3 线性方程组
3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式)
3.1.1 基本概念
1、方程组1111221n 1211222
2n 2m11m22mn m
x x b x x b
x x b a a a a a a a a a +++=??+++=?
*???++
+=?
称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组,
i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b =
=b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组,
这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222
2n 2m11m22mn m
x x x x x x a a a a a a a a a ++
+=??+++=?
???++
+=?c c c 的导出组,
(其中12m c ,c ,...c 不全为零)
2、记1111
1221
n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ????
?? ? ?
? ?
?==
? ? ? ? ? ???
????
= 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =**
3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2,
n a a a α??
? ?
== ? ? ???
则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b.
ααα++
+=***。
同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断
1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数
对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解;
ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A =
()<() ()=()=n, ()=()()=()
????????
?
?秩秩无解；秩秩有唯一解，
秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能
3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间
(作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解
的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间)
定理:对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r ,
其中A 就是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有
非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于A n-秩()。 2、 非齐次线性方程组的解空间
我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可
首先求出非齐次线性方程组的一个解γ0(称其为方程组特解);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为ηηη12n-r ，，...),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为: 2.................()k k k γηηη+?0112n-r n-r ++...+ 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解、
3、2 经典题型解析
1、已知方程组12312
112323120x a x a x ?????? ? ? ?
+= ? ? ? ? ? ?-????
??无解,试求a 的取值
解:方程组的增广矩阵12
112323120A a a ?? ?
=+ ? ?-??
(初等行变换不影响线性方程组的
解)
1
2110110231a a ?? ?
- ?
?---??进行一系列的初等行变换12
1101100(3)(1)3a a a a ?? ?→ ? ?-+-??
由于方程组无解(3)(1)03A A A a a a ??-+=?=秩()<秩(),秩()<3 或1a =-
i)当3a =时,A A 秩()=2=秩(),方程组又无穷多解; ii)当1a =-时,A A 秩()=2<3=秩(),方程组无解 综上可得,1a =-
易错提示:对方程组有解、无解时的条件把握不牢固;在把增广矩阵化为解提醒矩阵的过程中不仔细导致错误。所以,我们在做题的过程中,一定要善于总结,通过练习找到自己的不足点。对于关于线性方程组解的判定、性质以及解的结构失无必要进行总结的,已做到深刻的理解与领悟。
2、设A 为n 阶方阵,r(A)=n-3,且23ααα1，，就是0Ax =的三个线性无关的解向量,则下面哪个就是0Ax =的基础解系 ( )
2233,.αααααα+++11(A)， 2323,,.αααααα---11(B)
23231
,,.2
αααααα---11(C)2 23323,,2.ααααααα++---11(D)
解:由0Ax ?=r(A)=n-3的基础解系个数为n -r(A)=n-(n-3)=3
又因为23ααα1，，就是0Ax =的解,所以四个选项中的向量都就是方程组
的解,而我们只要验证瞧其就是否线性无关即可,现在我们利用矩阵这里工具来进行求解:
22332323101,110011αααααααααααα?? ?
+++? ? ???
1111(，)=(，，)(，，)A
23232323101,,110011αααααααααααα-?? ?
----? ? ?-??
1111()=(，，)(，，)B
232323231011
,,21021
12αααααααααααα?? ?- ?----? ? ?- ???
1111(2)=(，，)(，，)C
233232323101,,2110112ααααααααααααα-??
?
++----? ? ?-??
1111()=(，，)(，，)D
因为:20,0A B C D =≠===
所以,向量组2233,αααααα+++11，线性无关,而其余三个都就是线性相关的, 故选A 。
评析:本题解法颇多,只要验证选项中的向量组线性无关即可,但上述方法就是较为简单的方法,且不易出错;同时,我们可以瞧到,在解决一些有关向量组与线性方程组问题时,有时把矩阵这一数学工具拿来运用也未尝不就是一种简便！ 3、设12,,
,s ααα就是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系。而
1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+,其中t 1,t 2就是实数,问当t 1,t 2满
足什么关系时,12,,,s βββ也就是方程组0AX =的基础解系？
解:显然,12,,
,s βββ为0AX =的解,下证在12,,
,s βββ线性无关时,t 1,t 2应满足的
关系。
设11220s s k k k βββ+++=
11122212231112121()()()()0s s s s s k t t k t t k t t k t t αααααααα--++++
++++= 11211221212313()()()0s s k t k t k t k t k t k t ααα-++++
++=
由123,,,ααα线性无关知
1122112
21100 0
s s s t k k t t k t k t k t k -+=??+=??
