高数第8,9章

习题8-1

1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0}; 解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1

解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.

(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}?{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同,

边界为 {(x , y )|x 2

+(y -1)2

=1}?{(x , y )|x 2

+(y -2)2

=4}.

2. 已知函数y

x

xy y x y x f tan

),(22-+=, 试求f (tx , ty ). 解 )(tan )()()()(),(22ty

tx ty tx ty tx ty tx f ??-+= ),()tan

(2222y x f t y

x

xy y x t =-+=. 3. 试证函数F (x , y )=ln x ?ln y 满足关系式:

F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).

证明 F (xy , uv )=ln((x , y )?ln(uv )

=(ln x +ln y )(ln u +ln v )

=ln x ?ln u +ln x ?ln v +ln y ?ln u +ln y ?ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).

4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v

, 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .

5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2

-2x +1); 解 要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为

D ={(x , y )|y 2

-2x +1>0}. (2)y

x y x z -++=

1

1

; 解 要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为

D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}. (3)y x z -=

;

解 要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥,

于是有 x ≥0且x 2≥y ,

故函数定义域为

D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)2

2

1)ln(y

x x x y z --+

-=;

解 要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为

D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2

+y 2

<1}. (5)222222221

r

z y x z y x R u -+++

---=

(R >r >0);

解 要使函数有意义, 必须

R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0,

故函数的定义域为

D ={(x , y , z )| r 2

2

arccos

y

x z u +=.

解 要使函数有意义, 必须 x 2

+y 2

≠0, 且1||2

2≤+y x z

即z 2≤x 2+y 2

,

故函数定义域为

D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.

6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim

y x xy

y x +-→;

解

1100

11lim

22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .

(2)2

2

)

0,1(),()ln(lim

y x e x y y x ++→;

解

2ln 01)1ln()

ln(lim

2

2

02

2)

0,1(),(=++=

++→e y x e x y y x .

(3)

xy xy y x 4

2lim )

0,0(),(+-→;

解

xy

xy y x 42lim

)

0,0(),(+-

→)

42()

42)(42(lim

)

0,0(),(++

++

+-=

→xy xy xy xy y x

41

)42(1lim

)0,0(),(-=++-=

→xy y x .

(4)

11lim

)

0,0(),(-+→xy xy y x ;

解

1

1lim )

0,0(),(-+→xy xy y x )

11)(11()11(lim

)

0,0(),(-+++++=

→xy xy xy xy y x

2)11lim )

11(lim

)

0,0(),()

0,0(),(=++=

++=→→xy xy

xy xy y x y x .

(5)y xy y x )

sin(lim )0,2(),(→;

解 y xy y x )sin(lim

)0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=?=?=→x xy

xy

y x . (6)

2

2)()cos(1lim

2

2

22)

0,0(),(y x y x e

y x y x ++-→.

解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222

)0,0(),(222

2)0,0(),(y x y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 21

2

22

2

)0,0(),(=+=→y

x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)

y x y

x y x -+→)0,0(),(lim

;

证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则

1lim lim 00

)0,0(),(==-+→=→x x y x y x x y y x ; 如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则

1lim lim

00

)0,0(),(-=-=-+→=→y y

y x y x y x y x .

因此, 极限

y x y

x y x -+→)0,0(),(lim

不存在.

(2)2

222

2)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→.

证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则

1lim )(lim 44

022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x x y y x ;

如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则

044lim )(lim 244

0222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x x y y x .

因此, 极限2222

2)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.

8. 函数x

y x

y z 2222-+=在何处间断？

解 因为当y 2

-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2

-2x =0处, 函数x

y x

y z 222

2-+=间断. 9. 证明

0lim

2

2

)

0,0(),(=+→y

x xy y x .

证明 因为2

2||||

22222

2222

2

y x y

x y x y x xy y

x xy +=++≤+=

+,

所以 02

lim

||lim 022)

0,0(),(2

2)

0,0(),(=+≤

+≤

→→y x y

x xy y x y x .

因此

0lim

2

2

)

0,0(),(=+→y

x xy

y x .

