2+1维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的分离变量解

第26卷第5期Vol.26　No.5

丽水学院学报

JOURNAL OF L ISHUI UNIVERSIT Y

2004年10月

Oct.2004

(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的分离变量解Ξ

马正义

(丽水学院数学系,浙江丽水　323000)

摘要:对于非线性演化方程,欲获其解并非易事。试图用设定的变量分离法来得到方程的解。同时,以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程为例来说明之。

关键词:非线性演化方程;变量分离法;(2+1)维

中图分类号:O175.2 文献标识码:A 文章编号:1008-6749(2004)05-0037-03

1　引言

在漫长的线性科学发展历史中,科学家们建立了许多行之有效的研究方法,如行波法、分离变量法和傅里叶变换法。然而,对于非线性物理问题的研究,这些方法一般需要作相当大的甚至是根本性的变化才有可能得到推广应用。对于行波法,在非线性物理中只要作行波约化就可以。反散射方法可以看成是傅里叶变换法在非线性物理中的推广。然而,分离变量法的推广迟迟得不到本质的进展。最近我国科学家对这一问题作出了一些重要贡献。由楼森岳教授等建立的多线性分离变量法,目前已经成功地应用到了许多(2 +1)维非线性物理模型,并由此发现了高维非线性物理模型中非常丰富的非线性激发模式。

本文试图在许多人工作[1～5]的基础上,给出一个解题步骤较为具体的分离变量法,并以(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程为例来说明所给方法的可行性。

2　(2+1)维BLMP方程的分离变量解

对于BLMP方程

u yt+u x x xy-3u x x u y-3u x u xy=0,(1)为了采用变量分离方法,引入B cklund变换

u=-2(ln f)x+u0,(2)式中u=u(x,y,t),f=f(x,y,t),u0=u0(x,y,t)是BLMP方程的一个任意已知的种子解。为简单起见,取种子解为以下的特殊形式:u0=u0(x,t)。

把拥有种子解u0=u0(x,t)的(2)式代入(1)式,得到(1)式的三线性形式

-2f x f y f x x x+6f x f x x f xy-2f x f y f t+6u0x f2x f y-6f2x f x xy+(f xt f y-3u0x x f x f y-3u0x f x x f y-6u0x f x f xy +f xy f t+f x x x x f y+4f x f x x xy-2f x x x f xy+f x f yt)f+(3u0x x f xy-f xyt+3u0x f x xy-f x x x xy)f2=0,(3)选取

f=a0+a1p+a2q+a3pq,(4)其中p=p(x,t),q=q(y,t);当p,q选为指数函数时,(4)式即为Horita双孤子形式。

假定q=q(y,t)具有Riccati方程解的形式,即

Ξ收稿日期:2003-11-07

作者简介:马正义(1965-　),男,浙江东阳人,副教授,博士生。

q=

A1(t)

A2(t)+F(y)

+A3(t)。(5)

将(4),(5)式代入(3)式,整理后可得到如下形式的方程

H1(x,t)+H2(x,t)F(y)=0,(6)其中H1(x,t),H2(x,t)分别为

K(3A1p x x u0x+3A1p x u0x x-A1p xt-A1p x x x x-A1t p x)

+L(p x p x x x-3p2x u0x+p x p t)+2(a2+a3p)A1A3t p x(7)与

M(3A1p x x u0x+3A1p x u0x x-A1p xt-A1p x x x x-A1t p x)

+N(p x p x x x-3p2x u0x+p x p t)+2(a2+a3p)A1p x(A2A3t-A1t)+2KA1A2t p x,(8)而

K=a0+a2A3+(a1+a3A3)p,

L=2(a1+a3A3)A1,

M=a0A2+a2A1+a2A2A3+p(a1A2+a3A1+a3A2A3),

N=2A1(a1A2+a3A1+a3A2A3)。

令H1(x,t)=H2(x,t)=0,则(7),(8)式可合并整理成

(KA1t+A1A3t(a2+a3p))A+2A1(a1A1+a3A1A3)t B+2A1A2t A3t p x K=0,(9)其中

A=3A1v x-(A1p x)t-A1p x x x x,B=p x p x x x-3p x v+p x p t,v=p x u0x。

令

W=3v-p x x x-p t,

则

A=A1W x-A1t p x,B=-W p x。

此时(9)式成为

-2A1p x(A1(a1+a3A3))t W+A1((A1(a0+a2A3))t+p(A1(a1+a3A3))t W x+(2A1A2t A3t-A21t)(a0p x+(a1+a3A3)pp x)-a2A1t p x(A1A3)t+2a2A1A2t A3A3t p x-pp x a3A1A1t A3t=0。(10)经过验算,发现满足(10)式的如下情形确为方程(1)的解

f=a0+a1p+a2q+a3pq,

p=p(x,t)

