导数专题零点问题教师版 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
导数专题（三）——零点问题
（2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数2
1()ln (0).2
f x x a x a =
-> （Ⅰ）若2,a =求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,e]上的最小值；
（III ）若()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I ）2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x
=
-=- ()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为2230.x y +-=………………………..3分
（Ⅱ）由2'().a x a
f x x x x
-=-=
由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,f x x ==得
1,01,a ≤<≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此,()f x 在区间[1,e]的最小值为1
(1)2
f =
.
②若21e,1e ,a <<<<即在
（上，'()0f x <，)(x f 单调递减；在上，
'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1
(1ln ).2
f a a =
-
2e,e ,a ≥≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减，
因此,()f x 在区间[1,e]上的最小值为21
(e)e 2
f a =-.
综上，当01a <≤时，min 1()2f x =；当21e a <<时，min 1
()(1ln )2
f x a a =-；
当2e a ≥时，2min 1
()e 2
f x a =-. ……………………………….9分
(III) 由（II ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(x f 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.
当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则
∴21
(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ?-
=>???=->??
即2
e
1e 2
a a >???
(e,e ).2…………………………………………………………..13分
（2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）
已知函数()()e x f x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由. 18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为()()e x f x x a =+，x ∈R ，
所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：
(5)
分
故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分
（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分
理由如下：
由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x a x x -=，
显然0x =为此方程的一个实数解.
所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x a x -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．
当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：
即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．
所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，
所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．
所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.
综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分
（2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）
已知函数()e 1x f x x -=+-． （Ⅰ）求函数()f x 的极小值；
（Ⅱ）如果直线1y kx =-与函数()f x 的图象无交点，求k 的取值范围． 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R ． 因为 ()1x f x x e -=+-，
所以 1
()x x e f x e
-'=．
令()0f x '=，则0x =．
所以 当0x =时函数有极小值()=(0)0f x f =极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数1()1x
f x x e =-+
． 当0x =时01
()010f x e
=-+=，011y k =?-=-，
所以要使1y kx =-与()f x 无交点，等价于()1f x kx >-恒成立．
令1
()1(1)x g x x kx e
=-+
--，即()(1)x g x k x e -=-+， 所以 (1)1
()x x
k e g x e
--'=． ①当1k =时，1
()0x g x e
=>，满足1y kx =-与()f x 无交点；
②当1k >时，11
1111()(1)111k k g k e e k k --=-+=---， 而101k
<-，1
11k
e -<， 所以1
()01
g k <-，此时不满足1y kx =-与()f x 无交点．
③当1k <时，令(1)1
()0x x
k e g x e
--'== ， 则ln(1)x k =--， 当(,ln(1))x k ∈-∞--时，()0g x '<，()g x 在(,ln(1))k -∞--上单调递减； 当(ln(1),)x k ∈--+∞时，()0g x '>，()g x 在(ln(1),)k --+∞上单调递增； 当ln(1)x k =--时，min ()(ln(1))(1)(1ln(1))g x g k k k =--=---． 由 (1)(1ln(1))0k k ---> 得11e k -<<， 即1y kx =-与()f x 无交点．
综上所述 当(1,1]k e ∈-时，1y kx =-与()f x 无交点． (13)
分
（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）
已知函数()(ln )x
e f x a x x x
=--．
（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．
解：（Ⅰ）当1a =时，/
2
e (1)1()1x x
f x x x
-=-+，/
(1)0f =，(1)e 1f =-． 方程为
e 1y =-． …………………4分
（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2e (1)(1)x x ax x x ---=， 2
(e )(1)
x ax x x --= ．
当0a ≤时，对于(0,)x ?∈+∞，e 0x ax ->恒成立，
所以 '()0f x > 1x >；
'()0f x < 01x <<0.
所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ． …………………8分 （Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解． 令'
2
(e )(1)()0x ax x f x x --== e 0x
ax -= e x a x
= . 设e ()x
g x x
= (0,1)x ∈,
所以 '
e (1)
()x x g x x
-=,
当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，
所以()g x 单调递减.
