应用概率统计综合作业
三
集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
《应用概率统计》综合作业三
一、填空题（每小题2分，共20分）
1．在天平上重复称量一重为a 的物品，测量结果为1X ，2X ，…，n X ，各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ，各次称量结果的算术平均值记为n X ，为使
95.0)1.0(≥<-a X P n ，则n 的值最小应取自然数 16 .
2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>a s P ，则a = 1 .
3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2Y 服从自由度为 （1，n ） 的
F 分布.
4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为57.52=S ，则样本均值X 小于的概率为 4/25 .
5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本，且σμ,未知，则概率
=???
?
??≤041.222σS P 1 .
6．设总体X 的密度函数为?
??<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α，1X ，2X ，…，
n X 是取自总体X 的随机样本，则参数α的极大似然估计值为
.
7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知而2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ，则需抽取的样本容量n 最少为 u=(x-u0)×sqrt(n)/σ . 8．设某种零件的直径（mm ）服从正态分布)，(2σμN ，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为075.12=X ，样本方差00244.02=S ，则均值μ的置信度为的置信区间为 ：（，+）=（，）． .
9．在假设检验中，若2σ未知，原假设00： μμ=H ，备择假设01： μμ>H 时，检验的
拒绝域为 .
10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：∑==25
1100i i X ，
∑==25
1
2000i i
Y
，∑==251
2510i i
X ，∑==25
1
9650i i i Y X ，则Y 对X 的线性回归方程为 y = ＋ .
二、选择题（每小题2分，共20分）
1．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本，X 为其样
本均值，令2
1
2
)(σ∑=-=
n
i i
X X
Y ，则Y ～（ D ）
（A ）)1(2
-n χ （B ）)(2
n χ （C ）),(σμN （D ）),
(2
n
N σμ
2．设1X ，2X ，…，n X 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 为样本均值，记（ ）
∑=--=n i i X X n S 1221
)(11，∑=-=n i i X X n S 1
22
2)(1， ∑=--=n i i X n S 1223
)(11μ，∑=-=n i i X n S 1
22
4)(1μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ B ） （A ）1
/1--=
n S X T μ （B ）1
/2--=
n S X T μ （C ）n
S X T /3μ-=
（D ）n
S X T /4μ-=
3．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本，若令
2432212)43()2(X X X X a Y -+-=，则当2Y 服从2χ分布时，必有（ D ）
（A ）91=
a ；1441=
b （B ）1441=a ；9
1=b
（C ）1001=
a ；201=
b （D ）20
1=a ；1001=b
4．设简单随机样本1X ，2X ，…，n X 来自于正态总体),(~2σμN X ，则样本的二阶原
点矩∑==n i i X n A 1
2
21的数学期望为（ D ）
（A ）241σ （B ）22
1
σ （C ）2σ （D ）22σ
5．设随机变量X 服从自由度为（n ，n ）的F 分布，已知α满足条件
05.0)(=>αX P ，则)1
(α
>
X P 的值为（C ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
6．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，n X 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，则μ的)%1(100α-的置信区间（A ） （A ）（n S z X 2
α
-，n S z X 2α+） （B ）（n S n t X )1(2--α，n S
n t X )1(2
-+α） （C ）（n
z X σ
α
2
-，n
z X σ
α
2
+） （D ）（n S n t X )
(2
α-，n S
n t X )(2
α+） 7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知，2σ未知，1X ，2X ，…，n X 是简
单随机样本，记∑==n
i i X n X 11，则当μ的置信区间为（n z X σ05.0-，n z X σ05.0+）时，
其置信水平为（ C ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
8．从总体中抽取简单随机样本1X ，2X ，3X ，易证估计量
3211613121?X X X ++=μ
，321241
4121?X X X ++=μ
3213613131?X X X ++=μ
，3214525251?X X X ++=μ 均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（ B ）
（A ）1?μ
（B ）2?μ （C ）3?μ （D ）4?μ
9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为，标准差为，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm ，采用t 检验法，并取统计量为10
/6.12
.5-=X t ，则在
显着性水平α下，其接受域为（ D ）
（A ）)99(2
αt t < （B ）)100(2
αt t < （C ） )99(2
αt t ≥ （D ） )100(2
αt t ≥
10．在假设检验中，方差2σ已知，00： μμ=H （ B ） （A ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为)2(/10α
μ-≥-=
n t n S X T
（B ）若备择假设01： μμ≠H ，则其拒绝域为20
/ασμu n X U ≥-=
（C ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu n
X U ≥-=
/0
（D ）若备择假设01： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu n
X U -≤-=/0
三、（10分）现有一批种子，其中良种数占6
1
，从中任选6000粒，问能从的概率保证其中良种所占的比例与
6
1
相差多少这时相应的良种数在哪一个范围 解答：
这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6。故μ=E(X)=np=6000x1/6=1000, D(X)=σ2＝np(1-p)=6000x(1/6)x(1-1/6)=。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。所以，P{|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。所以，P{|X-μ|<ε}≥1－|。
切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ2/ε2。我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。所以，P{|X-μ|<ε}≥1－602 = 3600 = 。
换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于。 这个概率（）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1／100。
四、（10分）设总体X 服从正态分布),(2σμN ，假如要以99%的概率保证偏差
1.0<-μX ，试问：在
2.02=σ时，样本容量n 应取多大
五、（10分）设总体X 服从0-1分布：x x q p x X P -==1)(，1.0=x ；其中10<
p q -=1，从总体X 中抽取样本1X ，2X ，…，n X ，求样本均值X 的期望和方差、样
本方差2S 的期望.
解答：
E （ΣXi)=ΣE(Xi)=nE(X)=np E[（ΣXi)/n]=[ΣE(Xi)]/n=E(X)=p
D[（ΣXi)/n]=[ΣD(Xi)]/n 2
=D(X)/n=p(1-p)/n
六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg ，方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10 000户居民，在01.0=α下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以的概率满足需要
七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：
20. 0
问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（05.0=α）
解答：
(1)因为样本数据在上下波动，
所以x 甲˙ˉˉˉˉˉˉ=+=，x 乙˙ˉˉˉˉˉˉ=+=， S 2甲=110[10×2]=(mm 2) S 2乙=110[10×2]=(mm 2)
八、（10分）设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，n X 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2
σ未知，选择常数c ，使统计量∑-=+-=11
21)(n i i i X X c T 是2σ的无
偏估计量.