【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是
近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大.
【方法点评】
类型一利用导数研究函数的极值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步计算函数 f (x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数f'(x)；
第二步求方程 f ' ( x) 0 的根；
第三步判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步利用结论写出极值 .
例 1已知函数 f ( x)
1
ln x ，求函数f x的极值. x
【答案】极小值为 1 ，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令 f ' ( x)0 ，可解出其极值点，然后根据导函数大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x)的增减性，进而求出函数 f (x) 的极大值和极小值．
【变式演练1】已知函数
f ( x) x 322
在 x1
处有极值
10
，则等于（
）ax bx a f (2)
A．11 或 18B．11C． 18D． 17 或 18【答案】 C
【解读】
试卷分析： f ( x)
3x
2
2ax b ,
3 2a b 0 b 3 2a
a 4 或 a 3 1 a
b a 2 10
a 2 a 12 0
．?
b 11
b 3
当
a
3
时 , f (x) 3( x 1)2
0, 在 x
1 处 不 存 在 极 值 ． ? 当
a 4 时 ，
b 3
b 11
f (x)
3x 2 8x 11 (3x 11)( x 1) ， x
( 11 ,1), f ( x) 0 ；x
(1, ), f ( x) 0 ,符合题意．所
3
以
a
4
． f (2)
8 16 22
16 18 ．故选 C ．
b
11
考点：函数的单调性与极值．
【变式演练 2】设函数 f x
ln x
1 ax
2 bx ，若 x 1 是 f x
的极大值点，则 a 的取值范围为
2
（ ）
A ．
1,0
B ． 1,
C ． 0,
D ．
, 1 U 0,
【答案】 B 【解读】
考点：函数的极值．
【变式演练 3】函数 f x
1 x 3
1
(m 1) x 2 2(m 1) x
在 (0,4) 上无极值，则 m _____.
( ) 3
2
【答案】 3 【解读】
试卷分析：因为 f (x)
1 x 3 1
(m 1)x 2
2(m 1) x ，
3
2
所以 f '(x)
x 2 (m 1)x 2(m 1)
x 2 x m 1 ，由 f ' x 0 得 x 2 或 x m 1，又因为
函数 f ( x) 1 x31
(m 1) x22(m 1)x 在 (0,4) 上无极值，而2 0,4，所以只有m1 2 ，m 3
32
时， f x在 R 上单调，才合题意，故答案为 3 .
考点： 1、利用导数研究函数的极值； 2、利用导数研究函数的单调性 .
【变式演练 4】已知等比数列 { a n} 的前 n 项和为S n2n 1k ，则f ( x) x3kx22x 1的极大
值为（）
A．2B．5
C．3D．
7 22
【答案】 B
【解读】
考点： 1、等比数列的性质； 2、利用导数研究函数的单调性及极值．
【变式演练5】设函数 f (x) x3(1a) x2ax 有两个不同的极值点x1， x2，且对不等式f ( x1) f ( x2 )0 恒成立，则实数 a 的取值范围是．
【答案】(, 1] U1, 2
2
【解读】
试卷分析：因为 f (x1) f (x2 )0 , 故得不等式x13x23 1 a x12x22 a x1 x20 ,即
x1 x2x1
2
3x1x2 1 a x1
2
2x1 x2 a x1x2 0 , x2x2
由于 f ' x3x2 2 1 a x a, 令 f ' x 0得方程 3x2 2 1 a x a 0, 因
x x 2 1a
4 a2 a 1 0 ,123，代入前面不等式 , 并化简得
故
x1 x2a
3
1a2a25a 2 0 ,解不等式得a 1 或1
a 2 ，因此,当a 1 或
1
a 2时 , 不等式22
f x1 f x20 成立 ,故答案为(, 1] U1,2 .
2
考点： 1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法 .
【变式演练 6】已知函数 f x x3ax2x 2 a0的极大值点和极小值点都在区间1,1 内,则实数 a 的取值范围是．
【答案】 3 a 2
【解读】
考点：导数与极值．
类型二求函数在闭区间上的最值
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步求出函数 f ( x) 在开区间 ( a,b) 内所有极值点；
第二步计算函数 f ( x) 在极值点和端点的函数值；
第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例 2 若函数 f x e x x2mx ，在点 1, f 1 处的斜率为 e 1．
（ 1）求实数 m 的值；
（ 2）求函数 f x在区间1,1 上的最大值．
【答案】（） m1；（）
f x max e .
