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k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征 在数学的概率领域中有一类数字特征叫矩.(X^k为X的k次方) 原点矩： 对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1. k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩. c=0时,称其为X的k阶原点矩； c=E[X]时,称为k阶中心矩. 原点矩顾名思义，是随机变量到原点的距离（这里假设原点即为零点）。中心矩则类似于方差，先要得出样本的期望即均值，然后计算出随机变量到样本均值的一种距离，与方差不同的是，这里所说的距离不再是平方就能构建出来的，而是k次方。这也就不难理解为什么原点矩和中心矩不是距离的“距”，而是矩阵的“矩”了。仅凭本人目前的所学，我认为通过随机试验得出的各种结果虽然都假定为实值单值函数，但它们完全有可能是空间分布，即不在一个平面上。那么这是的距离就类似于一个向量的模了，于是在空间的范围内也能比较出大小来了。我们都知道方差源于勾股定理，这就不难理解原点矩和中心矩了。还能联想到力学中的力矩也是“矩”，而不是“距”。力矩在物理学里是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向。力矩也是矢量，它等于力乘力臂。由此可见数学和物理关系非同一般！ 二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。(The moment of inertia.) 三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。 在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。 A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1） A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2) Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，---
第10讲 原点矩与中心矩 协方差与相关系数 教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。 教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。 教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。 教学学时：2学时 教学过程： 第三章 随机变量的数字特征 §3.3 原点矩与中心矩 随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。 定义1 设X 是随机变量，若),2,1)(( =k X E k 存在，则称它为X 的k 阶原点矩，记作)(X v k ，即 )()(k k X E X v =， ,2,1=k 显然，一阶原点矩就是数学期望，即)()(1X E X v =。 定义2 设随机变量X 的函数),2,1()]([ =-k X E X k 的数学期望存在，则称 })]({[k X E X E -为X 的k 阶中心矩，记作)(X k μ，即 })]({[)(k k X E X E X -=μ， ,2,1=k 易知，一阶中心矩恒等于零，即0)(1≡X μ；二阶中心矩就是方差，即 )()(2X D X =μ。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系： 2 122v v -=μ 3 1213323v v v v +-=μ
4 12121344364v v v v v v -+-=μ 等。 定义3 设X 和Y 是随机变量，若),2,1,)(( =l k Y X E l k 存在，则称它为X 和Y 的 l k +阶混合矩。若),2,1,}()]([)]({[ =--l k Y E Y X E X E l k 存在，则称它为X 和Y 的l k +阶混合中心矩。 §3.4 协方差与相关系数 1.协方差与相关系数的定义 二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。 定义 3 设有二维随机变量),(Y X ，如果)]()][([Y E Y X E X E --存在，则称 )]()][([Y E Y X E X E --为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即 =),cov(Y X )]()][([Y E Y X E X E -- 而 ) () (),cov(Y D X D Y X 称为随机变量X 与Y 的相关系数，记作),(Y X R ，即 ) () (),cov(),(Y D X D Y X Y X R =) ()() ,cov(Y X Y X σσ= 显然，协方差),cov(Y X 是X 和Y 的二阶混合中心矩。 当0),cov(=Y X ，通常称随机变量X 与Y 是不相关的。 2.协方差的性质 (1) =),cov(Y X ),cov(X Y ，)(),cov(X D X X = 由定义知性质（1）是显然的。 (2) =),cov(Y X )()()(Y E X E XY E - 证 =),cov(Y X )]()()()([Y E X E X YE Y XE XY E +-- )()()()()()()(Y E X E Y E X E Y E X E XY E +--= )()()(Y E X E XY E -=
矩与协方差矩阵的概念 §4.4 矩与协方差矩阵 数学期望和方差可以纳入到一个更一般的概念范畴之中，那就是随机变量的矩。 4.4.1 矩与协方差矩阵的概念 定义4.7 设X 和Y 为随机变量. 若)(k X E (1,2, )k =存在,称它为X 的k 阶原点矩,简称k 阶矩. 若{[()]}k E X E X -(1,2, )k =存在,称它为X 的k 阶中心矩. 若)(l k Y X E (,1,2,)k l =存在,称它为X 和Y 的l k +阶混合矩. 若})]([)]({[l k Y E Y X E X E --(,1,2,)k l =存在,称它为X 和Y 的l k +阶混合中 心矩. 注:①X 的数学期望)(X E 是X 的一阶原点矩. ②X 的方差)(X D 是X 的二阶中心矩. ③协方差Cov(,)X Y 是X 和Y 的二阶混合中心矩. 定义4.8 设二维随机变量),(21X X 的四个二阶中心矩都存在,记为 2111112112221221122222{[()]}, {[()][()]}, {[()][()]}, {[()]}, c E X E X c E X E X X E X c E X E X X E X c E X E X =-=--=--=- 称矩阵 ???? ??22211211c c c c 为),(21X X 的协方差矩阵. 类似地，可定义n 维随机变量),,,(21n X X X 的协方差矩阵. 若 ()Cov(,){[()][()]},1,2,,ij i j i i j j c X X E X E X X E X i j n ==--=都存在,则称矩阵 111212122212 n n n n nn c c c c c c c c c ?? ? ?= ? ??? C 为随机变量),,,(21n X X X 的协方差矩阵.
k阶原点距和k阶中心距各是说明什么数字特征原点矩： 对于正整数k,如果E|X^k|<无穷,称Vk＝E(X^k) 为随机变量X的k阶原点矩.X的数学期望是X的一阶原点矩,即E(x)=v1. k阶矩定义：设X为随机变量,c为常数,k为正整数,如果E[|X-c|^c]<无穷大,则称E[（X-c）^k]为X关于点c的k阶矩. c=0时,称其为X的k阶原点矩； c=E[X]时,称为k阶中心矩. 二阶中心距，也叫作方差，它告诉我们一个随机变量在它均值附近波动的大小，方差越大,波动性越大。方差也相当于机械运动中以重心为转轴的转动惯量。(The moment of inertia.) 三阶中心距告诉我们一个随机密度函数向左或向右偏斜的程度。 在均值不为零的情况下，原点距只有纯数学意义。 A1,一阶矩就是 E(X),即样本均值。具体说来就是A1=(西格玛Xi)/n ----（1） A2,二阶矩就是 E(X^2)即样本平方均值 ,具体说来就是 A2=(西格玛Xi^2)/n-----(2) Ak,K阶矩就是 E(X^k)即样本K次方的均值,具体说来就是 Ak=(西格玛Xi^k)/n，-----(3) 用样本的K阶矩代替总体的K阶矩来估计总体中未知参数的方法。 用已知样本的X的一阶矩和二阶矩来估计分布律，分布函数，概率函数或者数字特征中的某个未知参数a 的值，此即矩估计法。 大概步骤如下 1 根据分布律或者分布函数，概率函数，计算EX或者EX2,其中含有未知参数a 2 令样本的一阶矩A1等于EX（二阶矩A2等于EX^2) 3 由2得到 a的表达式子，此式子中含有A1(A2,...),而A1,A2表达式如上(1),(2)，（3）所示. 该含有 A1,A2,..Ak的表达式称为估计量，如果把样本具体值带入，即可得a的估计值。