??+=? 由于12,,
,s βββ线性无关,此方程组只有零解,即
1
221112212
1
000000
(1)00
00
s s s t t t t t t t t t t +=+- 故当112
(1)0s s s
t t ++-≠时,即s 为偶数时,12t t ≠±,s 为奇数时,12t t ≠-,这时12,,,s βββ为0AX =的一个基础解系。
4、设齐次线性方程组121212(1)02(2)20()0n n
n a x x x x a x x nx nx n a x ++++=??++++=????++++=? ,)2(≥n ,试问a 为何值时,该方程
组有非零解,并求其解。 解:方法一
对系数矩阵进行初等行变换
B a na a a a a a a n n n n
a
a a
A =??
???
??
?
??---+→????????
??++++=
00003002111133332222
1111 (1)若0=a ,1)(=A R ,方程组有非零解,其同解方程为021=+++n x x x
故其基础解系为
()T 0,,0,1,11 -=η,()T 0,,0,1,0,12 -=η,…()11,0,,0,1T
n η-=-
所以方程组的通解为
112211--+++n n k k k ηηη (11,,-n k k 为任意常数)
(2)若0≠a ,对矩阵B 继续作初等行变换,有
???
?????
?
?
?---++→???????? ??---+→10001030012000)1(21100010300121111 n n n a n a B
当)1(2
1+-=n n a 时,n n A R <-=1)(,方程组有非零解,其同解方程为
?????
?
?=+-=+-=+-0
30
213121n x nx x x x x 得基础解系为()T n ,,2,1 =η所以通解为ηk (k 为任意常数)
方法二 由于系数行列式
12)1(2
22111-??? ??++=+++=
n a n n a a
n n
n
a a A
故当0=a 或2
)
1(+-
=n n a 时,方程组有非零解。 (1)当0=a 时,有???
?
??
? ??→??????? ??=000000111222111 n n n A 故方程组的同解方程为
021=+++n x x x
由此行基础解系为
T )0,,1,1(1 -=η,T )0,,1,0,1(2 -=η,…,T n )1,,0,1(1 -=-η
通解为112211--+++n n k k k ηηη (11,,-n k k 为任意常数) (2) 当)1(2
1
+=n n a 时,对系数矩阵进行初等行变换,有
???
?
?
?
?
??--+→
???????
?
?+++=a na a a a a n n n a a
A
002111222
111 ????
??
?
??--→??????? ??--+→1001200010012111
n n a 故方程组的同解方程为
?????
?
?=+-=+-=+-0
30213121n x nx x x x x 可得基础解系为T n ),,2,1( =η,故通解为ηk (k 为任意常数)
5、求下述数域K 上的非齐次线性方程组的解空间
234234234352437794 2.
x x x x x x x x x -+-=??
+-+=-??-+-=-?111
x ，
-2x ，-x
解:
第一步,求解方程组的特解。为此,先求出它的一般解公式,
4117105551352473121317015551794200000??-
?
--??
?
?
?
---???????→-- ? ?
?---- ?
?? ?
???
进行一系列初等行变换 所以,方程组的一般解为
342344117,555
731,555x x x x x x ?=-++????=--??
1(其中34x x ，都就是自由变量)????????????????
由?式可以推出方程组的一特解:
01751.500γ?? ? ? ?
-= ? ? ? ???
第二步,求导出组的一个基础解系。
由于原 非齐次线性方程组的系数矩阵与其导出组的系数矩阵相
同,
因此,我们只要把原方程组一般解公式的常数项去掉,就可得到导出组的一般解。
3423441,55
73,55x x x x x x ?