12
【解读】
试卷分析：（ 1）由f (1) e 1解之即可；
（ 2）
f x e x 2 1为递增函数且
f 1 e 1 0, f 1 e
1
3 0 ,
所以在区间
( 1,1)
上存x
在 x 0 使 f ( x 0 ) 0 ，所以函数在区间 [ 1,x 0 ] 上单调递减，在区间 [ x 0 ,1] 上单调递增，所以
f x
max
max f
1 , f 1
，求之即可 .
试卷解读：
（1）
f x e
x
2
，∴
f 1 e 2 m
，即
e 2 m e 1
，解得
m 1 ；
x m
实数 m 的值为 ；
1
（ 2） f x
e x 2x 1为递增函数，∴ f
1 e 1 0, f
1 e 1 3 0 ，
存在 x 0
1,1 ，使得 f x 0
0 ，所以 f
x
max
max f
1 , f 1 ，
f 1 e 1
2, f 1
e ，∴
f x
max
f 1
e
考点： 1.导数的几何意义； 2.导数与函数的单调性、最值 .
【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数
的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（
1）
问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程
（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围 .
【变式演练 7】已知 f ( x)
x x 1.
e
（ 1）求函数 y f (x) 最值；
（ 2）若 f ( x 1 ) f ( x 2 )( x 1 x 2 ) ，求证： x 1 x 2 0 .
【答案】（1） f ( x) 取最大值 f ( x)max f (0) 1 ，无最小值；（ 2）详见解读 .
【解读】
e x ( x 1)e x
x 试卷解读：（ 1）对 f (x) 求导可得 f ( x)
2x
x ，
e
e
令 f ( x)
x
x 0 得 x=0.
e
当 x ( ,0) 时， f (x)
0，函数 f ( x) 单调递增；
当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，
当 x=0 时， f (x) 取最大值
f ( ) f (0) 1，无最小值
.
x max
（ 2）不妨设 x 1 x 2 ，由（ 1）得
当 x ( ,0) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；
当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，
若 f (x 1 )
f ( x 2 ) ，则 x 1 0 x 2 ，
考点： 1.导数与函数的最值； 2.导数与不等式的证明 .
【变式演练 7】已知函数 f ( x) xln x ， g (x)x 2 ax 2 .
（Ⅰ）求函数 f ( x) 在 [t, t 2](t
0) 上的最小值；
（Ⅱ）若函数 y f ( x) g ( x) 有两个不同的极值点 x 1, x 2 ( x 1 x 2 ) 且 x 2 x 1 ln 2 ，求实数 a 的取
值范围 .
1 ，
1
2
ln 2 ln(
ln 2
) 1 .
【答案】（Ⅰ） f (x)min
e
e
；（Ⅱ） a
1
3
3
t ln t, t
e
【解读】
试卷分析：（Ⅰ）由 f ' ( x) ln x 1
0 ，得极值点为 x
1
，分情况讨论 0 t
1
及 t
1
时，函
e
e
e
数 f (x) 的最小值；（Ⅱ）当函数 y
f ( x) g(x) 有两个不同的极值点，即 y '
ln x
2x 1 a 0
有两个不同的实根 x 1, x 2 (x 1 x 2 ) ，问题等价于直线 y a 与函数 G( x)
ln x 2x 1 的图象有两
个不同的交点，由 G(x) 单调性结合函数图象可知当 a
G ( x)min
1
) ln 2 时， x 1 , x 2 存在，且 G (
2
x 2 x 1 的值随着 a 的增大而增大， 而当 x 2 x 1 ln 2 时，由题意
ln x 1 2x 1 1 a 0
ln x 2 2x 2 1 a
， x 2 4x 1
代入上述方程可得 x 2 4x 1
4
ln 2 ，此时实数 a 的取值范围为 a
2
ln 2 ln(
ln 2
) 1 .
