菱形证明专题训练
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乐学教育菱形证明专题训练
1.已知:如图，在四边形ABCD中,AＢ∥CD，E,Ｆ为对角线AC上两点,且
AＥ＝CF，DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．?
【答案】∵AＢ∥ＣＤ，
∴∠BＡＥ=∠ＤCF.?∵DＦ∥ＢE,
∴∠BEF＝∠ＤFE，?∴∠AEＢ＝∠CFD.
又∵AE=ＣF,?∴△AEＢ≌∠CFD,
∴AB=CD．?∵ＡB∥CＤ，?∴四边形ABＣD是平行四边形.
∵ＡＣ平分∠BAD,
∴∠BAE＝∠DAF.?又∠BAE=∠DＣＦ,
∴∠DAＦ=∠ＤCF,?∴ＡD=ＣD，
∴四边形ABCD是菱形.
2．如图，矩形AＢCD中，点O为AＣ的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接BF交AC于点M,连接DＥ，ＢＯ.若∠ＣOB=６0°,FO=FC.
求证:
(１)四边形EＢＦD是菱形;
【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCＤ的对角线AC的中点，
∴B,D, O三点共线且BD＝DO=CＯ=ＡO．
在矩形AＢCD中,ＡB∥ＤC,AB=DC，∴∠FCO＝∠EAＯ.
在△ＣFO和△AEＯ中,?∴△CFＯ≌△AEO,∴ＦO=EＯ.?又∵BO=DO,∴四边形BＥFD是平行四边形.
∵BＯ=CＯ,∠ＣOB=６0°，?∴△COB是等边三角
形.∴∠OCＢ=6０°.?∴∠FＣＯ=∠DCB-∠ＯCＢ=30°.?∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.?∴∠FOB=∠FOＣ+∠ＣOB＝90°.
∴EF⊥BD．∴平行四边形EＢFＤ是菱形.
（2)MB∶OE=3∶2.
【答案】∵BＯ=ＢC,∴点Ｂ在线段ＯＣ的垂直平分线上．
∵FO=FC,∴点Ｆ在线段OC的垂直平分线上．
∴BF是线段OC的垂直平分线.?∴∠FＭO=∠OＭＢ=90°．?∴∠OBＭ=30°.∴OＦ=ＢF．?
∵∠FOC=30°，∴ＦM=ＯF.???∴BM=BＦ-MＦ＝２OＦ-OＦ=OF．
??即FO=EO,∴ＢM∶OＥ=3∶2．
３.如图,在△ABＣ中,∠AＢC＝９0°,BD为ＡC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E，过点A作ＢＤ的平行线,交CＥ的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BＤ，连接BＧ,DＦ.
求证:四边形ＢGFＤ是菱形．?
【答案】∵FＧ∥BD,BＤ=ＦＧ，∴四边形BGFD是平行四边形.
∵CＦ⊥BD,AG∥ＢＤ,∴ＣF⊥ＡG．又∵∠AＢＣ=90°,点D是AＣ的中
点,∴BD＝ＤF＝ＡC，???∴平行四边形BGFD是菱形.
４. 如图,点O是菱形ＡBCD对角线的交点，ＤE∥AC,CＥ∥BＤ，连接OＥ.?求证：OE=ＢＣ.
【答案】∵DE∥AC,ＣＥ∥BD，?∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCＤ是菱形,
∴ＡＣ⊥ＢD,ＯB＝ＯＤ,
∴∠BOＣ=∠COＤ=90°,
∴四边形OCED是矩形,
∴∠OＤE=９0°，∵OB＝OD，∠ＢOC=∠ODE=90°,?∴ＢＣ＝，OE=,??
∵ＤE＝OC．?∴OE=ＢＣ．
5.［２0１5·兰州中考,25] （９分)如图,四边形ABＣD中，AＢ∥CD，ＡB≠CＤ,ＢＤ=AC.
(１）求证:AD=BＣ;
【答案】作BＭ∥AC,ＢＭ交DC的延长线于点M,则∠AＣD=∠BＭD．1分
?
∵AＢ∥CD，BM∥AC,?∴四边形ABMC为平行四边形．２分
?∴ＡC=BM.?∵BＤ=ＡC，∴ＢM=ＢD.?∴∠ＢＤM=∠BMD.
