一、等比数列选择题
1．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．
503
B ．
507
C ．
100
7
D ．
200
7
3．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ??=
，公比q =，则456a a a ??=（ ） A ．32
B ．16
C ．16-
D ．32-
4．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ???
???
是等差数列 B ．1
3n
S n = C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
6．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
?? ??
?
B ．20,3
?? ??
?
C ．30,4?? ???
D ．20,3?? ???
7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
8．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ）
A ．45
B ．54
C ．99
D ．81
9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则3810b b b =（ )
A ．1
B ．8
C ．4
D ．2
10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则
313232020log log log a a a ++
+=（ ）
A ．3
B ．505
C ．1010
D ．2020
11．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16
B ．16-
C ．20
D ．16或16-
12．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列()
{}
1
11n n n a a -+-的
前n 项的和为（ ）
A ．()23
82133n n +--
B ．()23
182155n n +---
C ．()2382133
n n ++-
D ．()23182155
n n +-+-
13．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152
B ．142
C ．132
D ．122
14．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31
4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4
C ．12-
D ．12
±
15．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()(
)*
21n n n S a a n =+∈N
，且0n
S
>，记
数列{}
2n
n a ?的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．11
16．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则
5678a a a a +++=（ ）
A ．80
B ．20
C ．32
D ．
255
3
17．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
18．数列{}n a 满足1192110
21119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?，，
，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）
A ．2016
B ．1528
C ．1504
D ．992
19．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（ ） A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
20．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40
B ．81
C ．121
D ．242
二、多选题21．题目文件丢失！
22．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >
B ．1q >
C ．1
1n
n a a +< D ．当10a >时，
1q >
23．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列
D ．3a ，6a ，9a 成等比数列
24．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）
A ．当101a q >??>?
B ．10a >
C ．1q >
D ．1
1n
n a a +< 25．已知等比数列{}n a 的公比0q <，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且
1010a b >，则下列结论一定正确的是（ ）
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b >
26．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A ．3q = B ．数列{}2n S +是等比数列 C ．5121S =
D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥
27．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，781a a ?>，
871
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ?> C ．n S 的最大值为9S
D ．n T 的最大值为7T
28．已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测
下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等比数列 B ．1p =时，41516
S =
C ．当12
p =
时，()*
,m n m n a a a m n N +?=∈ D ．3856a a a a +=+ 29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，671a a >，
671
01
a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<
B ．8601a a <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为6T
30．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：
111213212223231
32
3331312
n n n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ?????????? 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．7
67173a =?
C ．1
(31)3
j ij a i -=-?
D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称
{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）
A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B ．已知4
n a n n
=+
，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n
n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D ．已知2
2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<
32．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +??
?????
的前
n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）
A ．数列{}1n a +是等差数列
B ．数列{}1n a +是等比数列
C ．数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-
D ．1n T <
33．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
34．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列
B ．若32a =，732a =，则58a =±
C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列
D ．若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，则1r =-
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
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一、等比数列选择题 1．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+?，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能
力. 2．D 【分析】
设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】
5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，
由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则(
)3
11212
a --＝50，
解得a 1＝507
，所以牛主人应偿还粟的量为2
3120027a a ==
故选：D 3．A 【分析】
由等比数列的通项公式可计算得出()6
456135a a a q a a a ??=??，代入数据可计算得出结果.
【详解】
由6
3
2
6
456135135432a a a a q a q a q a a a q ??=?????=???=?=.
故选：A. 4．C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ??+????
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +??+=+ ???
， 所以数列11n a ??+????为等比数列，则111
11122n n n a a -??+=+?= ???
，
所以121n n a =-，故1010
11
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 5．C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ??
?
???
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
113n n S S --=， 所以1n S ??
????
是等差数列，A 正确；
1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n
n n S =+-=，所以13n S n
=，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +??
????
是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 6．A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1
102n q -?>，
1
(1)
221n q q
-<-，即可求出参数q 的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠． 11
0,2
n a a >=
，2n S <， ∴1
102n q -?>，1
(1)221n q q
-<-，
10q ∴>>． 144q ∴-，解得34
q
． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4
?? ??
