1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势： 当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→． 综上所述，得 一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1． 例1 求x x x tan lim →． 解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0 →． 解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令． 例3 求2 cos 1lim x x x -→． 解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim →．
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
岩质边坡类型、结构面特征及稳定性分析 【摘要】边坡的稳定性受控于岩土体的基本特性和人为改造的程度两方面因素。由于地质体的复杂性、多变性和不均质性，因而道路工程边坡设计是预测性、风险性的设计。本文针对山区不同的边坡类型突出的边坡岩土体失稳问题，结合四川、重庆、云南等省山区道路工程建设项目边坡工程及滑坡灾害的勘查和治理，在研究山区地质背景和地质特征基础上，系统研究边坡岩体结构分类方法，以及开挖边坡岩体稳定性的岩体结构分析方法。 【关键词】地质灾害；岩体分类；结构特征；软硬岩层；结构面；稳定性 泥岩、泥质粉砂岩比较软弱，该类岩层具有透水性弱、亲水性强，遇水易软化、塑变，抗风化能力弱，易崩解等特性。从边坡角度来讲，多数边坡由软硬岩体构成，对边坡岩体的变形破坏起控制作用，岩质边坡软硬结构体构成，岩性层间结合差、软弱结构面发育，边坡开挖后极易发生山体变形、滑坡，特别是山前地带岩土质边坡、顺层岩质边坡及以岩层走向发育沟谷的一侧的边坡，多属顺层易滑地带。雨季经常诱发大量滑坡灾害，在道路等工程建设项目中，也经常诱发大量开挖边坡岩体失稳灾害。 开挖边坡岩土体失稳灾害的根本原因在于具有特殊的岩体结构特征和不利的岩体力学性质，其中开挖边坡岩体结构特征是控制开挖边坡稳定性的重要因素，边坡岩体的变形与破坏与边坡岩体结构面发育特征、结构面与开挖面的空间组合有密切关系，因此对边坡岩体结构、结构面特征的系统研究具有重要意义。 1.边坡岩体结构类型划分 边坡岩体的变形破坏与其岩体结构特征有密切的关系。根据岩体结构面、结构体特性，并充分考虑控制性结构面与边坡开挖临空面之间的空间组合关系，系统研究岩体结构类型的划分，给出各种岩体结构类型边坡稳定性分析模型，以便于在工程勘察设计中简便、快速应用。 针对岩体结构类型和边坡工程的特点，在边坡岩体结构类型划分中考虑如下因素： 1）岩质边坡的岩性特点及岩性组合特征 岩质边坡岩性组合最为显著的特点是不同力学性质的岩层互层，从边坡工程角度，开挖边坡工程的岩性组合主要有软质泥质岩为主的层状结构、软硬相间的砂泥岩互层结构和巨厚层硬岩为主的层状结构。 软质泥质岩为主的层状结构主要指开挖边坡岩体以软弱泥质岩为主，边坡岩体中夹少量薄层硬岩，但对整个边坡岩体性质影响不大。
文章编号:0451-0712(2008)12-0004-04 中图分类号:U416.1 文献标识码:A 深切顺层岩质边坡的抗滑桩支护效果分析 龚文惠1,刘志华2,潘 登1 (11华中科技大学土木工程与力学学院 武汉市 430074;21葛洲坝集团第五工程有限公司 宜昌市 443002) 摘 要:顺层滑坡问题在我国西部工程建设中较为突出和普遍。利用有限元法,针对沪蓉西高速公路深切顺层岩质边坡问题,对抗滑桩支护前后边坡的应力场、位移场及稳定性进行模拟分析。对结果的分析比较表明:抗滑桩支护结构可有效地抑制顺层边坡的变形和滑动,明显提高边坡的整体稳定系数,对维护顺层边坡的整体稳定性具有良好的效果。 关键词:抗滑桩;顺层边坡;稳定性;有限元法 20世纪30年代初,抗滑桩的使用始于美国,后在欧美地区和苏联、日本等国家的铁路路基及边坡工程中得到大量应用。1954年,我国铁路部门采用钢筋混凝土抗滑桩治理宝成线史家坝4号隧道北口左侧顺层坍塌。1967年,成昆铁路的修建对抗滑桩的应用与发展起了较大的影响,首次成功地实现了新型的挖孔抗滑桩支挡结构,为我国滑坡整治增添了一种切实可行的新手段[1,2]。抗滑桩结构防治滑坡的基本原理,是在边坡中适当位置设置一系列钢筋混凝土桩,使桩尖穿过可能的滑面进入下部稳定滑床,凭借桩身的强度和滑面以下锚固部分桩周岩体的弹性抗力来平衡滑面以上的滑体下滑力的水平分量,从而使边坡保持稳定。目前,抗滑桩的种类很多,诸如钢轨桩、组合钢轨桩、混凝土钢轨桩、钢筋混凝土桩、滑面钢筋混凝土锚固柱、门型钢架桩和预应力锚索桩等[2,3]。 近年来,在我国西部的公路、铁路和水利建设工程中,常常遇到深切顺层岩质边坡问题。顺层岩质边坡的破坏往往具有突然性,且下滑迅速,特别是中厚型构造的顺层滑坡一般层间剪切力和下推力大,破坏后果严重,而采用锚杆支护一般很难达到理想效果[4]。抗滑桩作为一种较有效的加固顺层边坡的结构形式,在西部建设工程中得到越来越多的应用。由于顺层滑动面通常接近较理想的平面,采用抗滑桩支护时,抗滑桩在滑动面处主要承受剪力作用,不仅其结构设计计算简便,且具有桩位选择灵活、施工方便、安全可靠等优点。但由于抗滑桩支护工程的成本较高,因此其加固技术和效果备受工程界关注[5]。 本文利用有限元法[6～8],针对沪蓉西高速公路突出而普遍的深切顺层岩质边坡问题,对抗滑桩支护前后边坡的应力、应变、位移及稳定性进行模拟分析和比较,从而对抗滑桩支护的效果进行综合评价。 