初中数学解直角三角形测试题
一. 选择题：（每小题2分，共20分）
1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ）
A.
43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）
A. 21
B. 33
C. 1
D.
3. 在△ABC 中，若22cos =
A ，3tan =
B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）
A.EG
EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A. sin65° B. sin65°>cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC 中，∠C=90°，5 2sin =A ，则sinB 的值是（ ） A. B. C. D. 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边 形的面积是（ ）米2 A. 150 B. C. 9 D. 7 9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ） A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角 为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A. αsin 1 B. αcos 1 C. αsin D. 1 二. 填空题：（每小题2分，共10分） 11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，2 1sin =α ，当α=__________时， 。 12. 若，则锐角α=__________。 13. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，5 3sin = A ，36=++c b a ，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为__________。 15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。 三. 解答题：（16、17每小题5分，其余每小题6分共70分） 16. 计算)30cos 30cot 1)(60sin 60tan 1( +--+ 17. 如图22，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB ，求tanD 。 18. 已知直角三角形中两条直角边的差是7cm ，斜边的长是13cm ，求较小锐角α的各三角函数值。 19. 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点 重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。 （1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。 20. 已知在△ABC 中，32=AB ，AC=2，BC 边上的高3=AD 。 （1）求BC 的长； （2）若有一个正方形的一边在AB 上，另外两个顶点分别在AC 和BC 上，求正方形的面积。 21. 已知，△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC ，AB=5，AC=3，求AD 的长。 22. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD 的面积。 23.已知ABC ?中，AD 为中线，34,10,60===∠BC AB BAD ，求AC 的长。 24.在△ABC 中，∠A ＝1200，AB ＝12，AC ＝6。求sinB ＋sinC 的值。 25.四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠BCA ＝600，∠CDA ＝1350，340,10==?ABC S BC 。求AD 边的长。 26．湖面上有一塔高15米，在塔顶A 测得一气球的仰角为40 ，又测得气球在水中像的俯角为60 ，求气球高出水面的高度（精确到0.1米）。 27、由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处以107海里/时的速度向南偏东60 的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。 （1）通过计算说明A市是否受到本次沙尘暴的影响？ （2）若A市受沙尘暴影响，求A市受沙尘暴影响的时间有多长？ 试题答案 一. 选择题： 1. A 2. B 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A 提示：10. 如图24所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，依题意，有AE=AF=1，可证得∠ABE=∠ADF=α。 所以可证得△ABE≌△ADF，得AB=AD， 则四边形ABCD是菱形。 在Rt△ADF中，。 所以 二. 填空题： 11. 30°，30°；12. 60°；13. a=9，b=12，c=15，； 14. 15. 504。 提示：13. 设a=3t，c=5t，则b=4t， 由a+b+c=36，得t=3。 所以a=9，b=12，c=15。 。 14. 等腰三角形的腰只能是6，底边为2，腰不能为2，否则不满足三角形两边之和大于第三边，作底边上的高，利用勾股定理求高。 15. 利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，则地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，则买地毯至少需要16.8×30=504元。 三. 解答题： 16. ； 17. ； 18. 19. 分析：根据条件可知MN是AE的垂直平分线，则AN=NE。所以∠AEN可以是Rt△EGN的一个锐角，或是Rt△GAN的一个锐角，或是Rt△EBA的一个锐角。 解：∵ ∵DC+CE=10， ∴3a+2a=10，∴a=2。 ∴BE=2，AB=6，CE=4。 又。 。 20. 根据条件显然有两种情况，如图25。 （1）在图25（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠C=60°，BC=4，所以△ABC 是直角三角形。 在图25（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，∠BAD=60°，BC=AC=2，△ABC 是等腰三角形，AC平分∠BAD。 （2）在图26（1）中，设正方形边长为x，∵，解得 。 在图26（2）中，设正方形边长为x。 解得 21. 解法一：过B作CA延长线的垂线，交于E点， 过D作DF⊥AC于F。 ∴DF∥BE ∴△FDC∽△EBC ∵AD平分∠BAC ∵∠BAC=120° ∴∠EAB=180°－∠BAC=60° 在Rt△ABE中， 在Rt△ADF中，∵∠DAC=60° 解法二：如图11，过C作CE⊥AD于D，过B作BF⊥AD交AD的延长线于F。 ∵AD平分∠BAC，∠BAC=120° ∴∠BAD=∠CAD=60°。 在Rt△AEC中， 在Rt△ABF中， ∵CE∥BF ∴△BDF∽△CDE。 ∵EF=1 分析：题目中有120°角及它的角平分线，所以有两个60°这个特殊角，要求60°角的一条夹边AD的长，可以构造等边三角形，得到与AD相等的线段。 解法三：如图12，过点D作DE∥AB交AC于E。 则∠ADE=∠BAD=∠DAC=60° ∴△ADE是等边三角形。 ∴AD=DE=AE 设AD=x 解直角三角形练习 一、耐心填一填 1．如图1，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度14AB =米，CD 为中柱，则上弦AC 的长是________米（用A ∠的三角函数表示）． 2．如图2，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5cos 13B =，则这个菱形的面积是________． 3．计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+= ________． 4．如图3，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点 作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶ 50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ， 则山顶P 的海拔高度约为________m ．（取3 1.732≈）． 