直线中的几类对称问题
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.
解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2
45223x
x ，
解得???==6
4y x ，故C （4，6）.
点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2
21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=??
? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得???
????-=-=51
53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|
1611|++=++c ，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B （8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），
将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l 的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
解 由???=+-=--0
3302y x y x 解得l 1，l 2的交点??? ??--29,25??A ， 设所求直线l 的斜率为k ，
由到角公式得，k k 313
1311
3+-=?+-，所以k=-7.
由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.
点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.
总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.
（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.
练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.
C(7,0)
已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
C (3,-6)
2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
2l ：3x-y-10=0
3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
解：设A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为A ′(x 1,y 1) ∴???????-=??? ??-?--=++?++?145400212042451
111x y y x
解得：???-=-=861
1y x ∴A ′(－6，－8)
∴A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为(－6，－8)
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
1111
1111'(,)
5314 4533022
2 7
, (2 7) p l p x y y x x y x y -?=-?-??++?-+=??=-??=?∴-解：设点关于的对称点为则解得对称点的坐标为。 5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程.
7x+2y+22=0
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。 解法1：（动点转移法） 在1l 上任取点))(,(2/ /l P y x P ?，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ?????-+=++-=???? ????-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015 3435934=--++++-y x y x 。即017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法2：（到角公式法） 解方程组? ??==????=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7 131313113=?+-=?-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。 解法3：（取特殊点法） 由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点 的坐标为),(//y x Q ，则?????==???? ????-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。 解法4：（两点对称法）
直线中的几类典型问题 一．求倾斜角的范围 1．直线x sin π7＋y cos π 7＝0的倾斜角是( ) A ．－π 7 B.π7 C.5π7 D.6π 7 2．直线2x cos α－y －3＝0(α∈???? π6，π3)的倾斜角的变化范围是( ) A.????π6，π3 B.????π4，π3 C.??? ?π4，π 2 D.???? π4，2π3 3．直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_______ 分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关 于θ的一个三角不等式即可． 说明：解题易得出错误的结果?? ? ???-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围． 二．求直线的方程 4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________． 5．直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是 5 4 ，求直线l 的方程 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个． 6．求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程． 分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类． 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法． 7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 说明：对本例，常见有以下两种误解： 误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为0 1=-+y x
直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略. 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标. 分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解. 解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有???????+=+=2 45223x x ， 解得???==6 4y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解. 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标. 分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口. 解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.2 21AA x y y k x '++-??= ?-?? 由题意可知，???????-=?? ? ??-?--=-+?++121130323221x y y x ， 解得??? ????-=-=51 53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55??-- ???
