2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）
1．（5分）已知集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则( )
A ．{|0}A
B x x =>I B ．{|1}A B x x =>I
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B R =U 2．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=为虚数单位），则(z = ) A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i -
3．（5分）设x R ∈，则“28x >”是“||3x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是( )
A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C ．2015年与2018年艺体达线人数相同
D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
5．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半
轴重合，终边过点1(2P 3，则sin 2(α= )
A ．
1
2
B 3
C ．12
-
D ．3 6．（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民
开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为( ) A ．
1
6 B ．13
C ．
23
D ．
56
7．（5分）已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交
于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB ?的面积等于，则双曲线的离心率为(
)
A ．3
B C ．2
D ．8．（5分）设函数2,,
(),.
x e x a f x x x a x a ?=?-+>??则下列结论中正确的是( )
A ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值为14
a -
B ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值都不是14
a - C ．当且仅当12a ?时，函数()f x 的最小值为14a - D ．当且仅当14a ?
时，函数()f x 的最小值为14
a - 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是( ) A ．若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ B ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥ C ．若n α⊥，//m α，则n m ⊥ D ．若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β
10．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP AB λ=u u u r u u u r
，3OC OA OB μμ=+u u u r u u u r u u u r ，则( )
A ．P 为线段OC 的中点时，12
μ= B ．P 为线段OC 的中点时，13
μ=
C ．无论μ取何值，恒有34λ=
D ．存在R μ∈，12
λ=
11．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有( ) A ．14S 是唯一最大值 B ．15S 是最大值
C ．290S =
D ．1S 是最小值
12．（5分）已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2
π
的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6
π
个单位，得到函数()g x 的图象关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A ．在[,]42ππ
上是增函数
B ．其图象关于直线2
x π
=
对称
C ．函数()g x 是偶函数
D ．在区间2[,]63
ππ
上的值域为[3-2]
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若函数()f x x alnx =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a = ．
14．（5分）数列{}n a 满足13a =，11(1)n n a a ln n
+=++，则10a = ．
15．（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为
16．（5分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上
时，AB OP u u u r u u u r g 的值为 ；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u r
g 的最小值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 17．（10分）在ABC ?中，3sin 2sin A B =，tan 35C = （1）求cos2C ；
（2）若1AC BC -=，求ABC ?的周长．
18．（12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73 合计
件数 1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2=，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(p 表示相应事件的频率）：①()0.6826p X μσμσ-<+剠．②
(22)0.9544P X μσμσ-<+剠③(33)0.9974P X μσμσ-<+剠
．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品
()i 从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； ()ii 从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ．
19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2
n
n a a ??
????
的前n 项和n T ． 20．（12分）如图在直角ABC ?中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ?沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
21．（12分）如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C 的
右顶点，下顶点，OAB ?的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知不经过点A 的直线:(0,)l y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，求证：直线l 过定点．
22．（12分）已知函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；
（2）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x …，证明：23000()2()f x x x -…
．
2020年山东省新高考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题网要求的）
1．（5分）已知集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则( )
A ．{|0}A
B x x =>I B ．{|1}A B x x =>I
C ．{|1}A B x x =>U
D ．A B R =U 【解答】解：{|0}B x x =>，{|1}A x x =>； {|1}A B x x ∴=>I ，{|0}A B x x =>U ．
故选：B ．
2．（5分）已知复数z 满足(1)2(i z i i -=为虚数单位），则(z = ) A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i -
【解答】解：由(1)2i z i -=，得22(1)
11(1)(1)
i i i z i i i i +===-+--+， ∴1z i =--．
故选：A ．
3．（5分）设x R ∈，则“28x >”是“||3x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：由28x >得3x >，由“||3x >”得3x >或3x <-， 即“28x >”是“||3x >”的充分不必要条件， 故选：A ．
4．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是( )
A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C．2015年与2018年艺体达线人数相同
D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加
【解答】解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5线，由24%1.528%8%0
x x x
-=>
g g g，故选项A不正确；
由
7
(40%1.532%)32%
8
x x x
-÷=
g g g，故选项B不正确；
由8%1.58%4%0
x x x
-=>
g g g，故选项C不正确；
由28%1.532%42%0
x x x
-=>
g g g，故选项D正确．
故选：D．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半
轴重合，终边过点
1
(
2
P
3
，则sin2(
α=)
A．1
2
B
3
C．
1
2
-D．
3
【解答】解：平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，
始边与x轴的非负半轴重合，终边过点
1
(
2
P
3
)，||1
OP=，
3 sinα
∴，
1 cos
2
α=，
则
3 sin22sin cos
ααα
==
故选：B．
6．（5分）2019年1月1日，济南轨道交通1号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，
则小王和小李至多一人被选中的概率为( ) A ．
16 B ．13
C ．
23
D ．
56
【解答】解：小王和小李至多1人被抽中的反面为，小王和小李都被抽中．
设{A =小张和小王至多1人被抽中}，{B =小张和小王都被抽中}，则B 包含1个基本事件，
p ∴（A ）1p =-（B ）241516
C =-
=． 故选：D ．
7．（5分）已知抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交
于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB ?