∴∠BDＣ=∠AＣD．
在△BDC和△ＡCＤ中，
?∴△ＢDC≌△ACD.4分
∴BＣ=AD.5分
(2）若Ｅ,F,G,H分别是AＢ,CD,AC,BD的中点．求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.
【答案】连接ＥG,GF,ＦH，HE.6分
∵E,H为AB,BD的中点，∴ＥH=AＤ．
同理FG=ＡＤ，EG＝BC，ＦH=BC.?
∵BC=AD,∴ＥG=FG=FH＝EH.8分?∴四边形EGＦH为菱形,?∴EF与ＧH互相垂直平分.９分
6.[201５·长春中考,１8] （7分)如图,CE是△ABC外角∠ACＤ的平分线,ＡＦ∥CＤ交CE于
点F，FG∥ＡC交CＤ于点G,求证:四边形ACGF是菱形.?
【答案】因为ＡF∥CD,ＦＧ∥AC，
所以四边形ＡCＧF是平行四边形①,?又因为∠ACE=∠ＥCG,∠ECG=∠AＦC，?所以
∠ACE=∠AＦＣ,所以ＡC＝AF②，
由①②得四边形ACＧF是菱形.
7.[2010·上海中考，2３]已知梯形ＡBCD中,ＡD∥BＣ，AB=ＡD（如图所示），∠ＢAD的平分线ＡE交ＢＣ于点E，连结
ＤＥ．?
(１)在图中,用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法)，并证明四边形ＡBED是菱形;
【答案】?
∵∠BAＥ=∠ＤAE，
∠DAＥ=∠BEA，?∴∠BAE=∠BＥA，AB=BE＝AD,
AD∥BE，∴四边形ＡBED的平行四边形，又AB=ＡD,
∴四边形ABED为菱形
（2)∠ABＣ=６0°,EＣ＝２BＥ，求证：EＤ⊥DC.
【答案】过Ｄ作ＤF∥AＥ，则ＤF=CF=1，?∴∠Ｃ＝3０°,而∠DＥC＝60°,
∴∠EDＣ＝90°,∴ED⊥ＤC.
8.[2０1０·沈阳中考,19]如图,菱形ＡBCD的对角线ＡC与BD相交于O，点E,Ｆ分别为边ＡB,ＡD的中点，连接ＥF,OE，OF,求证：四边形ＡEOF是菱形.
【答案】∵点E,F分别为ＡB，AＤ的中点
∴AE＝AB，AF＝AD（2分)??
?又∵四边形ABCD是菱形
∴AＢ=AＤ
∴AE＝AＦ(4分)
又∵菱形AＢCD的对角线AC与BＤ相交于点O?∴O为BD的中点
∴OＥ,OＦ是△ＡBD的中位线(６分）?∴ＯＥ∥AＤ,OF∥AB
∴四边形AEOF是平行四边形（８分)
∵ＡE＝AF
∴四边形AEOＦ是菱形(10分)
9. ［2010·安徽中考,2０]如图，ＡD∥FＥ,点Ｂ,C在AD
上，∠1=∠2,BF＝BＣ.?
(1)求证：四边形ＢCEＦ是菱形;
【答案】∵ＡD∥FＥ,∴∠FEＢ=∠2.?
2,∴∠FEＢ=∠１．
=∠
1
∵∠
∴BF=EF
∵ＢＦ=BC，∴ＢC＝EF.
∴四边形BCEF是平行四边形?∵BF＝BC,?∴四边形BＣEF是菱形(5分）
（2)若AB=BC＝CD,求证：△ACF≌△BDE．
【答案】∵EF＝BC,AＢ＝ＢC＝CＤ,ＡD∥ＦE，
∴四边形ABＥF、四边形CDEF均为平行四边形,∴AF=BＥ，ＦC=EＤ.（8分)
又∵AＣ=2BＣ＝BＤ，（9分）?∴△ＡCF≌△BDE．(10分)
10．[20１3·长沙中考，２４］如图,在?ABCＤ中,Ｍ,Ｎ分别是AＤ，BC的中
点，∠AＮD=90°,连接CＭ交ＤN于点O.
（1）求证:△ＡBN≌△CDM；
【答案】∵∠ABN＝∠ＣＤM，ＡB=CD,
BN＝BC=AD＝DＭ,
?
∴△ABN≌△ＣDM(SAS).
（2)过点C作CE⊥ＭN于点E,交ＤＮ于点P,若PE＝1,∠1=∠2，求ＡN的长.
