2020年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考
数学（理） 试 题
本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时请按要求用笔．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1． 命题“若2
1x =，则1x =”的逆否命题为（ ）
A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或
B ．若1x =，则11x x ==-或
C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且
D ．若1x =，则11x x ≠≠-且 2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算
这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2
~(,)Z N μσ，则
()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）
A ．4560
B ．13590
C ． 27180
D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．29
2)x
展开式中含
1
x
的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映
居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2020年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌
B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳
C ．2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大
D ．2020年1月—7月分别与2020年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌
6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为13
5，则它的渐近线为（ ）
A ．513y x =±
B ．13
5
y x =±
C ．125y x =±
D ．512
y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比
值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）
A ．
325n N π B ．32n N π C ．8n
N
π D ．
532n
N
π
8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22?列联表如下：
X
1y
2y
总计
1x
a 10 10a +
2x
c 30 30c +
总计 60
40
100
注：2
K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d
-=
=--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）
A ．45,15a c ==
B ．40,20a c ==
C ． 35,25a c ==
D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若
1160A AB A AD ∠=∠=o ，且13A A =，则1A C 的长为( )
A ．5
B ．22
C ．14
D ．17
10．已知点A (1,2)在抛物线2
:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q
两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ?=（ ）
A ．
83 B ．16
3
C ． 833
D ．1633
11．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个
点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．1920
12．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30o
，现
有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；
②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；
③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233
； ④该曲线的离心率为
3
3
． 其中正确命题的序号为 （ ）
A ．①②④
B ．①②③④
C ．①②③
D ．①④
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．总体由编号为01,02,,19,20L 的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选
取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
14．已知向量(1,2,1)a =-r ，(2,2,0)b =-r
，则a r 在b r 方向上的投影为________．
15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．
16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A
作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题
Q ：
实数p 使得方程22
132x y p p
+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4
A π
=，22
b a -=
12
2
c . （Ⅰ）求tan C 的值；
（Ⅱ）若ABC ?的面积为3，求b 的值．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第ΛΛ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .
20．（本小题满分12分）
某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：
（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回
归方程：$$2;s bn a s bn a =+=+$$$$①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；
（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．
） 参考公式：线性回归方程为$$y bx
a =+$，其中1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑$，$a
y bx =-$， 相关系数1
2
2
1
1
()()
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
--∑∑∑；
参考数值：7 2.65≈，
6
1()()664i
i
i w w s s =--=-∑，6
2
1
()
43i
i w w =-≈∑，
其中2
i i w n =.
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段
AC 上，122BC CD AC ==
=，3
ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；
（Ⅱ）若5AP =
AP 与BC 5
A BP C --的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于
A B 、两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为3
4
-，求椭圆M 的方程； （Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ?的面积的最大值()S a ．
高二联考数学试题（理科）
参考答案及评分标准
二、填空题
13. 01 14. 2
- 15. 10 16.3 三、解答题
17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，33244
55(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得
2
(0,)3
p ∈. ……2分
对于命题Q ：由3(2)0
32p p p p
->??>-?得
1
(,2)2
p ∈. ……4分
P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一
假， ……5分
若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2
p ∈-∞+∞U ，得
1
(0,]2
p ∈. ……7分
若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2
(,0][,)3
p ∈-∞+∞U ，得
2
[,2)3
p ∈. ……9分
综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22
[,2)3
U . ……10分
18.（Ⅰ）由2
2
212b a c -=
及正弦定理得2211
sin sin 22
B C -=， ∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34
B C π
+=，得
cos2sin 22sin cos B C C C -==，
由sin 0C 1解得
tan 2C =； ……6分
（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =
，5
cos 5
C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin B =，由正弦定理得22
3
c b =，
又∵4A π=，1
sin 32
bc A =，∴62bc =，故
3b =. ……12分
19．（Ⅰ）由题意得
，解得
，
所以
．
……6分 （Ⅱ）
，
……8分
则
=
=
……12分
20.（Ⅰ）1
(123567)46
n =
+++++= 1
6
s =
(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 6
1
()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84
i
i
i n n s s =--=-?+-?+-?+?-+?-+?-=-∑
6
2
2222221()
(3)(2)(1)12328i
i n n =-=-+-+-+++=∑
6
2
2222221
()
1053(4)(5)(9)256i
i s s =-=+++-+-+-=∑
………3分
1377.95
0.993758828256
r ∴=
=-≈-=-，
2830.9658643256
r ==-≈-? ………5分
知12r r >，回归方程①更合适，
（Ⅱ）由（Ⅰ）84328
b
-==-$，则$503462a
s bn =-=+?= 故所求的线性回归方程为
362s
n =-+$ ………7分 结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应
56,53,50s = ………8分
41
(56)(2)164P s P n =====，
81(53)(3)162P s P n =====41
(50)(4)164
P s P n =====……10分
s 56 53 50
P
1
4 12 14
∴()56535053424
E s =?
+?+?=（kg ） ………12分
21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分
∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC I 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ?平面PAC ∴
AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分
以O 为坐标原点，,,OB OC EP u u u r u u u r u u u r
的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -
cos
13
OC CD π
==，而4AC = 则3AO AC OC =-=
又sin
3
OD CD π
==故(0,3,0)A -
，B ，
(0,1,0)C
，
(D ………6分
设(0,,)(0)P y z z >
由AP =22
(3)5y z ++= ①
而(0,3,)AP y z =+u u u r
(BC =u u u r
由cos ,AP BC <>=u u u r u u u r
5=
② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴
(0,1,1)P - ………8分
∴AB =u u u r
，(1,1)BP =-u u u r
，(BC =u u u r
设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =u r
由1100n AB n BP ?=??=??u r u u u r g u r u u u r g
即11111300
y y z ?+=??-+=??取11y =-
得11,2)n =-u r
………10分
同理可得BCP
的一个法向量为
2n =u u r
………11分
∴121212cos ,n n n n n n <>==
=u r u u r
u r u u r g u r u u r g 故钝二面角A BP C --
的余弦值为
………12分
22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则
22
1122
1x y a b
+=，2222221x y a b +=，21211y y x x -=-. 由此可得
21221
21221
()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-； (2)
分
因为1202x x x +=，1202y y y +=，
003
4
y x =-，所以223
4
b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故22
1a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22
143
x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以22
1a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为
1x my =-，
由方程组22
2211x y a b x my ?+=???=-?
消去x 得:2222222
()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,
2122222,b m y y a b m ∴+=+224
12222222
(1)b a b y y a b m a b m --==++,且0?>恒成
立， ………7分
连结OB ，由OA OC =知2ABC AOB S S =V V ，
22112222
21
ABC
ab m S OF y y a b m +∴=?-=+V ，
………9分
令2
1m t +=，则222
2
2
22222
22221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m t t S a b t b t b t t
=-≥∴===+-++V ， ①若11b ≥，即12a <≤，则22
1221b t b a t
+≥=-，当且仅当1t b =，
即2
221
a m a -=±-时，
2max ()()1ABC S a S a a ?==-； ……… 10分
②若101b <<，即2a >，设2
1()f t b t t
=+，则1t ≥时，
()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，
即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a
?-==；
综上可知：
221,12()2(1), 2 a a a S a a a a ?-<≤?
=?->?
?
(12)
分