八年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（3×10=30分）
1．在式子中，分式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各式一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．若2＜a＜3，则等于（）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
4．若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x=2
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A． B． C．D．
6．能使等式成立的x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
7．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）
A．2 B．C． D．4
8．若分式无意义，则X的值是（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
9．把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
10．已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（）
A．13 B．C．13或D．不能确定
二、填空题（3×10=30分）
11．分式，，的最简公分母为．
12．用科学记数法表示﹣0.0000064=．
13．约分：=．
14．计算：（a﹣1b2）3=．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，则S△ABC=．
16．计算：=．
17．若=2﹣x，则x的取值范围是．
18．若|a﹣b+1|与互为相反数，则（a﹣b）2005=．
19．当x时，是二次根式．
20．要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为．
三、解答题（满分24分）
21．（1）
（2）
（3）
（4）5+﹣7
（5）+6a﹣3a2
（6）+=3．
四、解答题（共3小题，满分18分）
26．若关于x的方程=3+有增根，则m的值为多少？
27．已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
28．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E 站应建在离A站多少km处？
五、解答题（共2小题，满分18分）
29．甲和乙共同完成某项任务，乙先独做2天，再由两人合做10天完成任务．已知乙单独完成该任务所需天数，是甲单独完成该任务所需天数的，求甲、乙两人单独完成各需要几天．
30．阅读下面问题：
；
；
．
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）计算：．
八年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3×10=30分）
1．在式子中，分式的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，9x+分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．下列各式一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据二次根式的概念和性质，逐一判断．
【解答】解：A、二次根式无意义，故A错误；
B、是三次根式，故B错误；
C、被开方数是正数，故C正确；
D、当b=0或a、b异号时，根式无意义，故D错误．
故选：C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
3．若2＜a＜3，则等于（）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】先根据2＜a＜3给二次根式开方，得到a﹣2﹣（3﹣a），再计算结果就容易了．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴=a﹣2﹣（3﹣a）=a﹣2﹣3+a=2a﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
4．若二次根式有意义，则x的取值范围为（）
A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x=2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解不等式可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A． B． C．D．
【考点】最简二次根式．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：因为：B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
6．能使等式成立的x的取值范围是（）
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
【考点】二次根式的乘除法；二次根式有意义的条件．
【分析】本题需注意的是，被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围．
【解答】解：由题意可得，，解之得x＞2．
故本题选C．
【点评】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
7．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）
A．2 B．C． D．4
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：设正方形的对角线为x，
∵正方形的面积是4，
∴边长的平方为4，
∴由勾股定理得，x==2．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．
8．若分式无意义，则X的值是（）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【考点】分式有意义的条件；绝对值．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：当分母|x|﹣1=0，即x=±1时，分式无意义．
故选D．
【点评】考查了分式有意义的条件和绝对值．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
9．把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解；把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值缩小2倍，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
10．已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（）
A．13 B．C．13或D．不能确定
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：当12是斜边时，第三边长==；
当12是直角边时，第三边长==13；
故第三边的长为：或13．
故选C．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
二、填空题（3×10=30分）
11．分式，，的最简公分母为（a+b）（a﹣b）．
【考点】最简公分母．
【专题】计算题．
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【解答】解：分式，，的最简公分母为（a+b）（a﹣b）．
故答案为（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
12．用科学记数法表示﹣0.0000064=﹣6.4×10﹣6．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：﹣0.000 006 4=﹣6.4×10﹣6．
故答案是：﹣6.4×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．约分：=﹣．
【考点】约分．
【专题】计算题．
【分析】先把分母因式分解，然后分子分母约去公因式（x﹣3）即可．