直线中的对称问题 学习目标： 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 新知自学： 1、点关于点的对称 例1：已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 2、直线关于点的对称 例2：求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。 3、点关于直线的对称 例3：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 特别地： 点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ；关于y x =-的对称点的坐标为 . 关于x=m 的对称点的坐标为 ；关于y=n 的对称点的坐标为 . 关于x+y+c=0的对称点的坐标为 ；关于x-y+c=0的对称点的坐标为 . 4、直线关于直线的对称 例4：求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。 变式：求直线02y x :l 1=--关于直线03:2=+-y x l 对称的直线l 的方程。 特别地：直线Ax+By+C=0 关于x 轴的对称直线为 ；关于y 轴的对称直线为 ； 关于y x =的对称直线为 ；关于y x =-的对称直线为 . 关于x=m 的对称直线为 ；关于y=n 的对称直线为 . 关于x+y+c=0的对称直线为 关于x-y+c=0的对称直线为 . 例5：已知点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0)直线l ：3x-y-1=0 （1）试在直线l 上找一点P ，使CP AP +最小，并求出最小值. （2）试在直线l 上找一点Q ，使BQ AQ -最大，并求出最大值. 变式： 1、求5213422+--++=x x x x y 的最大值。 2、求5213422+-+++=x x x x y 的最小值。 例6： 一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度. 例7：已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。 解法1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。 解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法2:（利用中点坐标法） 分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线
直线关于直线对称问题的常用方法与技巧 对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是： 1. 在所求曲线上选一 点 M ( x, y) ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点 M / (x 0 , y 0 ) 与 M ( x, y) 之间的关系； 3. 利 用 f (x 0 , y 0 ) 0 求出曲线 g( x, y) 0 。直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习 题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线 l 1 : x y 1 0 关于直线 l 2 : 3x y 3 0 对称的直线 l 的方程。 解法 1：（动点转移法） 在 l 1 上任取点 P( x / , y / )( P l 2 ) ，设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y) ，则 3 x / x y / y 3 0 x / 4 x 3 y 9 2 y / 2 5 y 1 y / 3x 4 y 3 x / x 3 5 又点 P 在 l 1 上运动，所以 x y 1 0 ，所以 4x 3y 9 3x 4 y 3 1 0 。即 0 。所以直线 l 的方程是 x 5 5 x 7 y 1 7 y 1 0 。 解法 2：（到角公式法） x y 1 0 x 1 的交点为 A(1,0) 解方程组 y 3 0 y 所以直线 l 1 ,l 2 3x 设所求直线 l 的方程为 y k( x 1) ，即 kx y k 0, 由题意知， l 1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等， 则 3 1 k 3 k 1 .所以直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 1 3 1 1 3k 7 解法 3：（取特殊点法） 由解法 2 知，直线 l 1, l 2 的交点为 A(1,0) 。在 l 1 上取点 P （2 ， 1 ），设点 P 关于 l 2 的对称点 的坐标为 Q( x / , y / ) ，则 3 x / 2 y / 1 / 4 2 2 3 0 x 5 y / 1 1 y / 7 x / 2 3 5 而点 A ，Q 在直线 l 上，由两点式可求直线 l 的方程是 x 7 y 1 0 。 解法 4：（两点对称法 ）
对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上
例谈直线中的对称问题 直线的对称问题是我们学习平而解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主 要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下而我们 来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点 （1） A （3,l ）关于点P （2,3）的对称点A'的坐标， （2） A （2,4）, A'（O,2）关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段AA'的中点， 所以易求（1） A f （l,5） （2） P （l,3）? 因此，平面内点A （x 0, y 0）关于P （a.b ）对称点坐标为（2a 一心,2b -儿） 二. 点关于线对称问题 求泄点关于泄直线的对称问题时，根据轴对称左义利用①两直线斜率互为负倒数，②中点坐 标公式来求得. 例2?已知点A （1J ）直线￡： y — x + 2 = 0,求点A 关于直线C 的对称点A'的坐标 又v A4Z 与￡垂直，且AA\C 斜率都存在 ???心〃?匕=一1即有—xl = -l ② x-1 由①②解得A =3> y = —l ???人'（3,-1） 法（二）求点点关于线对称问题，英实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求 出AA 9的直线方程进而求与6的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A'坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3.求直线G ： x+2y-l = 0关于点P （2,l ）的对称直线-的方程. 解:法（一）???直线0： x + 2y-\= 0与两坐标轴交点为彳°，￡），5（1,0） 平面内点A f （x 2,y 2）关于点 对称 解:法（一）解：设从兀必则AV 中点坐标为 斗）且满足直线（的方程 坷+吃y {+y 2 2 2
一、点关于点的对称问题 例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标. 练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标. 2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 二、点关于直线的对称问题 这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上. 例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标. 练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。 三、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解. 例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程 四、直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题. 例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程. 练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程 五最值问题 的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB 的方程; 2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条 A 1 B 2 C 3 D 4 （变式题：若面积为5呢，面积为1呢？） 3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。 4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
. . 直线系对称问题 （一） 主要知识及方法： 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ； 关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 . 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ， 则'PP 的中点00,2 2a x b y ++?? ???一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即00 1y b a x a b -?? ?-=- ?-?? 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法： ① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称 点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定 点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=. 5.直线系方程： ()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x = ()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+= ()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为： ()()1 1 1 2 2 2 0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2 l ） 典例分析（一） 例1：已知3a+2b=1, 求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一： 由3a+2b=1得:b= 1 2 (1-3a) 代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0
