2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.4
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知集合1=1,22A ?????
?，，集合{}
2
=|,B y y x x A =∈，则A B = ．
2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+?z z z ．
3．已知直线l 的一个法向量是()
1,3n =-，则此直线的倾斜角的大小为 ．
4．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650
800
==
k ．若从16~1中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为48~33的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ． 5．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3,2,3
a c A π
===
，则ABC ?的面积为 ．
6．设函数)12(log )(2+=x
x f ，则不等式)(2x f 12(log 5)f -≤的解为 ．
7．直线y x =与曲线3cos :4sin x C y θ
θ=??=?
(θ为参数，2πθπ≤≤)的交点坐标是 ．
8．甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7，且射击结果相互独立，则甲、乙
至多一人击中目标的概率为 ． 9．矩阵1211222232332
1
23
i n i n i n n ni
nn a a a a a a a a a n a a a ?? ? ?
? ? ? ??
?
中每一行都构成公比为2的等比数列，
第i 列各元素之和为i S ，则2lim
2n
n
n S n →∞=? ．
10．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,
则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为 ．
11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为a ，二项式4
2
mx x ?+ ??的展
开式中3
x 项的系数为
2
a
，则常数m = ． 12．设)(x f 是定义域为R 的奇函数，)(x g 是定义域为R 的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则函数)()(x g x f -的值域为 ．
13．ABC ?所在平面上一点P 满足()
0,PA PC mAB m m +=>为常数，若ABP ?的面积
为6，则ABC ?的面积为 ．
14．对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于
C
B
A
C 1
B 1A 1
点0P 的“确界角”．曲线?????<--≥+=)
0(12)
0(1:2
2x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．下列不等式中，与不等式
3
02x x
-≥-同解的是（ ） （A ）()()320x x --≥ （B ）()()320x x -->
（C ）
203x x -≥- （D ）30
2
x
x -≥- 16．设M N 、为两个随机事件，如果M N 、为互斥事件，那么（ ） （A ）M N ?是必然事件 （B ）M N ?是必然事件 （C ）M 与N 一定为互斥事件 （D ）M 与N 一定不为互斥事件 17．在极坐标系中，与曲线1cos +=θρ关于直线6
π
θ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是（ ）
（A ）1)3
sin(++=θπ
ρ （B ）1)3
sin(
+-=θπ
ρ
（C ）1)6
sin(
++=θπ
ρ （D ）1)6
sin(
+-=θπ
ρ
18．已知函数2
()sin f x x x =?，各项均不相等的数列{}n x 满足2
i x π
≤
(1,2,3,,)i n =．令
[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =++
+?++
∈．给出下列三个命题：
(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；
(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12n
n x n N ??=-∈ ???
，则(2)0F k >对*
k N ∈恒成立；
(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*
n N ∈恒成立．
其中真命题的序号是（ ）
（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3)
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt AOB ?中，6
OAB π
∠=
，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB
?以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2
BOC π
∠=
．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
一个随机变量ξ的概率分布律如下：
其中,,A B C 为锐角三角形．．．．．ABC 的三个角．
（1）求A 的值；
（2）若1cos x B =，2sin x C =，求数学期望E ξ的取值围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形
PQRS ，部是一段抛物线和一根横梁．抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点
O ，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的
焊接点,A B ，抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D ．已知梯形的高是40厘
米，C D 、两点间的距离为40厘米．
（1）求横梁AB 的长度;
（2）求梯形外框的用料长度． （注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米．）
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数11()2f x x x ??=
+ ???，11()2g x x x ??
=- ???
． （1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点；
（2）若直线()
:0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与()g x 的图像交于不同
的两点C D 、，求证：AC BD =； （3）求函数()()()22*
()n
n
F x f x g x n N =-∈??????
??