的面积等于，则双曲线的离心率为(
) A ．3
B
C ．2 D
．【解答】解：抛物线2
8y x =的准线：2x =-，双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线
b
y x a =±，
抛物线2
8y x =的准线与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，
可得4||b
AB a
=，FAB ?
的面积等于F 为抛物线的焦点(2,0)
可得：14(22)2b
a ??+=
，可得b =，所以22223b a c a ==-，
可得2c
e a
=
=． 故选：C ．
8．（5分）设函数2,,
(),.x e x a f x x x a x a ?=?-+>?
?则下列结论中正确的是( )
A ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值为1
4
a -
B ．对任意实数a ，函数()f x 的最小值都不是14
a - C ．当且仅当12a ?时，函数()f x 的最小值为14a - D ．当且仅当14a ?
时，函数()f x 的最小值为14
a - 【解答】解：当x a ?时，()(0x f x e =∈，]a e ，
当x a >时，2211
()()24f x x x a x a =-+=-+-，
要使()f x 取得最小值1
4
a -，即为12x =处取得，
从而1
2
a <
，又当x a ?时，()(0f x ∈，]a e ， 可得1
04a -?，可得14a ?，
故选：D ．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日要求.全部选对的得5分，部分选对的程3分，有选错的得0分）
9．（5分）已知空间中不同直线m 、n 和不同平面α、β，下列命题中是真命题的是( ) A ．若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ B ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥ C ．若n α⊥，//m α，则n m ⊥ D ．若αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β
【解答】解：由m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，知：
在①中，若m 、n 互为异面直线，//m α，//n α，//m β，//n β，则//αβ，①是真命题；
//αβ，m α?，n β?，则m 与n 平行或异面，故错误；
在②中，m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥，或α与β相交或平行，故②错误； 在③中n α⊥，//m α，则n m ⊥，故③是真命题；
在④中，αβ⊥，m α⊥，//n m ，则//n β，也可能n β?，故④错误． 故选：AC ．
10．（5分）如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若AP AB λ=u u u r u u u r
，3OC OA OB μμ=+u u u r u u u r u u u r ，则( )
A ．P 为线段OC 的中点时，12
μ=
B ．P 为线段O
C 的中点时，13
μ=
C ．无论μ取何值，恒有34λ=
D ．存在R μ∈，12
λ= 【解答】解：()(1)OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB λλλλ=+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 因为OP u u u r 与OC u u u r 共线，所以13λλμμ-=
，解得34λ=，故C 正确，D 错误； 当P 为OC 中点时，则12OP OC =u u u r u u u r ，则112λμ-=，1
32
λμ=?，解得12μ=，故A 正确，B
错误； 故选：AC ．
11．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有( ) A ．14S 是唯一最大值 B ．15S 是最大值
C ．290S =
D ．1S 是最小值
【解答】解：Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，
0d ∴<，111817
1155182
a d a d ?+=+
， 化为：115140a d a +==． 2915290S a ∴==． 14S ，15S 都是最大值．
故选：BC ．
12．（5分）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的零点构成一个公差为2
π
的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移6
π
个单位，得到函数()g x 的图象关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A ．在[,]42ππ
上是增函数
B ．其图象关于直线2
x π
=
对称
C ．函数()g x 是偶函数
D ．在区间2[,]63
ππ
上的值域为[2]
【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π
ωωω=+=+，
由函数()f x 的零点构成一个公差为2
π
的等差数列， 则周期T π=，即2ω=，
即()2sin(2)3
f x x π
=+，
把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移
6
π
个单位，得到函数()g x 的图象， 则()2sin[2()]2sin 263
g x x x ππ
=-+=，
易得：()y g x =是在[4π，]2π为减函数，其图象关于直线()24
k x k Z ππ
=+∈对称的奇函数，
故选项A ，B ，C 错误，
当2[,]63x ππ∈时，2[3x π
∈，4]3π，函数()g x 的值域为[2]，
故选项D 正确， 故选：D ．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若函数()f x x alnx =-在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，则实数a = 1- ． 【解答】解：Q 函数()f x x alnx =-的导数为()1a
f x x
'=-， ∴在点(1,1)处的切线斜率为f '（1）1a =-，
又Q 在点(1,1)处的切线方程为21y x =-，
12a ∴-=，解得1a =-，
故答案为：1-．
14．（5分）数列{}n a 满足13a =，11
(1)n n a a ln n +=++，则10a = 310ln + ．
【解答】解：数列{}n a 满足13a =，11
(1)n n a a ln n +=++，
21(11)a a ln =++，
321
(1)2a a ln =++，
431
(1)3
a a ln =++，
?