?
．
故选：A ． 【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 7．A 【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2
326a a a =，
即2
(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)
661(2)2422
S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 8．C 【分析】
利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ，因为3
41a a q =，所以3q =，所以24
352299a a q q +=+=.
故选C 9．B 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，
所以2
7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；
又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，
所以3
3810371178b b b b b b b ===.
故选：B. 10．C 【分析】
利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】
由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，
所以313232020log log log a a a ++
+
()10103101010113log log 31010a a ===.
故选：C 11．A 【分析】
根据等比数列的通项公式得出6
18a q =，10
132a q
=且10a >
，再由
819a a q ==.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则6
18a q =，10
132a q
=且10a >
则81916a q a ====
故选：A 12．D 【分析】
根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入
()
1
11n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.
【详解】
因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，
所以31121
208a q a q a q ?+=?=?，
解得2q
，12a =，
所以1222n n
n a -=?=，
()
()
()
111
1
1
1222111n n n n n n n n a a ++-+--+=??-=∴--，
()
{
}
1
11n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，
()
23
3
5
7
9
21
11
8[1(4)]8222222
(1)1(4)155
n n n n n n S -++---∴=-+--+
+?==+---， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 13．A
【分析】
根据29T T =得到7
61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由29T T =得：7
61a =， 故61a =，即5
11a q =. 又2
121512a a a q ==，
所以9
1
512
q =， 故12
q =
， 所以()()21112
2
123411...2n n n n n n n T a a a a a a q
--??=== ???
,
所以n T 的最大值为15
652T T ==.
故选：A. 14．C 【分析】
利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】
()21114
2211
1111
22211121644a a q a q q q q a q a q ??=-=--??????=?=-????=?=
????
， 故选：C. 15．B 【分析】
由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1
122n n T n +=-?+，即可得解.
【详解】
由题意，()()*
21n n n S a a n N
=+∈，
当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，
所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，
因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+，
当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，
所以1231222322n n T n =?+?+?+???+?，
()23412122232122n n n T n n +=?+?+?+???+-?+?，
所以()()234111212222222212212
n n n n n n T n n n +++--=++++???+-?=-?=-?--，
所以()1
12
2n n T n +=-?+，
所以876221538T =?+=，9
87223586T =?+=，
所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 16．A 【分析】
由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】
根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，
121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q
则()()4
56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.
故选：A 17．C 【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3
78a =，
所以72a =，因此2
31174a a a ==.
故选：C. 18．C 【分析】
利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】
因为1192110
21119n n n n a n --?≤≤=?≤≤?，，
，
所以，410
4
9104561022222212
a a a -+++=+
+==--，
49
8
4
4
8
941112152222222212
a a a -+++=+
+=+
+==--，
该数列从第5项到第15项的和为
10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=?-+-=?+-=?=
故选：C 【点睛】
解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 19．B 【分析】
由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】 解：
数列{}n a 是等比数列，
3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，
即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列， 易知公比2q
，
9616S S ∴-=，12932S S -=，
121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.
故选：B. 20．C 【分析】
根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出
5S 的结果.
【详解】
因为12234,12a a a a +=+=，所以23
12
3a a q a a +=
=+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113
a q S q
--===--， 故选：C.
二、多选题 21．无
22．ABC 【分析】
由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则
111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.
【详解】
由题意，设数列{}n a 的公比为q ，
因为1
1n n a a q -=，
可得1
11(1)0n n n a a a q
q -+-=->，
当10a >时，1q >，此时1
01n
n a a +<<， 当10a <时，1
01,1n
n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 23．AD 【分析】
根据等比数列的定义判断． 【详解】
设{}n a 的公比是q ，则1
1n n a a q -=，
A ．2
3513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32
a q a =，36
3a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．24
2a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．
36936
a a
q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】
结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．
数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,
a a a 仍是等比数列，
实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,
n k k k k a a a a 仍是等比
数列． 24．BCD 【分析】
利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】
A ，当10
1a q >??>?时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；
B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；
C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；
D ，若10a >，
1
1n
n a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 25．AD 【分析】
根据等差、等比数列的性质依次判断选项即可. 【详解】
对选项A ，因为0q <，所以2
9109990a a a a q a q =?=<，故A 正确；
对选项B ，因为9100a a <，所以91000a a >??