【答案】∵M，O分别为ＡＤ，ND的中点，
∴AN∥MO且ＡN=2MO，?∴∠MOＤ＝∠ＡND＝９0°，即平行四边形CDMＮ是菱形,?在Ｒt△MＯD与Ｒt△ＮEC中,
∵∠1＝∠2，ＭＤ＝NＣ,∴Rt△MOＤ≌Rt△NEC,
∴MＯ=ＮE.?根据菱形的性质可知,∠MNＤ＝∠CＮD，∠１＝∠CND,所以
∠MNＤ＝∠CND＝∠2=3０°，所以在Rt△ＥＮP中ＮＥ=ＰＥ÷tan30°=，
?
即AN=2．
１１.如图,在△ＡBC中,∠A＝90°，AH⊥BＣ于点H,∠B的平分线交AC于点Ｄ,交AH于点
Ｅ,DF⊥BC于点F,求证:四边形ＡEFＤ是菱形.?
【答案】∵∠ABD＝∠ＦBD,BＤ=BD,∠BAD＝∠DＦB=90°,
∴△AＢＤ≌△FBD,∴ＡD=DＦ,AＢ=FＢ.?又∠ＡBＥ＝∠FＢＥ,ＢE=BE,
∴△ABE≌△ＦBE．
∴∠BＡE=∠BFＥ.?又∠ＢAE=90°-∠ABＣ=∠Ｃ，
∴∠BFE=∠C,∴ＥＦ∥AD．?∵DF⊥BＣ,ＡＨ⊥BC,∴AＥ∥DF.
∴四边形ＡEFＤ是平行四边形.?又ＡD=DF,∴四边形AEFD是菱形.
1２. [20１2·南宁中考，2５]如图,已知矩形纸片ABCD,ＡD＝２,AB=４,将纸片折叠，使顶点A 与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AＢ,CD交于点G，F,AE与FG交于点Ｏ.
图1图2
(1)如图1，求证：Ａ,G，E,F四点围成的四边形是菱形；
【答案】证法一：??证明:在矩形ABＣD中，CＤ∥AB
∴∠１＝∠3（1分）?由折叠可知：AG＝EG，∠1=∠2
∴∠2=∠3?∴ＥF=ＥG(2分)?∴ＥＦ＝ＡG
∴四边形ＡＧEF是菱形(３分)
证法二：?证明:连接AＦ,由折叠可知
OA＝ＯE,AＧ=EG（１分)?在矩形ＡＢCＤ中,ＡＢ∥CD
∴∠AEF=∠EAＧ
∵∠AOG＝∠ＥOF?∴△AOG≌△EOＦ(ＡSA）（2分）
∴AＧ＝EF
∴四边形ＡＧEF是菱形（3分)
(２)如图2,当△ＡＥD的外接圆与BC相切于点Ｎ时,求证,点N是线段BC的中点；
【答案】证明：连接ON,O是Ｒｔ△ＡDＥ外接圆圆心.??∵⊙O与ＢＣ相切于点Ｎ
∴ON⊥ＢC（４分)?在矩形ＡBCD中,DＣ⊥ＢC,AB⊥BC
∴ＣD∥ON∥AB
∴＝(5分)?
∵OA＝ＯE∴CＮ=ＮB?即N为BC的中点（6分)
(３）如图2,在第2问的条件下,求折痕FG的长.
【答案】解法一：?过点O作OM⊥AB于点Ｍ,则四边形OMBN是矩形??设⊙O半径为x,则OA＝OE=ＯN=x(7分)?∵ＡB=4，ＡD=２∴ＡM=4-x?由第2问
得,NB=OM＝１
在Rｔ△AＯM中,OA2=AM2+ＯＭ2?∴x2=（4-x)2＋１2∴x=(8分)?
ＡＭ=4-=
∵∠FEＯ=∠ＯAM?又∵∠FOE=∠OＭＡ＝90°
∴Ｒt△EFＯ∽Rt△AＯM?∴＝∴＝(9分)???∴ＯF= ∴FG=2OF=（1０分）??
解法二：
延长NO交AＤ于点M
?∴四边形ＡＢNM是矩形?∴AＭ=BＮ＝AD＝１??
∵Ｏ为Rt△ADE外接圆圆心?∴ＯA＝OＥ=OＮ
设ＯＮ为ｘ，则OＭ=４－x(7分)?在Ｒt△AMＯ中,AM2+OM2＝OA2?即12＋(4-x）2＝x２?x=(8分)
?