1091
(1)9
a a ln =++，
累积可得1013410
2310239a a ln ln ln ln ln =++++?+=+．
故答案为：310ln +．
15．（5分）已知一正四棱柱（底面为正方形的直四棱柱）内接于底面半径为1，高为2的圆
锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为
2
23
【解答】解：依题意，如图为过正四棱柱的圆锥的轴截面，设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，
则O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点， 所以112A C a =，2EF =，△11SAC AEF ?∽， 所以
11
1AC SO AC SO
=，即
2222a h -=，所以2(2)2a h =-，(02)h << 所以正四棱柱的体积223221
[(2)](44)22
V a h h h h h h ==-=-+， 令211
(384)(2)(32)022V h h h h '=-+=--=，得23h =，或者2h =（舍)．
当203h <<
时，0V '>，当2
23
h <<时，0V '<， 所以当203h <<时，()V h 单调递增，当223h <<时，()V h 单调递减，故当2
3
h =时，V 有最大值， 此时2222
(2)233
a =-=
． 故填：
223
．
16．（5分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上
时，AB OP u u u r u u u r g 的值为 2 ；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u r
g
的最小值为 ．
【解答】解：矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．
当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB =∠=?=u u u r u u u r u u u r u u u r
g
； 当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP u u u r u u u r
g 的最小值，||||cos AB OP AB OP POB =∠u u u r u u u r u u u r u u u r g ， P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB =∠=?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r
g
； 故答案为：2；2-．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤） 17．（10分）在ABC ?中，3sin 2sin A B =
，tan C = （1）求cos2C ；
（2）若1AC BC -=，求ABC ?的周长． 【解答】解：（1）
Q tan C
2211cos 136
C tan C ∴=
=
+， 2117cos22cos 1213618
C C ∴=-=?-=-． （2）3sin 2sin A B =Q ，
∴由正弦定理可得：32a b =，
又1AC BC -=Q ，即：1b a -=， ∴解得：2a =，3b =，
Q 由（1）可得：1cos 6
C =
， ∴
由余弦定理可得：c ABC ∴?
的周长5a b c ++=．
18．（12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2=，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(p 表示相应事件的频率）：①()0.6826p X μσμσ-<+剠．②
(22)0.9544P X μσμσ-<+剠③(33)0.9974P X μσμσ-<+剠
．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品
()i 从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； ()ii 从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ．
【解答】解：（Ⅰ）()(62.867.2)0.80.6826P X P X μσμσ-<+=<=剟?，
(22)(60.669.4)0.940.9544P X P X μσμσ-<+=<=剟?，
(33)(58.471.6)0.980.9974P X P X μσμσ-<+=<=剟?，
因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；?（4分） （Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知6~(2,
)100Y B ，于是63
()210025
E Y =?=
；?（8分） （ⅱ）由题意可知Z 的分布列为
故21129469462221001001003
()01225
C C C C E Z C C C =?+?+?=．?（12分）
19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差是1，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2
n
n a a
??
????
的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）因为{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，3a ，9a 成等比数列，
所以2
3
19a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =．??????（4分） 所以1(1)n a a n d n =+-=．?
??????????????（5分） （2）1231111
1()2()3()()2222
n n T n =?+?+?+?+?，
23111111
1()2()(1)()()22222n n n T n n +=?+?+?+-?+????（6分） 两式相减得1231111111
()()()()()222222
n n n T n +=+++?+-????（8分）
所以1
1
1
11
()
111
22()1
1
2222
1
2
n
n
n n n
n
T n
+
+
+
-
=-?=--?????????