为关于x,t的任意函数,

q=q(y)

为关于y的任意函数,而

u0=u0(x,t)=∫13p x(p t+p x x x)d x。(11)由p,q之任意性,上述关于BLMP方程(1)的解确具有非常丰富的内涵。

3　结束语

变量分离法可应用于多个高维可积甚至不可积模型的求解,从不同的变量分离形式可以得到不同类型的新解表示。以上通过设定拟解,获得了丰富的(2+1)维BLMP方程的形式解。相信这种方法对于研究其它(2+1)维非线性方程的解也有着积极的借鉴意义。对于方程(1)是否还存在其它形式的解,有待进一步研究。(下转第76页)

On the Design for Administering R oads Surfaced with

Concrete Dam aged in E arly Phase

Wang Y onglin

(Lishui Road and Bridge Engineering Project Section,Lishui Zhejiang　323000,China)

Abstract:According to the technological demands on roads surfaced with concrete,this paper,from the concrete materials,the anti-draining off water,the structural combination and the stratification thickness and so on analyses the administering roads surfaced with concrete.

K ey w ords:roads surfaced with concrete;damaged in early phase;design and administration

(上接第38页)

参考文献

[1]　Lou S Y,Tang X Y,et al.New localized excitations in(2+1)-dimensional integrable systems[J].Mod Phys Lett,2002,B29:1075～

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[3]　Zhen C L.Localized coherent structures with chaotic and fractial behaviors in a(2+1)-dimensional modified dispersive water-wave system

[J].Commun Theor Phys.2003,40:25～32

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[5]　Y ing J P,Lou S Y.Multilinear variable separation approach in(3+1)-dimensions:the Burgers equation[J].Chin Phys Lett.2003,20:

1448～1451

V ariable Separation Solution of the(2+1)-dimensional Nonlinear Boiti-Leon-Manna-Pempinelli equ ation

Ma Zhengyi

(Department of Mathematics,Lishui University,Lishui Zhejiang　323000,China)

Abstract:It’s tough to obtain solutions of a nonlinear evolution equation.Our paper has tried to get a so2 lution through a given variable separation approach and illustrate the approach in(2+1)-dimensional BLMP equation.

K ey w ords:nonlinear evolution equation;variable separation approach;(2+1)-dimensions

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

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上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理

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平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中

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0=??? ????+?????? ????-?? u x a t x a t 由于 x a t ?? ±??当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数 （=dt du dt dx x u t u ???+??x u a t u ??±??=）,故由此定出两个方向 （1.3） a dx dt 1±= 解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =?+ 和 2C t a x =?- 称其为特征。 特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。 比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。由复合函数的微分法则 2 12211C u C u x C C u x C C u x u ??+ ??=?????+?????=?? x C C u C u C x C C u C u C x u ????? ? ????+????+?????? ????+????=??2 212121122 2 22122212212C u C C u C C u C u ??+???+???+??= 22 22122122C u C C u C u ??+???+??= 同理可得 a t t a t C -=??-=??1，a t C =??2 ???? ????-??=?????+?????=??21 2211C u C u a t C C u t C C u t u