【解答】解：原式==﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
14．计算：（a﹣1b2）3=a﹣3b6．
【考点】负整数指数幂．
【分析】分别根据乘方，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=a﹣3b6=．
【点评】本题主要考查了乘方，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，则S△ABC=24．
【考点】勾股定理．
【分析】设a=3x，则b=4x．由勾股定理和已知条件得出c=5x=10，得出x=2，求出a、b，由三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：设a=3x，则b=4x，
∵∠C=90°，
∴c==5x=10，
∴x=2，
∴a=6，b=8，
∴S△ABC=ab=×6×8=24；
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出a和b 是解决问题的关键．
16．计算：=．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：=2﹣=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
17．若=2﹣x，则x的取值范围是x≤2．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵=2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，=﹣a．
18．若|a﹣b+1|与互为相反数，则（a﹣b）2005=﹣1．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出所求式子的值．
【解答】解：根据题意得：|a﹣b+1|+=0，
∴，
解得：，
则（a﹣b）2005=（﹣1）2005=﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解本题的关键．
19．当x是任意实数时，是二次根式．
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：根据题意，（1﹣x）2≥0，
解得x是任意实数．
故答案为：是任意实数．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用被开方数是非负数列式求解即可，比较简单．
20．要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为12m．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：∵电线杆、地面及缆绳正好构成直角三角形，AC=5m，BC=13m，
∴AB===12（m）．
故答案为：12m．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，有利于培养学生理论联系实际的能力．
三、解答题（满分24分）
21．（1）
（2）
（3）
（4）5+﹣7
（5）+6a﹣3a2
（6）+=3．
【考点】分式的混合运算；二次根式的混合运算；解分式方程．
【专题】计算题；分式．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（3）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（4）原式化简后，合并同类二次根式即可得到结果；
（5）原式化简后，合并同类二次根式即可得到结果；
（6）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=﹣=；
（2）原式=1﹣?=1﹣==﹣；
（3）原式=﹣?=﹣；
（4）原式=5+2﹣21=﹣14；
（5）原式=+a﹣3a=（1﹣2a）；
（6）去分母得：3﹣2=6x﹣6，
移项合并得：6x=7，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了分式的混合运算，二次根式的混合运算，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（共3小题，满分18分）
26．若关于x的方程=3+有增根，则m的值为多少？
【考点】分式方程的增根．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣5=0，得到x=4，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣4），
得2=3（x﹣4）﹣m
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣4）=0，
解得x=4，
当x=4时，m=﹣2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
27．已知x=+3，y=﹣3，求下列各式的值：
（1）x2﹣2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】（1）先计算出x﹣y=6，再利用完全平方公式得到x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出x+y=2，x﹣y=6，再利用平方差公式得到x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵x=+3，y=﹣3，
∴x﹣y=6，
∴x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2=62=36；
（2）∵x=+3，y=﹣3，
∴x+y=2，x﹣y=6，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2×6=12．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
28．如图，铁路上A，B两点相距23km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=8km．现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E 站应建在离A站多少km处？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据使得C，D两村到E站的距离相等，则DE=CE，再利用勾股定理得出AE的长．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB﹣AE=（23﹣x），
∵DA=15km，CB=8km，
∴x2+152=（23﹣x）2+82，
解得：x=8，
∴AE=8km．
答：E站应建在离A站8km处．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，利用AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2得出是解决问题的关键．
五、解答题（共2小题，满分18分）
29．甲和乙共同完成某项任务，乙先独做2天，再由两人合做10天完成任务．已知乙单独完成该任务所需天数，是甲单独完成该任务所需天数的，求甲、乙两人单独完成各需要几天．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设甲单独完成需要5x天，乙单独完成需要4x天，根据题意可得，这项任务甲做10天，乙做12天可共同完成，据此列方程求解．
【解答】解：设甲单独完成需要5x天，乙单独完成需要4x天，
由题意得，+=1，
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意，
则5x=25，4x=20．
答：甲单独完成需要25天，乙单独完成需要20天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
30．阅读下面问题：
；
；
．
试求：（1）的值；
（2）（n为正整数）的值．
（3）计算：．
【考点】分母有理化．
【专题】阅读型．
【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算；
（3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律．
【解答】解：（1）=
=
=﹣；
（2）=
=
=﹣；
（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=﹣1=10﹣1=9．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．