方法二:

证明 因为2||22y x xy +≤, 故2

2||22222

222y x y x y x y x xy +=++=+.

对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<

220y x 时恒有

εδ

=<

+≤-+2

2|0|222

2

y x y x xy ,

所以 0lim

2

2

)

0,0(),(=+→y

x xy y x .

10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.

证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.

作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而

|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.

又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.

习题8-3

1. 求下列函数的全微分:

(1)y x

xy z +=;

解 dy y z dx x z dz ??+??=

dy y

x x dx y y )()1(2-++=. (2)x y

e z =;

解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y

12+-=??+??=. (3) 2

2

y

x y z +=;

解 因为

2/32223

2

2)

()(21y x xy y x y x z +-=+-=??-,

2/3222

2

22

222)

(y x x y x y x y y y x y

z +=++?

-+=??, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2

/3222

2/322)

()(+++-= )()

(2

/322xdy ydx y x x

-+-

=. (4)u =x yz . 解 因为

1-?=??yz x yz x u

, x zx y u yz ln =??, x yx z u yz ln =??, 所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.

2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为 2

212y

x x

x z ++=??, 2212y x y y z ++=??,

312

1

=??==y x x

z

, 3

22

1

=

??==y x y z , 所以 dy dx dz

y x 32312

1

?+===. 3. 求函数x

y

z =当x =2, y =1, ?x =0.1, ?y =-0.2时的全增量和全微分.

解 因为

x

y x x y y z -?+?+=?, y x x x y dz ?+?-=12

, 所以, 当x =2, y =1, ?x =0.1, ?y =-0.2时,

119.0211.02)2.0(1-=-+-+=?z , 125.0)2.0(21

1.041-=-?+?-=dz .

4. 求函数z =e xy

当x =1, y =1, ?x =0.15, ?y =0.1时的全微分. 解 因为

y xe x ye y y

z x x z dz xy xy ?+?=???+???=

所以, 当x =1, y =1, ?x =0.15, ?y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=?+?=.

*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=

, 由于

y y

z x x z y x y y x x ???+???++≈?++?+3333)()( 3

3

223

3233y

x y

y x x y x +?+?+

+=

,

所以取x =1, y =2, ?x =0.02, ?y =-0.03可得 95.22

12)

03.0(2302.0321)97.1()02.1(3

23

33=+-??+?+

+≈+.

*6. 计算(1.97)1.05

的近似值(ln2=0.693).

解 设z =x y

, 由于

y y z

x x z x x x y y y ???+???+≈?+?+)(y x x x yx x y y y ?+?+=-ln 1,

所以取x =2, y =1, ?x =-0.03, ?y =0.05可得

(1.97)1.05

≈2-0.03+2ln2?0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.

*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为22y x z +=,

)(12

2

y y x x y

x y dy

dz x dx dz dz z ?+?+=?+?=

≈?,

当x =6, y =8, ?x =0.05, ?y =-0.1时, 05.0)1.0805.06(8

61

2

2-=?-?+≈?z . 这个矩形的对角线大约减少5cm .

*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.

解 圆柱体的体积公式为V =πR 2

h , ?V ≈dV =2πRh ?R +πR 2?h ,

当R =4, h =20, ?R =?h =0.1时,

?V ≈2?3.14?4?20?0.1+3.14?42?0.1≈55.3(cm 3),

这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3

.

*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差.

解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.

||||||||

||||y y

z

x x z dz z ????+????≤≈?|)|||(1

2

2

y y x x y

x ?+?+=.

令x =7, y =24, |?x |≤0.1, |?y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为

124.0)1.0241.07(24

71

22=?+?+=

z δcm . *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60?±1?, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.

解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为

z xy s sin 2

1

=. zdz xy zdy x zdx y dS cos 2

1

sin 21sin 21++=

||cos 2

1

||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈?.

令x =63, y =78, 3π

=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180

π=dz , 则

55.2718021278631.0232631.023278=???+??+??≈πδs , 82.21273sin 786321=???=π

S ,

%29.182

.212755

.27==

S s δ, 所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%. *11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.

