习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法(定理8.2.2); ⑵ 举例说明,当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时,?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 (1)定理8.2.2(比较判别法) 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤,其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛; 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 0>?ε ,a A ≥?0,0,A A A ≥'?:K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε?' A A dx x K )(, 所以? ∞+a dx x f )(也收敛; 当? ∞+a dx x f )(发散时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 00>?ε,a A ≥?0,0,A A A ≥'?: εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K , 所以?∞ +a dx x )(?也发散. (2)设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?,且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时,?∞ +a dx x )(?也发散;但当?∞ +a dx x f )(收敛时,?∞ +a dx x )(?可能收敛,也可能发散. 例如21)(x x f = ,)20(1 )(<<=p x x p ?,则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。(总结) 课程名称:高等数学(下) 专业班级: 成员组成 联系方式: 2012年5月18日
摘要:在学习数项级数的时候,对于单一的方法所出的例题,大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后,再给出题目,大家似乎一头雾水,不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法,虽然也可行。但是对于同一个级数,用不同的方法判断敛散性的难易程度不同,如果选用合适的方式,可以到到事半功倍的效果,但是如果悬选择了错误的方法,可能费了九牛二虎之力之后,得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法,了解它们的特性,才能更好地运用它们。 关键词:数项级数,敛散性,判断,方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言:以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理,并通过一些例题,讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。
页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法(定理8.2.2); ⑵ 举例说明,当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时,?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 (1)定理8.2.2(比较判别法) 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤,其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛; 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 0>?ε ,a A ≥?0,0,A A A ≥'?:K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε?'A A dx x K )(, 所以? ∞+a dx x f )(也收敛; 当?∞+a dx x f )(发散时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 00>?ε,a A ≥?0,0,A A A ≥'?: εK dx x f A A ≥?' )(. 于是
页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K , 所以?∞+a dx x )(?也发散. (2)设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?,且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时,?∞+a dx x )(?也发散;但当?∞+a dx x f )(收敛时,?∞+a dx x )(?可能收敛,也可能发散. 例如21)(x x f =,)20(1)(<<=p x x p ?,则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛,而对于?∞+1)(dx x ?,则当21<
=p x x p ?,则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散,而对于?∞+1)(dx x ?,则当12 1≤
p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式(定理8.2.3). 证 定理8.2.3(Cauchy 判别法) 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0,K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤,且p >1,则?∞+a dx x f )(收敛;
目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14)
§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求: 掌握条件收敛与绝对收敛的概念,收敛的无穷积分具有的四个性质;掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点,难点: 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容: 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道,无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否,取决于函数F (u )=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G ≥a ,只要u 1、u 2>G ,便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?? 。 证明: 由于 ()lim a u f x dx +∞ →+∞ =? ()dx x f u a ?=(),lim u F u →+∞ 所以 ()dx x f a ? +∞ 收敛?()lim u F u →+∞ 存在?0,G ε?>?≥a ,只要u 1、u 2>G ,便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- ?? 此外,还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质。 性质1 (线性性质) 若 ()dx x f a ? +∞ 1与()dx x f a ? +∞ 2都收敛,k 1、k 2为任意常数,则 ()()[]dx x f k x f k a ?+∞ +2 2 11 也收敛,且 ()()[]dx x f k x f k a ?+∞ +2211=()()dx x f k dx x f k a a ? ?+∞ +∞ +2211。 (1) 证明: 记()()111lim u a a u J f x dx f x dx +∞ →+∞ ==? ?, ()()222lim u a a u J f x dx f x dx +∞→+∞ ==? ?, 则 ()()[]dx x f k x f k a ?+∞ +2 2 1 1=()()1122lim u a u k f x k f x dx →+∞+????? = 1122[()()]lim u u a a u k f x dx k f x dx →+∞ +?? =1 122()()lim lim u u a a u u k f x dx k f x dx →+∞ →+∞ +? ? =1122k J k J +=1 122()().a a k f x dx k f x dx +∞ +∞ +? ? □
反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要:掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法,对于需要计算出其收敛值的,也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词:Cauchy 判别法; Abel 判别法; Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下,只需确定一个反常积分函数的收敛性,而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此,掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤,其中K 是正常数,则 (1) 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛; (2) 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ,K 是正常数, (1)若p x K x f ≤)(,且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛; (2)若p x x f K ≥)(,且p 1≤,则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛,)(x g 在),[+∞a 单调有界,则dx x g x f a )()(?+∞收敛;
2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界,)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ,则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ,当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时,存在正常数K ,使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1,则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛,)(x g 在),[ b a 上单调有界,则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界,)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同,其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的,同一类函数也可用不同的方法来计算,既省时间,正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2004.6.
无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前,学生已经对定积分有所了解,并初步掌握定积分的基本知识,本节通过介绍反常积分,加深学生对积分的了解,使同学对积分的了解更加系统化,并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习,对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥,所以要积极调动学生的兴趣,培养好课堂气氛,使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题,这些问题通常是一些实际问题。例如:常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2.本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点:无穷限反常积分计算,无穷限反常积分的比较审敛法则; 教学难点:无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求:2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识,通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分,尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质,并适时举例讲解,引导学生互动,相互讨论解决问题。
六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数/定义在无穷区间[+∞,a )上,且在任何有限区间[u a ,]上可积.如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分),记作 dx x f J a ?+∞ =)(,并称 dx x f a ?+∞ )(收敛.如果极限J dx x f u a u =? +∞→)(lim 不存在,亦称 dx x f a ?+∞ )(发散. 类似地,可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分:.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ? ?-∞→∞-= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义: ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数, 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的. 注: dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是:若f 在],[+∞a 上为非负连续函数,则介于曲线 )(x f y =,直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J . 例1 讨论无穷积分.1) 10 2? +∞ +x dx ,.1)22 ?∞+∞-+x dx ,.)302 ?+∞-dx xe x 的收敛性. 例2 讨论下列无穷积分的收敛性:? +∞ 1 ) 1p x dx , ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道,无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否,取决于积分上限函数= )(u F ? u a dx x f )(在 +∞→u 时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G ≥a ,只要 G u u >21,,便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f .
目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14)
判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要:反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一,本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子,以及绝对收敛和条件收敛的概念等,让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法,以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性,以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词:无穷积分;瑕积分;敛散性;判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng,School of Mathematics & Computer Science
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法(定理8.2.2); ⑵ 举例说明,当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时,?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 (1)定理8.2.2(比较判别法) 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤,其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛; 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 0>?ε ,a A ≥?0,0,A A A ≥'?:K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε?' A A dx x K )(, 所以? ∞+a dx x f )(也收敛; 当? ∞+a dx x f )(发散时,应用反常积分的Cauchy 收敛原理, 00>?ε,a A ≥?0,0,A A A ≥'?: εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K , 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 (2)设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?,且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时,?∞ +a dx x )(?也发散;但当?∞ +a dx x f )(收敛时,?∞ +a dx x )(?可能收敛,也可能发散。 例如21)(x x f = ,)20(1 )(<<=p x x p ?,则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛,而对于?∞ +1)(dx x ?,则当21<
任意项级数敛散性判断 下列级数是否收敛,说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n
答 解:1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ ( 2 1 =p 的p 级数) 而原级数是交错级数 且: 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理,原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n