第一章特殊平行四边形
1．1．1菱形的性质
一、教学目标
1、知识与技能：经历菱形的性质的探究过程，熟练掌握菱形的两条特有的性质。
2、过程与方法：
（1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力.
（2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力.
3、情感态度：在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
二、教学重难点
教学重点：菱形性质的探求.
教学难点：菱形性质的探求和应用.
三、教具学具准备
教具准备：多媒体矩形纸片直尺（或三角板）
四、教学过程：
（一）情境引入
多媒体展示：生活中的菱形
板书：菱形的性质
（二）探索新知
1、定义
运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移，即由平行四边形变菱形的过程。
学生活动：思考、交流、在老师指导下、归纳菱形的定义
板书：一、菱形的定义：
强调：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
2、探索性质
（1）.做一做
下面我们一起做一个菱形
将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开（同桌互相帮助）
（2）．小组讨论。
引导学生从边、角、线及对称性方面进行探讨。
问题：
1、从边来看（位置关系与数量关系）？
2、从角来看（对角，邻角间有什么关系）？
3、从对角线来看（位置关系与数量关系）？
4、对角线分得的每组对角有什么关系？
5、菱形是中心图形吗？如果是，对称中心在哪里？
6、 菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴在哪里？对称轴之间有什么位置关系？
（学生可能先大胆猜想或根据问题的提示，进而通过折叠、旋转各自手中菱形来推理验证自己的猜想，对于学生可能出现的合情的方法，老师应给予鼓励与肯定。） （3）小组交流成果，概括菱形的性质
1、菱形边的性质。
2、菱形角的性质。
3、菱形的对角线的性质。
4、菱形对称性。
教师强调，并板书：二、菱形的性质：
（让学生动手操作后，有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究，并合情地做出猜想.最后学由生口头表述性质，如所用的语言表述不恰当时及时给予纠正。）
（三）、例题精讲
教师活动：屏幕呈现例题，指导学生观看问题，并点评解题思路及过程，最后屏幕呈现详细解题过程，供学生参考。
例1：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三
角形
解：（1）在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180°（两条线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAD=2∠B ∴∠B=60°
（2）在菱形ABCD 中，AB=BC （菱形的四条边都相等） 又∵∠B=60°
7 D
5 O
4
2 8
3 C A
1 6
B
∴△ABC 是等边三角形（一个角为60o的等腰三角形是等边三角形）
例2：如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=8cm ，BD=6cm,求这个菱形的周长。 解：∵AC=8cm ，BD=6cm
∴AO=4cm, BO=3cm （菱形的对角线互相平分） ∴AB=5cm(勾股定理)
∴菱形ABCD 的周长=4AB=20cm(菱形的四条边都相等) （四）知识检测，学习反馈
学生活动：完成屏幕上展示的练习，并每题由一名学生来说出答案及原因。 教师活动：屏幕展示练习：
1、对于以下图形（1）矩形（2）等边三角形（3）平行四边形（4）菱形（5）圆（6）线段， 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ D ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
2、已知菱形的两条对角线长分别是10和24,则菱形的周长为__52___。
3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=5cm, AO=4cm ，求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
解:这一菱形的周长=4AB=4×5=20cm 对角线AC=2AO=2×4=8cm
∵BO=3cm(勾股定理)∴BD=2BO=2×3=6cm (五)、课堂小结 这堂课你学到了什么？
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质： （1）、菱形边的性质。 （2）、菱形角的性质。 （3）、菱形的对角线的性质。 （4）、菱形对称性。
3、应用：
1.1.2菱形的判定
一、教学目标：经历菱形的判定方法的探究过程,掌握菱形的三种判定方法.
O
D A B
C
D
A
B
C
O
二、教学重点:菱形判定方法的探究.
三、教学难点:菱形判定方法的探究及灵活运用.
四、教学过程:
活动1、引入新课，激发兴趣
1、复习
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）菱形的性质1 菱形的两组对边分别平行，四条边都相等；
性质2 菱形的两组对角分别相等，邻角互补；
性质3 菱形的两条对角线互相平分，菱形的两条对角线互相垂直，且每
一条对角线平分一组对角。
2、导入
(1)如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
所以只要再有一组邻边相等的条件即可.