-
（11分）
所以
2
2
2
n n
n
T
+
=-．?????????????（12分）
20．（12分）如图在直角ABC
?中，B为直角，2
AB BC
=，E，F分别为AB，AC的中点，将AEF
?沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；
（Ⅱ）若DE BE
⊥，求二面角E MF C
--的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，
1
//
2
MN BC
=
u u u r
Q，
1
//
2
EF BC
=
，
∴四边形EFMN是平行四边形，
EF BE
⊥
Q，EF DE
⊥，BE EF E
=
I，
EF
∴⊥平面BDE，
EF EN
∴⊥，MF MN
∴⊥，
在DFC
?中，DF FC
=，
又M
Q为CD的中点，MF CD
∴⊥，
又MF M N M
=
Q I，MF
∴⊥平面BCD．
解：（Ⅱ）DE BE
⊥
Q，DE EF
⊥，BE EF E
=
I，
DE
∴⊥平面BEF，
以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设2
BC=，则(0
E，0，0)，(0
F，1，0)，(2
C-，2，0)，(1
M-，1，1)，
∴(0
EF=
u u u r
，1，0)，(1
FM=-
u u u u r
，0，1)，(2
CF=
u u u r
，1
-，0)，
设面EM F的法向量(
m x
=
r
，y，)z，
则00
m EF y m FM x z ?==?
?=-+=??u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1m =r ，0，1)， 同理，得平面CMF 的法向量(1n =r
，2，1)，
设二面角E MF C --的平面角为θ， 则
3
cos ||
||3m n m n θ==r r g r r g ，
∴二面角E MF C --的余弦值为
3
3
．
21．（12分）如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，设A ，B 分别为椭圆C 的
右顶点，下顶点，OAB ?的面积为1． （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知不经过点A 的直线:(0,)l y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，求证：直线l 过定点．
【解答】解：（1）有题意可得
3c a =
，1
12
ab =，222c a b =-，解得：24a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2
214
x y +=；
（2）证明：由（1）可得(2,0)A ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
直线与椭圆联立可得：22
440y kx m
x y =+??+-=?
，整理可得：222(14)8440k x kmx m +++-=，△0>， 122
814km x x k
+=-+，21224414m x x k -=+，212122282()221414k m m y y k x x m m k k -+=++=+=++，
因为线段PQ 的中点为M ，若||2||PQ AM =，所以可得以PQ 为直径的圆过A 点 所以0AP AQ =u u u r u u u r
g ， 1(2
x -，
12)(2
y x -，
2)0
y =，可得
1212122()40
x x x x y y -+++=，即
2212124(1)(2)()40k x x km x x m ++-+++=，
可得22121650k km m ++=，解得：12k m =-，5
6k m =-，
所以直线为：1(2)2y m x =--，或56
()65
y x =--，
所以直线l 过定点(2,0)或6
(5，0)，
而直线不过A 点，
所以直线l 过6
(5
，0)．
22．（12分）已知函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；
（2）设0x 是()f x 的极小值点，且0()0f x …，证明：23
000()2()f x x x -…
． 【解答】解：（1）Q 函数1()()x f x xe a x lnx -=-+，a R ∈． ∴1
1()(),(0)x x f x xe a x x
-+'=
->． 令1()x g x xe a -=-， 则1()(1)0x g x x e -'=+>， ()g x ∴在(0,)+∞上是增函数．
又Q 当0x →时，()g x a →-，当x →+∞时，()g x →+∞．
∴当0a ?时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，不存在极值点；
当0a >时，()g x 的值域为(,)a -+∞，必存在00x >，使0()0g x =． ∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；
当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； ()f x ∴存在极小值点．
综上可知实数a 的取值范围是(0,)+∞．
证明：（2）由（1）知0100x x e a --=，即010x a x e -=．
001lna lnx x ∴=+-，
010000()(1)x f x x e x lnx -=--．
由0()0f x …，得0010x lnx --…．
令()1g x x lnx =--，由题意()g x 在区间(0,)+∞上单调递减． 又g （1）0=，∴由0()0f x …，得001x ，则11
()1x H x x x
-'=-
=
， 当1x >时，()0H x '>，函数()H x 单调递增； 当01x <<时，()0H x '<，函数()H x 单调递减； ∴当1x =时，函数()H x 取最小值H （1）0=，
()10H x x lnx ∴=--…，即1x lnx -…
，即1x e x -…， ∴0100x e x ->…，0000011(1)2(1)0x lnx x x x -----=-厖，
0122300000000()(1)2(1)2()x f x x e x lnx x x x x -∴=---=-g …，23
000()2()f x x x ∴-…．