又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞, 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,
所以 当e a >时，'
2
(e )(1)
()0x ax x f x x
--== 有解. 设()e x H x ax =-，则 ()e 0x H x a '=-< (0,1)x ∈， 所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减. 因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<, 所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x . 所以有：
当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．
综上，a 的取值范围为(e,)+∞． …………………14分
（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）
已知函数1
()ln (0)f x a x a x
=+≠.
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若{()0}[,]x f x b c ≤=（其中b c <），求a 的取值范围，并说明[,](0,1)b c ?. （18）（共13分） 解：（Ⅰ）2211
'()(0)a ax f x x x x x
-=
-=>. ………………2分 （ⅰ）当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.
………………3分 （ⅱ）当0a >时，令'()0f x =，得1
x a
=.
当x 变化时，'()f x ,()f x 的变化情况如下表
所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是1
(,)a
+∞. ………………
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
当0a <时，函数()f x 在区间(0,)+∞内是减函数，所以，函数()f x 至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分
当0a >时，因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1
(,)a
+∞内是增函数，所以
要使{()0}[,]x f x b c ≤=，必须1
()0f a
<，即1ln 0a a a +<.
所以 e a >. ………………7分
当e a >时，222211(
)ln()2ln (2ln )f a a a a a a a a a a
=+=-+=?-. 令()2ln (e)g x x x x =-≥，则22
'()1(e)x g x x x x -=-=
≥. 当e x >时，'()0g x >，所以，()g x 在[e,)+∞上是增函数. 所以 当e a >时，()2ln (e)e 20g a a a g =->=->.
所以 21
(
)0f a >. ………………9分 因为 2111a a <<，1
()0f a
<，(1)10f =>，
所以 ()f x 在211(,)a a 内存在一个零点，不妨记为b ，在1
(,1)a 内存在一个零点，
不妨记为c . ………………11分
因为 ()f x 在1(0,)a 内是减函数，在1
(,)a +∞内是增函数，
所以 {()0}[,]x f x b c ≤=.
综上所述，a 的取值范围是(e,+)∞. ………………12分 因为 2
11(
,)b a a ∈，1(,1)c a
∈， 所以 [,](0,1)b c ?. ………………13分
（2015海淀上学期期末）（19）（本小题满分13分）（零点、三角函数）
已知函数()cos sin f x a x x x =+，ππ
[,]22
x ∈-.
（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求集合{|()0}A x f x ==中元素的个数；
（Ⅲ）当12a <<时，问函数()f x 有多少个极值点（只需写出结论） （19）（共13分）
解：（Ⅰ）函数()f x 是偶函数，证明如下： ………………1分
对于ππ[,]22x ?∈-，则ππ
[,]22
x -∈-. ………………2分
因为 ()cos()sin()cos sin ()f x a x x x a x x x f x -=---=+=，
所以 ()f x 是偶函数. ………………4分
（Ⅱ）当0a >时，因为 ()cos sin 0f x a x x x =+>，ππ
[,]22
x ∈-恒成立，
所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0. ………………5分
当0a =时，令()sin 0f x x x ==，由ππ
[,]22
x ∈-，
得 0x =.
所以 集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为1. ………………6分
当0a <时，因为 π
'()sin sin cos (1)sin cos 0,(0,)2
f x a x x x x a x x x x =-++=-+>∈，
所以 函数()f x 是π
[0,]2上的增函数. ………………8分
因为 ππ
(0)0,()022f a f =<=>，
所以 ()f x 在π
(0,)2
上只有一个零点.
由()f x 是偶函数可知，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2. ………………10分 综上所述，当0a >时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为0；当0a =时，集合
{|()0}A x f x ==中元素的个数为1；当0a <时，集合{|()0}A x f x ==中元素的个数为2.
（Ⅲ）函数()f x 有3个极值点. ………………13分