3
3
3
试卷解读：（Ⅰ）由 f ' (x) ln x 1
0 ，可得 x
1 ，
e
① 0 t
1
时，函数 f ( x) 在 (t, 1
) 上单调递减，在 ( 1
,t
2) 上单调递增，
e
e
e
函数 f ( x) 在 [t, t 2](t 0) 上的最小值为 f ( 1
)
1 ，
e
e
②当 t
1
时， f ( x) 在 [t, t 2] 上单调递增，
e
f (x)min
f (t ) t ln t ，
1 ，
1
f (x)min
e
e ；
t ln t ,t 1
e
两式相减可得 ln
x 1
2( x 1 x 2 )
2ln 2
x 2
x 2 4x 1 代入上述方程可得 x 2
4x 1
4
ln 2 ，
3
此时 a
2
ln 2 ln(
ln 2
) 1 ，
3
3
所以，实数 a 的取值范围为 a
2
ln 2 ln(
ln 2
) 1 ；
3
3
考点：导数的应用．
【变式演练 8】设函数 f x ln x 1 .
（ 1）已知函数 F x
f x
1 x
2
3 x 1
,求 F x 的极值；
4
2 4
（ 2）已知函数 G x
f x
ax 2
2a 1 x a a 0 ,若存在实数 m
2,3 ,使得当 x
0,m 时,
函数 G x 的最大值为 G m ,求实数 a 的取值范围 .
【答案】（1）极大值为 0 ，极小值为 ln 2
3
；（2） 1 ln 2,.
4
【解读】
F x , F ' x 随 x 的变化如下表 :
x0,111,222,
F ' x00
F x Z0]ln 23
Z 4
当 x 1 时函数 F x 取得极大值 F 10 。当 x 2 时函数 F x 取得极小值 F 23
ln 2.
4
③当
1
1 ,即 a
1
时 ,函数 f x 在0,
1
和 1,上单调递增 , 在
1
,1 上单调递减,要存2a22a2a
在实数 x2,3,使得当 x0, m 时 , 函数 G x的最大值为 G m ,则1
G 2 ,代入化简
G
2a
得 ln 2a1ln 2 1 0.令 g a ln 2a1ln 2 1 a1,因g ' a 1 110 4a4a2a4a
恒成立 ,故恒有 g a g
1
ln 2
1 0, a 1
时,
式恒成立。综上，实数 a 的取值范围是
2
2
2
1 ln 2, .
考点：函数导数与不等式．
【高考再现】
1. 【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）已知函数 f x
x 2 e x
a x
1 2 有两个零
点 .
(I)求 a 的取值范围；
(II)设 x 1,x 2 是 f x 的两个零点 ,证明： x 1 x 2 2 .
【答案】 (0,
)
试卷解读。（ Ⅰ） f '( ) (
1) x 2 ( 1) (
x 1)( x 2 ) ． x x e a x e
a
（ i ）设 a 0 ,则 f ( x) ( x 2) e x , f ( x) 只有一个零点．
（ ）设 a
则当 x ( ,1) 时 f '(x) 0 ；当 x (1,
) 时 f '(x) 0 ．所以 f ( x) 在 ( ,1) 上单
ii 0 , ,
,
调递减 ,在 (1,
) 上单调递增．
又 f (1) e , f (2) a ,取 b 满足 b 0 且 b
ln a
,则
2
f (b)
a
(b 2)
a(b 1)
2
a(b
2
3
b)
0 ,
2
2
故 f (x) 存在两个零点．
（ iii ）设 a
0 ,由 f '(x) 0 得 x 1或 x ln( 2a) ．
若 a
e
,则 ln( 2a) 1 ,故当 x (1,
) 时 , f '(x) 0 ,因此 f ( x) 在 (1, ) 上单调递增．又当 x 1
2
时, f ( x) 0 ,所以 f (x) 不存在两个零点．
若 a e
,则 ln(2a) 1 ,故当 x(1,ln( 2a)) 时 , f '(x)0；当 x(ln( 2a),) 时, f '(x) 0 ．因此2
f ( x) 在 (1,ln( 2a)) 单调递减 ,在 (ln(2a),) 单调递增．又当x1时, f ( x)0 ,所以 f (x) 不存在两个零点．
综上 , a的取值范围为 (0,) ．
（Ⅱ）不妨设 x1x2 ,由（Ⅰ）知 x1(,1),x2(1,) , 2 x2(,1) , f ( x) 在 ( ,1)上单调递减 ,所以 x1x2 2 等价于 f ( x1) f (2 x2 ) ,即 f (2x2 )0．
由于 f (2 x2 )x2e2 x2a( x21)2,而 f ( x2 ) (x22) e x2a( x21)20 ,所以
f (2 x2 )x2e2 x2(x22)e x2．
设 g( x)xe2x( x2)e x ,则 g '(x)(x1)(e2x e x) ．
所以当 x 1 时
,g '(x)0而 g(1)0
,
故当x 1时g( x)0．,,
从而 g( x2 ) f (2x2 ) 0 ,故 x1x2 2 ．
考点：导数及其应用
2.【2016 高考山东理数】 (本小题满分 13 分 )
已知 f ( x) a x ln x2x 1, a R .