(2)要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
活动2、探究与归纳菱形的第二个判定方法
【问题牵引】
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形。
问: 任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
学生猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。教师提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？学生用几何语言表示命题如下：
已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD，
O
D
C
B
A
求证：□ABCD是菱形。
分析：我们可根据菱形的定义来证明这个平行四边形是菱形，由平行四边形的性质得到BO=DO，由∠AOB=∠AOD=90o及AO=AO，得ΔAOB≌ΔAOD，可得到AB=AD (或根据线段垂直平分线性质定理,得到AB=AD) ，最后证得□ABCD是菱形。
【归纳定理】
通过探究和进一步证明可以归纳得到菱形的第二个判定方法(判定定理1):
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
提示：此方法包括两个条件——（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直。对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
活动3、菱形第二个判定方法的应用
例3 如图，如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3，
求证：□ABCD是菱形。
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，?而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°，证出对角线互相垂直，这样可利用菱形第二个判定方法证得。
活动4、探究与归纳菱形的第三个判定方法
【操作探究】过程: 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，提问：观察画图的过程，你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?你能得到什么结论?
学生观察思考后，展开讨论，指出该四边形四条边相等，即有两组对边相等，它首先是一个平行四边形，又有一组邻边相等，根据菱形定义即可判定该四边形是菱形。得出从一般的四边形直接判定菱形的方法：四边相等的四边形是菱形。
学生进行几何论证，教师规范学生的证明过程。
【归纳定理】
从一般的四边形直接判定菱形的方法(判定定理2):
四边相等的四边形是菱形。
活动5、菱形第三个判定方法的应用
如图，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，求证:四边形EFGH 是菱形。 思路点拨：
方法一，由中点联想到连接矩形对角线BD 、AC ，可得AC=BD 。
利用三角形中位线等于底边的一半，证明
EF=FG=GH=EH 。根据判定定理，所以四边形EFGH 是菱形。 方法二：通过证明图中四个Rt △全等，得到EF=FG=GH=EH 。 活动6、随堂练习
练习1：
判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 练习2：填空。
如图：□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， （1）若AB=AD ，则□ABCD 是 形； （2）若AC=BD ，则□ABCD 是 形； （3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是 形； （4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是 形。 活动7、评价和反思
1、通过探究，本节课你得到了哪些结论？有什么认识？
2、菱形的判定方法有哪些？
2.1矩形的性质与判定
一、教学目标：
1. 知识与技能：经历并了解矩形判定方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方
B
C
D A
O
法；掌握矩形的判定方法，能根据判定方法进行初步运用。
2. 过程与方法：在探索判定方法的过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯，在画矩形的过程中，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神和独立思考合作交流的良好习惯，体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。通过与他人的合作，培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点与难点：
教学重点：探索矩形的判定方法、突破方法：为了突出重点，以学生自主探索、合作交流为主，提出问题，让学生动眼观察，动脑猜想，动手验证，进而掌握矩形的判定方法。
教学难点：判定方法的理解和初步运用，突破方法采用教师引导和学生合作的教学方法，及化归的数学思想。
三、教具准备：教师：三角板、圆规
学生：三角板、圆规、白纸
四、教学过程
（一）自学导纲
1、创设情境导入新课
师：请同学们观察教室的门窗是什么形状？
工人师傅在制作这些门窗时，是怎样验证它们是矩形的？大家想不想知道？本节老师将带领大家一起探讨这一问题。（板书课题 20.2 矩形的判定）
2、出示导纲，学生自学
师：请同学们自学教材P107，独立完成下列问题
导纲知识性问题1~4。
（二）合作互动探究新知
1、师：哪们同学愿意将你自学的成果展示给大家，其他同学注意倾，看有没有与自己不同的在方。
生、汇报
师：大家完成的很好，请猜想它是真命题还是假命题？你能证明一下你的猜想吗？请同学们用圆规和直尺画对角线相等的平行四边形，并与同桌交流一下，这是个什么图形？
生：汇报
师：这像个矩形，如何用逻辑推理的方法验证，请同学们小组合作，讨论验证。 生：小组合作交流
师：请同学们说说你的证明过程（学生回答） 你们为什么想到用这种方法？
