附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数） ，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
一、填空 1.=)2(L 2.=+)1(t L 3.=--)3 1(1p L 4.=)2(t L 5.=+-)4 1(1p L 6、=+-)531(1p L 7、拉氏变换是将给定的函数通过 转换成一个新的函数，它是一种积分变换. 二、选择 1.若2()t f t te -=，则=))((t f L （ ） A 、2 12)p +（ B 、21(p-2) C 、1p-2 D 、1p 2+ 2.拉普拉斯变换的定义是（ ） A. 0 ()()pt F p f t e dt +∞=? B. 0()()pt F p f t e dt +∞-=? C. 0()()pt F p f t e dt --∞=? D. 0()()pt F p f t e dt --∞ =? 3.拉普拉斯变换?+∞ -=0)()(dt e t f p F pt 中的)(t f 的自变量的范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、[)+∞,0 C 、),(+∞-∞ D 、)0,(-∞ 4.若3()t f t te -=，则=))((t f L （ ） A 、213)p +（ B 、21(p-3) C 、1p-3 D 、1p 3 + 5.若t e t t f 3)4(sin )(-=，则=))((t f L （ ） A 、164 2+p B 、16)3(42++p C 、16)3(42+-p D 、16 )3(2++p p 6.若t e t t f 3)4(cos )(-=，则=))((t f L （ ） A 、162+p p B 、16)3(2++p p C 、16)3(32+--p p D 、16 )3(32+++p p
1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ §1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质 一、选择题 1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ] （A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1 s e s -+ 11[(1)][()];1[(1)](1)s s t s u t e u t se e u t s e --+??-== ? ? ?-= ?+?? 由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L 2．设2sinh ()t f t t = ，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1 2ln 1 s s +- 见课本P84 二、填空题 1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L 。 22''222321[(2)][()];1442[(1)]s s s s u t e u t se s s t u t se s e -??-== ? ?++ ???-== ? ????? 由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L 。 (1)00'' 231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---??===> ?- ? ???== ? ?--??? ???再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题 1．求下列函数的Laplace 变换： （1）302()12404t f t t t ≤
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域
若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移
六．拉普拉斯变换 ㈠选择 ㈡填空 1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________. 5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________ 6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________. 7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________. 9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________. 10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。 11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________. 13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________. 14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________. 15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________. 16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________. 17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________. 18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________. 19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________. 20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.
拉普拉斯逆变换 对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F(s)的拉普拉斯逆变换为 ????? ><=?∞ +∞-j 0 )(2 10,0)(σσj st t ds e s F j t t f ，π (8.3-1) 上述积分应在收敛域内进行，若选常数0σσ>[0σ为)(s F 的收敛坐标]，则积分路线是横坐标为σ，平行于与纵坐标轴的直线。实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。若F(s)是s 的有理分式，可将F(s)展开为部分分式，然后求得其原函数。若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。 如果象函数F(s)是s 的有理分式，它可写为 11 10 111F(s)a s a s a s b s b s b s b n n n m m m m ++++++++=---- （8.3-2） 式中各系数),,1,0(),,,1,0(a i m j b n i j ==均为实数，为简便且不失一般性，设1=n a 。若n m ≥，可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式)(s P 与有理真分式之和，即 ) () ()()(s A s B s P s F += （8.3-3） 式中)(s B 的幂次小于)(s A 的幂次。例如 6 1163 32261161531258)(23223234+++++++=+++++++=s s s s s s s s s s s s s s F
由于)(]1[1t δ=-￡，)(]['1t s δ=-￡，…，故上面多项式)(s P 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。 一、查表法 附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。 例8.3-1 求2 35 2)(2+++= s s s s F 得原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为2,121-=-=s s ，故)(s F 可写为 ) 2)(1(5 22352)(2+++=+++= s s s s s s s F 由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例)(s F 相同，其中 2,1,5,201====βαb b 。将以上数据代入到相应的原函数表示式，得 0,3)(2≥-=--t e e t f t t 或写为 )()3()(2t e e t f t t ε---= 例8.3-2 求10 23 3)(2 +++= s s s s F 的原函数)(t f 。 解 )(s F 分母多项式0)(=s A 的根为312,1j s ±-=，故)(s A 可写为 2223)1(102)(++=++=s s s s A 于是)(s F 可写为 2 223 )1() 1(310233)(+++=+++= s s s s s s F 查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得
拉普拉斯变换公式总结..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域
若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户
1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s
（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
419 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 [()]()L af t aF s = 叠加性 1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→=
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
《Laplace 变换》习题课 一、 基本要求 1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理； 2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质； 3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法； 4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积； 5. 掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法 二、 内容提要 1. Laplace 变换及其逆变换的定义； 0()()st F s f t e dt +∞ -=?； )]([)(1s F L t f -== 1()2i st i F s e ds i ββπ+∞-∞?（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质； 线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理： 若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==n k k st s e s F s t f 1 ],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。 有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s = 分两种情形考虑： 4. 卷积的定义与卷积定理； )(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：?-=*t d t f f t f t f 02121)()()()(τττ 卷积定理： 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =? 或 =*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -?
拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程
为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。 16 二、判断题（正确打√，错误打?） 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数，则a a = （ ） 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 （ ） 6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ?=。 （ ） 7、1212z z z z +=+ （ ） 8、参数方程2 z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ） A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ） A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= （ ） A 中心为23i -的圆周
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式
11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []? ?????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) 原函数)(t f 为 （F-6）
1.求下列函数的拉式变换。 (1) si nt 2 cost (2) e t sin 2t (3) 1 cos t e (4) 2 t 3e 7t (5) 2 cos t (6) t e cos t (7) sin t t 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 (1) ft e 七 2 u t (2) f t sin 2t u t 1 (3) f t t 1 u u 1 u t 2 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 (5) (7) s e 4s s 2 1(6) A s 2 K 2 (1) 1 SS 2 5 (2) 3s s 4 s 2 (3) 1 s 2 1 (4) 1 RCs s 1 RCs
（9） ln - s 9 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 s 6 s 2 s 5 s 3 s 1 2 s 2 5. 如图1所示电路，t 0以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；t 0时，开关打开，求 v r t 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，t 0以前开关位于“1”，电路以进入稳定状态，t 0时开关从“T 倒向“ 2 ，求电流i t 的表示式。 7. 电路如图3所示，t 0以前电路原件无储能，t 0时开关闭合，求电压 V 2 t 的表示 式和波形。 8. 激励信号et 波形如图|4 a 所示电路如图|4 b 所示，起始时刻L 中无储能，求V 2 t 得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中 KV 2 t 是受控源，试求 （1） 系统函数H S — V 1 s （2） 若K 2，求冲激响应。 10. 将连续信号 ft 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 f s t ft T t , T t t nT ，求： n 0 （1） 抽样信号的拉氏变换 L f s t ； （2） 若 ft e t u t ，求 L f s t 。 11. 在图6所示网络中，L 2H,C 0.1F, R 10 。 （1） 写出电压转移函数 H s V2 s ； E s （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 (1) (2)