∴OＭ=４－＝
∵FG⊥AE,MN∥ＤＣ∴∠ＦEO=∠MOＡ∠ＡＭO=∠ＥOF=9０°
∴△EOF∽△OMA
∴= ∴=(9分）
??∴OＦ＝FＧ＝２ＯF=(10分)
13．[20１3·葫芦岛中考，2０] （本小题满分８分)
如图，四边形ＡBCD中,AD∥BC,BA⊥ＡD，ＢC＝DC，BＥ⊥ＣD于点E.?
(1）求证:△ABＤ≌△ＥBD;
【答案】如图,??∵AD∥BＣ,?∴∠1=∠ＤBＣ．?∵BC＝ＤC,∠2=∠DBC.∴∠1=∠2.2分
又∵∠BAＤ=∠ＢEＤ=90°，
ＢＤ=BＤ,∴△ABＤ≌△EＢD. 4分
(２）过点E作ＥF∥DA,交ＢＤ于点F，连接ＡF.求证:四边形AFＥD是菱形.
【答案】由第1问得,ＡD＝ＥＤ,∠１＝∠2.?∵EF∥DA,∴∠1=∠３,∴∠2＝∠３.
∴EF＝ED．5分?∴EF=AD. 6分
∴四边形AFＥD是平行四边形.
又∵ＡＤ=ＥD.
∴四边形AFED是菱形.8分
１4. [2013·贵阳中考,20]?已知：如图，在菱形ABＣD中，F为BC上的任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接ＥC.
(1)求证：ＡE=EC；
【答案】?
证明:连接AC.?∵BD是菱形AＢCＤ的对角线,
∴BD垂直平分AＣ．?∴AＥ＝ＥC.
（2)当∠ABC＝６0°，∠CEF=6０°时，点F在线段BＣ上的什么位置?说明理由.
【答案】点F是线段ＢC的中点.
理由：∵菱形ABＣD中,ＡB＝BＣ，
又∵∠ＡBC＝６0°.?∴△AＢC是等边三角
形,∠ＢＡＣ＝6０°．?∵AＥ=EＣ，∠CEF=６0°，∴∠EＡC=3０°.
∴AＦ是△ABC的角平分线.
∵ＡF交ＢC于点Ｆ,?∴AF是△ＡBC的ＢC边上的中线.
∴点F是线段BＣ的中点.
１5. [２012·上海中考,２3]已知:如图,在菱形ＡBCD中,点E,Ｆ分别在边ＢC,CD
上,∠ＢAF＝∠DAE,AE与ＢD交于点G.
（１)求证：ＢＥ＝DF；
【答案】∵四边形ABCD为菱形,?∴AB=AD＝BC=ＣD,?∠ABＤ＝∠AＤB=∠CＢD=∠CDB, ∠AＢE＝∠ADF
∵∠ＢAF＝∠DＡＥ,
且∠BAF=∠BAE+∠EAF,?∠DAE=∠DAF＋∠EＡF
∴∠ＢＡE=∠DAF.
∴△ＡBE≌△ADＦ(ASＡ).
∴BE=DF.
(２)当＝时,求证：四边形BEFG是平行四边形.
【答案】在菱形ＡBCD中,ADＢC，
∴∠DAE=∠ＢＥA，∠ADB＝∠ＥBD．?∴△ＡGD∽△EGB.
∴=.
?又∵＝,BE=DF,
?∴＝＝＝?∴ＧF∥BE．
∴∠DGＦ＝∠DＢＣ.
∵∠ＤBＣ=∠CＤB,?∴∠DGＦ＝∠GDF,?∴GＦ=DF,?∴ＢＥ=GF.?∴BＥGF，?
∴四边形ＢEFG是平行四边形.
16.[2０１3·乌鲁木齐中考，1９］如图,在△AＢC中，∠ＡCB=90°,CD⊥AＢ于D，ＡE平分∠BＡC,分别与BC,CD交于Ｅ,Ｆ,EH⊥ＡＢ于Ｈ,连接FH.求证：四边形ＣＦＨE是菱
形.?
【答案】∵AＥ平分∠BＡＣ，∴∠CＡE=∠ＥAＨ，而
∠ACB＝9０°，ＣD⊥ＡＢ,?∴∠CEA+∠CAＥ＝∠ＡFＤ＋∠ＥＡH＝９０°,又
∠APＤ＝∠CFＥ，?∴∠CFE＝∠CＥF，∴CＦ＝ＣE.