通过动手操作和逻辑推理明白它是个真命题，我们把它做为矩形的判定定理1（板书定理1）判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形。
2、用几何符号应怎样表示？
3 、刚才我们验证了猜想1，那么猜想2呢？还请同学们小组之间相互交流讨论合作完成导纲探究性问题3。
请同学们将你思考的结果告诉大家。有没有不同的意见。
有三个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？ 学生独立思考并回答。
通过验证，我们明白它是一个真命题，因此，我们又得到一个矩形的判定定理――――判定定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。 用几何符号怎样表示？
非常好，通过我们齐心协力的合作，得出了矩形三种判定方法，请同学们齐读一遍。 生：…
师：大家对这三种方法理解的如何，请看下面的问题。导纲中巩固训练。生完成并说明原因。
我们已经学习了矩形的判定方法，如何应用请完成下面例题。
下列各句判定矩形的说法是否正确。 （1）对角线相等的四边形是矩形。
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 （3）两组对边分别相等且对角线相等的四边形是矩形。 （4）三个角都相等的四边形是矩形。 （5）四个角都相等的四边形是矩形。 （6）有一个角是直角的四边形是矩形。 知识应用：
例1：如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 上的一点，且AE=BF=CG=DH 。 求证：四边形EFGH 是矩形。
j
H G F E O
D C
B
A
分析：要判定一个四边形是矩形有几种方法？已知什么？可用什么判定方法？
生完成证明过程：
师示范：证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
AO=BO=CO=DO（矩形对角线相等且互相平分）
∵AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形
∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）
变式训练：已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。
求证：四边形EFGH是矩形．
小结：方法
回顾情境问题
（三）、导学归纳：
1、本节课你主要学习了什么内容？
2、矩形判定的方法有几种？
3、在证明判定定理一时，通过平行四边形和三角形之间的相互转化，渗透了________________数学方法。
4、学习了本节之后，你还有什么困惑？
（四）、反馈训练
1、根据所学知识填表。
文字描述图形几何语言
定义有一个角是直角的
平行四边形是矩形B
D
C
A∵四边形
ABCD是平行四
边形，∠B=90°
∴四边形ABCD是矩形
定理一
B
D
C
A
∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ∴四边形ABCD 是矩形
定理二
有三个角是直角的四边形是矩形
B
D
C
A
3、如图平行四边形ABCD 中，∠1＝∠2,此时四边形ABCD 是矩形吗？为什么？
21
C
D
B
A
思考题：在平行四边形ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，试判断四边
形EFGH 的形状，并说明理由。
1.3.1正方形的定义及性质
一、学习目标：
1、熟练掌握正方形的定义及边、角、对角线的性质。
2、知道正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别。
3、应用正方形的性质进行相关计算、证明。
二、课前检测：
1、矩形的性质是什么？
2、菱形的性质是什么？
三、探究新知：
1、正方形的定义：如图，改变矩形的边，使之一组邻边相等，就得到了一个正
方形。
定义：相等的叫做正方形。
条件有：（1）（2）
改变菱形的角，使之一角的直角，就得到了一个正方形。
定义：有一个角是的叫做正方形。
条件有：（1）（2）
2、动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察，回答下列问题.
①它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？有什么数
量关系？
②图中有哪些相等的线段？③图中有哪些相等的角？
④图中有哪些特殊形状的三角形？是哪些？
3、正方形性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
所以，正方形具有的性质，同时又具有的性质．总结：正方形边的性质：。
正方形角的性质：。
正方形对角线的性质：。
4、几何语言：（如图）∵正方形ABCD
（边）∴
（角）
（对角线）。
对应练习一：
（1）正方形的边长为4cm，则周长为，面积为，对角线长
为．
（2）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AC=4 cm,则正方形的边长为，周长为，面积为。
（3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，OA= ,AC= 。三、范例讲解：
例1 ：已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上
一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．
对应练习二：
1、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，
且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．
2、如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD
的度数．
四、课堂小结：本节课你学到了什么？
五、作业：A、如图所示，.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
B、已知如图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.