1 工程概况 沪蓉国道主干线湖北宜昌～恩施段公路地处复杂的丘陵低山区,沿线山体自然坡度较陡,有近150km的边坡为顺层边坡,其中大部分为深切顺层路堑边坡。如果设计和施工过程中的加固和支护处理措施不力,就可能造成这些边坡的顺层滑动,其破坏范围广、危害影响大,不仅直接影响工程建设的工期和成本,而且对公路的安全和质量造成严重的威胁和长期的隐患。因此,深切顺层路堑边坡的稳定性分析及治理,是确保工程安全和降低建设费用的一个重要环节,也是工程成败的关键技术之一。 本文以K448+991处顺层岩质路堑高边坡为例,对抗滑桩的支护效果进行分析。 111 工程地质条件 该顺层路堑边坡的开挖接近于山腰,山体自然坡角约为30°,岩层产状为340°∠40°。路堑开挖高度为3618m,开挖面积为362198m2。根据40m深钻孔资料表明,边坡岩体为弱-微风化灰白色白云质灰岩,微晶质结构,呈中厚层状构造,层厚约为018～2m, 基金项目:湖北省自然科学基金资助项目,项目编号2005ABA303 收稿日期:2008-04-14 公路 2008年12月 第12期 H IGHWA Y D ec12008 N o112
一、填空与选择题． 1．=∞→x x x sin lim 0； 【无穷小与有界变量的乘积】 2．=→x x x sin lim 01； 【第一重要极限】 3．=∞→221sin lim x x x 1； 【=∞→221sin lim x x x 11 1sin lim 2 2=∞→x x x 】 4．=→x x x sin lim 0不存在； 【由1sin lim sin lim 00-=-=--→→x x x x x x ，1sin lim sin lim 00==++→→x x x x x x ， 故极限不存在】 5．下列等式成立的是( B ). （A ）1sin lim 20=→x x x （B ）1tan lim 0=→x x x （C ）1sin lim 20=→x x x （D ）1sin lim =∞→x x x 二、计算下列极限 1．x x x 5sin lim 0→5=． 2．x x x 2sin 3lim 0→23=． 3．x x x 2sin 5sin lim 0→25=． 4．x x x 3tan lim 0→3=． *5．x x x x sin 2cos 1lim 0-→2sin 2lim sin sin 2lim sin sin 2lim sin )sin 21(1lim 0202020====--=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x ． *6．n n n x 2sin 2lim ∞→x x x x n n n =?=∞→22sin lim （x 不为零的常数）． 三、填空与选择题．
1．=+∞→x x )11(lim x e 2．=+→x x 1 0x )1(lim e 3．=-∞→x x )11(lim x e - 1e - 4．=-→x x 10x )1(lim e - 1 e - 5．=+∞→n n )11(lim n e 6．=-∞→n n )11(lim n e - 1e - 7．下列等式成立的是( D ). （A ）e x x x =-∞→)11(lim （B ）e x x x =+∞→1 )1(lim （C ）e x x x =+→10)31(lim （D ）e x x x =++→210)1(lim 四、计算下列极限 1．x x x 2)11(lim +∞→22])11[(lim e x x x =+=∞→． 2．3)21(lim x x x +∞→32 322)]21[(lim e x x x =+=?∞→． 3．x x x 3)11(lim -∞→3)3()()11(lim --?-∞→=-=e x x x ． 4．x x x x 2)1(lim +∞→222])11[(lim )11(lim e x x x x x x =+=+=∞→∞→． 5．x x x 2 0)1(lim +→2210)1(lim e x x x =+=?→． 6． x x x 310)21(lim -→32 )32()21(0)21(lim --?-→=-=e x x x ．
极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01 lim =∞→n n 证：要使ε<-01n ，只须ε 1 >n ，故 0>?ε，11 +?? ? ???=?εN ，N n >?，有ε<-01 n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限 例、证明：0! lim =∞→n a n n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤ ()ε 1!,01+???? ????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0! n a n 3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()() n n n n 264212531lim ??-??∞ → 解： ()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n n n n n n 41 125312642211253264?-????=?-??> ∴ ()()n n n 41 2642125312 >??? ? ????-??