5．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________． 二、精心选一选 6．在ABC △中，90C ∠=，若2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．12 Ｄ．23 7．在ABC △中，90C ∠=，AC BC =，则sin A 的值等于（ ） Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．32 Ｄ．1 8．ABC △中，90C ∠=，3sin 5A = ，则:BC AC 等于（ ） Ａ．3:4 Ｂ．4:3 Ｃ．3:5 Ｄ．4:5 9．如图4，Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，30DAC ∠=， 2BD =，23AB =，则AC 的长是（ ） Ａ．3 Ｂ．22 Ｃ．3 Ｄ．332 10．Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4a b =，运用计算器计算，A ∠的度数（精确到1°） 《解直角三角形》教案 课题解直角三角形 备课人课型新授课课时 2 教学目标知识 与能 力 会通过添加辅助线，把解非直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题。 过程 与方 法 通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力 情感 态度 价值 观 感受数形结合在解题中的作用 课标要求能用锐角三角函数解直角三角形重点辅助线的做法 难点做辅助线 教法自主探究合作交 流教具学 具 三角板 教学程序教师活动学生活动 激情导入 认定目标 1.在直角三角形中，由已知的———————————————————，求出另 一些————的过程，叫做解直角三角形. 2.直角三角形中元素之间的关系 （1）.两锐角之间的关系 （2）.三边之间的关系 （3）.边角之间的关系 3.如果知道直角三角形的几个元素就可以求 其他的元素？有几种情况？ 出示学习目标 自学导航 1、求下列各直角三角形中字母的值 学生回顾 口答 一生口述目标，其余 生静听、领会 快速利用解直角三 角形的方法解决1题（第5题） 自主探究 激 2、例1在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦20厘米,求AB 的长 思考（1）、?ABC不是直角三角形怎么办？ （2）、如果转化成直角三角形过那个顶点做垂 线可以解决问题？ 3、例2、△ABC中，∠A=30°，∠ ABC=135°，BC=2，求AC的长？ 思考（1）、?ABC如何在不改变已知角的情况 下转化成直角三角形？ 指导生互动交流，解决生自学中的困惑问题 点评：1、把解非直角三角形的问题转化为解 直角三角形时添加辅助线一般保持原量不变。 1、自学导航2题 思考 探究2、3中如何解 决 试写出解答过程 标出困惑之处 组内交流自学导航 中的困惑问题，全组达成 一致意见。 有困惑的组由科代 表提出本组困惑问题，寻 求其他组帮助，各组选派 代表说明如何把解非直 角三角形的问题转化为 解直角三角形、添加辅助 线的依据是什么？ 师生互动 1题3号生板演完成 2题2号生板演完成 1号生点评、互改 各组针对出现问题 l1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，那么AB的长为（）A．3sinαB．3cosαC．D． 2．在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=α，那么AD等于（）A．asin2αB．acos2αC．asinαcosαD．asinαtanα 3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC边上一点，若tan∠DBA=，则tan∠CBD的值为（） A．B．C．1 D． （第3题）（第4题）（第8题） 4．△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，∠C=90°，点C的坐标为（，﹣），则点B 的坐标是（） A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（2，0） 5．等腰三角形的底角为30°，底边长为2，则腰长为（） A．4 B．2C．2 D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=c，那么BC等于（） A．c?sinαB．c?cosαC．c?tanαD．c?cotα 7．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 8．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（） A．90m B．60m C．45m D．30m 9．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若AC=6米，则树高BC为（）A．6sinα米B．6tanα米C．米D．米 10．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（） A．2 B．C．D． （第9题）（第10题）（第11题）11．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD：AD的值为（）A．B．C．D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（） A．B．C．D． （第12题）（第13题）（第14题） 13．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上，若sin∠DFE=，则tan∠EBF的值为（） A．B．C．D． 14．如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧 上的一点，则tan∠APB的值是（） 解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 初中数学---（几何部分） 几何基础概念（8册上） 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义。 命题：判断一件事情的句子叫做命题。（命题就是具有真假意义的一句话）命题通常由条件 和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断的事项，命题写成“如果……那么……”的形式。 正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 证明：判断一个命题的推理的过程叫做证明。 公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。 定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理。证明一个命题的正确性，要按“已知”，“求证”， “证明”的顺序和格式书写。 一、直线 直线的性质：直线没有粗细、向两方无限伸展。 两条直线的位置关系：1、相交，2、平行（重合看做是平行的特例）。 1、两条相交直线 （1）斜交。直线AB 和直线CD 相交于点O 。如图∠1和∠2,叫做是对顶角。它们有公共顶点O ，且他们的两边是互为反向延长线。同样∠3和∠4是对顶角。 定理：对顶角相等。 ∠1和∠4，∠1和∠3, ∠2和∠4，∠2和∠3是互为补角。即∠1+∠4=180o （2）垂直。直线AB 和直线EF 相交于O 点，其中∠AOF=90o，则称直线AB 和直线EF 互相垂直。由此∠AOE 、∠EOB 、∠BOF 都是90o。 ∠1+∠2=∠BOF=90o，称∠1和∠2是互为余角。 定理：同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。 （3）作图 ①已知线段AB ，O 是线段AB 上中点，过O 点作线段CD ，使得CD ⊥AB 。 ②已知直线AB ，P 是直线AB 外一点。过P 作直线AB 的垂线 ③作已知∠AOB 的平分线 ⑤已知∠AOB ，作∠A ′O ′B ′，使得∠A ′O ′B ′=∠AOB 。 作法：略（六册下，P53） 2、两条直线平行 （1）有关概念：同位角、内错角、同旁内角。 如图，直线AB 和直线CD 被直线L 所截，同位角有：∠1和∠2，∠3和∠4，∠5和∠6， B 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． 初中数学解直角三角形测试题 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 33 C. 1 D. 3. 