=-+????=-??
1 (其中34x x ，都就是自由变量)
从而得到导出组的一个基础解系
24173
5005ηη-????
? ?- ? ?== ? ? ? ?????
1，
第三步,写出非齐次线性方程组的解空间
{}012212,U k k k k K γηη=++∈1
评析:本题写出了求解一般非齐次线性方程组的最一般的解法及其步骤,作为线性方程组的最一般解法,我们就是必须掌握的。
6、已知向量123124115
0132411ηηη??????
? ? ?- ? ? ?= ? ? ?-- ? ? ???????
=，=，,
就是方程组11233441,12234421
223443a x 2x a x a x d 4x b x 3x b x d ,3x c x 5x c x d .
+++=??
+++=??+++=?的三个解,求该方程组的解。
解:即方程组的系数矩阵为A ,则
i) 由已知条件知:2131ηηηη--，时相应的齐次线性方程组的两个线性无关的解向量
∴由422r A r A ≥?≤*-()()
又系数矩阵A 有二阶子式4311035
=≠
∴系数矩阵A 的秩r(A )2
≥**
因此,由*)与**)r 2A ?()=
ii)由i) ?齐次线性方程组基础解系由2 (4-r 422)A ()=-=个解向量构成,即
2131ηηηη--，就是齐次线性方程组的一基础解系 所以,该线性方程组得通解为:1121231+k k ).ηηηηη-(-)+(
易错提示:按常规思路,如果把三个解代入方程组先求其参数,再求通解,则计算就是非常繁琐的,在限定时间内就是很难达到很好的效果,有时这种方法也就是行不通的;而倘若我们对方程组的性质与其解的结构都能够很好的理解,那么当遇到相关类型的题目时也就不至于困惑了。
7、问k 为何值时,线性方程组12321231
23x x kx 4,-x kx x k x x 2x 4
++=??
++=??-+=-?,有唯一解,无解,无穷多解？并且,
当有解时求出其所有解。
解:记线性方程组的系数矩阵为A ,即11k =1k 1112A ?? ?
- ? ?-??
,则
1
1
k
1k 1(k 4)(k 1)112A =-=--+-,
i) 当0A ≠,即k 1≠-且k 4≠时,方程组有唯一解, 我们用克莱姆法则求之,
22123k 2k k 2k+42k x x x k+1k+1k+1
++-===，，。
ii) 当k=-1时,
方程组的增广矩阵11-1411141-11100051-12-40238A -???? ? ?
=- ? ? ? ?--????初等行变换,
r 23r A A ∴()=<=()
因此,方程组无解; iii) 当k=4时,
方程组的增广矩阵114410301411601141-12-40000A ???? ? ?
=- ? ? ? ?????
初等行变换，
r 2=r A A ∴()=(),可知方程组有无穷多解,于就是
13
23x 3x x x 4=-??
=-+?,令3x c =,则通解为3c x 4c c -?? ?=- ? ???,亦即03x 4c 101-????
? ?=+- ? ? ? ?
????
。 点评:本题属于含有参数变量的线性方程组问题,这类问题一直都就是本章的一个重要考察点,务必要好好把握。 8、设有两个4元齐次线性方程组
(I)??
?=-=+00
4221x x x x ;(II)???=+-=+-0
0432321x x x x x x
(1)求线性方程(I)的基础解系;
(2)试问方程组(I)与(II)就是否有非零的公共解？若有,则求出所有的非零公共解;
若没有,则说明理由。 解:(1)(I)的基础解系为
()T 0,1,0,01=ξ,()T 1,0,1,12-=ξ
(2)关于共公解有下列方法: 方法一
把(I)(II)联立起来直接求解,令
??
?
?
?
?
?
??--→
???????
