高中数学必修2 知识点
第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'
h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 '2
1ch S =正棱锥侧面积
')(2
1
21h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧
()l r r S +=π2圆柱表
rl S π=圆锥侧面积
()l r r S +=π圆锥表
l
R r S π)(+=圆台侧面积
()
22R Rl rl r S +++=π圆台表
柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱 13
V Sh =锥 ''1()3
V S S S S h =++台
2V Sh r h π==圆柱 h r V 23
1π=圆锥
''2211
()()33
V S S S S h r rR R h π=++=++圆台
球体的表面积和体积公式： V 球=343
R π
； S 球面=24R π
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2、 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3、 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4、 注意点：
① a '与b '所成的角的大小只由b a 、的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，
点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作b a ⊥； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
L
A ·
α C ·
B
·
A · α P
· α
L
β 共面直线
=>a ∥c 2
π
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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用α?a 来表示
α?a A a =αI α//a
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β => a ∥α a ∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行。
符号表示：
a β
b β
a ∩
b = P β∥α a ∥α b ∥α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a ∥α
a β a ∥
b α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交
线平行。 符号表示：
α∥β
α∩γ= a a ∥b β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义：如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L ⊥α，直线L 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
P a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
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2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭l
β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
12
第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当[)
ο
ο90,0∈α时，0≥k ； 当(
)ο
ο180,90∈α时，0 90 =α时，k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式：)(211 21 2x x x x y y k ≠--= （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2） 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程 )(11x x k y y -=-直线斜率()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 (,0)a , 注意：○ 1 ○2特殊的方程如： 平行于 平行于 （4 （5）两条直线的交点 0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组?? ?=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ? ； 方程组有无数解?1l 与2l 重合 （622,x y ） 是平面直角坐标系中的两个点， （7）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 第四章 圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆 的半径。 2 （1 r ； 点00(,)M x y 与圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2 r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2 r ，点在圆上 当2200() ()x a y b -+-<2 r ，点在圆内 （2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ? --2,2 E D ，半径为 F E D r 42 1 22-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 (1) 设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心( )b a C ,到l 的距离为 则： 有相离与C l ?；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该 直线距离= 半径，求解k ，得到方程【一定两解】 (3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22 2222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 精品文档 学考复习课时训练———必修2 1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） （A ）2 （B ）1 （C ） 23 （D ） 13 2、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A ．3 B ．2 C ．23 D ．6 3、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为： （ ） 4、图中的三个直角三角形是一个体积为3 20cm 的几何体的三视图，则=h cm 5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。 6、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.9π B.10π C.11π D ．12π 7、一个几何体的三视图如上图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为( ) A.3 3 π B ．2π C ．3π D ．4π 8、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( ) A ．32π B ．16π C ．12π D ．8π 9、上图是一个多面体的三视图，则其全面积为( ) A ．3 B ．3 6 2+ C ．36+ D ．34+ 10、长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个 球的表面积是（ ） A ．202π B ．252π C ．50π D ．200π 11、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，N M ，分别是PC AB ，的中点，求证： （1）平面⊥PAD 平面PDC ； （2）//MN 平面PAD A B C D M N 第1题 第2题 第4题 第5题 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 第6题 第7题 第8题 第9题 精品文档 12、如图正三棱柱111C B A ABC - 的底面边长为8，对角线101=BC ，D 为AC 的中点。 （1）求证：//1AB 平面BD C 1； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角。 13、在正方体111 1D C B A ABCD - 中，F E ，分别是CD BB ，1的中点。 （1）证明：F D AD 1⊥； （2）求AE 与F D 1所成的角。 14、在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD 1===BC AB SA ，2 1= AD . （1）求四棱锥ABCD S -的体积； （2）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值 15、在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PAB ?是正三角形，已知 222==PD AB ，。 （1）证明⊥AD 平面PAB ； （2）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值 16、下列命题不正确的是（ ） .A 平行于同一直线的两条直线平行 .B 平行于同一平面的两个平面平行 .C 垂直于同一平面的两条直线平行 .D 垂直于同一平面的两个平面平行 17、在棱长都相等的正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) . A 2 1 .B 31 .C 22 .D 33 18、半径为3的球的体积等于（ ） .A π3 .B π12 .C π24 .D π36 19、直线01=+-y x 的倾斜角为（ ） .A ?30 .B ?45 .C ?60 .D ?90 20、已知点()()143,2， ，B A -，则直线AB 的方程为（ ） .A 033=+-y x .B 05=--y x .C 073=-+y x .D 0113=++y x 21、若球的直径为2，则球的表面积是（ ） .A π .B π2 .C π4 .D π16 22、点()0,1到直线0243=++y x 的距离为（ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 5 23、直线0153=-+y x 在y 轴上的截距是（ ） .A 5- .B 5 .C 10 .D 15 24、圆心坐标为()0,1C ，半径为2的圆的方程是（ ） .A ()2122 =+-y x .B ()2122 =++y x .C ()4122 =++y x .D ()412 2 =+-y x
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