x2
（ I）讨论f ( x)的单调性；
（ II）当 a 1 时，证明＞3
对于任意的x 1,2 成立
.
f ( x) f ' x
2
【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）见解读
【解读】
试卷分析：（Ⅰ）求 f ( x) 的导函数，对a进行分类讨论，求 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）要证 f ( x)＞ f' x 3
对于任意的 x1,2 成立，即证 f (x) f / (x)3，根据单调性求解 . 22
（ 1） 0 a 2 ，2
1，a
当 x(0,1) 或x( 2 ,) 时，
f/( )0 ，
f ( x)
单调递增；
a x
当 x(1,2
) 时， f / ( x)0 ， f (x) 单调递减；a
（ 2） a 2 时，2 1 ，在x( 0,) 内， f /(x) 0， f (x) 单调递增；
a
（ 3） a 2 时， 02
1 ，a
2
x(1,) 时，f/( )0 ， f (x) 单调递增；当x(0,) 或x
a
当 x(2
,1) 时， f /( x)0 ， f ( x) 单调递减 . a
综上所述，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a 1 时，f ( x) f /(x)x ln x
x ln x 312 x x2x3
令 g( x)x ln x, h(x)则 f (x) f / ( x)g (x)2x1
(1
122
x2x x2x 3
) 1， x[1,2] ，
312
1， x[1,2]
. x x 2x3
() ，
h x
由 g / ( x)x
x 10 可得
g( x)g(1)1，
当且仅当 x
1时取得等
号 .
又
h '(x)3x22x6
x4，
设 ()3
x 2
2 6 ，则
(x)
在 x
[1,2]
单调递减，
x x
因为(1)1,( 2)10 ，
考点： 1.应用导数研究函数的单调性、极值； 2.分类讨论思想 .
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想 . 本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题 .解答本题，准确求导数是基础，恰当
分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而
错漏百出 .本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等
.
3. 【2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）
已知函数 f ( )
a x
b x ( a 0,
0, a
1,
1) 设 a 2,b
1
b.
2
（1 ）求方程 f (x)
2
的根。
（2 ）若对任意 x
R ,不等式 f (2 x) mf( x)
6 恒成立，求实数 m 的最大值；
（3 ）若 0
a 1,
b ＞1，函数 g
x
f x
2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值。
【答案】（1）① 0 ②4（2）1
【解读】
试卷解读：（ 1）因为 a 2, b
1
，所以 f (x)
2x
2 x .
2
①方程 f ( x) 2 ，即 2x 2 x 2 ，亦即 (2 x )2 2 2x 1 0 ，
所以 (2x 1)2
0，于是 2x
1，解得 x 0 .
②由条件知 f (2x) 22 x 2 2x
(2x 2 x ) 2
2 ( f (x)) 2 2 .
因为 f (2 x)
mf ( x) 6 对于 x
R 恒成立，且 f ( x) 0 ，
所以 m ( f (x))2
4
对于 x R 恒成立 .
f ( x)
而 ( f ( x))
2
4
f ( x)
4 2 f ( x) ? 4
4 ，且 ( f (0))2
4 4 ，
f (x)
f (x)
f ( x)
f (0)
所以 m 4 ，故实数 m 的最大值为 4.