证明 设u =x +y , 则

||||||||||||y x y x y y

u x x u du u ?+?≤?+?=???+???=≈?. 所以两数之和的绝对误差|?u |等于它们各自的绝对误差|?x |与|?y |的和. *12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的

相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.

证明 设u =xy , y x

v =, 则?u ≈du =ydx +xdy ,

2

y

xdy

ydx dv v -=

≈?, 由此可得相对误差; ||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈?||||||||y y x x y dy x dx

?+?=+≤; ||||||||

2y dy

x dx y

x y xdy ydx v dv v v -=?-==?||||

||||y y x x y dy x dx ?+?=+≤.

习题8-4

1. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ??, y

z ??. 解 x

v v z x u u z x z ?????+?????=??=2u ?1+2v ?1=2(u +v )=4x ,

y

v

v z y u u z y z ???

??+?????=??=2u ?1+2v ?(-1)=2(u -v )=4y . 2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ??, y

z ??. 解

x

v

v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 2

2

2)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=,

y

v

v z y u u z y z ?????+?????=?? )2()(ln 222-+-?=v u y x v u 2

2

32)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求

dt

dz

.

解

dt

dy y z dt dx x z dt dz ???+???=2223)2(cos t e t e y x y x ?-?+=-- )6(cos )6(cos 22sin 223

t t e t t e t t y x -=-=--. 4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dt

dz . 解

dt dy y z dt dx x z dt dz ???+???=2

2

212)

(113)(11t y x y x ?---+?--= 2

32)

43(1)41(3t t t ---=.

5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x

, 求

dx

dz

. 解 dx dy y z x z dx dz ???+??=x

x x

e x x e e y

x x y x y 2222221)1(11++=?+++=.

6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dx

du

.

解 dx

dz dz u dx dy y u x u dx du ??+???+??= )sin (1cos 11)(222

x a e x a a e a z y ae ax

ax ax -?+-?+++-= )sin cos cos sin (122

x x a x a x a a e ax

++-+=x e ax sin =. 7. 设y x z arctan

=, 而x =u +v , y =u -v , 验证2

2v

u v

u v z u z +-=??+??. 证明

)()(v

y y z v x x z u y y z u x x z v z u z ?????+?????+?????+?????=??+??

)()(111)(11222y x

y x y y x -?++?+=

)1()()(111)(11222-?-?++?++

y x

y

x y y x 2

2222v

u v u y x y +-=+=

. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );

解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号,

2122212)()(f ye f x x

e f x y x f x u

xy xy '+'=???'+?-??'=??, 212)2212)((f xe f y y

e f y y x f y u

xy xy '+'-=???'+?-??'=??. (2)) ,(z

y

y x f u =;

解 12

11

)()(f y z y x f y x x f x u '=???'+???'=??, )()(21z

y y f y x y f y u ???'+??'=??212

1

f z f y x '+'-=,

)()(21z y

z f z x z f z u ???'+??'=??22f z y '?-=. (3) u =f (x , xy , xyz ).

解

yz f y f f x

u

?'+?'+?'=??3211321f yz f y f '+'+'=,

3232f xz f x xz f x f y

u

'+'=?'+?'=??,

33f xy xy f z

u

'=?'=??. 9. 设z =xy +xF (u ), 而x

y

u =

, F (u )为可导函数, 证明 xy z y

z y x z x +=??+???

. 证明 y z y x z x ???+???

])([])()([y

u

u F x x y x u u F x u F y x ??'+?+??'++= )]([)]()([u F x y u F x

y

u F y x '+?+'-

+= =xy +xF (u )+xy =z +xy . 10. 设)

(2

2y x f y

z -=

, 其中f (u )为可导函数, 验证 211y

z

y z y x z x =??+??.

证明 ()()

u f f xy u f x f y x z 2222'-=?'?-=??,

()()

u f f y u f u f y f y u f y z 2

222)(1

)2()('-+=-?'?-=??, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ?+'+'-=???+???

211y

z

z

y y =?. 11. 设z =f (x 2

+y 2

), 其中f 具有二阶导数, 求22x z

??, y x z ???2, 22y z ??.

