多边形和圆的初步认识知识讲解
【要点梳理】
要点一、多边形及正多边形
1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：
要点诠释：
正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
2．相关概念：
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
要点诠释：
(1)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为
(3)2
n n ． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形．
类型一、多边形及正多边形
1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，
分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形
分割成 个三角形.
【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成
的三角形的个数即可. E A B C F D
【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.
【总结升华】
(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个角.
(2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共
(3)2
n n 条对角线.
(3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割
（n －2）个三角形.
举一反三：
【变式】（2015春?期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个
多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）
A ．八边形
B ．九边形
C ．十边形
D ．十一边形 【答案】B
若一个多边形的角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对
角线 条．
一个多边形除一个角外其余角的和为1510°，则这个多边形对角线的
条数是（ ）
A ．27
B ． 35
C ． 44
D ． 54
2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把形纸片截去
一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?
【答案与解析】
解：这个问题，我们可以用图来说明．
按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．
按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．
按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．
答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．
【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：
【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.
A.6
B.7
C.8
D.9
要点二、圆及扇形
1.圆的定义
如图，在一个平面，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
要点诠释：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.
②圆是一条封闭曲线.
2.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
【典型例题】
9．（2014?长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B ）A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
10．（2015春?校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ B ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4 19．（2015春?定县期末）下列说确的是（④）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；
③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦
3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __.
【答案】
根据圆接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，
即可知：360÷30=12；
360÷60=6；360÷90=4；
360÷120=3；360÷=2．
故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．
4．（2015?丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．
【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的角和定理可得所求角的度数．
【答案】80°．
【解析】
解：∵OM=ON，
∴∠N=∠M=50°，
∴∠MON=°﹣∠M﹣∠N=80°，
故答案为80°．
【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．
类型三、扇形
5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么
【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．
【答案与解析】
解：这三个圆心角的度数分别为：
°°236080234?=++；°°3360120234?=++；°°4360160234
?=++. 圆的面积29r ππ=，
这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ?
=；12093360
ππ?=；16094360ππ?=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．
发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．
【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，
即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．
6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个形，这个形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？
【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个形的