??--→
??????? ??---=0000
2100
1010
10
01
00002100101
000
11111001111010001
1A
由134)(=-=-A R n ,基础解系为()T 1,2,1,1-,从而(I),(II)的全部公共解为
()T
k 1,2,1,1-,(k 为任意实数)
方法二 通过(I)与(II)各自的通解,寻找公共解。可求得(II)的基础解系为
()T 0,1,1,01=η,()T 1,0,1,12--=η
则2211ξξk k +,2211ηηL L +分别为(I),(II)的通解。 令其相等,即有
()()()T T T T L L k k 1,0,1,10,1,1,0)1,0,1,1(0,1,0,02121--+=-+
由此得
()()T T L L L L L k k k k 212122122,,,,,,--=-
比较得
221122L k L k ===
故公共解为
()()T T k k 1,0,1,10,1,0,0222-+
()T
k 1,2,1,12-=
方法三
把(I)的通解代入(II)中,在为其解时寻求1k ,2k 应满足的关系式而求出公共解。
由于()T k k k k k k 21222211,,,-=+ξξ,要就是(II)的解,应满足(II)的方程,故
??
?=+-=+--00
212
122k k k k k k 解出 212k k =,从而可求出公共解为 ()T k 1,2,1,12-。
评析:本题就是关于两个方程组解的讨论,其实考察的也就是关系线性方程组的解的结构问题,近几年的考研试题中也常有所涉及,所以还就是值得我们注意的。
组合典型例题解析 【例1】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. （1）10个人相互各写一封信，共写了多少封信？ （2）10个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？ （3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？ （4）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠亚军获得者有多少种可能？ （5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ （6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？ 解：（1）是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.排列数为A2 10 =90（种）. （2）是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序 的区别.组合数为C2 10 =45（种）. （3）是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别. 组合数为C2 10 =45（种）. （4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样 的，是有顺序区别的.排列数为A2 10 =90（种）. （5）是组合问题.因为三个代表之间没有顺序的区别.组合数为C3 10 =120（种）. （6）是排列问题.因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的.排列数为A310=720（种）. 点评：排列、组合是不同的两个事件，区分的办法是首先弄清楚事件是什么？区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. 【例2】写出从五个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合，并求出其组合数. 解：考虑画出如下树形图，按给出字母从左到右的顺序来考虑. a b b c c c d d d d d e e e 根据树形图，所有组合为abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde. 组合数为C3 5 =10（个）. 点评：排列的树形图与组合的树形图是有区别的.排列的树形图中其元素不能重复出现但可任意排列，而组合的树形图中其元素也不能重复出现，但元素出现的次序必须按照从左到右的顺序（如元素b后面不能出现a，元素c后面不能出现a、b等）来考虑，否则就会出现重复或遗漏.
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
第九章压强
11．证明大气压强存在的实验是马德堡半球实验。 12．大气压强产生的原因：空气受到重力作用,而且空气能流动,因此空气内部向各个方向都有压强,这个压强就叫大气压强. (1)大气压的测定 托里拆利实验测出了大气压的大小. 在托里拆利实验中,测量结果和玻璃管的粗细、形状、长度(足够长的玻璃管)无关;如果实验时玻璃管倾斜,则水银柱的长度变长,但水银柱的高度,即玻璃管内外水银面的高度差不变;这个高度是由当时的大气压的大小和水银的密度所共同决定的,通常情况下,为76厘米左右. 13．测定大气压的仪器是：气压计，常见的气压计有水银气压计和金属盒气压计两种. 水银气压计是根据托里拆利实验制成的,它在测量时,必须挂竖直,如果挂歪斜了,则测量结果将比实际值偏大.