解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x x

u

u f x z '=??'=??2)(,

f y y

u u f y z '=??'=??2)(, f x f x

u

f x f x z ''+'=???

''+'=??2224222,

f xy y

u

f x y x z ''=???''=???422, f y f y

u

f y f y z ''+'=???''+'=??422222.

12. 求下列函数的22x z ??,y x z ???2,22y z

??(其中f 具有二阶连续偏导数):

(1) z =f (xy , y );

解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ). u

f y v f y u f

x v v f x u u f x z ??=???+???=?????+?????=??0,

v

f u f x v f x u f y v v f y u u f y z ??+??=???+???=?????+?????=??1. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以

u f ??和v f ??也是u 和v 的函数, 从而u

f

??

和

v

f

??是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22u

f

x y u f y x x z x x z ????=????=????=

?? 22

2222222)0()(u

f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ??=????+???=??????+?????=,

)(1)()(2u f y y u f u f y y x z y y x z ????+???=????=????=??? )(222y

v

v u f y u u f y u f ??????+?????+??= v

u f y u f xy u f v u f x u f y u f ???+??+??=????+???+??=222222)1(, )()()()(22v f y u f y x v f u f x y y z y y z ????+????=??+????=????=

?? y

v

v f y u u v f y v v u f y u u f x ?????+??????+??????+?????=2

22222)( 1)1(2

22222???+????+????+???=v f

x u v f v u f x u f x 2

22222

2v

f

v u f x u f x ??+???+??=. (2)) ,(y x

x f z =;

解 令u =x , y

x v =, 则z =f (u , v ).

v f y u f x v v f dx du u f x z ???+??=?????+???=??1,

v

f y x dy dv v f y z ???-=???=??2. 因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以

u f ??和v f ??也是u 和v 的函数, 从而u

f

??

和

v

f

??是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22v f

x y u f x v f y u f x x z x x z ?????+????=???+????=????=??

)(1)(222222x

v

v f dx du u v f y x v v u f dx du u f ?????+????+??????+???=

22222

212v

f

y v u f y u f ???+????+??=,

)1()(2v f y u f y x z y y x z ???+????=????=??? )(1)1()(v f

y y v f y dy d u f y ?????+???+????=

y

v

v f y v f y y v v u f ??????+???-??????=

22211 22

32221v

f

y x v f y v u f y x ???-???-????

-= )()()(2

22

2v

f

y y x v f y x y y z y y z ?????-???-??=????=?? 22

423222322v

f

y x v f y x y v v f y x v f y x ???+???=??????-???

=. (3) z =f (xy 2, x 2y );

解 z x =f 1'?y 2+f 2'?2xy =y 2f 1'+2xyf 2', z y =f 1'?2xy +f 2'?x 2=2xyf 1'+x 2f 2';

z xx =y 2

[f 11''?y 2

+f 12''?2xy ]+2yf 2''+2xy [f 21''?y 2

+f 22''?2xy ] =y 4f 11''+2xy 3f 12''+2yf 2''+2xy 3f 21''+4x 2y 2 f 22'' =y 4f 11''+4xy 3f 12''+2yf 2''+4x 2y 2 f 22'',

z xy =2y f 1'+y 2

[f 11''?2xy +f 12''?x 2

]+2xf 2'+2xy [f 21''?2xy +f 22''?x 2

] =2y f 1'+2xy 3f 11''+x 2y 2 f 12''+2xf 2'+4x 2y 2f 21''+2x 3yf 22'' =2y f 1'+2xy 3

f 11''+5x 2y 2

f 12''+2xf 2'+2x 3

yf 22'', z yy =2xf 1'+2xy [f 11''?2xy +f 12''?x 2]+x 2[f 21''?2xy +f 22''?x 2]

=2xf 1'+4x 2y 2f 11''+2x 3y f 12''+2x 3yf 21''+x 4f 22'' =2xf 1'+4x 2y 2f 11''+4x 3y f 12''+x 4f 22''. (4) z =f (sin x , cos y , e x +y ).