两边开n 2次方： ()()121 21412642125311222→?=>??-??>n n n n n n n n 由两边夹：()() 1264212531lim =??-??∞ →n n n n 4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p p n l S →()∞→n 证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n 再记n n l S α+=()n n l l l βα+=??? ? ? ?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p p n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1 理正岩土6.5-岩质边坡稳定分 析软件帮助 目录 1.第一章功能概述 (3) 2.第二章快速操作指南 (3) 2.12.1操作流程 (3) 2.22.2快速操作指南 (4) 3.第三章操作说明 (9) 3.13.1关于计算例题的编辑 (9) 3.23.2计算简图辅助操作菜单 (9) 3.33.3快速查询图形结果 (10) 3.43.4计算书的编辑修改 (10) 3.53.5说明 (10) 3.63.6关于数据和结果文件 (14) 4.第四章编制依据 (15) 5.第五章编制原理 (16) 5.15.1概述 (16) 5.25.2简单平面稳定分析 (16) 5.2.15.2.1极限平衡法 (16) 5.2.25.2.2建筑边坡工程技术规范 (24) 5.35.3复杂平面稳定分析 (30) 5.3.15.3.1概述 (30) 5.3.25.3.2Sarma法 (33) 5.3.35.3.3通用方法 (35) 5.3.45.3.4Sarma改进法 (35) 5.45.4三维楔形体稳定分析 (37) 5.4.15.4.1计算条件 (37) 5.4.25.4.2计算安全系数 (38) 5.4.35.4.3给定大小的荷载E以最不利的方向施加时产生的最小安全系数 (45) 5.4.45.4.4将安全系数提高到某个规定值F所需的最小锚杆（索）张力 (47) 5.55.5赤平投影分析 (49) 5.5.15.5.1概述 (49) 5.5.25.5.2基本功能 (49) 5.5.35.5.3判定岩体稳定性 (51) 5.5.45.5.4结构面统计 (54) 6.附录1系统环境与安装 (57) 7.附录2技术支持感谢您选用了理正软件！ (58) 1.求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n, Sol:复数方法： 复数方程 z^(2n＋1)＝1的根是 a1，a2，a3，...，a(2n)，1。 其中，ak＝cos(2kπ/(2n+1))＋i sin(2kπ/(2n+1))，k＝1，2，...，2n。 所以，ak＝(a1)^k 所以，z^(2n＋1)－1＝(z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))(z－1)，即 (z－a1)(z－a2)...(z－a(2n))＝(z^(2n＋1)－1)/(z－1)＝z^(2n)＋z^(2n－1)＋...＋z＋1。 两边令z＝1，并取模，则： |1－a1|×|1－a2|×......×|1－a2n|＝2n＋1.........（*) 因为，|1－ak|＝√|(cos(2kπ/(2n+1))－1))＋i sin(2kπ/(2n+1))|＝2× sin(kπ/(2n+1))，所以由(*)式得： 2^n×sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1)) ＝2n＋1。 所以，sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ/(2n+1))＝√(2n＋1)/2^n 2.三角函数 求证：sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))……sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n. 证:sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ /(2n+1))=√(2n +1)/2^n 设Z=cos2π/(2n+1)+ isin2π/(2n+1) 则x^(2n+1)=1的根为1,z,...z^2n 得x^2n+...+x+1=(x-z)(x-z^2)...(x-z^2n) 2n+1=｜(1-z)｜｜(1-z^2)｜...｜(1-z^2n)｜ (1) 又｜(1-z^k)｜=2sinkπ/(2n+1) (2) |1-z^k| = |1-(cos(2kπ/(2n+1)) +sin(2kπ/(2n+1)) )| =|1-cos(2kπ/(2n+1))) -sin(2kπ/(2n+1)) )| =√((1-2cos(2kπ/(2n+1)) +cos^2 (2kπ/(2n+1))) + sin^2 (2kπ/(2n+1))) =√(2-2cos(2kπ/(2n+1)) ) =√(4sin^2(kπ/(2n+1)) =2sin(kπ/(2n+1) 故 2n+1 =( n(π/(2n+1)). n(2π/(2n+1)) n(3π/(2n+1))........ n(2nπ/(2n+1)) 两边开方,得 sin(π/(2n+1))sin(2π/(2n+1))sin(3π/(2n+1))........sin(nπ/(2n+1)) =√(2n+1) / 2^n 另外那个类似,可以尝试自己证一下. 3.为什么sinπ／n+sin2π／n......+sin(n-1)π／n=cotπ／2n? 极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 作业题1：简单平面滑动稳定分析 边坡高度40.000m，结构面倾角30.0°，结构面粘聚力30.0kPa，结构面内摩擦角30.0°，张裂隙离坡顶点的距离10.000m，裂隙水的埋深5.000m。边坡分4级，每级设2m宽平台，坡率分别为1:0.5，1:0.75，1:1，1:1。 岩层层数4层，各层参数如下： 序号控制点Y坐标容重锚杆和岩石粘结强度 (m) (kN/m3) frb(kPa) 1 32.000 18.0 80.0 2 18.000 16.8 100.0 3 4.800 17.0 150.0 4 -10.400 20.0 200.0 试求该人工边坡安全系数，如不稳定（<1.2），则请根据边坡锚固设置原则，设计适当的加固措施。 作业题2：二广高速某楔形体边坡稳定性验算 根据现场边坡开挖情况，地层揭露岩性主要由亚粘土及白垩系砾岩组成。第一、二级边坡为强~弱风化砾岩，褐红色，巨厚层状，强度较高；第三、四级边坡亚粘土~全风化砾岩，残坡积，红褐色。节理裂隙较发育，有多条X形节理，产状分别为（1）213°∠38°、（2）305°∠52°。裂隙（1）局部岩屑与泥质充填，胶结程度一般；贯通裂隙（2）岩屑与泥质充填，胶结程度较差。两组裂隙延伸长度不等，长者达30m左右，裂隙水沿楔形体底部渗出。X节理相互切割，极易发生楔形体滑动破坏。 根据地质调查结果，初步根据砾岩结构面结合程度和夹岩屑与泥的情况，取结构面粘结强度25kPa，内摩擦角28°。坡面倾向250°，倾角55°，破顶面倾向250°，倾角18°，岩体容重取为22 kN/m3。请计算安全系数与楔形体高度之间的关系，求临界的楔形体高度。 1-7 两个重要极限练习题 教学过程： 引入：考察极限x x x sin lim 0 → 当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x x x sin =1； 当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () sin(lim sin lim 00x x x x x x --=+ -→-→． 综上所述，得 一．1sin lim 0=→x x x ． 1sin lim 0=→x x x 的特点： (1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 ； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂． 推广 如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)， 则 a x →lim ()[]()x x ??sin =()()[]() x x x ???sin lim 0→=1． 例1 求x x x tan lim 0→． 解 x x x tan lim 0→=111cos 1 lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=?=?=?=→→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例2 求x x x 3sin lim 0→． 解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→t t t x x x t x 令． 例3 求20cos 1lim x x x -→． 解 2 0cos 1lim x x x -→=2 12 2sin 22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 02 202 2 0=??==→→→x x x x x x x x x x x ． 例4 求x x x arcsin lim 0→． 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 2.5.1 两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙 LHZ 一、教学目标 1. 复习该章的重点内容。 2. 理解重要极限公式。 3. 运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入 （1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ? x → x lim x → x 0+ f (x ) = lim x → x 0- f (x ) = A （ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则 1 f (x ) → （0 x → x 0） （3） 极限的四则运算： lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ? g (x )] = lim f (x ) ? lim g (x ) lim f (x ) = lim f (x ) (lim g (x ) ≠ 0) g (x ) lim g (x ) （4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论） （5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论） （6） lim [无穷小量? 