的最小值．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
对于一组向量n a a a a ,,,,321 (*
n N
∈)，令n n a a a a S ++++= 321，如果存在
S R
P
Q
D
C B
A
O
p a ({}1,2,3,p n ∈)，使得||||p n p a S a -≥，那么称p a 是该向量组的“h 向量”． （1）设),(n x n a n +=(*
n N ∈)，若3a 是向量组321,,a a a 的“h 向量”，
数x 的取值围； （2）若))1(,)
3
1
((1
n n n a -=-(*N n ∈)，向量组n a a a a ,,,,321 是否存在“h 向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知123a a a 、、均是向量组321,,a a a 的“h 向量”
，其中)cos ,(sin 1x x a =， )sin 2,cos 2(2x x a =．
设在平面直角坐标系中有一点列n Q Q Q Q ,,,,321 满足：1Q 为坐标原点，2Q 为3a 的位置向量的终点，且12+k Q 与k Q 2关于点1Q 对称，22+k Q 与12+k Q (*
N k ∈)关于点2Q 对称，求
||20142013Q Q 的最小值．
理科参考答案
一、填空题：（每题4分）
1. {}1
2. 62i -
3.
6
π
4. 39
5. 2
6. 0x ≤
7. 1212,5
5??
-- ??? 8. 0.58 9. 14
10. 4
π 11. 14 12. (]3,1-- 13. 12 14. 512π
二、选择题：（每题5分）
15. D 16. A 17. C 18. D
三、解答题 19、解：（1）在Rt AOB ?中，2OB =，即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’
故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’ （2）解法一：如图建立空间直角坐标系．
则(0,0,
23),(2,0,0),A C D
(0,0,23),(AO CD ∴=-=- (8)
’
设AO 与CD 所成角为θ 则cos 42
AO CD AO CD
θ?=
=
=-?………………..10’
∴异面直线AO 与CD 所成角为arc cos
4
………………..12’ 解法二：过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM
则CDM ∠为异面直线AO
与CD 所成角………………..8’
AO OBC
⊥
平面 DM OBC ∴⊥平面DM MC ∴⊥ 在Rt AOB ?中，
AO =DM ∴=
D 是AB 的中点 M ∴
是OB 的中点 1OM ∴
=CM ∴=
在Rt CDM ?
中，tan
CDM ∠=
=
..10’ CDM ∴∠=AO 与CD 所成角的大小为……………….12’
20、解：（1）由题()cos2sin 1A B C ++=，………………..2’
则2
12sin sin 1A A -+=()1
sin sin 02
A A ?=
=舍………………..4’ 又A 为锐角，得6
A π
=………………..6’
（2）由6
A π
=
得56B C π+=
，则()1cos 2=sin 2A B C +=，即()()121
2
P x P x ξξ====…………..8’
y
11
cos sin 22E B C ξ?=+………………..9’
151
3cos sin sin 262
44C C C C π??=-+=- ???
sin 26C π??
=
- ??
?， ………………..11’ 由ABC ?为锐角三角形，得0,2,,3266350,62C C C B C ππππππππ???
∈ ??
?????
???∈?-∈?
? ???????
?=-∈ ?????
则1sin 62C π??
?-∈ ? ????，
得34E ξ?∈????
………………..14’
21、解：（1）如图，以O 为原点，梯形的上底所在直线为x 轴，建立直角坐标系 设梯形下底与y 轴交于点M ，抛物线的方程为：
()2
20x py p =<
由题意()20,40D -，得5p =-，
210x y =-……….3’
取20y x =-?=±
即(
)()
20,20A B ---
()28AB cm =≈
答：横梁AB 的长度约为28cm ………………..6’
（2）由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点
设(():200RQ l y k x k +=-<………………..7’
(
()
2220101002010y k x x kx x y ?+=-??+-+=?
=-??
则(
)
2
10040020k k ?=+=?=-
:20RQ l y =-+…………..10’
得(
)(),40Q R
-OQ MR RQ ?===
梯形周长为(
()2141cm =≈
答：制作梯形外框的用料长度约为141cm ………………..14’
y x
S R
P
Q
M D
C
B
A O