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截断误差为 ()[]k k k j h j j R u L u Lu =- 1 11111()22k k k k k k k j j j j j j j u u u u u u u h t x τ+-+-+-+-??=+-+?? 23222 3 (),(0,0)26k k j j u u h O h j m k n t x ττ??= -=+≤≤≤≤?? 所以Lax-Friedrichs 格式的截断误差的阶式2()O h τ+ 令/s h τ=：则可得差分格式为 1111 11(),(0,0)222 k k k k k j j j j j s s u u u u u j m k n +--++=-+++≤≤≤≤ 0cos()(0)j j u x j m π=≤≤ 0cos(),cos(),(0)k k k m k u t u t k n ππ==-≤≤ 其传播因子为： ()()()e e G h i h i s h i h i σσσστσ---=-+e e 221， 化简可得： ()()()()()h s G h is h G στσσστ σsin 11,sin cos ,2 2 2--=-= 所以当1s ≤时，()1,≤τσG ,格式稳定。 * 2.2.2：LaxWendroff 方法 用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff 的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为() h 2 2 +O τ ，是二阶精度；当2s ≤时，()1,≤τσG ， 格式稳定。在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs 方法进行简单对比。 2.3差分格式的求解

抛物型方程差分方法

偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式；

第九章 偏微分方程差分方法汇总

170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0

数学物理方法第二篇第2章

第二章 数学物理方程和二阶线性偏微分方程分类 §2.2.1数学物理方程 数学物理方程（简称数理方程）通常是指从物理模型中导出的函数方程，特别是偏微分方程，我们这里着重讨论二阶线性偏微分方程. 数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类： 1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动方程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的方程.有一维波动方程xx tt u a u 2=（自由振动方程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动方程），这里u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播 速度.tt u 表示22t u ??，xx u 表示22x u ??；二维波动方程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（二维的），22 2222z y x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散方程，热传导方程.例如，有一维的热传导方程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表示x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.方程),(2t x f u a u xx t +=表示有热源的传导方程. 3.稳定（或者静止、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯方程. 02222=??+??≡?y u x u u . 在数学中，把二阶线性偏微分方程进行分类，其中有三种最重要

的类型，分别称为双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程，而上面所指出的那些数理方程都是二阶线性偏微分方程.波动方程可以作为研究双曲型方程的模型，热传导方程可以作为研究抛物型方程的模型，拉普拉斯方程可以作为研究椭圆型方程的模型. 对于仅有数理方程这类偏微分方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作用有关.从数学的角度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求一个微分方程的解满足一定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.而初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，又叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题. 边界条件一般有三种类型，以一维的为例：在x =0点的第一边界条件：)(),0(t t u μ=；第二边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这里h 为已知常数，)(t μ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t μ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，一般将边界条件写成)()],(),([t f t M n u t M u D M =??+?∈βα，D ?表示区域D 的边界，n 是D ?的外法线方向，这里α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述. 如果一个定解问题中既有初始条件又有边界条件，则称为混合问题. 例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点自由；(3)

1-双曲型方程组

双曲型守恒律方程组 1. 拟线性双曲型守恒律方程初值问题 拟线性双曲型守恒律方程组初值问题的一般形式为 () ()()0 0 , , 0,0 , x t t x x x x ???+=-∞<+∞>????? ?=-∞<+∞ ?? f w w w w （1） 其中 ()()()()12,,, ,m w x t w x t x t w x t ?? ? ? ?= ? ? ???w ，()()()()()()()1112221212,,,,,, ,,,m m m m m f f w w w f f w w w f f w w w ???? ? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ? ???? w w f w w 以及 0w 都是m 维向量，分别叫做守恒变量、通量和初值。 在初值问题（1）中， ? 要求守恒变量具有紧支集，即： 集合 (){},0S x x t =≠w 的闭包为有界集。 从而存在常数 0R > ，使得：当 x R ≥ 时，(),0x t =w ； ? 要求通量满足归零条件，即：当 0→w 时，()0→f w 。 例1：单个守恒律方程初值问题 () ()()0 , , 0,0 , f u u x t t x u x x x ????+=-∞<+∞>????? ?=-∞<+∞?? （2） 例2：一维气体力学方程组初值问题 () ()()0 0 , , 0,0 , x t t x x x x ???+=-∞<+∞>????? ?=-∞<+∞ ?? f w w w w （3）