（ 2）因为函数 g (x)
f ( x) 2 只有 1 个零点，而
g (0)
f (0)
2 a 0 b 0
2
0 ，
所以 0 是函数 g ( x) 的唯一零点 .
因为 g ' ( x) a x ln a b x ln b ，又由 0 a 1,b 1知 ln a 0,ln b 0
，
所以 g ' ( x) 0 有唯一解 x 0 log b ( ln a ) .
a
ln b
令 h( x) g ' ( x) ，则 h ' ( x) (a x ln a b x ln b) ' a x (ln a)2 b x (ln b) 2 ，
从而对任意 x R ， h ' ( x) 0 ，所以 g ' (x) h( x) 是 (
,
) 上的单调增函数，
于是当 x (
, x 0 ) ， g ' ( x) g ' ( x 0 ) 0 ；当 x ( x 0 ,
) 时， g ' (x) g ' (x 0 ) 0 .
因而函数 g (x) 在 ( , x 0 ) 上是单调减函数，在 ( x 0 ,
) 上是单调增函数 .
下证 x 0
0 .
若 x 0 0 ，则 x 0
x 0
0 ，于是 g(
x 0
) g(0)
0 ，
2
2
0 ，且函数 g( x) 在以
x 0
和 log a
又 g (log a 2) a log
a
2
b log
a
2
2
a log
a
2
2 2 为端点的闭区间上的
2
图象不间断， 所以在 x 0
和 log a 2 之间存在 g( x) 的零点，记为 x 1 . 因为 0 a 1，所以 log a 2 0 ，
又
x
2
0 ，所以 x 1 0 与“ 0 是函数 g( x) 的唯一零点”矛盾 .
2
若 x 0 0 ，同理可得，在
x 0
和 log a 2 之间存在 g ( x) 的非 0 的零点，矛盾 .
2
因此， x 0 0 .
于是
ln a
1，故 ln a ln b 0 ，所以 ab
1 .
ln b
考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确
定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析
函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间
区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数 . 4.【 2016 高考天津理数】（本小题满分 14 分）
设函数 f ( x)
3
b , x R，其中 a,b R ( x 1) ax
(I)求f ( x)的单调区间；
(II) 若f (x)存在极值点 x0，且 f ( x1 ) f (x0 ) ，其中 x1 x0，求证： x12x0 3 ；（Ⅲ）设 a0 ，函数g(x)| f (x) |，求证： g( x) 在区间 [1,1] 上的最大值不小于1
.
．．．4
【答案】（Ⅰ）详见解读（Ⅱ）详见解读（Ⅲ）详见解读
【解读】
试卷分析：（Ⅰ）先求函数的导数： f ' (x)3( x 1) 2a，再根据导函数零点是否存在情况，
分类讨论：①当 a0 时，有f (x)0 恒成立，所以 f ( x) 的单调增区间为 (, ) .②当a0 时，存在三个单调区间
试卷解读：（Ⅰ）解：由 f ( x) ( x 1)3ax b ，可得 f ' (x) 3( x 1)2 a .
下面分两种情况讨论：
（）当 a0 时，有
f '() 3(
x
1)2
a
恒成立，所以 f (x) 的单调递增区间为 ( , ) .
1x
（ 2）当 a0 时，令 f '( x)0 ，解得x 13a
，或 x 13a . 33
当 x 变化时， f '( x) ，f ( x)的变化情况如下表：
x( ,13a )13a(13a ,13a)13a(13a , )
333333
f '( x)＋0－0＋
f ( x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
所以 f ( x) 的单调递减区间为 (13a,13a
) ，单调递增区间为 ( ,13a) ， (13a, ) .
3333
（Ⅲ）证明：设 g( x) 在区间 [ 0,2] 上的最大值为 M ， max{ x, y} 表示 x, y 两数的最大值.下面分三种情况同理：
（）当 a 3 时，3a
0 2 13a
，由（Ⅰ ）知， f ( x) 在区间 [0,2]上单调递减，所以 f (x)
1133
在区间 [ 0,2] 上的取值范围为 [ f (2), f (0)] ，因此
M max{| f ( 2) |, |f ( 0) |}max{| 1 2a b |,| 1 b |} max{| a 1 (a b) |, |a 1 (a b) |}
a1(a b), a b 0
，所以 M a 1 | a b | 2 .