在△ABC 中，若22cos = A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65° 解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65° 《解直角三角形的应用》教案 教学目标 1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念． 2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． 3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题． 学习重点 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 教学难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型． 教学过程 一、寻疑之自主学习 1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角． 2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角． 3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向． 图1 图2 4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα ＝h l． 二、解惑之例题解析 例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）. 例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km） O Q F P α 解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． 6400cos 0.956400350 OQ OF ==≈+α 18α∴≈ ∴ PQ 的长为 186400 3.146402009.6180 π≈××= 答： 当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km 解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点． 例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ） 解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC ． 解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120． tan ,tan BD CD AD AD αβ== tan 120tan 30BD AD α∴=?=? 120== tan 120tan 60CD AD β=?= ? 120=?= BC BD CD ∴=+=+ 277.1=≈ A B C D α β 初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 | 解直角三角形测试题与答案 一．选择题（共12小题） 1．（2014义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（） A．1B．C．2D．3 2．（2014巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 3．（2014凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） A．45°B．60°C．75°D．105° 4．（2014随州）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（） D．50米 A．100米B．50米C． 米 5．（2014凉山州）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是（） A．15m B．20m C．10m D．20m 6．（2014百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（） A．（6+6）米B．（6+3）米C．（6+2）米D．12米 7．（2014苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（） A．4km B．2km C．2km D．（+1）km 8．（2014路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（） A．B．C．D． 9．（2014长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（） A．B．C．D． 10．（2014工业园区一模）若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（） A．20°B．30°C．40°D．50° 11．（2014鄂州四月调考）在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（） A．B．C．D． 12．（2014邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（） A．B．C．D． 二．填空题（共6小题） 13．（2014济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________． 14．（2014徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A的正切值为_________． 15．（2014虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________． 16．（2014武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________米． 17．（2014海门市模拟）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的 解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里 解直角三角形单元测试题 班级__________姓名__________ 分数__________ 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3 sin = a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题3分，共15分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) (12题) （13题） A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4 cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) A ．54 B ．43 C ．34 D ．5 3 14．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是 ( ) A ．ab 21 B ．B ac sin 21 C ．A b tan 212 D ．B A c cos sin 2 1 2? 15．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题(共75分) 16．计算（每题5分，共10分） (1)2cos30°+cot60°-2tan45°·tan60° 《解直角三角形》（第1课时）教案 探究版 教学目标 知识与技能 1．掌握直角三角形中角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、角与边（锐角三角比）之间的关系． 2．已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形． 过程与方法 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 情感与态度 渗透数形结合的数学思想，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯． 教学重点 直角三角形的解法． 教学难点 锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 教学过程 一、情景导入 教师用多媒体出示： 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， C B A （1）若AC =h ，BC =l ，你能求出AB 及∠B 吗？ （2）若AC =h ，∠B =α，你能求出AB 及BC 吗？ 