又∵AE平分
∠BAC,∠ACB=9０°.EＨ⊥AB,∴CＥ=ＥH，?∴CF＝EH＝CＥ,∵CD⊥ＡB，EH⊥ＡB,∴CF∥EH,
∴四边形ＣFHE是菱形.
17．如图所示,在菱形ABCD中,CＥ⊥AＢ于点E，ＣF⊥AＤ于点Ｆ,求
证:ＡE=AＦ.?
【答案】证法1:如图所示，连接ＡC，??∵四边形ＡＢCD是菱形,?∴ＡＣ平分∠BAD，即∠BAC=∠DＡC.?在△ＡＣE和△ACF中,
∠AEC=∠AFC=９０°,∠BAC=∠ＤAC,AC=AＣ,
∴△AＣE≌△ACF(ＡAS),∴AE=AF.?证法２：∵四边形ABＣD是菱
形,?∴BＣ=ＤC=AD=ＡＢ,∠B=∠D.
又∵在△ＢＣE和△ＤCＦ中，∠BEＣ=∠ＤFＣ=90°，
∴△BCE≌△DCF(AＡS),∴ＢE=DF,∴ＡＥ＝AF.
18.[2013·南宁中考,23]如图，在菱形ABＣD中，AC是对角线，点E,F分别是边ＢC,AD的
中点.?
(１)求证:△ABE≌△ＣDF;
【答案】在菱形ABCD中,AB=BC＝CD=DA（或AB＝ＣD，ＢC＝DA)．?∠B＝∠Ｄ.?∵点E，Ｆ分别是边ＢC,ＡD的中点，
∴BＥ=DＦ.
∴△ＡＢE≌△CDF.
(2)若∠Ｂ=60°，AB＝４,求线段AE的长.
【答案】解法一：∵AB＝BC,∠B=6０°，
∴△ABC是等边三角形.?∵点Ｅ是BＣ边的中点.?∴AＥ⊥BC.
在Ｒｔ△ＡBE中,sinＢ=.???∴AE＝ＡB·ｓin B＝4×=.
??解法二:∵AB=BC,∠Ｂ＝60°，
∴△ABC是等边三角形.?∵点Ｅ是BC边的中点，∴AE⊥BC.
∴∠BAＥ＝３0°.
在Ｒt△ABＥ中，BＥ=AＢ=2.??
∴AＥ==＝.
19.[2012·温州中考,1９](本题8分)?如图,△ABＣ中，∠B＝90°,ＡB=6cｍ,BC＝8cｍ,将
△ABC沿射线BC方向平移10cｍ,得到△DEF,A，Ｂ,Ｃ的对应点分别是Ｄ,E，F,连接ＡD.求证：四边形AＣFＤ是菱
形．?
【答案】法一:∵∠B＝９０°,AB=6cm,BC=8ｃm．
∴ＡC=１０cm.?由平移变换的性质得CＦ=AD＝10cm,DF＝AC,
∴AD=CF=ＡC=DF，
∴四边形AＣFD是菱形.
法二：由平移变换的性质得AD∥ＣＦ,
AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFＤ是平行四边
形，?∵∠B=90°,AB＝6cm，BC＝8cm,?∴ＡC=1０cｍ，?∴AC=CF,?∴?ACＦD是菱形.
2０．[2011?兰州中考,27］(本小题满分12分)
已知:如图17所示的一张矩形纸片ABCＤ(AD＞ＡB)，将纸片折叠一次,使点Ａ与点C重合，再展开，折痕ＥF交AD边于点Ｅ,交ＢＣ边于点Ｆ.分别连接AF和
CE.?
（1）求证：四边形ＡFCE是菱形；
【答案】由题意可知OＡ=OＣ,EＦ⊥AO.
∵AD∥ＢC,∴∠ＡEＯ=∠CＦO,∠EAO=∠ＦＣO,?∴△AOＥ≌△CＯＦ,∴AE=CＦ，又AE∥CF，
∴四边形ＡECF是平行四边形（２分)?∵ＡC⊥EＦ,∴四边形AＥCF是菱形.(４分)（2）若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 ｃｍ2，求△ABF的周长;
【答案】∵四边形ＡＥCF是菱形,?∴AF＝AＥ=1０ｃｍ.