0a a ?，即910a a >或910a a <，故B 错误；
对选项C ，D ，因为910,a a 异号，99a b >，且1010a b >，所以910,b b 中至少有一个负数， 又因为10b >，所以0d <，910b b >，故C 错误，D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的综合应用，考查学生分析问题的能力，属于中档题. 26．ACD 【分析】
根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 【详解】
因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ?=??=?=，因此选项A 正确；
因为131(31)132n
n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132
n
n n S -==-， 因为+1+11
1(3+3)+22
2=1+1+21+3(3+3)2
n n
n n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；
因为5
51(31)=1212
S =
-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=?=>，
因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++?=，所以选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 27．AD 【分析】
根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】
因为11a >，781a a ?>，
871
01
a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.
27981a a a =
因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】
本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 28．AC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 错误；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又
2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
=
=-，故B 错误；
由A 可得m n m n a a a +?=等价为2
1
2
1122m n
m n
p p ++?
=?
，可得1
2
p =
，故C 正确； 3827
11
33||||22128a a p p ??+=+=? ???，56451112||||22128a a p p ??+=+=? ???
， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：AC. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的递推关系式，考查学生的计算能力，属于中档题． 29．ABD 【分析】
先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】
若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则
11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与671
01
a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；
667710101
a a a a -<∴>>>-，因此2
768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；
因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】
本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题. 30．ACD 【分析】
根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】
由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，
可得22
13112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，
解得3m =或1
2
m =-
（舍去），所以选项A 是正确的； 又由666
6761(253)3173a a m ==+??=?，所以选项B 不正确；
又由1
111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m
a i m m i i a ----==+-??==-?+-??，所以选
项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++
++++++++++
11121(13)(13)(13)131313
n n n n a a a ---=++
+
---1(231)(31)22n
n n +-=-? 1
(31)(31)4
n n n =
+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】
本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 31．BCD 【分析】
根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()
1111
111n k n n n k k n a a a a q
q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，
n k n a a +<，故错误；
B. ()()244441++n k
n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +????+-?
?-=++-+=-= ? ? ? ? ?+??????
，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；
C. ()()
()()()()21212111n k
n n
k n k n a a n k n k ++??-=++--+-=+---??
，当n 为奇数
时，()2110k
k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k
k +-->，存在2
k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则()()()
2
2
2
2020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *
∈N 成立，
则()2
20k t k +->，对于3k ≥成立，且()2
20k t k +-≤，对于k 2≤成立
即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD
【点睛】
本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．BCD 【分析】
由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公
式可得n a ，1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】
解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，
可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，
则12n
n a +=，即21n n a =-，
又1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111
111212*********
n n n n T ++=-
+-+?+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 33．AB 【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【详解】
由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，1
2
n n b -=，
n n b c a ==2?2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，
其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1） ＝（21
+22
+ (2)
）﹣n (
)21212
n n -=
-=-2
n +1
﹣2﹣n ．
当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB 【点睛】
本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分
析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 34．AC 【分析】
在A 中，数列{}
2
n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，
数列{}n a 是递增数列；在D 中，13
r =-. 【详解】
由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，
22221n n a a q -=，
22221122221n
n n n a a q q a a q
+-∴==是常数， ∴数列{}
2n a 是等比数列，故A 正确；
在B 中，若32a =，732a =
，则58a =，故B 错误；
在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则
01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；
在D 中，若数列{}n a 的前n 和1
3n n S r -=+，
则111a S r ==+，
()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，
1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，
()461r ∴=+，
解得1
3
r =-
，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】
本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 35．BC 【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，
()
11515815152
a a S a +=
=为定值，但()
()11616891682
a a S a a +=
=+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.