师生活动：师出示问题后，让学生分组讨论尝试求解． 师在学生充分讨论后，给出结论： （1）AB sin ∠B =AC AB =再利用计算器即可求出∠B ； （2）AB = sin sin AC h αα=，BC =tan tan AC h αα = ． 设计意图：通过具体的问题，引发学生解直角三角形的思考，为引出本节课的内容做好铺垫． 二、探究新知 观察与思考 （1）在Rt △ABC 中（如图所示），∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ．除直角C 已知外，你会用含有这些字母的等式把其他5个元素之间的关系表示出来吗？与同学交流． c a C B A 师生活动：教师引导学生观察示意图，启发学生利用三角比的知识把除∠C 之外的5个元素之间的关系表示出来．最后把学生说出的等式按“角”、“边”、“角与边”加以分类，并进行总结． 师总结如下： ①角之间的关系：∠A +∠B =90°； ②边之间的关系：222a b c +=； ③角与边之间的关系：sin A = a c ，cos A = b c ，tan A =a b ． （2）观察上面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？ 师生活动：教师应引导学生通过思考和交流，理解在直角三角形中，除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素，由此引出解直角三角形的概念． 在讲解“除直角外知道其中的两个元素（至少一个是边），就可以求出其他三个未知元素”时师可让学生仔细观察②③两组等式，并重点讲解： （1）在②③两组等式中，每个等式中都含有三个量．如果已知其中的两个量，则第三个量可由相应的等式求出，其中②中，三个量都是边，③中的三个量有一个是角，另外两个是边，因而在已知的两个元素中，至少有一个元素是边．“至少有一个”的含义是或者其中一个元素是边，或者两个元素都是边，因此，解直角三角形问题可分为两类：已知两边（两 1． 一人乘雪橇沿坡度为１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间 t （秒）之间的关系为Ｓ＝2 210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的 垂直高度为 2.如图甲、乙两楼之间的距离为40米，小华从甲楼顶测乙楼顶部 仰角为α，观测乙楼的底部俯角为β，试用含α、β的 三角函数式子表示乙楼的高=h 米. 3.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ， E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 4.如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 反射后照射到B 点.若入射角为α， AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11求tan 5.如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB =CD =30m ，两楼间的距离AC =24m ，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？ 6.如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ； (2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值. （精确到0.1m ≈1.41 1.73） 1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点， 则sin A的值为 2．如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据： ≈≈） 1.414 1.732 解直角三角形 一.选择题 1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（） A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题； 【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N． 在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k， ∴CD=10， ∴（3k）2+（4k）2=100， ∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC是矩形， ∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66， 在Rt△AEM中，tan24°=， ∴0.45=， ∴AB=21.7（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出 直角三角形是解答此题的关键． 2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（） A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米 【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=，∴AB==．故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A．B．C．D． 【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==； 【解答】解：如图，连接AD． ∵OD是直径， ∴∠OAD=90°， 解直角三角形 单元测试 (时间：100分钟 满分：150分) 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3sin =a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成 60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题4分，共20分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) A ．54sin = a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) 解直角三角形 一、选择题（3×10=30） 1、在R t △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值是（ ） A 、14 C 、1 3 D 2、在△ABC 中，∠C=900,如果tanA= 5 12 ,那么sinB 的值的等于（ ） A 、513 B 、1213 C 、512 D 、125 3.（2010年日照市）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =5 1 ，则AD 的长为 （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 4.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ） A ．5200m B ．500m C ．3500m D ．1000m 5.边长为a 的等边三角形的面积为________ A.22 3a B.2 43a C. a 43 D.23a 6、AE 、CF 是△ABC 的两条高，如果AE ：CF=3：2，则sinA ：sinC 等于（ ） A 、3：2 B 、2：3 C 、9:4 D 、4：9 7、如图，在△ABC 中，∠C=900，∠B=500 ,AB=10,则BC=的长为 ( ) A 、10tan500 B 、10cos500 C 、10sin500 D 、 10 cos50 8、王英同学从A 地沿北偏西0 60方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（ ） A 、、100m C 、150m D 、m 9（ ） A 、1-3 B 1 C 、3 -1 D 、 10、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西400 的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ） A 、30海里 B 、40海里 C 、50海里 D 、60、海里 二、填空题（2×6=12） 11、计算：2sin600 = 。12、某坡面的坡角为600 ，则它的坡度是 。 C B A 100m 200m C A B 南 东 北 西解直角三角形练习题
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