(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.
C 、正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，AO=4 cm,求正方形的边长、周长、面积。
1.3.2正方形的判定
一、教材分析：
上节课讲述了正方形的概念（定义）和性质，本节课从表面上来看只安排两个例题，而实际上是通过两个例题使学生掌握正方形的判定方法，从而进一步加深对正方形概念定义的理解。
例7课本介绍两种判定方法即：正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法。例8课本只介绍了正方形的矩形判定法。这两种判定法的由来必须和学生一起探究清楚，这个探究过程也是培养学生分析解决问题能力的过程，增强学生理解掌握正方形的判定方法的过程。为了让学生能更好的运用正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法必须要求学生复习掌握矩形和菱形各自的常用判定方法：
矩形常用的判定方法：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形
2、有三个角是直角的四边形是矩形
3、两条对角线相等的平行四边形是长方形
菱形常用的判定方法：
1、四条边都相等的四边形是菱形
2、有一组邻边相等的平行四边形是菱形
3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例7、例8每个题目都可用正方形的定义法（即平行四边形法），矩形法和菱形法来做，在每个例题提出来以后，可先与学生一齐分析已知条件，启发引导学生让他们探究（思考、讨论）用什么方法，根据学生的反映情况加以点拔。
例7讲述两种方法，平行四边形法课后练习
例8讲述矩法，而菱形法和平行四边形法视课堂时间灵活掌握，通过以上分析本节课的教学目的，使学生学习、掌握正方形的判定方法，从进一步加深学生对正方形概念的理解和掌握。
本节课的教学重点：使学生掌握正方形的矩形判定法和正方形的菱形判定法及平行四边形判定法。
二、教学过程
1、复习正方形的概念（定义）
学生回答后板书或媒体投影
从正方形的定义可以看出：一个四边形必须满足三个条件：①它是平行四边形②它有一组邻边相等③它有一个角是直角，那么它才是正方形
2、提出问题：如何判定一个四边形是正方形呢？
现在只有一个办法：用正方形的定义（概念）来判定，即定义法：具体判定法：由定义先证明四边形是平行四边形，再证明它有一组邻边相等；最后证明它有一个角是直角
此即判定正方形的定义法及证题步骤：
以下引导学生把左边三步中的前两步结合在一起：即1、证明了四边形是平行四边形，2、证明它有一组邻边相等，那么就可以判定四边形是菱形，因而左边三步中的前两步实质上是在判定四边形是菱形，再加上第三步证明它有一个角是直角就要以判定它是正方形。从而得出判定正方形的第二个方法“菱形法”：有一个直角的菱形是正方形。步骤是：1、先证明四边形是菱形（在教学中可以提问学生判定四边形是菱形的常用方法，也可教师口述帮学生复习）
2、再证明它有一个角是直角
同样的方法引导学生把要右边三步中的前①②步实质是在判定四边形是矩形，再加上第三步证明有一组邻边相等就可以判定它是正方形。从而得出判定正方形的第三个方法，“矩形法”：有一组邻边相等的矩形是正方形
步骤：1、先证明四边形是矩形（可提问学生矩形的判定法，也可教师口述帮学生复习）
2、再证明它有一组邻边相等
3、讲解例题
教法：①画图引导学生由每个已知条件，你能想到什么结果并画在图上表示（如直角、角平分线、垂直、平行、相等……..）
②让学生根据图标思考或相互讨论，你打算用什么方法证明
③根据学生的反映情况确定两种证法，引导学生逐步完成证明（教师同时规范书写
证明过程）
④把定义法即平行四边形放到课外让学生思考、练习也可以根据当时的学生气氛及课内时间把例7中的第二个证法略加改动，进行引申：
在证明四边形CEDF是平行四边形和DE=DF后不判定四边形CEDF是菱形，又∵∠ACB是直角∴平行四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正
方形）
也可引导学生，不证四边形ＣＥＤＦ是平行四边形，直接证明它的四条边相等，从而证明它是菱形，再证它是正方形可让学生课外思考练习
4、讲解例题
教法基本同例7，在引导学生探究解法后用“矩形法”证明。教师规范板书过程。
菱形法与平行四边形法视课内时间和学生气氛情况而定
可讲其一，仅口述而不板书或两种法均留课后练习，课内仅作分析引导
5、小结：
⑴判定正方形的三种常用方法：①定义法②矩形法③菱形法
⑵矩形法、菱形法都是由定义法演变出来的
⑶灵活选用方法，规范书写证明过程
正方形的判定方法：
正方形的定义：有一组邻居边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
由正方形的定义，一个四边形必须满足三个条件：①它是平行四边形②它有一组邻边相等③它有一个角是直角，那么它才是正方形。
判定正方形的方法
方法一：用定义判定即定义法又称平行四边形法
步骤
方法二：菱形法方法三：矩形法
步骤：①、证明四边形是菱形①、证明四边形是菱形
②、证明它有一个角是直角②、证明它有一组邻边相等
例7、8按课本板书画图及标注如下
北师大版初三数学复习计 划 Prepared on 21 November 2021