四类对称问题及其应用 我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。 一、点关于点的对称 如果点P )(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点， P )(00y x ，???????→?）的对称点 ，（关于点 b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，?????→?关于坐标原点对称 P '(00y x --，) 二、点关于直线对称 求一点P 0(x 0,y 0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。 (1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、 x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P 1(y 0,x 0)、P 2(-y 0,-x 0)、P 3(x 0,-y 0)、P 4(-x 0,y 0)、P 5(2a-x 0,y 0)、P 6(x 0,2b-y 0)。 (2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P 1的坐标为(x 1，y 1)，则PP 1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP 1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x 1、y 1的一个二元一次方程组，从而可以解出x 1、y 1。 (3)公式法. 设P 1的坐标为(x 1，y 1)，由公式 ?? ??? +++- =+++-=220001220001 ) (2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x 求出x 1、y 1的值。 三、直线和直线关于点对称 求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A 1x+B 1y+C 1=0中的x 换为2x 0-x 、y 换为2y 0-y ，即可求出要求直线的方程。 四、直线关于直线对称 求一直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程。 (1) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程分别为A 1x-B 1y+C 1=0、-A 1x+B 1y+C 1=0、A 1y+B 1x+C 1=0、-A 1y-B 1x+C 1=0。 (2) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为一般直线时: 1>直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。 2>若直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0相交于一A 点时,利用到角公式就可以求得直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。
点和直线的有关对称问题 摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。 关键词:点；直线；中心对称；轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈点关于点对称 ⒉直线关于点对称 例1:求直线x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程. 分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. 解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:
分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈点关于直线对称 例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标. 解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0. 设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线l的方程 故点M′的坐标为(-2,2) ⒉直线关于直线对称 例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线
荐………………………………………………… 直线系对称问题 （一） 主要知识及方法： 1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为； 关于y 轴的对称点的坐标为； 关于y x =的对称点的坐标为； 关于y x =-的对称点的坐标为. 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ， 则'PP 的中点00,2 2a x b y ++?? ???一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线' PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -???-=- ?-?? 3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法： ① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称 点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定 点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=. 5.直线系方程： ()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x = ()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+= ()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为： ()()1 1 1 2 2 2 0a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2 l ） 典例分析（一） 例1：已知3a+2b=1,求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标. 思路一： 由3a+2b=1得:b= 1 2 (1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=0
学习好资料 欢迎下载 学法点拔（ 9） （ 9）直线中的几类对称问题 对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题 . 对于直线中的对称问题， 我们可以分为： 点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称， 直线关于直线的 对称 . 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略 . 一、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题， 是对称问题中最基础最重要的一类， 其余几类对称问题均可以化 归为点关于点的对称进行求解 . 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键 . 例 1 求点 A （ 2， 4）关于点 B （ 3， 5）对称的点 C 的坐标 . 分析 易知 B 是线段 AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解 . 2 x 3 2 解 由题意知， B 是线段 AC 的中点，设点 C （ x ，y ），由中点坐标公式有 ， x 4 5 2 x 4 解得 ，故 C （4， 6） . y 6 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解 . 另外此题有可以 利用中点的性质 AB=BC ，以及 A ， B ， C 三点共线的性质去列方程来求解 . 二、点关于直线的对称问题 点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方 面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于 -1，②两点的中点在已知直线上 . 例 2 求点 A （ 1， 3）关于直线 l ：x+2y-3=0 的对称点 A ′的坐标 . 分析 因为 A ， A ′关于直线对称，所以直线 l 是线段 AA ′的垂直平分线 . 这就找到 了解题的突破口 . 解 据分析， 直线 l 与直线 AA ′垂直， 并且平分线段 AA ′，设 A ′的坐标为 （ x ，y ）， 1 x 3 y ???k y 3 ??. 则 AA ′的中点 B 的坐标为 ?? 2 , 2 , A A x 1 1 x 2 3 y 3 2 2 由题意可知， ， 3 1 y 1 x 1 2 3 x 3 1 解得 5 ??? ?? . 故所求点 A ′的坐标为 1 5 , 5 . y 5