金属盒气压计即无液气压计,如将其刻度盘上所标的大气压值折算成高度,则成了航空、登山用的高度计. 14.大气压的变化 (1)大气压随海拔高度的增加而减小,这主要是由于离地面越高的地方空气越稀薄,空气的密度越小. (2)大气压的变化和天气有关,一般说来,晴天的大气压比阴天的高,冬天的大气压比夏天的高大气压的特点 ⑴空气内部向各个方向都有压强，且空气中某点向各个方向的大气压强都相等。大气压随高度增加而减小，且大气压的值与地点、天气、季节、的变化有关。 ⑵大气压变化规律研究：在海拔3000米以内，每上升10米，大气压大约降低100Pa5．沸点与压强：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时升高。 15．沸点与气压关系：一切液体的沸点，都是气压减小时降低，气压增大时升高。高山上用普通锅煮饭煮不熟，是因为高山上的沸点低，所以要用高压锅煮饭，煮饭时高压锅内气压大，水的沸点高，饭容易煮好。 课堂例题讲解 例1．如下图所示，有五块完全相同的砖以三种形式摆放在水平地面上。(a)是两块迭放；(b)是单块砖平放；(c)是两块砖并排平放。它们对地面的压强分别为P a、P b、和P c，则（）
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
一次函数解析式典型题型 一. 定义型（一次函数即X 和Y 的次数为1） 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 281 30 -=-≠??? ∴=±≠?? ? m m 3 3 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型（已知斜率和经过的一点） 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） 。 ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 两点型（已知图像经过的两点） 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=???k b b ∴==??? k b 2 4 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为y=-2x+2。 y 2 O 1 x #
解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+??? k b b ∴=-=???k b 22 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型（已知斜率k 和截距b ） 两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又 直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 《 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小) 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 y=2x-1。 解析：设函数解析式为y kx b =+， 直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y kx b =+与直线y x =+21平行 ∴=k 2 直线y kx b =+在y 轴上的截距为b =-=-121，故图像解析式为y x =-21 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 Q=+20。 解：由题意得Q t =-2002.，即Q t =-+0220. Q t ≥∴≤0100， 故所求函数的解析式为Q t =-+0220.（0100≤≤t ） | 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 y=2x-4或y=-2x-4。
中考物理压强解题技巧及经典题型及练习题(含答案) 一、压强 1．下列与压强有关的事例的解释中正确的是 A．书包的背带较宽，是为了增大压强 B．用吸管喝饮料，利用了大气压强 C．拦河大坝修成上窄下宽，利用了连通器原理 D．起风时，常看见屋内的窗帘飘向窗外，这是因为窗外空气流速大，压强大 【答案】B 【解析】书包的背带较宽，是为了压力一定时，通过增大受力面积来减小压强，故A错误；当用吸管吸饮料时，首先是把吸管内的空气吸走，然后在外界大气压的作用下，饮料就被压进吸管里，所以，用吸管喝饮料是利用大气压强，故B正确；液体内部压强随着深度的增加而增大，所以水坝下部比上部建造的宽，是由于液体压强随着深度的增加而增大，故C错误；由于流体流速越大的位置压强越小，所以起风时，常看见屋内的窗帘飘向窗外，这是因为窗外空气流速大、压强小，故D错误，故选B。 2．在铁桶内放少量的水,用火加热,水沸腾之后把桶口堵住,然后浇上冷水,铁桶变扁,如图所示,关于铁桶变扁的原因,下列说法正确的是（） A．冷水的压力使铁桶变扁 B．大气压使铁桶变扁 C．铁桶内空气膨胀使铁桶变扁 D．铁桶变扁与压力无关 【答案】B 【解析】 试题分析：在铁桶内放少量的水，用火加热，水吸热汽化，液态水变为气态水蒸气，水蒸气将铁桶中的空气派出到铁桶外。水沸腾之后把桶口堵住，然后浇上冷水，水蒸气遇冷放热，发生液化现象，铁桶内的气压降低，而铁通外是大气压保持不变，铁通外的大气压大于铁桶内的大气压，所以铁桶变扁，故选B。 【考点定位】大气压强 3．如图所示，放在水平地面上的均匀正方体甲、乙对地面的压力相等，若在两物体上部沿水平方向切去一定的厚度，使剩余部分的高度相等，则剩余部分对地面的压力F甲'和F乙'、压强p甲'和p乙'的关系是（）