九年级数学中考备考复习计划一、复习的整体思路 初三数学总复习，通常分三个阶段。 第一阶段：全面复习基础知识，夯实“三基”。通过第一阶段的复习，使学生系统的掌握基础知识，基本技能和基本方法，形成清晰的知识网络和稳定的知识框架。 第二阶段：综合运用知识，强化能力培养。第二阶段的复习既不是知识的复习，更不是知识的压缩，而是一个知识总综合、巩固、完善、提高的过程。即注重知识的整合，又注重查缺补漏，力求使各部分知识成为一个有机的整体。实现基础知识重点化、重点知识网络化、网络知识题型化、题型设计生活化。在这一阶段要以数学思想方法为主线，学生的综合训练为主题，克服重复，突出重点。在数学应用方面，注意数学知识与生活的联系，穿插专题复习，培养学生渗透题型生活化的意识，以此提高学生对阅读理解题的审题能力。 第三阶段：考前模拟，建立自信。此阶段注重提高学生的整体能力，包括知识的深化巩固，能力的培养提高，解体的技巧和方法，运算速度和准确率等方法，要注意及时评价，及时反馈。 二、复习的整体策略和方法 整体策略为以课本为主，紧扣教材，注重基础知识，基本技能和基本方法的训练和落实，决不放弃课本。
整体方法为：以小题组训练为主，强化落实，力求一课一练，一张一测，注重反馈和评价，不断总结。 三、复习课时安排 第一阶段： 按照初中数学知识体系，整体可划分为“数与式、方程(组)与不等式(组)、函数与函数图像、图形初步、三角形、四边形、圆、对称旋转、三角函数、统计与概率”共10个单元。具体时间可划分及课时安排如下：
矩形、菱形与正方形 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）．A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 2.如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把ADE ?沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在 BC 上，已知折痕AE =cm ，且3 tan 4 EFC ∠=，那么该矩形的周长为（ ） A ．72cm B ．36cm C ．20cm D ．16cm 3.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE +DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE ．其中正确的结论有( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．下列命题中，真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.四个角相等的边形是矩形 5.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A ．15°或30° B ．30°或45° C ．45°或60° D ．30°或60° 6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1+S 2的值为（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 7.如图，菱形ABCD 中，60B ∠=，4AB =，则以AC 为边长的 正方形ACEF 的周长为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 9.下列命题中，正确的是（ ）A ．平行四边形的对角线相等 B ．矩形的对角线互相垂直C ．菱形的对角线互相垂直且平分D ．梯形的对角线相等 10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形 D ．直角梯形 11．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C ．顺次连接矩形四边 (第2题 ) B 60 （第7题图）
最新北师大版九年级数学上册教案 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题。一起看看最新北师大版九年级数学上册教案!欢迎查阅! 最新北师大版九年级数学上册教案1 学习目标 1.了解圆周角的概念. 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用. 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题学习过程
一、温故知新: (学生活动)同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 二、自主学习: 自学教材P90---P93,思考下列问题: 1、什么叫圆周角?圆周角的两个特征: 。 2、在下面空里作一个圆,在同一弧上作一些圆心角及圆周角。通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. (1)一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? (2).同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? (3).同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? 3、默写圆周角定理及推论并证明。 4、能去掉"同圆或等圆"吗?若把"同弧或等弧"改成"同弦或等弦"性质成立吗? 5、教材92页思考?在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么?