此文档下载后即可编辑 例谈直线中的对称问题 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）()1,3A 关于点()3,2P 的对称点A '的坐标, （2）()4,2A ，()2,0A ' 关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段A A '的中点, 所以易求（1）()5,1A ' （2）()3,1P . 因此，平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a -- 平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点??? ??++2,2 2121y y x x P 对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点()1,1A 直线λ：02=+-x y ，求点A 关于直线λ的对称点A '的坐标 解:法（一）解：设()y x A ,'，则A A '中点坐标为??? ??++21,21y x 且满足直线λ的方程 022121=++-+∴x y ①
又A A 'Θ与λ垂直，且λ,A A '斜率都存在 1-=?∴λk k AB 即有111 1-=?--x y ② 由①②解得 3=x ，1-=y ()1,3-'∴A 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出A A '的直线方程进而求与λ的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A '坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线1λ：012=-+y x 关于点()1,2P 的对称直线2λ的方程. 解:法（一）Θ直线1λ：012=-+y x 与两坐标轴交点为?? ? ??21,0A ，()0,1B 点??? ??21,0A 关于()1,2P 对称点?? ? ??'23,4A 点()0,1B 关于()1,2P 对称点()2,3B ' ∴过B A '',的直线方程为072=-+y x 故所求直线2λ方程为072=-+y x . 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线λ：02=--y x 关于直线033=+-y x 对称的直线方程. 解：在λ：02=--y x 上任取一点()0,2A
例谈直线中的对称问题 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）()1,3A 关于点()3,2P 的对称点A '的坐标, （2）()4,2A ，()2,0A ' 关于点P 对称，求点P 坐标. 解：由题意知点P 是线段A A '的中点, 所以易求（1）()5,1A ' （2）()3,1P . 因此，平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a -- 平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点?? ? ??++2,22121y y x x P 对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点()1,1A 直线 ：02=+-x y ，求点A 关于直线 的对称点A '的坐标 解:法（一）解：设()y x A ,'，则A A '中点坐标为??? ??++21,21y x 且满足直线 的方程 022 121=++-+∴x y ① 又A A ' 与 垂直，且 ,A A '斜率都存在 1-=?∴ k k AB 即有111 1-=?--x y ② 由①②解得 3=x ，1-=y ()1,3-'∴A 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出A A '的直线方程进而求与 的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求A '坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线1 ：012=-+y x 关于点()1,2P 的对称直线2 的方程. 解:法（一） 直线1 ：012=-+y x 与两坐标轴交点为?? ? ?? 21,0A ，()0,1B
直线的一般式方程 知识点一 直线的一般式方程 1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 知识点二 平行、垂直问题 3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( ) A ．过点P 且与l 垂直的直线 B ．过点P 且与l 平行的直线 C ．不过点P 且与l 垂直的直线 D ．不过点P 且与l 平行的直线 知识点三 直线一般式方程的应用 5.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值： (1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是1. 6．求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程； (1)斜率是3 4，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)，B (m,1)； (3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
课堂练习： 7．直线2x ＋6y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．150° B ．30° C ．60° D ．120° 8．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．a ＝2，b ＝5 B ．a ＝2，b ＝－5 C ．a ＝－2，b ＝5 D ．a ＝－2，b ＝－5 9．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( ) 10．已知直线mx ＋ny ＝－1平行于直线4x ＋3y ＋5＝0且在y 轴上的截距为1 3，则m 、n 的值 分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3 D ．4和－3 11．已知直线(a ＋2)x ＋2ay －1＝0与直线3ax －y ＋2＝0垂直，则实数a 的值是( ) A ．0 B ．－43 C ．0或－4 3 D ．－12或23 12．直线l 与直线m ：3x －y －2＝0关于x 轴对称，则这两条直线与y 轴围成的三角形的面积为________． 13．如果对任何实数k ，直线(3＋k )x ＋(1－2k )y ＋1＋5k ＝0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________．
点、直线的对称问题
课题：点、直线的对称问题 时间：2015.10.19第5节地点：高二（12）授课人：吴晗 教学目标： 1、使学生会解决平面解析几何直线章节中有关对称问题：点关于点对称、点关 于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称. 2、让学生经历直线对称问题的探究问题，提高学生分析、比较、概括、化归的 数学能力. 3、在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生 学习数学的兴趣，并且继续渗透数形结合的数学思想. 教学重点： 对称问题的基本解法 教学难点： 找对称问题中的对称关系式 教学方法：例题讲解式 学法指导：练习+自主探究 教学用具：粉笔、ppt 教学过程： 一、新课引入 在现实生活中我们经常遇到许多对称的物体，在我们数学中也有许多对称问题，例如必修一函数的奇偶，物理中光的反射与入射等等，那么本节课我们就一起来研究点、直线的对称问题.
二、新知探究 1、点关于点的对称点 例1、求点A ()3,2关于坐标原点的对称点的坐标. 解析 两点关于坐标原点对称，则坐标原点()0,0为两对称点的中点，利用中点坐标公式求解. 解：设点A 关于坐标原点的对称点B 的坐标为()y x ,. 由中点坐标公式可得：?????=+=+02 3022y x ????-=-=32y x ∴B 的坐标为()3,2--. 2、直线关于点的对称直线 例2、求直线03=-+y x 关于点()3,2A 的对称直线方程. 解析 要求得对称直线方程，只需在原直线中取两点，此两点关于点A 的对称点在对称直线上，由两点式可确定其方程. 1way ： 解：在直线03=-+y x 上取()0,3B 和()3,0C 两点. 设B 、C 两点关于A 的对称点'B 、'C 的坐标分别为()11,y x 、()22,y x . 由中点坐标公式可得：????????????=+=+=+=+.323,220;32 0,2232211y x y x ()().3,4,6,1''C B ∴ ∴对称直线方程为：1 41636--=--x y ，即07=-+y x . 2way ：解析：对称线和原线是平行直线，所以只需知道一点即可求出对称直线. 解：设对称直线的方程为：0=++c y x