0
2b
a -<，即抛物线对称轴
在y 轴的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴
a b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 “左同右异” 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 九、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数 2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12() x x ≠，其中的12x x ，是一元二次 方程 () 200ax bx c a ++=≠ 的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. a 、当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； b 、当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线 2 y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 2 y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： 2 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2 y ax bx c =++的图像如图1，则点 ) ,(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号； 2-3 2 ②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键． 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 答案：C 例4、（ 烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． （1）写出y 与x 的关系式； （2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，)0,(2x B 两点)(21x x ，交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ． (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x 轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1 ∴x2>O ，x1 ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6． (2)存在点M 使∠MC0<∠ACO ． (2)解：点A 关于y 轴的对称点A ’(1，O)， ∴直线A ，C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x 的范围为-1 当点M 的横坐标满足-1 令x=3代入解析式，得 , 25-=y 所以抛物线 23212+-= x x y 的顶点坐标为 ),25 ,3(- 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 ) 25 ,3(-等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 一元二次方程易错题 一、选择题 1、若关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于（ ） A ．1 B . 2 C . 1或2 D . 0 2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨， 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．45250x += B ．245(1)50x += C ．250(1)45x -= D ．45(12)50x += 3、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n -- 4、已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．可能有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 5、已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ） A ．－5 B.5 C.-9 D.9 6、已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ． a b C ．a b + D ．a b - 7、112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 （ ） A ．121-<<-x B ．011<<-x C ．101< D ．211< 8、关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则 212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25 9、中江县20XX 年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全 班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( ) A . 2450)1(=-x x B . 2450)1(=+x x C . 2450)1(2=+x x D . 24502 ) 1(=-x x 10、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 11、对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax 2+bx+c=0必有实数根； ②若b 2 +4ac<0，则方程ax 2+bx+c=0一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0一定有两个不等实数根； ④若方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，则方程cx 2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D．①③④ 二、填空题 1、若一元二次方程x 2 －(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ． 3、方程（x ﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ． 4、关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+1=0(a ≠0)有两个相等实根，求4 -2)-(a ab 2 22 b + 的值为____ ___． 5、在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a=5，若关于x 的方程x 2 +(b+2)x+6-b=0有两 个相等的实数根，则△ABC 的周长为__________． 6、已知关于x 的一元二次方程x 2 -6x-k 2 =0（k 为常数）．设x 1，x 2为方程的两个实数根，且 x 1 +2x 2=14，则k 的值为__________． 7、已知m 、n 是方程x 2-2003x+2004=0的两根，则(n 2 -2004n+2005)与(m 2 -2004m+2005)的积 是 .
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