人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
北师大版初三数学上册知识点汇总 第一章 证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的 直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章 一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为 常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．． 。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） A C B O 图1 图2 O A C B D E F
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线
菱形的定义与性质 一、教材地位与作用 本节课选自北师大版九年级数学上册第一章第一节第一课时《菱形的性质与判定》。本节课既是八年级下册平行四边形的延伸，又为矩形，正方形的学习奠定了基础，起到了承上启下的作用。 二、教学目标 知识与能力：通过学习本节课学生能熟练运用菱形的定义，并能利用菱形的定义推导出它具有的其他性质； 过程与方法：本节课的学习过程新颖独特，让学生在自己动手，自己发现，自己归纳，教师总结的过程中一步步取得进步； 情感态度与价值观：本节课要让学生在探索的过程中发现菱形的奥秘，培养学生善于发现，善于动手的能力。 三、教学重、难点 教学重点：菱形的定义与性质； 教学难点：菱形与平行四边形的综合运用。 四、教学方法 师生互动、小组合作交流、归纳总结、多媒体教学 五、教学过程 （一）创设情境，引出新课 同学们，在过年时我们经常会看到中国结，生活中常见的有网状的围栏，格子衣服的图案等图形，这些是什么形状呢？有什么共同点？让我们共同探讨，看看这些与我们今天的新课有什么联系？
利用多媒体展示图片，让学生观察，分析，讨论； 经过观察发现，这些图形是菱形，并且是邻边相等的平行四边形。 进而得出平行四边形的定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（二）动手操作，探索新知 用菱形纸片折一折，探索菱形的奥秘； 首先把菱形对折，试着多对折几次（整个过程除了学生对折，教师也应跟着折叠，并且用对媒体呈现出来），我们能发现什么呢？ 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，并且对称轴互相垂直。 经过折叠我们还能发现菱形的四个边都相等。 （三）应用例题，探索证明 课本第三页最上面题，利用多媒体显示，让学生分为四组证明，当证明出来后，让每组同学自愿写在黑板上，比较看看哪组同学写的更详细，更具体，老师再详细讲一讲。 进而得出性质定理：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。（四）应用新知，熟练掌握 让学生做课本上第三页例题，和第四页课后习题，做完后同桌互换互相点评，再由老师做详细讲解。 （五）课堂小测，进步升华 准备具有代表性的十道习题，让学生用最短的时间写完，后收过来，下节课点评稳固这节课的知识内容。 （六）总结归纳，布置作业 总结本节课菱形定义与性质，并回顾本节重难点。
最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线
浙教版九年级上册数学书答案 篇一：九年级上册数学作业本答案 篇二：浙教版九年级数学上册期末试卷及答案 九年级数学（上）期末模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．请将答案填写在题后括号内） 1．如果□+2=0，那么“□”内应填的实数是（） A．－2 B．－ 12 C． 12 D． 2 2．在Rt⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（） A．都扩大2倍B．都缩小2倍 C．都不变D．正弦值扩大2倍, 余弦值缩小2倍 3．路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（） A． B．C． D． 4．小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场
顺序. 设每 人每次出手心、手背的可能性相同. 若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次, 小明最后出场比赛的概率为（） A． 12 B． 5．如图, 在 ?ABCD中, AB=10, AD=6, E是AD的中点, 在AB?上取一点F,? 使 F 11 C．34 D． 1 5 AED △CBF∽△CDE, 则BF的长是() A.5 B.8.2 C.6.4 D.1.8 6. 从1到9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率为() 12A．B． 992 C．
3 D． 5 9 7．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（） A B C D 8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC 与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1． A．1B．2C．3D．4 9．已知二次函数y?ax?bx?c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y?ax?bx?c 的图象上，则下列结论正确的是( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 2 2 10．在一次1500米比赛中，有如下的判断: 甲说: 丙第一 , 我第三; 乙
北 师 大 版 九 年 级 数 学 , 知 识 点 汇 总 第一章特殊平行四边形 一、平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补。 ）
（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。 （4）平行四边形是中心对称图形。 3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 4、面积：S平行四边形=底ⅹ高 二、菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 《 2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。 （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 4、面积：S菱形=底ⅹ高；S菱形=对角线乘积的一半 三、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 、 2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。 （2）矩形的四个角都是直角。 （3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。 （4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。 3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4、面积：S矩形=底ⅹ高