其中（对于完全气体，利用关系式 211 12 E p u ργ= +- ，其中的 γ 是比热比） 123 w w u w E ρρ???? ? ?== ? ? ? ????? w ()()()()221222222223311133223222 23311113 1 1 221122w w f u w w w f u p w w w w w f u E p w w w w w w w w w w w ργργγγγγ???? ? ? ? ???? ? ? ???- ? ? ?==+=+--=+- ? ? ? ? ??? ? ? ?+ ?? ??? ?- ????? ?-++-- ? ??? ? ???????? ?f 2. 守恒性 任取 A R <- ，B R > ，将方程（1）在区间 [],A B 上积分，得 ()0B B A A dx dx t x ??+=??? ?f w w 即 ()()(){},,0B A d dx B t A t dt +-=?????????w f w f w 但根据 A 、B 的选取，有 (),0A t =????f w ，(),0B t =????f w 所以有 ()0B A d dx dt =?w 令 A →-∞ ，B →+∞ ，就得到 ()() ,0d x t dx dt +∞ -∞ =? w （4） 此式对任意的 0t > 都成立。这表明，(),x t dx +∞ -∞ ?w 是一个与时间无关的常数， 或者说，这个量是一个守恒量。 对任意的 0t > ，再将（4）时在区间 []0,t 上积分，得 ()() 0,0t d x dx d d τττ +∞ -∞ =?? w

微分方程数值解II

微分方程数值解II 主要内容： 第一章有限差分法的理论基础 1. 构造差分格式的主要方法； 2. 差分格式的一般性要求； 3. Lax等价性定理； 4. 差分格式的von Neumann稳定性分析方法； 5. 差分格式的修正方程。 第二章线性抛物型方程的差分方法 1. 扩散方程的显式格式； 2. 扩散方程的隐式格式； 3. 线方法； 4. 多维抛物型方程的ADI方法； 5. 分数步法； 6. Burgers方程的差分法和网格雷诺数。 第三章一维线性双曲型方程的数值方法 1. 线性双曲型系统的特征和Riemann问题； 2. 守恒律的有限体积法； 3. Lax-Friedriches格式、Lax-Wendroff格式、特征线法差分格式； 4. 双曲型方程的迎风格式、CIR格式、Godunov 方法； 5. 二阶Godunov格式、总变差概念及限制器函数； 6. 双曲型方程及变系数双曲型方程的高分辨率(TVD)波传播格式。 第四章一维非线性双曲型守恒律的数值方法 1. 非线性双曲型守恒律的间断解、弱解、熵条件； 2. 标量守恒律的Riemann问题解及Godunov格式； 3. 熵修正、数值粘性、Osher格式及高分辨率波传播格式； 4. 守恒型与Lax-Wendroff定理、离散熵条件、非线性稳定性及收敛性； 5. 典型守恒律方程组的Godunov间断分解方法及Godunov格式； 6. 守恒律方程组的MUSCL格式。 第五章多维双曲型守恒律的高分辨率格式 1. 多维方程组的双曲性； 2．Lax-Wendroff方法、Runge-Kutta推进的半离散方法、维数分裂方法； 3. 标量方程的LW方法、Godunov 格式、方向迎风及角迎风格式； 4. 多维标量方程的高分辨率格式； 5. 多维方程组的高分辨率格式。 第六章双曲型守恒律的其它高分辨率方法 1. ENO与WENO格式；

抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。

注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-<

抛物型方程有限差分方法的应用-报告概论

2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人

抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初

偏微分方程数值解法

第十章偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1差分方法的基本概念 1.1几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 Poisson 方程的第一边值问题为 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 其中 n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 初边值问题 其中 )(x ?，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件 边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条 件。 第二类和第三类边界条件为 其中0)(1≥t λ，0 )(2≥t λ。当0)()(21≡=t t λλ时，为第二 类边界条件， 否则称为第三类边界条件。 双曲型方程: 最简单形式为一阶双曲型方程 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为

边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为 1.2差分方法的基本概念 差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。 它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格； （2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。 设有一阶双曲型方程初值问题。 （1） 选取网格： －2h-h0h2h3h 首先对定解区域 }0,),{(≥+∞<<∞-=t x t x D 作网格剖 分，最简单 常用一种网格是用两族分别平行于 x 轴与 t 轴的等距直线 kh x x k ==， (0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将D 分成许 多小矩形 区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点， h 和τ 分别称作 x 方向和t 方向的步长。这种网格称为矩形网格。 （2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即 其中 1,021<<θθ。