a1(a b), a b0
（）当3
a 3
时， 1
23a
01
3a
1
3a
2 1
23a
，由（Ⅰ）和（Ⅱ ）知，
243333
f (0) f (123a) f (13a)， f (2) f (123a) f (13a )，
3333
所以 f ( x) 在区间 [ 0,2] 上的取值范围为 [ f (13a
), f (1
3a
)] ，33
因此 M max{| f (13a
) |, | f (1
3a
) |}max{|2a3a a b |,|
2a
3a a b |} 3399
max{|2a3a(a b) |,| 2a
3a(a b) |}
99
2a
2 3 3 1
3a | a b |
9 3
4
.
9 4
4
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【名师点睛】 1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域 (定义域优先 )； (2)求导函数 f ′(x)；
(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f ′(x)＞0 或 f ′(x)＜0 的解集．
(4)由 f ′(x)＞ 0(f ′(x)＜0)的解集确定函数 f(x)的单调增 (减 )区间．若遇不等式中带有参数时，
可分类讨论求得单调区间．
2．由函数 f(x)在 (a ，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为 f ′(x)≥ 0(或 f ′(x)≤ 0)恒成立问题，
要注意 “＝”是否可以取到．
5. 【2016 高考新课标 3 理数】设函数 f (x) acos 2x (a
1)(cos x 1) ，其中 a 0 ，记 | f ( x) | 的
最大值为 A ．
（Ⅰ）求 f ( x) ； （Ⅱ）求 A ；
（Ⅲ）证明 | f ( x) | 2A ．
2
3a,0 a
1
5
a 2
【答案】（Ⅰ） f ' ( x)
2asin 2x (a 1)sin x ；（Ⅱ） A
6a 1, 1
a 1 ；（Ⅲ） 解 ．
8a 5
3a 2, a 1
【解 】
卷解 ：（Ⅰ） f ' (x)
2a sin2x (a 1)sin x ．
（Ⅱ）当 a
1 ，
| f ' ( x) | | a sin 2 x (a 1)(cosx 1)| a 2( a 1)
3a 2
f (0)
因此， A 3a 2 ．
??? 4 分
当 0 a
1 ，将 f ( x) 形 f ( x) 2a cos
2 x (a 1)cos x 1 ．
令 g(t ) 2at 2 (a 1)t 1 ， A 是 | g(t) |在 [
1,1]上的最大 ， g( 1) a ， g (1) 3a 2 ，且当
t
1 a
， g (t) 取得极小 ，极小 g(1
a )
(a 1)2
1
a 2 6a 1 ．
4a
4a
8a
8a
令 1
1 a
1，解得 a
1
（舍去）， a
1 ．
4a
3
5
（Ⅲ）由（Ⅰ）得 | f ' (x) | |2a sin 2x(a1)sin x | 2a| a 1| .
当 0a 1
时， | f ' ( x) | 1a 2 4a2(23a)2A . 5
当1
a 1 时， A a13 1 ，所以| f'(x) |1 a2A . 588a4
当 a 1 时， | f ' (x) |3a16a 4 2A ，所以 | f ' ( x) | 2 A .
考点： 1、三角恒等变换； 2、导数的计算； 3、三角函数的有界性．
【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、
诱导公式将解读式化为形如y A sin( x) B 的形式；（2）结合自变量x的取值范围，结合
正弦曲线与余弦曲线进行求解．
6.【 2016 高考浙江理数】（本小题 15 分）已知a 3 ，函数F（x）=min{2| x?1|，x2?2ax+4a?2}，
其中 min{p，q}=
p， p q，
q, p > q.
（I）求使得等式 F（ x） =x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围；
（I I）（i）求 F（x）的最小值 m（a）；
（i i ）求 F（ x）在区间 [0,6]上的最大值 M（a）.