九年级上册第一章《菱形》（满分120分） 姓名：评分： 一、选择题（每题3分共30分） 1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 2．∣-2∣=（） A.2 B、-2 C、±2 D、0 3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm， 则四边形ABCD的周长为（） A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm 4．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使?ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（） A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC 5．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（） A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2D．x2－xy+y2 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°， 则BD的长为（） A．2 B．3 C．D．2 7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（） A．18 B．16 C．15 D．14 8．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（） A．x（y2－9）B．x（y+3）2C．x（y+3）（y－3）D．x（y+9）（y－9） 9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60° 10．下列因式分解正确的是（） A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y） C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2 二、填空题（每题4分，共24分） 11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为． 12．分解因式：a3－a=______． 13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形（只填一个即可）． 14．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ． 16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为． 三、解答题（共66分） 17.请把下列各式分解因式。（每题4分，共8分） （1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时
菱形（基础） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、（2015?石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD． （1）求证：四边形EGBD是平行四边形； （2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
初中数学知识点总结 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如 32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； …等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ± ”。 2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 0≥a 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ==a a 2 a （a ≥0） ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性：
新北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形专题训练 菱形练习题 1.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD= 4 3AB 2其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ）A ．75° B ．65° C ．55° D ．50° 3．（2012?山西）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．35 cm B ．52 cm C ．548 cm D ．5 24 cm 4.已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2 B ．24cm 2 C ．48cm 2 D ．96cm 2 5.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点C 的坐标是（3，4），则顶点A 、B 的坐标分别是（ ） A ．（4，0）（7，4） B ．（4，0）（8，4） C ．（5，0）（7，4） D ．（5，0）（8，4） 6. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32 cm B ．33 cm C ．34 cm D ．3cm 7.如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AE/AD=4/5，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD=15cm 2 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 8.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 为（ ） A ．80° B ．70° C ．65° D ．60° 9.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）A ．12m B ．20m C ．22m D ．24m 10.如图，把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到菱形A ′B ′C ′D ′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD 面积的1/2 ，若AC=2 ，则菱形移动的距离AA ′是（ ） A ．1 B ．12 C ． 22 D 2 1 11.若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为