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
典型例题分析解答 一、填空题 1网络层/Network是OSI参考模型中的第三层介于运输/TmsPOEt/T层和数据链路层之间。 1.【解析】网络层在OSI参考模型中位于第三层,它的主要功能是实现两个端系统之间的数据透明传送,具体功能包括路由选择、阻塞控制和网际互连等。 【答案】网络层/Network、运输/TmsPOEt/T 2.在虚电路操作方式中,为了进行数据传输,网络的源节点和目的节点之间要建立一条逻辑电路,称之为____。 2.【解析】虚电路不是专用的,每个节点到其它任一节点之间可能有若干条虚电路支持特定的两个端系统之间的数据传输,两个端系统之间也可以有多条虚电路为不同的进程服务,这些虚电路的实际路径可能相 同也可能不同。 【答案】虚电路 3.虚电路服务是OSI____层向运输层提供的一种可靠的数据传送服务,它确保所有分组按发送____到达目的地端系统。 3.【解析】在分组交换方式中,通信子网有虚电路和数据报两种操作方式,提供虚电路和数据报两种服务。虚电路操作方式中,为了进行数据传输,网络的源节点和目的节点之间要建立一条逻辑通路,称之为虚电路。虚电路服务是网络层向运输层提供的一种使所有分组按顺序到达目的端系统的可靠的数据传送方式。【答案】网络、顺序 4.在数据报服务方式中,网络节点要为每个____选择路由,在____服务方式中,网络节点只在连接建立时选择路由。 4.【解析】在数据报操作方式中,每个分组被称为一个数据报,每个数据报自身携带地址信息,若干个数据报构成一次要传送的报文或数据块.数据报服务是指端系统的网络层同网络节点中的网络层之间,一致地 按照数据报操作方式交换数据。 虚电路服务是面向连接的服务,数据报服务是无连接的服务。 【答案】分组/数据报、虚电路
压强 (1)压力方向:与受力物体的支承面相垂直.由于受力物体的受力支承面可能是水平面,也可能是竖直面,还可能是角度不同的倾斜面,因此,压力的方向没有固定的指向,它可能指向任何方面,但始终和受力物体的受力面相垂直. (2)单位:如重力、摩擦力等其他力的国际单位一样,是牛顿. (3)压力作用效果:压力的作用效果与压力的大小和受力面积大小有关. 当受力面积一定时,压力越大,则压力的作用效果越显著;当压力一定时,受力面积越小,压力的作用效果越显著. 2．压强：物体单位面积上受到的压力叫压强。它是表示压力作用效果的物理量。 3．压强公式：P=F/s，式中p单位是：帕斯卡，1帕=1 N/m2，表示是物理意义是1m2的面积上受到的压力为1N。 4. F= Ps； 5．增大压强方法：(1)S不变，F 增大；(2)F不变，S 减小；(3)同时把F↑，S↓。而减小压强方法则相反。例如：在生产和生活中,如果要减小压强,可减小压力或增大受力面积;如果要增大压强,则可以增大压力或减小受力面积,但从实际出发,压力大小往往是不可改变的,则减小压强应增大受力面积,增大压强应采用减小受力面积的方法 6．应用：菜刀用久了要磨一磨是为了增大压强，书包的背带要用而宽是为了减小压强铁路的钢轨不是直接铺在路基上而是铺在在枕木上是为了减小压强，钢丝钳的钳口有螺纹是为了增大摩擦。 7．液体压强产生的原因：是由于液体受到重力作用，而且液体具有流动性,所以液体对容器底和容器侧壁有压强,液体部向各个方向都有压强。 8．液体压强特点： (1)液体对容器底部和侧壁都有压强； (2)液体部向各个方向都有压强； (3)液体的压强随深度增加而增加，在同一深度，液体向各个方向的压强相等；
《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析 第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。 矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。 是同阶方阵，则有： 若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。
⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。 若为阶方阵，则下列结论等价 可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。 用初等行变换法求逆矩阵： 用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵） 可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。 将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。 典型例题解析 例1 设均为3阶矩阵，且，则。 解：答案：72 因为，且
所以 例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。 解：答案：A 因为，所以A可进行。 关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。 关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。 例3 已知 求。 分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。 解：因为 得。
例4 设矩阵 求。 解：方法一：伴随矩阵法 可逆。 且由 得伴随矩阵 则=
方法二：初等行变换法 注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。 例4 设矩阵 求的秩。 分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。 解： 。
典型例题-G-方差分析-2 某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法每小时生产的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。通过对每个工人生产的产品数进行方差分析，得到如下表所示的结果。 每个工人生产产品数量的方差分析表 (2)若显著性水平为α=0.05，检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异。 解： (1)完成方差分析表，以表格中所标的①、②、③、④、⑤、⑥为顺序，来完成表格，具体步骤如下： ①求k -1 根据题目中“该企业准备用三种方法组装一种新的产品”可知，因素水平(总体)的个数k =3，所以第一自由度df 1=k -1=3-1=2，即SSA 的自由度。 ②求n -k 由“随机抽取了30名工人”可知，全部观测值的个数n =30，因此可以推出第二自由度df 2=n -k =30-3=27，即SSE 的自由度。 ③求组间平方和SSA 已知第一自由度df 1=k -1=3-1=2，MSA =210 根据公式 1-= = k SSA MSA 自由度组间平方和 所以，SSA =MSA ×(k -1)=210×2=420 ④求总误差平方和SST 由上面③中可以知道SSA =420；此外从表格中可以知道：组内平方和SSE =3836，根据公式SST =SSA +SSE 可以得出SST =420+3836=4256，即总误差平方和SST=4256 ⑤求SSE 的均方MSE 已知组内平方和SSE =3836，SSE 的自由度n -k =30-3=27 根据公式 0741 .142273836 ==-== k n SSE MSE 自由度组内平方和 所以组内均方MSE =142.0741 ⑥求检验统计量F 已知MSA =210，MSE =142.0741 根据 4781.10741.142210 === MSE MSA F 所以F=1.4781
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
高中数学典型例题解析---- 数列 §等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝ 2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系： ???≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2), 则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、
压强典型例题解析 1.一块砖，平放、侧放、立放在水平地面上，关于砖对地面的压力和压强的说法中正确的是（） A．平放时压力最大，压强最小 B．侧放时压力最小，压强最大 C．立放时压力最大，压强也最大 D．三种放法压力一样大，立放压强最大 解析:当压力一定时（均为砖重G），则接触面积最 小时（砖立放的情况），压强为最大．故正确答案为 D． 注意:砖被放在水平面上，所以砖对水平地面的压力 由重力产生，而砖的重力不因其放法的不同改变， 所以砖对地面的压力不变，而对地面的压强，在压 力一定的情况下与受力面积有关，立放时的接触面 积比平放、侧放都小，所以立放压强最大． 2.如图1—4—2所示，烧瓶中的水停止沸腾后，若从 烧瓶中往外抽气，会看到水又沸腾起来，这是由于 （） A．气压升高，水温升高 B．气压降低，水温升高 C．气压降低，水的沸点降低 D．