【答案】（） 2,2a；（）（）0,3a22；（）348a,3 a 4 ．
m a
4a2,a24
a222, a
【解读】
试卷分析：（ I ）分别对 x 1 和 x 1 两种情况讨论 F x，进而可得使得等式F x x22ax4a 2 成立的 x 的取值范围；（ II ）（ i ）先求函数 f x 2 x 1 ，
g x x22ax4a 2 的最小值，再根据 F x 的定义可得 F x 的最小值 m a；（ ii）分别对
0 x 2 和 2 x 6 两种情况讨论 F x 的最大值，进而可得 F x 在区间 0,6上的最大值
a．
高中数学：导数与函数的极值、最值练习 (时间:30分钟) 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为( B ) (A)1-e (B)-1 (C)-e (D)0 解析:因为f′(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f′(x)>0;当x∈(1，e]时， f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1. 2.(豫南九校第二次质量考评)若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值，则常数c的值为( C ) (A)4 (B)2或6 (C)2 (D)6 解析:因为f(x)=x(x-c)2， 所以f′(x)=3x2-4cx+c2， 又f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值， 所以f′(2)=12-8c+c2=0，解得c=2或6， c=2时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值; c=6时，f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值; 所以c=2. 3.函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无数 解析:函数定义域为(0，+∞)，且f′(x)=6x+-2=，不妨设g(x)=6x2-2x+1. 由于x>0，令g(x)=6x2-2x+1=0，则Δ=-20<0， 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立， 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点. 4.(银川模拟)已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)=ln x-ax(a>)，当x∈(-2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于( D ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由题意知，当x∈(0，2)时，f(x)的最大值为-1. 令f′(x)=-a=0，得x=，
《函数的极值与导数》教案 §1.3.2函数的极值与导数（1） 【教学目标】 1．理解极大值、极小值的概念． 2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤． 【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】 对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】 一、复习引入： 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/ y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/ y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数． 2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课： 1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，) (0x f
导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导
数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1
导数的应用学案 【教学目的】 1.通过函数图像直观理解导数的几何意义。 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间； ③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性； ⑤导数与函数、不等式方程根的分布等知识相融合的问题； ⑥导数与解析几何相综合的问题。 【教学过程】 一、准备知识 1.导数的意义 从代数上来说： 从几何上来说： 单调性与导数的关系(注意区间)： 2.什么叫光滑(圆滑)曲线：不会出现尖角，导数不会突变。 二．新课教授 1.极值定义： 一般地, 设函数f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有f(x)
导数与函数的极值、最值考点与题型归纳 考点一 利用导数研究函数的极值 考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值 [例1] 已知函数f (x )＝x －1＋a e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数 f (x )的极值． [解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－a e x . ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ， 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值； 当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． [例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． [解] f ′(x )＝1 x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)． 令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤8 9时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0， 函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞8 9 时，Δ＞0， 设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)，
1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ，
【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（）
§1．3．2函数的极值与导数（1课时） 【学情分析】： 在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。 【教学目标】： （1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤 【教学重点】： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】： 极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤 教学 环节 教学活动设计意图 创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数() h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数() h t的图像，如图3.3-9．可以看出() h a '；在t a =，当t a <时，函数() h t单调递增，()0 h t'>；当t a >时，函数() h t单调递减，()0 h t'<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0 h t'>）后减（t a >，()0 h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，() h t'先正后负，且() h t'连续变化，于是有()0 h a '=． 对于一般的函数() y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
第三十九讲 函数的极值、最值与导数 一、引言 1.用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为高考试题的又一热点． 2.考纲要求：了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值和极小值，能求出最大值和最小值；会利用导数解决某些实际问题． 3.考情分析：2010年高考预测对本专题内容的考查将继续以解答题形式与解析几何、不等式、平面向量等知识结合，考查最优化问题，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法． 二、考点梳理 1．函数的极值： 一般地，设函数()y f x =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说()0f x 是函数()y f x =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说()y f x =是函数()y f x =的一个极小值．极大值与极小值统称极值． 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值． 理解极值概念要注意以下几点： （1）极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （2）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而4()f x >)(1x f ． 2．函数极值的判断方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
f(a) O a x y f ( b) O b x 【学习目标】： 函数的极值与导数（复习学案） 1.回顾函数极值的概念. 2.总结掌握函数极值的四种类型题型. 3.培养分析问题、解决问题的能力. 【温故知新】： 极值的概念： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的，其中x0叫作函数的. 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0) ，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个，其中x0叫作函数的. 【类型1】：函数y=f(x)的图象与函数极值 【针对训练1】 1.图3 中的极大值点有；极小值点有. 2.观察函数在X2 与X6 的极值，能发现什么？ 【类型2】导数y=f(x)的图象与函数极值 1.由图3 分析极值与导数的关系
x0是函数f(x)的极值点f(x0) =0 f(x0) =0 x0是函数f(x)的极值点 总结：f(x0)=0 是函数取得极值的条件. 2.利用导数判别函数的极大（小）值： 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，且f ' (x0)=0，判别f(x0)是极大（小）值的方法是： (1)如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是； ⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是；【针对训练2】 导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点， 并指出那些是极大值点，那些是极小值点？ 【针对训练3】 导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处 （1）导函数y=f’(x)有极大值？ （2）导函数y=f’(x)有极小值？ （3）函数y=f(x)有极大值？ （4）函数y=f(x)有极小值？ 【类型3】求函数y=f(x)的极值 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： (1) (2) (3) (4) (5)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A.