有界变量] = 0 （无穷小量的性质） eg: lim sin x = lim ? 1 ? sin x ? = 0 x →∞ x ? x →∞? x ? lim ? = lim ? ? 那么， lim sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限 x →0 x 2、掌握重要极限公式 lim sin x = 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限； （2） 分子是正弦函数； （3） sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题 【例 1】 求 lim sin x (k ≠ 0) x →0 kx 解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 kx k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x x →0 x 解： lim tan x = ? sin x 1 ? = lim sin x ? lim 1 = 1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos x ? x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x = 1 ） x →0 x 【例 3】 求 lim sin 5x x →0 x 解： lim sin 5x = lim 5 ? sin 5x = 5 ? lim sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 x x →0 5x x →0 5x 4、强化练习 （1） lim sin x （2） lim sin kx (k ≠ 0)（3） lim sin 5x (4) lim tan 2x x →0 3x x →0 x x →0 3x x →0 x 解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ?1 = 1 x →0 3x 3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ? sin kx = k ? lim sin kx = k ?1 = k x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ? sin 5x 5 ? lim ? 5 ? l im sin 5x = 5 ?1 = 5 x →0 3x x →0 ? 5x 3 ? 3 x →0 5x 3 3 （4） lim tan 2x = ? sin 2x 1 ? = 2 ? lim sin 2x ? lim 1 = 2 ?1?1 = 1 x →0 x x →0 ? x cos 2x ? x →0 2x x →0 cos 2x 四、小结: 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 岩土工程界 第12卷 第4期 探讨与分析 收稿日期 2008-05-29 贵州岩溶地区层状岩质基坑破坏模式研究 雷建海 1,2 ,宋建波 1 (1.贵州大学喀斯特环境与地质灾害防治教育部重点实验室,贵阳 550003; 2.贵州交通职业技术学院,贵阳 550008) 摘 要 通过分析岩质基坑坑壁边坡特点、基坑类型、岩体稳定性影响因素及其变形破坏机制,归纳了层 状岩质基坑6种可能的破坏模式。 关键词 岩溶地区 层状 岩质基坑 破坏模式 中图分类号:TU 457 文献标识码:A 文章编号:1009-5098(2009)04-0017-03 岩体的变形与破坏,在 工程地质分析原理 中 将其定义为:岩体承受应力,就会在体积、形状或宏观连续性方面发生某种变化,宏观连续性无显著变 化者称为变形;否则,称为破坏[1] 。依据工程岩体在变形破坏时所表现出的不同形式,可将其划分为多种不同的破坏模式。研究岩体可能发生的破坏模式是进行工程岩体稳定性分析和确定经济合理的治理方案的首要研究内容。 贵州是我国碳酸盐岩分布面积最广、岩溶强烈发育的地区,也是以沉积岩为主、以层状岩体为特色的省份。岩体的层状结构和因溶蚀作用而受到的不同程度的损坏,导致岩体结构的进一步破坏和力学性能的下降。在这类岩体中开挖基坑后,由于岩体产生卸荷回弹,必将引起应力重分布和应力集中等效应,继而在各种荷载的作用下,基坑岩体可能发生多种形式的破坏。全面系统地总结层状岩质基坑可能发生的各种破坏模式将为基坑的支护方案研究提供科学依据。 1 岩质基坑坑壁边坡与岩质边坡 对矩形基坑而言,岩质基坑开挖后将形成4个 开挖壁边坡。岩质基坑坑壁边坡与一般的岩质边坡均以边坡岩体作为研究对象。因此,二者在破坏机理、破坏模式、岩体稳定性影响因素、稳定性评价方法、工程支护措施等方面都表现出不同程度的相似性,但也有较大的不同。现就二者之间主要的异同作如下分析: (1)相同之处:1)研究对象相同:均以边坡岩体作为研究对象;2)组合因素相同:边坡与基坑壁均可按边坡的坡角、边坡走向、岩层倾角、岩层走向、岩层倾向等5个因素之间的不同组合而形成特定的 工程。 (2)不同之处:1)边界约束条件不同:从立面看,边坡工程一般只有底部为固定约束,其余均为自由边界;基坑壁边坡除上部为自由边界外,其余3边均为固定约束边界;2)规模不同:边坡工程一般高度大、面积广、岩体破坏规模大,破坏后果严重;基坑坑壁边坡在开挖深度、开挖宽度与岩体破坏规模方面都相对较小,但其破坏后果却可能非常严重,严重者会致使周边建筑物倾斜、倒塌;3)初始应力不同:边坡工程规模大,地应力的影响往往很明显;基坑工程一般情况下赋存深度较浅,地应力影响相对较小;4)外部荷载不同:岩质边坡表面一般无外荷载作用,岩体主要承受重力、水压力、地震力等作用;基坑壁岩体受力相对复杂,除须承受重力、水压力、地震力等力的作用外,往往还须受到周边建筑物、地表堆积物等静载和施工机械、汽车等动载的作用。 2 层状岩质基坑类型 根据选取的划分依据,可将层状岩质基坑划分为多种不同的类型。划分依据与基坑开挖坑壁边坡坡角、岩层走向、岩层倾向等有关。 (1)根据基坑开挖坑壁边坡坡角的不同,可将岩质基坑划分为直立坑壁基坑和倾斜坑壁基坑。开挖坑壁坡角为90 的称为直立坑壁基坑(图1a),开挖坑壁坡角小于90 的称为倾斜坑壁基坑(图1b)。 图1 据坑壁开挖坡角划分基坑类型 17 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x Advances in Geosciences地球科学前沿, 2017, 7(5), 610-620 Published Online October 2017 in Hans. https://www.doczj.com/doc/267090376.html,/journal/ag https://https://www.doczj.com/doc/267090376.html,/10.12677/ag.2017.75062 Analysis and Preventive Measures of Stereographic Projection of Stratified Rock Slope Yan Wang, Duoxi Yao, Haifeng Lu, Zheng Jiang School of Earth and Environment, Anhui University of Science and Technology, Huainan Anhui Received: Sep. 8th, 2017; accepted: Sep. 23rd, 2017; published: Oct. 9th, 2017 Abstract Taking Guangde County Xindu opencast mine as an example, stability analysis of slope based on red flat projection method has been made, and feasible protective measures according to the ac-tual engineering slope have been put forward to solve the problem of qualitative analysis of slope stability engineering project. In this paper, based on the principle of stereographic projection, the slope stability was analyzed by Lizheng software drawing stereographic projection. It is concluded that the III slope level and the combination of 1 dominant discontinuities has the possibility of oc-currence of wedge sliding instability, the possibility of wedge structure mainly through the re-maining districts consisting of sliding surface of slope is small. According to the structural charac-teristics of rock mass, the failure mode can be broken by arc failure. Some protection measures such as drainage, anchorage and side slope detection are put forward. Keywords Rock Slope, Stereographic Projection, Structural Plane, Slope Stability 层状岩质边坡稳定性赤平投影法分析 及防治措施 王妍，姚多喜，鲁海峰，蒋正 安徽理工大学地球与环境学院，安徽淮南 收稿日期：2017年9月8日；录用日期：2017年9月23日；发布日期：2017年10月9日理正岩土6.5-岩质边坡稳定分
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(完整版)1-7两个重要极限练习题
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