气压升高，水的沸点降低 讲解:根据水的沸点与气压的关系，正确答案为C． 注意:本题目只要搞清楚，从密闭烧瓶中往外抽气时 可使瓶内气压降低，而沸点的高低与大气压有关， 如果气压降低，沸点就降低，所以停止沸腾的水又 重新沸腾． 3.已知图钉帽的面积是1厘米2，图钉尖的面积是5 ×10－4厘米2，手指对图钉帽的压力是20牛，那么 图钉尖对墙的压强p2是手对图钉帽的压强p1的 ________倍． 讲解由于p1＝1S F＝2 1 20 厘米 牛 p2＝1S F ＝2 4 10 5 20 厘米 牛 - ? 所以p1∶p2＝2 4 10 5 20 厘米 牛 - ?∶2 1 20 厘米 牛 ＝ 2000∶1 即p2＝2000 p1 填2000 注意该题说明两个问题：①图钉尖面积特别 小，加在钉帽上一个较小的压力，就可以得到一个 很大的压强；②固体可以大小不变地传递压力，而 不一定能大小不变地传递压强，压强与受力面积有 关． 例4 一个棱长为0.2米，重为200牛顿的正方 体物块，放在1米2的正方形水平桌面上，该正方体 物块对桌面的压强是________帕． 讲解物块对桌面的压强p＝1S F ＝物 S G 所以p＝2 2.0 2.0 200 米 牛 ?＝5×103帕 注意本题主要考查了对压强的定义式的理 解．物块放在水平桌面上，压力由重力产生，受力 面积为接触面积，即物块的底面积，不能由桌面面 积决定．
典型例题解析 例1 下列说法中正确的是 （ ） A ．物体浸没在水中越深，受的浮力越大 B ．密度较大的物体在水中受的浮力大 C ．重的物体受的浮力小 D ．同体积的铁块和木块浸没在水中受的浮力一样大 精析 阿基米德原理的数学表达式为：F 浮＝ρ液gV 排，公式表明了物体受到的浮力大小只跟液体的密度．．．．．和物体排开液体的体积．．．．．．．有关．根据公式分析题目叙述的内容，问题就可以迎刃而解了． 解 A 选项：物体浸没在水中，无论深度如何，V 排不变，水的密度不变，F 浮不变．A 选项不正确． B 选项：物体所受的浮力与物体密度的大小没有直接的关系，B 选项不正确． C 选项：重力的大小对物体所受的浮力无影响．例如：大铁块比小铁块要重一些，但将两者浸没于水中，大铁块受的浮力反而大些，因为大铁块的V 排大．C 选项不正确． D 选项：同体积的铁块和木块，浸没于水中，V 排相同，ρ水相同，F 浮铁＝F 浮木，铁块和木块受的浮力一样大． 答案 D 注意：物体所受的浮力跟物体自身的重力、自身的密度、自身的形状无关． 例2 质量为79g 的铁块，密度是7.9g/cm 3 ，这个铁块的质量是多少?重多少?将这个铁块浸没于水中，排开水的质量是多少?所受浮力是多少?（g 取10N/kg ）
精析 这道题考查学生对计算物体重力和计算浮力的公式的区别． 计算物体重力：G ＝ρ物gV 物 计算物体在液体中受的浮力：F 浮＝ρ液gV 排．可以说：从计算的方法上没有本质的区别，但计算的结果却完全不同． 已知：m ＝79g ＝0.079kg ρ铁＝7.9g/cm 3 求：m 铁、G 铁、m 排、F 浮 解 m 铁＝0.079kg G 铁＝m 铁g ＝0.079kg ×10N/kg ＝0.79N V 排＝V 铁＝ 铁 铁 ρm ＝ 3 7.8g/cm 79g ＝10 cm 3 m 排＝ρ液gV 排＝1g/cm 3 ×10 cm 3 ＝10g=0.01kg F 浮＝m 浮g —0.01kg ×10N/kg ＝0.1N 从上面的计算看出，铁块的重力和铁块浸没在水中受的浮力大小完全不同，但计算方法委相似，关键 是区别ρ液和ρ物，区别V 排和V 物，在理解的基础上进行计算，而不是死记硬背，乱套公式． 例3 （广州市中考试题）用弹簧测力计拉住一个重为43N 的空心铜球，全部浸在水中时，弹簧测力计的示数为33.25N ，此铜球的空心部分的体积是________m 3 ．（已知铜的密度为8.9×103 kg/m 3 ） 已知：G ＝43N ，浸没水中F ＝33.2N 求：V 空 解 可在求得浮力的基础上，得到整个球的体积，进一步求出实心部分体积，最后得到结果． F 浮＝ G —F ＝43N —33.2N ＝9.8N
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算
1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算22 1 12312231315 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ? 3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A
4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ???? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+ 2.设00021000531 23004580034600A ?? ??? ? ??=?? ?????? ，求1.A - 二、讨论抽象矩阵的可逆性 1.设n 阶矩阵A 满足关系式320A A A E +--=,证明A 可逆，并求1.A -