5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x)
1.3.2 函数的极值与导数（教案） 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提高学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数 ()h t =-4.9t 2 +6.5t+10的图象，回答 以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： a o h t
导数与函数的极值专题 1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极小值点, 叫作函数y=f (x )的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f (x )在点x=a 的函数值f (a )比它在点x=a 附近其他点的函数值都 ；,f ' (a )= ;而且在点x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则 叫作函数y=f (x )的极大值点, 叫作函数y=f (x )的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 2、利用导数求函数极值的一般步骤： (1) 求导函数f /(x)； (2) 求解方程f /(x)=0； (3)检查f /(x)在方程f /(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值 题型1：极值与导数的关系： 1、已知定义在R 的函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 2、已知定义在R 的可导函数f(x),则“0x 是函数 f(x)的极值点”是“0)(0='x f ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上都不对 3、已知函数f (x )=2e f '(e)ln x e x -(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( ) A .2e -1 B .e 1- C .1 D .2ln 2 4、设f (x )=12x 2-x+cos(1-x ),则函数f (x ) ( ) A .有且仅有一个极小值 B .有且仅有一个极大值 C .有无数个极值 D .没有极值
课时规范练 A 组 基础对点练 1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e 解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A. 答案：A 2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 解析：∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 即????? 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得????? a ＝－3，b ＝3，或????? a ＝4， b ＝－11. 而当????? a ＝－3， b ＝3 时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0， 故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C. 答案：C 3．(2019·岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x )
C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x 解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D. 答案：D 4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为() A．2 B．3 C．6 D．9 解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0?a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D. 答案：D 5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是() A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对 解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减． 所以x＝0为极大值点，也为最大值点． 所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5. 所以最小值是－37. 答案：A 6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()
函数极值与导数（基础） 1.下列说法正确的是 A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值 B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值 C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值 D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2、函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、函数3()13f x x x =+-有（ ） A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3 4、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间13,2?? -- ?? ?内单调递增； ②函数()y f x =在区间1,32?? - ??? 内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当4x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12 x =-时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是___________． 5、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于_______ 6、函数x x x f ln 1 )(+= 的极小值等于_______. 7、求下列函数的极值： (1)．x x x f 12)(3-=；(2)．2()x f x x e =；(3)．.21 2)(2-+= x x x f 8、已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ． (1)．试求常数a 、b 、c 的值； (2)．试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 9、已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是．
3.3.2 函数的极值与导数教学设计 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 四、教学过程 〈一〉、创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单 调性的关系是什么？ （提问学生回答）
2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t=a 处的导数是多少呢？ （2）在点t=a 附近的图象有什么特点？ （3）点t=a 附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a 点处h /(a)=0,在t=a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是h /(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b 点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? a o h t
导数与函数的极值、最值 考纲解读 1.以基本初等函数为背景，求函数的极值或极值点；2.求基本初等函数在闭区间上的最值；3.利用极值、最值、研究不等关系或求参数范围． [基础梳理] 1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点： 若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫作函数的极小值点，f (a )叫作函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点： 若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫作函数的极大值点，f (b )叫作函数的极大值． 2．函数的最值与导数的关系 (1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件： 如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值． ②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [三基自测] 1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：A 2．函数f (x )＝x 33＋x 2 －3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103