初三数学上册全册教案（北师大版） 北师大版九年级数学上全册精品教案 证明 ．你能证明它们吗？3课时 ．直角三角形2课时 ．线段的垂直平分线2课时 ．角平分线1课时 你能证明它们吗? 教学目标： 知识与技能目标： ．了解作为证明基础的几条公理的内容。 ．掌握证明的基本步骤和书写格式． 过程与方法 ．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。 ．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。 情感态度与价值观 ．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯． 重点、难点、关键 ．重点：探索证明的思路与方法。能运用综合法证明问
题． ．难点：探究问题的证明思路及方法． ．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路． 教学过程： 一、议一议： ．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ ．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？ 给出公理和定理： ．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。 ．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸． 二、回忆上学期学过的公理 本套教材选用如下命题作为公理: 两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 两边夹角对应相等的两个三角形全等; 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 三边对应相等的两个三角形全等; 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角
形全等。 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF 求证：△ABc≌△DEF 证明：∵∠A+∠B+∠c=180°， ∠D+∠E+∠F=180° ∴∠c=180°- ∠F=180°- 又∵∠A=∠D,∠B=∠E ∴∠c=∠F 又∵Bc=EF ∴△ABc≌△DEF 推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 随堂练习： 做教科书第4页第1，2题。 课堂小结： 通过这节课的学习你学到了什么知识？ 作业： 基础作业：P5页习题1.11、2。 你能证明它们吗 教学目标：
第一章特殊平行四边形 1．1．1菱形的性质 一、教学目标 1、知识与技能：经历菱形的性质的探究过程，熟练掌握菱形的两条特有的性质。 2、过程与方法： （1）经历菱形的性质的探究过程，培养学生的动手实验、观察推理的意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力. （2）根据菱形的性质进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力. 3、情感态度：在探究菱形的性质的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 二、教学重难点 教学重点：菱形性质的探求. 教学难点：菱形性质的探求和应用. 三、教具学具准备 教具准备：多媒体矩形纸片直尺（或三角板） 四、教学过程： （一）情境引入 多媒体展示：生活中的菱形 板书：菱形的性质 （二）探索新知 1、定义 运用多媒体动态地展示将平行四边形的一边进行平移，即由平行四边形变菱形的过程。 学生活动：思考、交流、在老师指导下、归纳菱形的定义 板书：一、菱形的定义： 强调：菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 2、探索性质 （1）.做一做 下面我们一起做一个菱形 将一个矩形的纸对折两次，沿图中虚线剪下，再打开（同桌互相帮助）
（2）．小组讨论。 引导学生从边、角、线及对称性方面进行探讨。 问题： 1、从边来看（位置关系与数量关系）？ 2、从角来看（对角，邻角间有什么关系）？ 3、从对角线来看（位置关系与数量关系）？ 4、对角线分得的每组对角有什么关系？ 5、菱形是中心图形吗？如果是，对称中心在哪里？ 6、 菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴在哪里？对称轴之间有什么位置关系？ （学生可能先大胆猜想或根据问题的提示，进而通过折叠、旋转各自手中菱形来推理验证自己的猜想，对于学生可能出现的合情的方法，老师应给予鼓励与肯定。） （3）小组交流成果，概括菱形的性质 1、菱形边的性质。 2、菱形角的性质。 3、菱形的对角线的性质。 4、菱形对称性。 教师强调，并板书：二、菱形的性质： （让学生动手操作后，有意识地利用自己的知识储备进行合理的研究，并合情地做出猜想.最后学由生口头表述性质，如所用的语言表述不恰当时及时给予纠正。） （三）、例题精讲 教师活动：屏幕呈现例题，指导学生观看问题，并点评解题思路及过程，最后屏幕呈现详细解题过程，供学生参考。 例1：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三 角形 解：（1）在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180°（两条线平行，同旁内角互补） 又∵∠BAD=2∠B ∴∠B=60° （2）在菱形ABCD 中，AB=BC （菱形的四条边都相等） 又∵∠B=60° 7 D 5 O 4 2 8 3 C A 1 6 B
观风海中学九年级期末测试测试题一 (满分：150分，考试用时120分钟) 一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.已知一元二次方程x 2－5x ＋3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝( ) A ．5 B ．－5 C ．3 D ．－3 2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是( ) A ．圆锥 B ．球 C ．圆柱 D ．长方体 3．已知2是关于x 的方程x 2－3x ＋a ＝0的一个解，则a 的值是( ) A ． 5 B ．4 C ．3 D ．2 4．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AO ＝4，BO ＝3，则菱形的边长AB 等于( ) A ．10 B.7 C ．6 D ．5 5．如图，若要使平行四边形ABCD 成为菱形，则可添加的条件是( ) A ．AB ＝CD B ．AD ＝BC C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 6．关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k>－1 B ．k ≥－1 C ．k ≠0 D ．k>－1且k≠0 7．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( ) 8．下列对正方形的描述错误的是( ) A ．正方形的四个角都是直角 B ．正方形的对角线互相垂直 C ．邻边相等的矩形是正方形 D ．对角线相等的平行四边形是正方形 9．小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.18 10．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为( )