设ＡＢ=a,ＢＦ＝b,
∵△ABF的面积为24 cｍ2, ａ２+b２=10０,ab＝48(6分)
(a＋b)2=1９６，ａ+ｂ=14或a+b＝-14（不合题意,舍去）(7分）?△ABＦ的周长为a＋b＋１0=24 cm(８分)
（3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2＝AC AP?若存在,请说明点P的位置，并予以证明;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,过点E作AD的垂线,交AC于点P,点P就是符合条件的点（９分) 证明:∵∠AEP=∠AOE＝90°,∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEＰ,∴=，
∴AE2＝AOＡP(1１分)
∵四边形AEＣF是菱形,
∴AO＝AC，∴AE2＝AC AＰ,?
?∴2AE2=AC AＰ.(12分）
21. [2013·营口中考，19]如图 ,△ABC中，AB=AC,ＡD是△ABＣ一个外角的平分线,且
∠ＢＡC=∠ACＤ.
(1)求证:△ABC≌△CDＡ;
【答案】∵AB＝ＡＣ,∴∠Ｂ＝∠ＡCＢ?又∵∠FAC是△ABC的一个外
角，?∴∠FAC=∠B+∠ACB?∴∠ＦＡC=2∠AＣB2分
又∵AD是∠FAC的角平分线，∴∠ＦAＣ=2∠ＣAD,?∴∠ACＢ＝∠CAＤ３分
又∵AC=CＡ，∠ＢAＣ=∠DCA
∴△ABＣ≌△CDA４分
（2）若∠ACB=6０°，求证:四边形ABCD是菱形．
【答案】∵∠BＡC=∠AＣD
∴ＡＢ∥CＤ5分
又∵∠ＡCB=∠CAＤ,
∴AＤ∥BC.?∴四边形ABCＤ是平行四边形. 6分
∵AB=AＣ,∠AＣB=６0°,?∴等腰三角形ABC是等边三角形. 7分
∴AB=BC.?∴四边形ABCＤ是菱形.８分
22. [2011?宁波中考,23］(本小题满分8分)
如图13,在ABCＤ中,E,F分别为边AB，CＤ的中点,BD是对角线,过A点作AG∥ＤＢ交ＣB
的延长线于点G.
??
(１)求证:DE∥BF；
【答案】在ABCＤ中,AＢ∥CＤ,AB=CD?∵E,F分别为边AB,CD的中点?∴ＤＦ＝DC,BＥ＝AB
?∴DF∥ＢE,ＤＦ=BＥ(２分)
∴四边形DＥBF为平行四边形（３分)
∴DＥ∥BＦ(4分）
(２)若∠G=90°,求证：四边形DＥBF是菱形.
【答案】∵AG∥BＤ
∴∠Ｇ=∠DBＣ=90°?∴△ＤBＣ为直角三角形（5分)
又∵F为边ＣD的中点?∴BF＝ＤC＝DＦ.（7分)
?又∵四边形DEBＦ为平行四边形?∴四边形DEBＦ是菱形(8分)
２3. [2013·黄冈中考,17]如图，四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H，连接OH，求
证：∠DHO＝∠ＤCO．?
【答案】四边形ABCD是菱形，?∴OD＝ＯB,∠COＤ=９0°,
∵ＤH⊥ＡB于Ｈ,∴∠DHB＝9０°，
∴∠OHB＝∠OBH,
又∵AB∥CD.∴∠ＯＢＨ=∠ODC，
∴∠OHB＝∠OＤC.?在Ｒt△ＣOD中,∠ODC+∠OＣＤ=９0°,
在Ｒt△ＤHB中，∠ＤHＯ+∠OHB=９0°,?∴∠DHO=∠ＤＣＯ．
24．[20１3·锦州中考，20］如图,点O是菱形AＢCD对角线的交点,ＤE∥AC，CE∥BD,连
接OＥ.?求证:OＥ=BC.?
【答案】∵DE∥AC,ＣE∥BD
∴四边形ＯCＥＤ是平行四边形2分
又∵AC，BD是菱形AＢCＤ的对角线?∴AC⊥ＢD,即∠COD=90°4分
∴平行四边形OCED是矩形 6分?∴OE=CD 8分?又∵BC=CＤ9分?∴OE=BＣ 1０分? (学生用其他方法证明,请参照评分标准酌情给分)