解 z x =f 1'?cos x + f 3'?e x +y

=cos x f 1'+e x +y

f 3',

z y =f 2'?(-sin y )+ f 3'?e x +y =-sin y f 2'+e x +y f 3', z xx =-sin x f 1'+cos x ?(f 11''?cos x + f 13''?e x +y ) +e x +y f 3'+e x +y (f 31''?cos x + f 33''?e x +y ) =-sin x f 1'+cos 2x f 11''+e x +y cos x f 13''+e x +y f 3' +e x +y

cos x f 31''+e

2(x +y )

f 33''

=-sin x f 1'+cos 2

x f 11''+2e x +y

cos x f 13''+e x +y

f 3'+e

2(x +y )

f 33'',

z xy =cos x [f 12''?(-sin y )+ f 13''?e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''?(-sin y )+ f 33''?e x +y ] =-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13' +e x +y

f 3'-e x +y

sin y f 32'+e

2(x +y )

f 33'

=-sin y cos x f 12''+e x +y cos x f 13'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+e 2(x +y )f 33'',

z yy =-cos y f 2'-sin y [f 22''?(-sin y )+ f 23''?e x +y ] +e x +y f 3'+e x +y [f 32''?(-sin y )+ f 33''?e x +y ] =-cos y f 2'+sin 2

y f 22''-e x +y

sin y f 23''

+e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''?e 2(x +y )

=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''?e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t

s x -=

, 2

3t

s y +=, 证明2222)()()()(t u s u y u x u ??+??=??+??及222

22222t u

s u y u x u ??+??=??+??.

证明 因为

y

u

x u s y y u s x x u s u ???+???=?????+?????=??2321

y

u

x u t y y u t x x u t u ???

+???-=?????+?????=??2123 所以

2222)2123()2321()()(

y u x u y u x u t u s u ??+??-+??+??=??+??22)()(y

u x u ??+??=. 又因为

)2321()(22y

u

x u s s u s s u ???+?????=????=

?? )(23)(21222222s y

y u s x x y u s y y x u s x x u ?????+??????+??????+???

??= )2321(23)2321(21222222y u

x y u y x u x u ???+????+????+

???= 22222432341y u

y x u x u ???+????+

???=, )2123()(22y

u x u t t u t t u ???+???-??=????=

?? )(21)(23222222t y

y u t x x y u t y y x u t x x u ?????+??????+??????+?????-

= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ???+????-+????+???--= 22222412343y

u

y x u x u ???+????-

???=, 所以 22222222y u

x u t u s u ??+??=??+??.

习题8-5

1. 设sin y +e x -xy 2=0, 求

dx

dy . 解 令F (x , y )=sin y +e x

-xy 2

, 则F x =e x -y 2

, F y =cos y -2xy ,

xy y e y xy y y e F F dx dy x y x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设x

y y x arctan ln

2

2

=+, 求dx dy

.

解 令x

y

y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则 2

2

222222)()

(11

221

y x y x x y x y y x x

y x F x ++=-?+-

+?

+=

, 2

2

22

2221

)

(11221

y x x y x x

y y x y

y x F y +-=?+-

+?+=

, y x y x F F dx dy y x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求

x

z

??及y z ??. 解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz

yz F x -

=1, xyz

xz

F y -

=2, xyz xy F z -=1,

xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=??, xy xyz xyz xz F F y z

z y --=-=??2. 4. 设

y

z

z x ln =, 求x z ??及y z ??,

解 令y

z

z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=

, y y z y z F y 1)(12=-?-=, 2211z z

x y y

z z x F z +-=?--=,

所以 z x z

F F x z z x +=

-=??, )(2z x y z F F y z z y +=-=??.

5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明

1=??+??y

z

x z 证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则 F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )?2-2=2F x , F z =2cos(x +2y -3z )?(-3)+3=-3F x ,

313=--=-=??x x z x F F F F x z ,

3232=--=-=??x x z y F F F F y z

, 于是

13

2

31=+=--=??+??z z z x F F F F y z x z . 6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=????????x

z

z y y x . 解 因为

x y F F y x

-=??,

y z F F z

y -=??, z x F F x z -=??, 所以 1)()()(-=-?-?-=????????z

x y z x y F F F F F F x z

z y y x .

7. 设?(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程?(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足